Chng 3 : iu khin bn vng Hc kì 1 nm hc 2005-2006 Chng 3 IU KHIN BN VNG 3.1 Gii thiu 3.1.1 Khái nim điu khin bn vng H thng điu khin bn vng làm cho cht lng ca sn phm n đnh, không ph thuc vào s thay đi ca đi tng cng nh ca nhiu tác đng lên h thng.Mc đích ca điu khin bn vng là cht lng vòng kín đc duy trì mc dù có nhng s thay đi trong đi tng. P 0 :Mô hình chun (mô hình danh đnh) Δ P :Mô hình thc t vi sai lch Δ so vi mô hình chun Hình 3.1 : Mô hình điu khin bn vng Cho tp mô hình có sai s Δ P và mt tp các ch tiêu cht lng, gi s P 0 ∈ Δ P là mô hình danh đnh dùng đ thit k b điu khin K.H thng hi tip vòng kín đc gi là có tính : - n đnh danh đnh: nu K n đnh ni vi mô hình danh đnh P 0 - n đnh bn vng: nu K n đnh ni vi mi mô hình thuc Δ P - Cht lng danh đnh: nu các mc tiêu cht lng đc tha đi vi mô hình danh đnh P 0 PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 2 http://www.khvt.com - Cht lng bn vng: nu các mc tiêu cht lng đc tha đi vi mi mô hình thuc Δ P Mc tiêu bài toán n đnh bn vng là tìm b điu khin không ch n đnh mô hình danh đnh P 0 mà còn n đnh mt tp các mô hình có sai s Δ P 3.1.2 Chun ca tín hiu 3.1.2.1 Khái nim chun Trong điu khin nói riêng cng nh trong các công vic có liên quan đn tín hiu nói chung,thông thng ta không làm vic ch riêng vi mt tín hiu hoc mt vài tín hiu đin hình mà ngc li phi làm vic vi mt tp gm rt nhiu các tín hiu khác nhau. Khi phi làm vic vi nhiu tín hiu khác nhau nh vy chc chn ta s gp bài toán so sánh các tín hiu đ chn lc ra đc nhng tín hiu phù hp cho công vic. Các khái nim nh tín hiu x 1 (t) tt hn tín hiu x 2 (t) ch thc s có ngha nu nh chúng cùng đc chiu theo mt tiêu chun so sánh nào đó. Cng nh vy nu ta khng đnh rng x 1 (t) ln hn x 2 (t) thì phi ch rõ phép so sánh ln hn đó đc hiu theo ngha nào, x 1 (t) có giá tr cc đi ln hn , có nng lng ln hn hay x 1 (t) cha nhiu thông tin hn x 2 (t)… Nói mt cách khác ,trc khi so sánh x 1 (t) vi x 2 (t) chúng ta phi gn cho mi mt tín hiu mt giá tr đánh giá tín hiu theo tiêu chun so sánh đc la chn . nh ngha: Cho mt tín hiu x(t) và mt ánh x x(t) ||x(t)|| ∈ R + chuyn x(t) thành mt s thc dng ||x(t)||.S thc dng này s đc gi là chun ca x(t) nu nó tha mãn: a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và ch khi x(t) =0 (3.1) b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (3.2) c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và Ra ∈∀ . (3.3) 3.1.2.2 Mt s chun thng dùng trong điu khin cho mt tín hiu x(t): - Chun bc 1: dttxtx ∫ ∞ ∞− = |)(|||)(|| 1 (3.4) - Chun bc 2: ∫ ∞ ∞− = dttxtx 2 2 |)(|||)(|| . (3.5) Chng 3 : iu khin bn vng Trang 3 Bình phng chun bc hai chính là giá tr đo nng lng ca tín hiu x(t). -Chun bc p: p p p dttxtx ∫ ∞ ∞− = |)(|||)(|| vi p ∈ N (3.6) - Chun vô cùng: |)(|sup||)(|| txtx t = ∞ (3.7) đây là biên đ hay đnh ca tín hiu Khái nim chun trong đnh ngha trên không b gii hn là ch cho mt tín hiu x(t) mà còn đc áp dng đc cho c vector tín hiu gm nhiu phn t và mi phn t li là mt tín hiu. Xét mt vector tín hiu: x(t) = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ )( )( 1 tx tx n B - Chun 1 ca vector x: ∑ = = n i i xx 1 1 (3.8) - Chun 2 ca vector