Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình mặt cầu S có tâm nằm trên đường thẳng d1 , tiếp xúc với 1 đường thẳng d2 và mặt phẳng P.[r]
(1)ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 Môn: TOÁN NGÀY 20.10.2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) BOXMATH http://boxmath.vn ath Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + (Cm ) a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = −1 b) Tìm tất các giá trị thực cuả tham số m để đường thẳng d : y = x − cắt đồ thị ba điểm phân biệt A, B,C cho AB = BC, đó A có hoành độ −1 Câu (2 điểm) a) Giải phương trình √ 2(2 cos2 x − sin 2x = cos x sin 2x + 2(sin x − cos x) p √ 3x2 − 2x − + 2x x2 + = 2(y + 1) y2 + 2y + b) Giải hệ phương trình (x, y ∈ R) x2 + 2y2 = 2x − 4y + Câu (1 điểm) Tính tích phân I= Z e ln x − ln2 x x(x + ln x) dx bo xm Câu (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt √ phẳng đáy, SA = a, SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SB và AC theo a Câu (1 điểm) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P=x p √ − y2 + y − x PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn :// Câu 6a (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + (y − 3)2 = 25 có tâm I Viết phương trình đường thẳng d qua M(6; 1) và cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 10 x+2 y+1 z−3 x−2 y+3 z−1 b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : = = , d2 : = = −2 2 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 , d2 và có bán kính nhỏ n Câu 7a (1 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x2 khai triển nhị thức Niu-tơn x2 + , biết: x − 3A2 = 52(n − 1) 3Cn+1 n B Theo chương trình nâng cao htt p Câu 6b (2 điểm) √ a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy viết phương trình elip (E) qua M(2 3; 1) và phương trình tiếp tuyến M √ là 3x + 2y − = x+3 y−1 z+3 x−1 y+1 z−3 = = , d2 : = = b) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : 1 −2 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d1 , tiếp xúc với đường thẳng d2 và mặt phẳng (P) Câu 7b (1 điểm) Giải phương trình: log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7) ———————————————–Hết—————————————————- (2) Câu 1.a Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + (Cm ) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = −1 Lời giải: () Khi m = −1ta có : y = f (x)" = x3 − 3x2 +"1 Tập xác định D = R y=1 x=0 Đồ thị ⇒ y0 = 3x2 − 6x ⇒ y0 = ⇔ y = −3 x=2 lim f (x) = +∞; lim f (x) = −∞ ath x→+∞ x→−∞ Bảng biến thiên: x −∞ f (x) TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN + +∞ − 0 −2 + +∞ −1 −1 f (x) −2 −∞ −2 −3 bo xm Hàm số đông biến trên (−∞; 0); (2; +∞) Hàm số nghịch biến trên (0; 2) Điểm cực đại (0; 1), Điểm cực tiểu (2; −3) −4 Câu 1.b Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m + 1)x + (Cm ) Tìm tất các giá trị thực cuả tham số m để đường thẳng d : y = x − 2cắt đồ thị ba điểm phân biệt A, B,C cho AB = BC, đó A có hoành độ −1 Lời giải: (l94) Phương trình hoành độ giao điểm: (x + 1)[x2 + (3m − 1)x + 3] = √ √ 1+2 1−2 <m (d) cắt C điểm phân biệt ⇔ x + (3m − 1)x + có nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác −1 ⇔ m < 3 A(−1; −3); B(x1 ; x1 − 2);C(x2 ; x2 − 2) AB = BC ⇔ 2x1 = x2 − Mặt khác x1 + x2 = − 3m x1 x2 = Giải hệ tìm m = −1 (Loại); m = Câu 2.a Giải phương trình 3 (Nhận) Vậy m = thoả YCBT 2 √ 2 cos2 x − sin 2x = cos x sin 2x + 2(sin x − cos x) :// Lời giải: (thienlonghoangde) Ta viết lại biểu thức bài toán htt p √ √ 2 cos2 x + cos x − sin x[3 cos x + cos2 x + 1] = √ √ ⇔ ( cos x + 1)(2 cos x − sin x − sin x cos x) = (1) √ − t2 Từ (2) ta đặt t = (sin x − cos x) với |t| ≤ Ta có : sin x cos x = Từ đó vào (1) ta phương trình: √ √ t + − 2t = √ √ − Ta tìm nghiệm phương trình trên là: t = 2vt = Đến đây ta dễ tìm nghiệm bài toán Lời giải: (akashi_95) √ √ 2 cos2 x − cos x sin x = cos2 x sin x + sin x − cos x √ √ ⇔ cos2 x(8 sin x − 2) + cos x(3 sin x − 1) + sin x = √ √ ∆0 = ( sin x − 1)2√mà sin x √ − 2 6= 2−4 − √ = (+) cos x = sin x√− 2 √ − √ ⇔ sin x cos x + 2(sin x − cos x) = (+) cos x = sin x − Đến đây ta giải tương tự cách (1) ( Câu 2.b Giải hệ phương trình p √ 3x2 − 2x − + 2x x2 + = 2(y + 1) y2 + 2y + (x, y ∈ R) x2 + 2y2 = 2x − 4y + (3) Lời giải: (thienlonghoangde & Huyền Đức) Hệ đã cho trở thành ( p √ 3x2 − 2x − + 2x x2 + − 2(y + 1) y2 + 2y + = ⇐⇒ x2 + 2y2 − 2x + 4y − = Hay (1) (2) p p x2 + − 2(y + 1) y2 + 2y + = x2 + 2y2 − 2x + 4y − q p ⇐⇒ x2 + x x2 + = (y + 1)2 + (y + 1) (y + 1)2 + ath 3x2 − 2x − + 2x √ √ t2 Từ đó ta xét hàm số : f (t) = t + t t + Mà f (t) = 2t + t + + √ > |2t| + 2t > > t2 + Suy f (t) là hàm đồng biến nên ta có x = y + ; Từ hệ thứ hai ta có: 3y + 4y − = ⇒ (x; y) = (−1; −2); 3 Câu Tính tích phân I= Z e ln x − ln2 x x(x + ln x) dx Lời giải: (thienlonghoangde) Z1 I= Đến đây ta dễ dàng suy : dx ; x = et Khi đó x bo xm Đặt t = ln x Suy t = x = e, t = x = Và dt = 2t − t dt = et + t Z1 2t − t − et + et dt = et + t Z1 t e + 2t et + t − dt I = (ln(et + t ) − t) = ln(e + 1) − :// Câu Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, √ SA = a, SB = a Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách hai đường thẳng SB và AC theo a Lời giải: (thiencuong_96) √ Ta có : SA = a, SB = 3a, AB = 2a nên tam giác SAB vuông S Có mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD) và AB = (SAB) ∩ (ABCD) √ a Vậy từ mặt phẳng kẻ AH vuông với AB suy AH ⊥ (ABCD) Dể dàng tính SH = √ 3a VABCD = SH.SABCD = 3 htt p Trong mặt phẳng ABCD kẻ Bx//AC cắt AD E ⇒ ACk(SBE), d(AC; SB) = d(AC; (SBE)) = d(A; (SBE)) d(A; (SBE)) AB Có AH ∩ (SBE) = B ⇒ = = Trong mặt phẳng (ABE) kẻ HQ ⊥ EB, AT ⊥ EB d(H; (SBE)) HB Có EB ⊥ HQ, EB ⊥ SH ⇒ EB ⊥ (SAQ) Kẻ HP ⊥ SQ suy HP = d(H;√(SEB)) √ √ HQ BH 3 2a 5a Mặt khác dể dàng có AT = BD = a Và = = ⇒ HQ = Suy HP = AT BA 4√ 10 √ 5a 5a Thế lên trên suy d(A; SBE) = Vậy d(AC; SB) = 5 p √ Câu Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x − y2 + y − x2 Lời giải: (Ntspbc) p √ √ Đầu tiên ta chứng minh BĐT: a2 + b2 + c2 + d ≥ (a + c)2 + (b + d)2 , ∀ a, b, c, d ∈ R