Đang tải... (xem toàn văn)
Hãy tìm số n lớn nhất sao cho tồn tại n điểm đôi một được nối với nhau bằng đoạn thẳng... Bất đẳng thức được chứng minh..[r]
(1)GV: NGÔ TÙNG LÂM ĐỀ 13 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 Môn : Toán Thời gian làm bài : 180 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (5.0 điểm) a) Giải hệ phương trình x5 xy y10 y 1 x y 6 b) Giải phương trình sau : x x 3 x Câu (4 điểm ) a) Cho x,y,z> , x+y+z=1 , P xy yz zx x y y 2z z 2x Tìm MaxP , xy yz xz xyz b) 3x y z x y z x y 3z Câu (4,0 điểm) ∞ a) Cho d·y sè { x n }n=0 víi x0=1 ; x1=4; xn+2=5xn+1-6xn+2 víi mäi n tù nhiªn Hãy xác định số hạng tổng quát xn ¿ U 1=α >1 b) cho dãy số (Un) xác định bởi: 2009 U n+1=U 2n+ 2008U n ,n ≥ ¿{ ¿ n Ui H·y tÝnh lim ∑ n →+∞ i=1 U i+1 − Câu 4.(5.0 điểm) Cho tam gi¸c ABC §êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC tiÕp xóc víi c¸c c¹nh BC, CA, AB lần lợt A1, B1, C1 Đoạn thẳng AA1 cắt đờng tròn nội tiếp tam giác ABC giao điểm thứ hai Q Qua A kẻ đờng thẳng d song song với BC Các đờng thẳng A1C1, A1B1 lần lợt c¾t d t¹i P, R Chøng minh c¸c gãc PQR vµ B1QC1 b»ng Câu ( điểm) Trong không gian cho 2003 điểm mà không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào đồng phẳng Người ta nối điểm với ít 1600 điểm khác các đoạn thẳng Hãy tìm số n lớn cho tồn n điểm đôi nối với đoạn thẳng .Hết: GV: NGÔ TÙNG LÂM ĐỀ 13 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012-2013 Môn : Toán Hướng giẫn giải (2) Câu I (5,0 điểm) a) Điều kiện : x 5 Chia hai vế phương trình (1) cho y 0 x x y5 y y y Hàm số : f (t ) t t ; f '(t ) 5t t R x y x y2 Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) thì xảy y Thay vào phương trình (2) ta : x x 6 x 1 Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1) b) ĐK x Pt (1) 3 x x2 x 2 x2 x x Do x=-2 không là nghiệm pt(1) nên chia vế cho x+2 ta được: 2( x x 4) x2 2x 3 0 x2 x2 t 2 2t 3t 0 x 2x t t x2 Đặt ĐK t 0 Phương trình (1) t pt VN * Với 2 *Với t=2 PT có nghiệm x 3 13 Câu (4 điểm ) a) P cyc Mà xy xy xy xy xy xy x y cyc 1 x y cyc x 2y xy yz zx ( x y z ) 1 xy yz zx xy 2x y x 2y (2 x y y z z x) P 9 Nên x y x y 9 xy b) Áp dụng BĐT : 1 + + 1 1 A B C ( A+ B+C) + + ≥ ⇔ ≤ A B C A+ B+ C ( ) Ta có 1 + + 1 x+ y + y x+ y + z x + y + z = ≤ ≤ x + y +2 z (x +2 y)+( x+ y+ z)+( x+ y + z ) 1 + + x y y 2 + + x + y + z xy xy x y 2 x+ y xy ⇒ ≤ + = + (1) x + y +2 z 9 x+ y + z 81 9( x + y + z ) ( Tương tự ) (3) 1 + + 1 y + z + z x+ y + z x + y + z = ≤ ≤ x +3 y +4 z ( y+ z )+(x + y + z)+( x+ y+ z) 1 + + y z z 2 + + x+ y + z yz yz y z 2 y+z yz ⇒ ≤ + = + (2) x +3 y +4 z 9 x+ y+ z 81 (x+ y+ z ) ( ) Tương tự ¿ xz 2z+x xz ≤ + (3) x +2 y+3 z 81 9(x + y + z ) ¿ Từ (1) ;(2) ;(3) ta có Q≤ Vì x+ y + z 2( xy +yz +zx ) x+ y+ z 2(x+ y+ z ) x + y + z + ≤ + = 27 9( x + y + z) 27 27 xy + yz+zx ≤ ( x + y + z ) Cách xy yz zx xy z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y (a b c)2 a b c2 ¸p dông A B C A B C víi a.b, c kh«ng ©m vµ A,B d¬ng DÊu "=" x¶y a b c A B C ta cã: 1 xy xy xy xy 18 1 3x 4y 2z 2(x y z) 2y x 81 2(x y z) 2y x 81 x y z y x xy 18xy 2x y 3x 4y 2z 81 x y z (1) DÊu "=" x¶y x y z T¬ng tù ta cã: yz 18yz 2y z 3y 4z 2x 81 x y z (2) DÊu "=" x¶y x y z zx 18zx 2z x 3z 4x 2y 81 x y z (3) DÊu "=" x¶y x y z Cộng vế với vế (1); (2) và (3) ta đợc: xy yz zx 18(xy yz zx) 3x 