x: ∑ = = n i i xx 1 2 2 (3.9) - Chun vô cùng ca vector x: ni i xx , .,2,1 max = ∞ = (3.10) 3.1.2.3 Quan h ca chun vi nh Fourier và nh Laplace:  phc v mc đích s dng khái nim chun vào điu khin ,ta cn quan tâm ti mi liên quan gia chun tín hiu x(t) là ||x(t)|| vi nh Fourier X(j ω ) cng nh nh Laplace X(s) ca nó. PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 4 http://www.khvt.com nh lí 3.1: (Parseval) Chun bc hai ca mt tín hiu x(t) và nh Fourier X(j ω ) ca nó có quan h : ωω π djXdttxtx 222 |)(| 2 1 |)(|||)(|| 2 ∫∫ ∞ ∞− ∞ ∞− == (3.11) Cho tín hiu nhân qu causal x(t). Gi X(s) là nh Laplace ca nó .Gi s rng X(s) có dng thc -hu t vi bc ca đa thc t s không ln hn bc đa thc mu s ,tc là: n n m m sasaa sbsbb sA sB sX +++ +++ == . . )( )( )( 10 10 vi m < n (3.12) nh lí 3.2: Xét tín hiu nhân qu causal x(t) có X(s) dng (3.12) . chun bc 1 ca x(t) là mt s hu hn ||x(t)|| 1 = K < ∞ thì điu kin cn và đ là tt c các đim cc ca X(s) phi nm bên trái trc o (có phn thc âm) . 3.1.3 i s ma trn 3.1.3.1 Mt s ma trn thng gp: - Mt ma trn A=(a ij ) có s hàng bng s ct đc gi là ma trn vuông. ng chéo ni các phn t a ii trong ma trn vuông đc gi là đng chéo chính .ng chéo còn li đc gi là đng chéo ph. A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nnnn n n aaa aaa aaa A BBBB A A 21 22221 11211 (3.13) - Mt ma trn vuông A=(a ij ) có a ij = 0 khi i ≠ j ,tc là các phn t không nm trên đng chéo chính đu bng 0, đc gi là ma trn đng chéo. Ma trn đng chéo đc ký hiu bi: A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn a a a A BBBB A A 00 00 00 22 11 = diag(a ij ) (3.14) Chng 3 : iu khin bn vng Trang 5 - Ma trn đng chéo I = diag(1) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 100 010 001 A BBBB A A gi là ma trn đn v. - Ma trn vuông A=(a ij ) có a ij = 0 khi i > j (hoc i < j) đc gi là ma trn tam giác + Ma trn tam giác di A= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nnnn aaa aa a A BBBB A A 21 2221 11 0 00 (3.15) + Ma trn tam giác trên A= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ nn n n a aa aaa A BBBB A A 00 0 222 11211 (3.16) 3.1.3.2 Các phép tính v ma trn: - Phép cng / tr: Cho hai ma trn A=(a ij ) và B=(b ij ) cùng có m hàng và n ct .Tng hay hiu A ± B = C =(c ij ) ca chúng đc đnh ngha là mt ma trn cng có m hàng và n ct vi các phn t c ij = a ij + b ij i=1,2,… ,m và j=1,2,… ,n. - Phép nhân vi s thc: Cho ma trn A=(a ij ) có m hàng và n ct và mt s vô hng thc(phc) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (b ij ) đc hiu là ma trn cng có m hàng và n ct vi các phn t B ij = x.a ij i=1,2,….m và j=1,2,… ,n - Phép chuyn v: Ma trn chuyn v ca ma trn A=(a ij ) vi m hàng và n ct là ma trn A T = (a ji ) có n hàng và m ct đc to t ma trn A qua vic hoán chuyn hàng thành ct và ngc li ct thành hàng. - Phép nhân ma trn: Cho ma trn A=(a ik ) có m hàng và p ct và ma trn B=(b kj ) có p hàng và n ct ,tc là : PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 6 http://www.khvt.com + A=(a ik ) i=1,2, ,m và k=1,2,….,p + B=(b kj ) k=1,2,….,p và j=1,2,… ,n Tích AB = C =(c ij ) ca chúng là mt ma trn có m hàng và n ct vi các phn t C ij = ∑ = p k kjik ba 1 Mt ma trn vuông A nn R × ∈ đc gi là ma trn trc giao nu A T A=AA T =I 3.1.3.3 Hng ca ma trn: Cho n vector v i i=1,2,…,n Chúng s đc gi là đc lp tuyn tính nu đng thc a 1 v 1 +a 2 v 2 +…….