p Bằng cách bình phương vế và thu gọn, ta đưa BĐT tương đương là: (a2 + b2 )(c2 + d ) ≥ ac + bd p √ √ BĐT đúng theo BĐT Bunhiacovsky Vậy a2 + b2 + c2 + d ≥ (a + c)2 + (b + d)2 Đẳng thức xảy a = kc và b = kd (k ∈ R) (4) ath Trở lại bài Toán Sử dụng điều kiện và BĐT trên ta có: p p P = x − y2 + y − x2 q q = x (x + y)2 − y2 + y (x + y)2 − x2 p p = x x2 + 2xy + y y2 + 2yx q q p p = (x2 )2 + (x 2xy)2 + (y2 )2 + (y 2xy)2 q ≥ (x2 + y2 )2 + 2xy(x + y)2 Mà (x2 + y2 )2 + 2xy(x + y)2 = (x2 + y2 )2 + 2xy = (x2 + y2 )2 + (x + y)2 − (x2 + y2 ) 3 2 = x +y − + ≥ 4 Nên ta suy r P≥ √ 3 = Đặt t = xy.Ta có < t ≤ bo xm √ Đẳng thức xảy x = y = Vậy GTNN P là x = y = 2 Lời giải: (thienlonghoangde) Ta có : q P2 = x2 (1 − y2 ) + y2 (1 − x2 ) + 2xy (1 − x2 )(1 − y2 ) q = x2 + y2 − 2x2 y2 + 2xy (x2 y2 + 2xy) q = − 2xy − 2x2 y2 + 2xy (x2 y2 + 2xy) :// p f (t) = − 2t + 2t + 2t t + 2t p 2t(t + 1) f (t) = −2 + 4t + t + 2t + √ < với t thoả < t ≤ t + 2t √ 3 Suy : f (t) là hàm nghịch biến f (t) ≥ f ( ) = Suy P ≥ 4 Lời giải: (cokeu14) Ta có : x + y = ⇒ x; y ∈ (0; 1) Do đó ta có : q p p p P = x − (1 − x)2 + (1 − x) − x2 = x 2x − x2 + (1 − x) − x2 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) √ Ta khảo sát hàm số P(x), Có P0 (x) = √ − 2x − x − x2 htt p 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) √ P0 (x) = ⇔ √ − =0 2x − x − x2 3x − 2x2 (1 − x)(1 + 2x) √ ⇔√ = 2x − x − x2 p p ⇔(3x − 2x ) (1 − x)(1 + x) = (1 − x)(1 + 2x) x(2 − x) p p ⇔(3 − 2x) x(1 + x) = (1 + 2x) (1 − x)(2 − x) ⇔x = √ Lập bảng biến thiên suy Pmin = đạt và x = y = 2 Câu 6a.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + (y − 3)2 = 25 có tâm I Viết phương trình đường thẳng d qua M(6; 1) và cắt đường tròn (C) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 10 (5) Lời giải: (thienlonghoangde) Ta có : (C) có I(0; 3) có R = Phương trình đường thẳng d : a(x − 6) + b(y − 1) = với a2 + b2 > √ 1 | − 6a + 2b| = x Mà diện tích tam giác IAB = 10 = d(I; d).AB = d(I; d).2 25 − x2 Ta có: d(I; d) = √ 2 a2 + b2 √ Theo giả thiết ta có SI AB = 10 suy ra: x 25 − x2 = 10 Ta tìm hai giá trị x2 = hay x2 = 20 Với x2 = ta Với x2 = 20 ta x+2 y+1 z−3 x−2 y+3 = = , d2 : = = −2 2 ath Câu 6a.b Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : z−1 Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 , d2 và có bán kính nhỏ Lời giải: (thienlonghoangde) Ta viết lại viết trình hai đường thằng d1 ; d2 dạng tham số sau: x = −2 + 2a x = 2+b (d1 ) y = −1 + a ; (d2 ) y = −3 + 2b z = −3 + 2a z = + 2b bo xm Gọi A, B là hai điểm thuộc d1 ; d2 A(−2 − 2a; −1 + a; + 2a); B(2 + b; −3 + 2b; + 2b) Theo yêu cầu bài toán,mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhận đoạn vuông góc chung d1 ; d2 làm đường kính − → Vậy ta cần tìm hai điểm A, B là bài toán giải Ta có :AB(4 + 2a + b; 2b − a − 2; 2b − 2a − 2) → − → − Gọi vecto phương d1 ; d2 là d1 (−2; 1; 2); d2 (1; 2; 2) − − →→ AB d1 = ⇔ −2(4 + 2a + b) + 2b − a − + 4b − 4a − = ⇔ −9a + 4b = 14 − − →→ AB d2 = ⇔ + 2a + b + 4b − 2a − + 4b − 4a − = ⇔ −4a + 9b = Từ đó, ta có hệ sau : ( −9a + 4b = 14 a = −22/13 ⇔ −4a + 9b = b = −4/13 18 −35 −5 22 −67 Ta toạ độ hai điểm A, B là :A ; ; ;B ; ; 13 13 13 13 13 13 20 −41 AB2 285 Gọi I là trung điểm AB ta có :I ; ; Gọi R là bán kính mặt cầu (S), ta có : R2 = = 13 13 169 Vậy ta có phương trình mặt cầu (S) nhận I làm tâm, R làm bán kính là : 20 41 2 x− + y+ +z = 13 13 :// ( Câu 7a Tìm hệ số số hạng chứa x2 n khai triển nhị thức Niu-tơn x + , biết: x − 3A2 = 52(n − 1) 3Cn+1 n htt p Lời giải: (thienlonghoangde) Từ đẳng thức đề bài cho dễ dàng suy : (n + 1)! 3n! − = 52(n − 1) 3!.(n − 2)! (n − 2)! Tương đương với: n(n + 1) − 6n = 104 Từ đây suy n = 13 Với n = 13 thì ta có biểu thức đề bài trở thành tìm hệ số x2 13 khai triển x + x Ta viết lại biểu thức 13 13 k 2(13−k) k −k = ∑ C13 x x x2 + x k=0 Do hệ số cần tìm chứa x2 nên 2(13 − k) − k = Vậy k = 8 Do đó hệ số khai triển cần tìm là: 28 C13 (6) Câu 6b.b ath √ Câu 6b.a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy viết phương trình elip (E) qua M(2 3; 1) và phương trình tiếp tuyến √ M là 3x + 2y − = Lời giải: (thienlonghoangde) √ x y2 Gọi phương trình (E) : + = (E) qua M(2 3; 1) ⇒ a2 + 12b2 − a2 b2 = (1) a b √ 3x y Phương trình tiếp tuyến theo phương pháp phân đôi toạ độ qua M là : + = (2) a b √ Theo giả thiết thì phương trình tiếp tuyến M là 3x + 2y − = (3) a2 a2 b2 Ta đồng hai hệ số phương trình tiếp tuyến lạo sau: 2b2 = = x2 y2 2 Kết hợp với (1) ta có a = 4; b = 16 Vậy phương trình (E) là : + = 16 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : x+3 y−1 z+3 x−1 y+1 = = , d2 : = = 1 −2 bo xm z−3 và mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z + = Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d1 , tiếp xúc với đường thẳng d2 và mặt phẳng (P) Lời giải: (thienlonghoangde & hungchng) − Gọi I là tâm mặt cầu (S) (d1 ) có vecto phương là → n1 = (2; 1; 1) và I ∈ (d1 ) nên I(2t − 3;t + 1;t − 3) với t ∈ R |2t − + 2(t + 1) + 2(t − 3) + 7| √ Ta có khoảng cách từ I đến (P) là : d[I; (P)] = = |2t| + 22 + 22 − → − →− − (d2 ) qua điểm M(1; −1; 3) và có vecto phương là → n2 = (2; −2; 1) IM = (4 − 2t; −2 −t; −t), [IM; → n2 ] = (10 − 3t; 8; 6t − 4) − →− p √ [IM; → n2 ] (10 − 3t)2 + 64 + (6t − 4)2 45t − 108t + 180 p d[I; (d2 )] = = = → − | n2 | 22 + (−2)2 + d[I; (P)] = d[I; (d2 )] ⇔ 45t − 108t + 180 = 36t ⇔ t − 12t + 20 = ⇔ t = t = 10 Thay vào ta tìm hai phương trình mặt cầu (S) là : (x − 1)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 16 (x − 17)2 + (y − 11)2 + (z − 7)2 = 400 :// Câu 7b Giải phương trình: log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7) Lời giải: (thienlonghoangde & thiencuong_96) Ta đặt log3 (2x − 3) = log5 (3x + 7) = t Từ đó ta có hệ : ( 3t = 2x − 5t = 3x + (1) (2) Nhân vào (1) và nhân vào (2) và sau đó lấy hai pt trừ vế theo vế ta được: 3.3t + 23 = 2.5t ⇔ t 3 t 23 t 23 + t =2⇔ + =1 5 5 htt p 3 t 23 t 3 t 23 t + f (t) = ln + ln < ∀t Xét f (t) = 5 5 5 Vậy hàm số luôn nghịch biến Nhận thấy f (2) = Vậy t = là nghiệm phương trình trên Suy x = 6 (7)