3y 3z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 xyz L¹i cã 3(xy+yz+zx) (x+y+z) xy yz zx 6(x y z)2 3x 3y 3z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 81 x y z xyz (§PCM) DÊu "=" x¶y x y z Cách xy yz zx x y z 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y (4) xyz 9xy 9yz 9zx 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y Ta có: 1 x y z x y z x 2y 3x 4y 2z 2xy xy 9xy x y z x 2y 3x 4y 2z Tương tự: 2yz yz 9yz x y z y 2z 3y 4z 2x 2zx zx 9zx x y z z 2x 3z 4x 2y Cộng vế các bất đẳng thức trên, ta được: 9xy 9yz 9zx 3x 4y 2z 3y 4z 2x 3z 4x 2y 2 xy yz zx xy yz zx x yz x 2y y 2z z 2x x y z xy yz zx 2 x y z x 2y y 2z z 2x xy yz zx x y z x 2y y 2z z 2x Ta cần chứng minh: xy yz zx x yz x 2y y 2z z 2x Thật vậy: x 2y 2x y x y y x x y 9xy 2x y xy x 2y Tương tự: 2y z yz 2z x zx ; y 2z z 2x xy yz zx x yz x 2y y 2z z 2x Suy (Điều phải chứng minh) Bất đẳng thức chứng minh Dấu xảy và x y z Câu (4,0 điểm) a) + Ta t×m sè a cho xn+2=5xn+1-6xn+2 ⇔ xn+2+a=5(xn+1+a)-6(xn+a) ⇔ xn+2=5xn+1-6xn-2a VËy ta chän a=-1 Khi đó xn+2=5xn+1-6xn+2 ⇔ xn+2-1=5(xn+1-1)-6(xn-1) (1) Với n ta đặt un=xn-1 đó (1) ⇔ un+2=5un+1-6un với u0=0; u1=3 Phơng trình đặc trng dãy số này là x2-5x+6 = ⇔ x1=2 và x2=3 Do đó ta đợc: un=C1.2n + C2.3n Cho n=0, ta đợc: C1=-3; C2=3 và ta đợc un=-3.2n + 3.3n VËy xn = -3.2n + 3.3n +1 b) *Bằng quy nạp ta chứng minh đợc: U n+ 1>U n ≥ α , ∀ n ∈ N (5) U n=u ≥ α *NÕu d·y (Un) bÞ chÆn trªn th× nã héi tô §Æt nlim →+∞ Từ 2009 U n+1=U 2n+ 2008U n ,n ≥ cho n →+ ∞ ta đợc : 2 2009 u=u +2008 u ⇔ u =u ⇔ u=1 ¿ u=0 ¿ v« lÝ vi u ≥ α > ¿ ¿ ¿ ⇒( U n) kh«ng bÞ chÆn trªn ⇒ lim U n =+ ∞ n →+∞ n * gi¶ thiÕt ⇒ 2009(U n+1 − U n )=U −U n ⇔2009 (U n+1 −U n )=U n (U n − 1) Un 1 ⇔2009 − = U n −1 U n +1 −1 U n+1 −1 n Ui 1 ⇒∑ =2009 − U −1 U n +1 − i=1 U i+1 −1 n Ui 2009 ⇒ lim ∑ = α−1 n →+∞ i=1 U i+1 −1 ( ) ( ) Câu 4.(5.0 điểm) Ta cã BA1Q A1 B1 Q BA1A A1 AR Suy QAR QB1A1 , suy tø gi¸c QARB1 lµ tø gi¸c néi tiÕp néi tiÕp T¬ng tù tø gi¸c QAPC1 lµ tø gi¸c néi tiÕp néi tiÕp Suy PQR PQA AQR PC1A AB1 R A1C1 B A1 B1C B1QC1 Câu ( điểm ): Gọi a1, a2, a3, … , a2003 là các điểm đã cho Gọi A1 , A2 , … A2003 là các tập hợp các điểm nối với các điểm tương ứng a1, a2, a3, … , a2003 Theo giả thiết thì Ai 1600 với i=1,2,…2003 Xét điểm a1, a2 chẳng hạn nối với nhau: A A A A A A 2 Ta có = 1+ - 1600+1600-2003 =1197 Chứng tỏ có ít 1197 điểm mà điểm nối với a 1, a2 Không tính tổng quát ta giả thiết 1197 điểm này có điểm a3, đó điểm a1, a2, a3 đôi nối với A A A A A A A A A 2 Xét: = + - 1197+1600-2003 =794 Chứng tỏ có ít 794 điểm mà điểm nối với a 1, a2 ,a3 Không tính tổng quát ta giả thiết 794 điểm này có điểm a4, đó điểm a1, a2, a3 ,a4 đôi nối với A A A A A A A A A A A A 3 Xét: = + - 794+1600-2003 = 391 Chứng tỏ có ít 391 điểm mà điểm nối với a 1, a2, a3, a4 Không tính tổng quát ta giả thiết 391 điểm này có điểm a 5, đó điểm a1, a2, a3, a4, a5 đôi nối với Do n 5 (1) Bây ta cách nối mà điểm nào tồn điểm không nối với (6) nhau: Xét cách nối sau: Nối tất các cặp điểm a m, ak mà m và k không đồng dư với (mod 5).Khi đó, 2003 vì = 400 nên suy điểm nối với 1600 1601 điểm khác Như cách nối trên thoả mãn điều kiện bài toán Với cách nối này: Xét điểm bất kỳ, hiển nhiên điểm đó luôn tồn hai điểm A i, Aj mà i j(mod 5) Suy n < (2) Từ (1) và (2) suy n=5 (7)