+a n v n =0 trong đó a i là nhng s thc (hoc phc) s đúng khi và ch khi a 1 = a 2 = … =a n = 0 Xét mt ma trn A=(a ij ) bt kì có m hàng và n ct .Nu trong s m vector hàng có nhiu nht p ≤ m vector đc lp tuyn tính và trong s n vector ct có nhiu nht q ≤ n vector đc lp tuyn tính thì hng ma trn đc hiu là: Rank(A) = min{p,q} Mt ma trn vuông A kiu (n ×n) s đc gi là không suy bin nu Rank(A)=n .Ngc li nu Rank(A) <n thì A đc nói là ma trn suy bin Hng ma trn có các tính cht sau: - Rank(A) = min{p,q} (3.17) - Rank(AB) ≤ rank(A) và rank(AB) ≤ rank(B) (3.18) - Rank(A + B) ≤ rank(A) + rank(B) (3.19) - Nu B không suy bin thì rank(AB) = rank(B) (3.20) 3.1.3.4 Ma trn nghch đo: Cho ma trn A=(a ij ),i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n,trong đó a ij là nhng s thc (hoc phc),nói cách khác A ∈ R m × n (hoc A ∈ C m × n ).Nu tn ti mt ma trn B tha mãn : AB = BA = I (ma trn đn v) (3.21) Thì ma trn B đc gi là ma trn nghch đo ca A và ký hiu là B = A -1 . Chng 3 : iu khin bn vng Trang 7 Do phi tn ti c hai phép nhân AA -1 và A -1 A cho ra kt qu có cùng kiu nên ma trn A phi là mt ma trn vuông,tc là phi có m = n.Hn na do det(I) = 1 ≠ 0 nên: det(A)det(A -1 ) ≠ 0 => det(A) ≠ 0 và det(A -1 ) ≠ 0. (3.22) Vy A phi là ma trn không suy bin. Ma trn nghch đo A -1 ca A có tính cht sau: - Ma trn nghch đo A -1 ca A là duy nht (3.23) - Tp hp tt c các ma trn vuông cùng kiu và không suy bin cùng vi phép nhân ma trn to thành mt nhóm (không giao hoán). (3.24) - Nghch đo ma trn kiu (2 ×2): ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − ac bd A dc ba A )det( 1 1 (3.25) - (AB) -1 = B -1 A -1 (3.26) - (A -1 ) T = (A T ) -1 (3.27) - Nu A = diag(a i ) và không suy bin thì A -1 = diag ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ i a 1 (3.28) - A -1 = )det(A A adj (3.29) trong đó A adj là ma trn có các phn t a  ij = (-1) i+j det(A ij ) vi A ij là ma trn thu đc t A bng cách b đi hàng th j và nh ct th i. - Cho ma trn A ∈ R n × n không suy bin . Nu U ∈ R n × m và V ∈ R n × m là hai ma trn làm cho (I+V T A -1 U) cng không suy bin thì (A+UV T ) -1 = A -1 – A -1 U(I+V T A -1 U) -1 V T A -1 (3.30) - Cho ma trn vuông A = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 43 21 AA AA không suy bin,trong đó A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 cng là các ma trn. Nu A 1 không suy bin và B = A 4 – A 3 A 1 -1 A 2 cng không suy bin thì ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − −+ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − − − −− −− − − − 1 1 13 1 1 2 1 1 1 13 1 2 1 1 1 1 1 43 21 1 BAAB BAAAABAAA AA AA A (3.31) PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 8 http://www.khvt.com Nu A 4 không suy bin và C = A 1 – A 2 A 4 -1 A 3 cng không suy bin thì ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − −− − − − −− − − 1 32 1 3 1 4 1 4 1 3 1 4 1 42 11 1 43 21 1 AACAAAACAA AACC AA AA A (3.32) 3.1.3.5 Vt ca ma trn: Cho ma trn vuông A=(a ij ) ,i,j=1,2,……,n kiu (nxn).Vt ca A đc hiu là tng giá tr các phn t trên đng chéo chính ca A và đc ký hiu bng trace(A): trace= ∑ = m i ii a 1 (3.33) Vt ca ma trn có các tính cht: a. trace(AB) = trace(BA) (3.34) b. trace(S -1 AS) = trace(A) vi S là ma trn không suy bin bt kì (3.35) 3.1.3.6 Giá tr riêng và vector riêng: S thc λ đc gi là giá tr riêng và vector x đc gi là vector riêng bên phi ng vi giá tr riêng λ ca A tha mãn: Ax = λ x ∀ x (3.36) ⇔ (A - λ I)x = 0 ∀ x (3.37) Giá tr riêng và vector riêng ca ma trn A có nhng tính cht sau: a. Hai ma trn tng đng A và S -1 AS luôn cùng giá tr riêng, nói cách khác giá tr riêng ca ma trn bt bin vi phép bin đi tng đng: det(A- λ I)=det(S -1 AS- λ I) (3.38) b. Các giá tr riêng ca ma trn bt bin vi phép chuyn v, tc là: det(A- λ I)=det(A T - λ I) (3.39) c. Nu A không suy bin thì AB và BA có cùng các giá tr riêng ,tc là: det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (3.40) d. Nu A là ma trn đi xng (A T =A) thì các vector riêng ng vi nhng giá tr riêng khác nhau s trc giao vi nhau Trong Matlab ,s dng hàm eig(A) đ tìm ma trn riêng và vector riêng. Chng 3 : iu khin bn vng Trang 9 3.1.3.7 Tính toán ma trn: Cho ma trn X = (x ij ) ∈ C m × n là mt ma trn thc (hoc phc) và F(X) ∈ C là mt vô hng thc hoc phc ca X .o hàm ca F(X) đi vi X đc đnh ngha ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ = ∂ ∂ )()( XF x XF X ij (3.41) Cho A và B là nhng ma trn phc vi không gian tng thích .Mt s công thc đo hàm : () () () 1 (3.42) () (3.43) 2 ( ) (3.44) () (3.45) ( ) (3.46) TT kkT TT TT T Trace AXB A B X Trace X k X X Trace XBX XB B B X XAX AX AX X Trace AX B BA X − ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ == ∂ ∂ =+ ∂ ∂ = ∂ 3.1.3.8 Chun ca ma trn: Ngi ta cn đn chun ca ma trn là nhm phc v vic kho sát tính gii tích ca nó.Có nhiu chun khác nhau cho mt ma trn A=(a ij ) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. Nhng chun thông thng đc s dng: - Chun 1 ca ma trn A ∑ = ≤≤ = m i ij nj aA 1 1 1 max (3.47) - Chun 2 ca ma trn A )(max * 1 2 AAA i ni λ ≤≤ = (3.48) - Chun vô cùng ca ma trn A PGS.TS Nguyn Th Phng Hà Trang 10 http://www.khvt.com ∑ = ≤≤ ∞ = n j ij mi aA 1 1 max (3.49) - Chun Euclide ca ma trn A (chun Frobenius) )( 2 AAtraceaA T ij ij F == ∑∑ (3.50) vi * A là ma trn chuyn v và ly liên hip. )( * AA i λ là tr riêng ca ma trn AA * là mt s thc không âm. 3.1.4 Tr suy bin ca ma trn – đ li chính(Principal gain) Tr suy bin ca ma trn A(m x l) đc ký hiu là )(A i σ đc đnh ngha nh sau: kiAAA ii , .2,1)()( * == λσ (3.51) vi },min{ lmk = . Nu chúng ta biu din ma trn A di dng A(s) và đt ω js = )0( ∞<≤ ω , thì tr suy bin ca )( ω jA là mt hàm ca ω và đc gi là đ li chính ca A(s).  đây chúng ta gi s rng i σ đc sp xp theo th t sao cho 1+ ≥ ii σσ . Nh vy, 1 σ là tr suy bin ln nht và k σ là tr suy bin nh nht. Ký hiu σ là tr suy bin ln nht và σ là tr suy bin nh nht. Ta có: )(max)(max)( * AAAA ii λσσ == 2 A= (3.52) vi 2 2 2 sup x Ax A = .  li ca h đa bin nm gia đ li chính ln nht và nh nht. Trong Matlab tìm tr suy bin ca ma trn A dùng lnh svd(A) Ví d: Cho ma trn A: