CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG 1.1 1.2 1.3 1.4 Nội dung Phân loại tín hiệu Các mơ hình phép tính tín hiệu Phân loại hệ thống Mơ hình hệ thống: Mơ tả quan hệ ngõ vào – ngõ hệ thống Tài liệu tham khảo: B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Chương trình bày số đặc tính tín hiệu, đồng thời giới thiệu ý niệm giải thích định tính phương thức hoạt động hệ thống, tạo sở cho phần cịn lại tài liệu Tín hiệu Tín hiệu tập thơng tin hay liệu, Thí dụ tín hiệu điện thoại hay truyền hình, doanh số bán cơng ty, hay số giá chứng khốn hàng ngày (thí dụ số Dow Jones) Các thí dụ cho thấy tín hiệu hàm theo biến thời gian độc lập, lúc Thí dụ điện tích phân bố vật tín hiệu điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, thời gian Tài liệu quan tâm chủ yếu đến tín hiệu phụ thuộc theo thời gian Tuy nhiên, phương thức áp dụng cho dạng biến độc lập khác Hệ thống Hệ thống xử lý tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thơng tin từ tín hiệu Thí dụ, người lính phịng khơng cần thơng tín từ mục tiêu di động đối phương mà radar theo bám Thơng qua xử lý tín hiệu radar (ngõ vào), ước lượng vị trí tới mục tiêu Như thế, hệ thống thực thể (entity) nhằm xử lý tập tín hiệu (ngõ vào) để tạo tập tín hiệu khác (ngõ ra) Hệ thống tạo lập từ thiết bị vật lý, hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực (phần cứng), thuật tốn để tính tốn ngõ có tín hiệu ngõ vào (phần mềm) 1.1 Kích thước tín hiệu (đo lường tín hiệu) Kích thước thực thể số nhằm thị độ lớn hay cường độ thực thể Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian Như thế, làm cách để đo lường tín hiệu tồn khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng số nhằm thị kích thước hay cường độ tín hiệu? Đo lường khơng xem xét tín hiệu biên độ, mà cịn xem xét đến thời gian tồn Thí dụ ta có ý định dùng số V để đo kích thước người, ta khơng xem xét vòng ngực mà phải xem thêm chiều cao Nếu ta dùng giả thiết hình dạng người hình khối trịn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) đo lường hợp lý kích thước người có chiều cao H thể tích V, cho theo cơng thức: H V =π ∫ r ( h) dh Năng lượng tín hiệu Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích tín hiệu f(t) phép đo kích thước, phần khơng dùng biên độ, mà cịn quan tâm đến thời gian tồn tín hiệu Tuy nhiên, phương pháp cho kết đo lường sai f(t) tín hiệu lớn, tạo vùng diện tích có giá trị dương giá trị âm, có khả triệt tiêu nhau, làm cho phép đo có giá trị nhỏ giá trị thực Vấn đề hiệu chỉnh cách định nghĩa kích thước tín hiệu vùng điện tích f2(t), vùng điện tích ln có giá trị dương Gọi đo lường lượng tín hiệu Ef, định nghĩa (cho tín hiệu thực) là: + ∞ E f =∫ f (t ) dt (1.1) − ∞ Khi f(t) tín hiệu phức, ta có cơng thức tổng quát: + ∞ E f =∫ f (t ) dt (1.2) − ∞ Tuy cịn đo lường tín hiệu nhiều cách khác, thí dụ vùng điện tích f (t ) , phép đo lượng với khả biểu diễn dạng toán học, cịn có ý nghĩa thị lượng tín hiệu (sẻ minh họa phần sau) Cơng suất tín hiệu Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường kích thước tín hiệu, Điều kiện ∞ cần để lượng hữu hạn biên độ tín hiệu → t → (xem hình 1.1a), khơng tích phân phương trình (1.1) khơng hội tụ ∞ Trong số trường hợp, thí dụ biên độ f(t) không → t → , (hình 1.1b), lượng tín hiệu vơ hạn Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệu theo trị trung bình theo thời gian lượng, tồn Đo lường gọi công suất tín hiệu Định nghĩa cơng suất Pf tín hiệu f(t) là: T→ T ∞ Pf = lim (1.3) Khi f(t) tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát: T /2 ∫ −T / f (t )dt T→ T ∞ Pf = lim T /2 ∫ −T / f (t ) dt (1.4) Ta thấy cơng suất tín hiệu Pf trung bình theo thời gian bình phương biên độ tín hiệu, tức trị bình phương trung bình f(t) Hơn nữa, bình phương Pf trị rms (root mean square) f(t) Trung bình tín hiệu khỗng thời gian dài vơ hạn tồn tín hiệu tuần hồn hay statistical regularity Khi khơng thỏa điều kiện khơng tồn ∞ trị trung bình Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn t → , không tồn công suất lượng tín hiệu Nhận xét Năng lượng tín hiệu định nghĩa từ phương trình (1.1) (1.2) không thị lượng thực tín hiệu lượng tín hiệu khơng phụ thuộc vào tín hiệu mà cịn phụ thuộc vào tải tín hiệu Năng lượng biểu diễn lượng tiêu tán (dissipated) tải chuẩn hóa với giá trị ohm áp điện áp f(t) vào hai đầu trở (hay cho dòng f(t) qua trở ohm này) Trường hợp đo lường “năng lượng” thị khả năng lượng không lượng thực Như thế, ý niệm bảo tồn lượng khơng dùng cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” Lý luận tương tự cho trường hợp “cơng suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) (1.4) Các đo lường không thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, ý niệm hữu ích nhiều ứng dụng Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ e(t) = f(t) –g(t) Năng lượng (hay cơng suất) e(t) thị thích hợp tính phép xấp xỉ, nhằm cung cấp cho ta đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp phép xấp xỉ hệ thống thông tin, truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch tín hiệu khơng mong muốn (nhiễu) Chất lượng tín hiệu thu được đánh giá thơng qua kích thước tương đối tín hiệu mong muốn tín hiệu khơng mong muốn (nhiễu) Trường hợp này, tỉ số cơng suất tín hiệu mang tin tức cơng suất nhiễu (tỉ số tín hiệu nhiễu) thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu Đơn vị đo lượng công suất: Phương trình (1.1) (1.2) chưa có thứ ngun đúng, ta không dùng ý niệm lượng theo nghĩa qui ước, mà dùng thị kích thước tín hiệu Tương tự cho trường hợp công suất (1.3) (1.4) Trường hợp này, đơn vị lượng công suất định nghĩa theo chất tín hiệu f(t) Nếu f(t) tín hiệu điện áp, lượng Ef có thứ ngun V2s (vơn bình phương-giây) cơng suất Pf có thứ ngun V2 (vơn bình phương) Khi f(t) tín hiệu dịng điện, lượng Ef có thứ ngun A2s (vơn bình phương-giây) cơng suất Pf có thứ ngun A2 (ampe bình phương) ■ Thí dụ 1.1: Xác định đo lường thích hợp cho tín hiệu hình 1.2 ∞ Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu → t → , đo lường thích hợp cho tín hiệu lượng Ef, cho bởi: ∞ Ef =∫ −∞ ∞ f (t ) dt =∫ ( 2) dt + ∫ 4e −t dt =4 + = − ∞ Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu khơng → t → Đồng thời, tín hiệu tuần hồn nên tồn cơng suất Dùng cơng thức (1.3) xác định cơng suất Đơn giản hóa phép tính quan sát thấy tín hiệu tuần hồn lập lại chu kỳ giây (trong trường hợp này) Vậy: Pf = ∫ − f (t ) dt = ∫ − t (t ) dt = Nhắc lại: công suất tín hiệu bình phương trị rms Do đó, trị rms tín hiệu / ■ ■ Thí dụ 1.2: Xác định cơng suất trị rms của: f (t ) = C cos(ω0t +θ ) , (b) f (t ) = C1 cos(ω1t + θ1 ) + C cos(ω2 t + θ2 ) (ω1 ≠ ω2 ) , (a) (c) f (t ) = De jω0t (a) Tín hiệu tuần hồn, chu kỳ T0 = 2π / ω0 Đo lường thích hợp cơng suất Tín hiệu tuần hồn, nên cơng suất trung bình lượng chu kỳ T0 = 2π / ω0 Tuy nhiên, để minh họa, ta giải theo cách lấy trung bình khoảng thời gian vơ hạn, phương trình (1.3) T /2 C2 T /2 C cos (ω0 t + θ ) dt = lim [1 + cos(2ω0t + 2θ )]dt − − T →∞ T ∫ T / T →∞ 2T ∫ T / C2 T /2 C2 T /2 = lim dt + lim cos(2ω0 t + 2θ )dt − − T → 2T ∫ T / ∞ T → 2T ∫ T / ∞ Thừa số vế phải C / Hơn nữa, thừa số thứ hai triệt tiêu tích phân Pf = lim thừa số phần diện tích tín hiệu sin khoãng thời gian lớn T T → ∞ Phần diện tích với phần diện tích bán kỳ phần diện tích dương âm tín hiệu sin triệt tiêu Thừa số thứ hai phần diện tích nhân với C / 2T với T → ∞ Rõ ràng, thừa số zêrô, và: Pf = C2 (1.5a) (b) Trong chương 4, ta chứng minh tổng hai sin tuần hồn hay khơng tuần hồn, điều tùy thuộc vào tỉ số ω1 / ω2 hữu tỉ hay không, Do đó, chưa xác định chu kỳ tín hiệu Như thế, xác định công suất dùng phép lấy trung bình lượng T giây, với T → ∞ Vậy: T /2 [C1 cos(ω1t + θ1 ) + C cos(ω2t + θ2 )]2 dt − T ∫T /2 T /2 T /2 = lim ∫ [C12 cos (ω1t + θ1 ) + lim ∫ [C2 cos (ω2t + θ2 ) + T →∞ T −T / T → T −T / ∞ Pf = lim T →∞ 2C1C2 T / cos(ω1t + θ1 ) cos(ω2t + θ )dt T →∞ T ∫−T / Tích phân thứ thứ hai vế phải cơng suất hai tín hiệu sin, có giá trị C12 / C2 / tính tốn phần (a) Tương tự phần (a), ta thấy thừa số thứ ba triệt tiêu, sau cùng: C2 C2 (1.5b) Pf = + 2 2 Và giá trị rms (C12 + C ) / Có thể mở rộng kết để tính tổng nhiều tín hiệu sin có tần số khác Như thế, = lim ∞ f (t ) = ∑C n cos(ωn t +θn ) n= Với tần số ω không giống nhau, n Pf = ∞ ∑Cn n =1 (1.5c) (c) Khi tín hiệu phức, dùng phương trình (1.4) để tính cơng suất: Pf = lim T→ ∞ jω t =1 nên Do e 0 De jωt Pf = D Trị rms D T T /2 ∫ −T / 2 De jω0t dt =D , (1.5d) ■ Nhận xét: Phần (b) chứng minh công suất tổng hai tín hiệu sin tổng cơng suất tín hiệu sin Nhận thấy cơng suất f1 (t ) + f (t ) Pf + Pf Điều không may kết luôn đúng, mà số trường hợp (trực giao) trình bày phần 3.1-3 ∆ Bài tập E 1.1 Chứng tõ lượng tín hiệu hình 1.3a, b, c d 4, 1, 4/3, 4/3 Nhận thấy nhân đơi tín hiệu lượng tăng gấp 4, dời tín hiệu theo thời gian không ảnh hưởng đến lượng Chứng minh cơng suất tín hiệu hình 1.3e 0,4323 Tìm trị rms tín hiệu hình 1.3e? ∇ ∆ Bài tập E 1.2 Làm lại thí dụ 1.2a để tìm cơng suất tín hiệu sin C cos(ω0t +θ ) cách lấy trung bình lượng tín hiệu chu kỳ T0 = 2π / ω0 (thay lấy trung bình khỗng thời gian vô hạn) Chứng tõ công suất tín hiệu f (t ) = C0 C0 trị rms C0 ∇ ∆ Bài tập E 1.3 ω1 = ω2 , Chứng tõ công suất f (t ) = C1 cos(ω1t + θ1 ) + C2 cos(ω2t + θ2 ) [C1 + C2 + 2C1C2 cos(θ1 − θ2 )] / , không giá trị (C12 + C2 ) / ∇ 1.2 Phân loại tín hiệu Có nhiều lớp tín hiệu, tài liệu ta quan tâm đến lớp tín hiệu sau: Tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu analog tín hiệu số Tín hiệu tuần hồn tín hiệu khơng tuần hồn Tín hiệu lượng tín hiệu cơng suất Tín hiệu xác định tín hiệu ngẫu nhiên 1.2-1 Tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc theo thời gian Tín hiệu xác định với giá trị thời t (hình 1.4a) gọi tín hiệu liên tục theo thời gian, tín hiệu xác định với giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) tín hiệu rời rạc theo thời gian Ngõ máy điện thoại máy ghi hình tín hiệu liên tục theo thời gian (ngày nay, điều chưa đúng?!!), giá trị GNP theo q, giá trị bán hàng cơng ty, số chứng khốn ngày tín hiệu rời rạc 1.2-2 Tín hiệu analog tín hiệu số Ý niệm tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm tín hiệu analog Hai ý niệm khác nhau, tương tự ý niệm tín hiệu rời rạc tín hiệu số Tín hiệu có biên độ với biên độ có giá trị tầm liên tục thi gọi tín hiệu analog Điều có nghĩa biên độ tín hiệu analog có vơ hạn giá trị Tín hiệu số, biên độ có số hữu hạn giá trị Tín hiệu dùng máy tính số tín hiệu số có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân) Tín hiệu số có M giá trị tín hiệu bậc M, nhị phân (M=2) trường hợp đặc biêt Cụm từ liên tục theo thời gian rời rạc theo thời gian cho thấy chất tín hiệu theo trục thời gian (trục ngang) Cụm từ analog số, lại cho thấy chất tín hiệu theo trục biên độ (trục dọc) Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian Tín hiệu analog chuyển thành tín hiệu số (qua chuyển đổi ADC) qua trình lượng tử hóa (làm trịn giá tri) giải thích phần 5.1-3 1.2-3 Tín hiệu tuần hồn tín hiệu khơng tuần hồn Tín hiệu f(t) tuần hồn có số số dương T0 f (t ) = f (t + T0 ) với giá trị t (1.6) Trị bé T0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) chu kỳ f(t) Các tín hiệu hình 1.2b 1.3e tín hiệu tuần hồn có chu kỳ 1, Tín hiệu khơng tuần hồn tín hiệu khơng có chu kỳ Các tín hiệu hình 1.2a, 1.3a 1.3b, 1.3c 1.3d tín hiệu khơng tuần hồn Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hồn f(t) khơng thay đổi dời chu kỳ theo thời gian Do đó, tín hiệu tuần hồn phải t = −∞ , không, giả sử T t = , tín hiệu dời theo thời gian chu kỳ f (t +T0 ) t = − f (t + T0 ) khơng giống tín hiệu f (t ) Như tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu t = −∞ liên tục khơng dừng, vẽ hình 1.6 Một đặc tính quan trọng tín hiệu tuần hồn f(t) f(t) tạo từ cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) đoạn f(t) với thời khoảng T0 (chu kỳ) Từ đó, ta tạo f(t) từ đoạn f(t) với thời khoảng chu kỳ cách đặt đoạn tái tạo tín hiệu Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ T0 = Phần tơ đen hình 1.7a cho thấy đoạn tín hiệu f(t) bắt đầu t = −1 có thời khoảng chu kỳ (6 giây) Đoạn này, lặp lại không dừng theo hướng, tạo tín hiệu tuần hồn f(t) Độc giả kiểm nghiệm lại tạo với đoạn f(t) , thời điểm với thời khoảng chu kỳ Tín hiệu t = −∞ tiếp tục không dừng gọi tín hiệu khơng dừng (everlasting signals) Như thế, tín hiệu khơng dừng tồn suốt khỗng − ∞ < t < ∞ Các tín hiệu hình 1.1b 1.2b thí dụ tín hiệu khơng dừng Rõ ràng từ định nghĩa tín hiệu tuần hồn tín hiệu khơng dừng Tín hiệu khơng bắt đầu trước t = 0, gọi tín hiệu nhân Tức là, f(t) tín hiệu nhân nếu: f (t ) = t < (1.7) Các tín hiệu hình 1.3a, b, c hình 1.9a 1.9b tín hiệu nhân Tín hiệu khởi đầu trước t = gọi tín hiệu khơng nhân quả; nhiên tín hiệu khơng nhân hình 1.1 1.2 tín hiệu dừng Một tín hiệu có giá trị zêrô với t ≥ gọi tín hiệu phản nhân (anticausal signal) Nhận xét: Rõ ràng thực tế, ta không tạo tín hiệu khơng dừng thực Như ta lại bận tâm đến chúng thế? Các chương kế cho thấy số tín hiệu (bao gồm tín hiệu khơng dừng sin) khơng tạo thực tế lại hữu ích nghiên cứu tín hiệu hệ thống 1.2-4 Tín hiệu lượng tín hiệu cơng suất Tín hiệu có lượng hữu hạn gọi tín hiệu lượng, tín hiệu có cơng suất hữu hạn khác khơng gọi tín hiệu cơng suất Các tín hiệu hình 1.2a 1.2b tín hiệu lượng tín hiêu cơng suất Nhận thấy cơng suất trung bình theo thời gian lượng Khi lấy trung bình khoảng thời gian vơ hạn, tín hiệu có lượng hữu hạn có cơng suất khơng, tín hiệu có cơng suất hữu hạn có lượng vơ hạn Từ đó, tín hiệu khơng thể vừa tín hiệu cơng suất vừa tín hiệu lượng Nếu tín hiệu cơng suất khơng thể tín hiệu lượng ngược lại Trường hợp tín hiệu hàm dốc thí dụ Nhận xét: Mọi tín hiệu thực tế có lượng hữu hạn nên tín hiệu lượng Một tín hiệu cơng suất cần phải có độ rộng vô cùng; công suất chúng, tức lượng trung bình thời khoảng lớn vơ hạn, khơng tiến giới hạn (khác không) Rõ ràng tạo tín hiệu cơng suất thực thực tế tín hiệu có độ rộng vơ hạn lượng vô hạn Đồng thời, tín hiệu tuần hồn có vùng diện tích f (t ) chu kỳ hữu hạn, nên tín hiệu cơng suất; nhiên, khơng phải tín hiệu cơng suất tín hiệu tuần hoàn ∆ Bài tập E 1.4 Chứng minh hàm mủ khơng dừng e −at khơng thể tín hiệu lượng hay tín hiệu cơng suất với giá trị thực a Tuy nhiên, a số phức, tín hiệu lại tín hiệu cơng suất có cơng suất Pf =1 , bất chấp giá trị a ∇ 1.2-5 Tín hiệu xác định tín hiệu ngẫu nhiên Một tín hiệu tín hiệu xác định biết hồn tồn mơ tả vật lý tín hiệu, dạng mơ tả tốn học hay dạng đồ thị Một tín hiệu mà giá trị khơng thể dự báo cách xác biết thừa số mô tả thống kê, trị trung bình, trung bình bình phương, gọi tín hiệu ngẫu nhiên Giáo trình chưa nghiên cứu tín hiệu dạng 1.3 Một số phép tính lên tín hiệu Phần trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, phép đảo Do biến độc lập tín hiệu biến thời gian, nên phép tính là: phép dời theo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, phép đảo theo thời gian (phép gấp) Tuy nhiên, phương pháp dùng cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần số hay biến cự ly) 1.3-1 Phép dời theo thời gian Xét tín hiệu f(t) (Hình 1.8a) tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b) gọi φ(t ) Thay đổi f(t) thời điểm t thay đổi φ(t ) thời điểm t+T Vậy: Ngoài ra, hệ thống cịn hệ thống ổn định hệ thống không ổn định Các chương tiếp thảo luận kỹ ý niệm ổn định ∆ Bài tập E 1.1 Chứng tõ hệ thống mô tả phương trình y (t ) = f (t ) khơng khả nghịch ∇ 1.8 Mơ hình hệ thống: Mơ tả vào – Như nói, lý thuyết hệ thống liên quan đến nhiều dạng hệ thống, điện, cơ, thủy lực, âm học – điện, hóa học hệ xã hội, kinh tế, sinh học Bước đầu phân tích hệ thống kiến tạo mơ hình hệ thống, biểu thức toán học hay luật nhằm thỏa mãn cách xấp xỉ đặc tính động hệ thống Chương xem xét hệ thống liên tục theo thời gian (Chương thảo luận hệ thống rời rạc theo thời gian.) Để kiến tạo mơ hình hệ thống, ta cần nghiên cứu quan hệ nhiều biến hệ thống Thí dụ hệ thống điện, ta cần xác định mơ hình thỏa quan hệ dịng – áp phần tử, luật Ohm cho điện trở Hơn nữa, ta phải xác định nhiều dạng ràng buộc điện áp dòng điện kết nối nhiều linh kiện điện lại với Các luật kết nối luật Kirchoff điện áp dòng điện Từ phương trình này, ta lượt bớt biến khơng mong muốn, để có quan hệ biến theo biến vào Thí dụ sau trình bày phương pháp tìm quan hệ vào – số hệ tuyến tính – bất biến dạng điện ■ Thí dụ 1.10: Trong mạch RCL hình 1.31, tìm phương trình vào – điện áp vào f (t ) dòng điện ta y(t) Dùng luật Kirchoff điện áp qua vịng kín, ta có: v L (t ) + v R (t ) + vC (t ) = f (t ) (1.47) Áp dụng luật dòng – áp cho thành phần mạch (cuộn dây, trở tụ), ta viết phương trình có dạng: t dy + y (t ) + ∫ y (τ )dτ = f (t ) −∞ dt (1.48) Lấy vi phân hai vế phương trình d2y dy df + + y (t ) = (1.49) dt dt dt Phương trình vi phần quan hệ vào – ngõ y(t) ngõ vào f(t) ■ Thực tế cho thấy nên dùng ý niệm D thay cho d , với dt dy = Dy (t ) dt (1.50) d2y = Dy (t ) dt Và tiếp tục, từ phương trình (1.49) viết lại thành (1.51) ( D + 3D + 2) y (t ) = Df (t ) (1.52) Toán tử vi phân nghịch tốn tử tích phân, nên dùng tốn tử 1/D để biểu diễn tích phân t ∫ −∞ y (τ ) dτ = y (t ) D (1.53) Phương trình (1.48) viết lại thành 2   D + +  y (t ) = f (t ) D  (1.54) Do đó, phương trình (1.48) viết lại thành: ( D + 3D + 2) y (t ) = Df (t ) (1.55) Đây phương trình (1.52) Nhắc lại phương trình (1.55) khơng phải phương trình đại số, D + 3D + thừa số đại số nhân với y(t); mà toán tử tác động lên y(t) Tức ta phải thực phép tính sau lên y(t) Lấy đạo hàm bậc hai lên y(t) cộng với lần đạo hàm bậc y(t) lần y(t) Rõ ràng, đa thức chứa D nhân với y(t) biểu diễn số toán tử vi phân tác động lên y(t) ■ Thí dụ 1.11: Tìm phương trình quan hệ vào – mạch RC nối tiếp hỉnh 1.32 điện áp ngõ vào f(t) ngõ là: (a) dòng điện vòng x(t) (b) điện áp tụ y(t) (a) Phương trình vịng mạch Rx(t ) + (1.56) C t ∫ −∞ x(τ )dτ = f (t ) t 15 x (t ) +5∫ x (τ) dτ = f (t ) Hay (1.57) − ∞ Dùng ý niệm tốn tử, viết lại phương trình 15 x(t ) + x(t ) = f (t ) D (1.58) Nhân hai vế phương trình với D, (tức lấy vi phân hai vế), ta có (15 D + 5) x (t ) = Df (t ) (1.59a) hay 15 dx df + x(t ) = dt dt (1.59b) (b) Hơn nữa, x (t ) = C dy = Dy (t ) dt Thế vào phương trình (1.59a) (3D +1) y (t ) = f (t ) (1.60) dy + y (t ) = f (t ) dt (1.61) Hay ■ ∆ Bài tập E 1.7 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ngõ điện áp qua cuộn dây v L (t ) Hướng dẫn: v L (t ) = LDy (t ) = Dy (t ) Đáp số ( D + 3D + 2)v L (t ) = D f (t ) ∇ ∆ Bài tập E 1.8 Từ mạch hình 1.31, tìm quan hệ vào – ngõ điện áp qua tụ vC (t ) Hướng dẫn: v L (t ) = ■ Thí dụ 1.12: y (t ) = y (t ) CD D Đáp số ( D + 3D + 2)vC (t ) = f (t ) ∇ Hệ chuyển động quay có phương trình chuyển động tương tự trường hợp hệ dịch chuyển Thay lực F, ta có momen xoắn T Thay khối lượng M, ta có momen  x qn tính J, thay gia tốc tuyến tính  , ta có gia tốc góc θ Phương trình chuyển động  (thay F = M ) x cho hệ quay T = Jθ Rất nhiều hệ thống điện chuyển đổi lượng điện thành chuyển động học ngược lại Hảy xem xét thí dụ đơn giản hệ thống điều khiển phần ứng (với dòng điện phần cảm i f không đổi) động DC, vẽ hình 1.33a Gọi vị trí góc quay rơto, momen T (t ) rơto tạo tỉ lệ với dòng điện phần ứng f (t ) , vậy: T (t ) = K T f (t ) (1.62) Với K T số động Momen truyền động tải khí vẽ  hình 1.33b Hệ số nhờn đàn hồi (có hệ số B), tỉ lệ với vận tốc quay θ, tạo momen tiêu hao  Với J momen tính tải (bao gồm rơto động cơ) momen Bθ   T (t ) −Bθ(t ) phải với Jθ(t ) ;   Jθ(t ) =T (t ) −Bθ(t ) (1.63) Nên ( JD + BD)θ (t ) = T (t ) = K T f (t ) (1.64) Có thể viết thành D( D + a )θ (t ) = K1 f (t ) Với a = B / J K1 = K T / J ■ 1.8-1 Mô tả nội mô tả bên hệ thống Từ kiến thức cấu trúc nội hệ thống, ta viết phương trình hệ thống dùng mô tả nội hệ thống Ngược lại, mô tả hệ thống từ ngõ vào đầu hệ thống gọi mơ tả bên ngồi Để hiểu mơ tả bên ngồi, giả sử hệ thống đặt “hộp đen” quan sát ngõ vào đầu mà thơi Để mơ tả đặc tính hệ thống dạng này, ta cần thực số đo lường điểm Thí dụ, ta áp vào tín hiệu biết, thí dụ hàm xung hay hàm bước, đo lường ngõ hệ thống Mơ tả có từ phép đo cho ta mơ tả bên ngồi hệ thống Giả sử mạch hỉnh 1.34a có ngõ vào f(t) ngõ y(t) được gói gọn “hộp đen” truy cập từ đầu vào đầu Trong điều kiện có phương pháp để mơ tả hay đặc trưng hệ thống dùng pháp đo lường bên ngồi Thí dụ ta áp nguồn điện áp biết f(t) đầu vào đo ngõ tương ứng y(t) Từ thơng tin này, ta mơ tả hay đặc trưng hệ thống Đây phương pháp mơ tả bên ngồi Giả sử điện áp ban đầu tụ zêrơ, điện áp vào f(t) tạo dịng điện i (hình 1.34a), chia hai nhánh chất cân mạch điện Do đó, điện áp qua tụ tiếp tục giữ zêrơ Như thế, tính dịng điện i, gở bỏ tụ hay thay ngắn mạch Mạch tương được vẽ lại hình 1.34b Như theo hình 1.34b f(t) nhìn thấy trở 5Ω, f (t ) Đồng thời, y (t ) = x(i / 2) = i, y (t ) = f (t ) i (t ) = (1.66) Mạch tương đương nhìn từ đầu bên ngồi hệ thống vẽ hình 1.34b Rõ ràng mơ tả bên ngồi, tụ khơng tồn Trong hầu hết hệ thống mơ tả nội mơ tả bên ngồi giống nhau, có ngọai trừ, thí dụ trường hợp vừa nêu, theo mơ tả bên ngồi chưa mơ tả hình ảnh hệ thống Điều xuất hệ thống không điều khiển và/hay khơng quan sát Hình 1.35a 1.35b cho thấy biểu diễn cấu trúc hệ thống đơn giản có tính chất khơng điều khiển khơng quan sát Trong hình 1.35a, ta ghi nhận phần hệ thống (hệ S2) nằm bên torng hộp điều khiển từ ngõ vào f(t) Trong hình 1.35b số ngõ hệ thống (nằm hệ S2) quan sát từ đầu Nếu muốn mô tả hệ thống dùng phép áp tín hiệu bên f (t ) đo ngõ y (t ) , đo lường khơng đặc trưng toàn hệ thống mà đặc trưng phần hệ (trường hợp hệ S1) hệ có tính quan sát điêu khiển (kết nói được ngõ vào ngõ ra) Hệ thống loại thường không mong muốn thực tế cần tránh thiết kế hệ thống 1.9 Tóm tắt Tín hiệu tập thơng tin hay liệu Hệ thống xử lý tín hiệu vào, biến đổi hay rút thêm thông tin từ chúng để tín hiệu (đáp ứng) Hệ thống thực dùng phần tử vật lý (phần cứng) hay dùng thuật tốn để tính tín hiệu từ tính hiệu vào (phần mềm) Đo lường thích hợp kích thước tín hiệu lượng tín hiệu vơ hạn Nếu lượng tín hiệu vơ hạn, đo lường thích hợp cơng suất, tồn Cơng suất tín hiệu trung bình theo thời gian lượng tín hiệu (trung bình tồn thời gian từ − ∞ đến ∞ Đối với tín hiệu tuần hồn, phép trung bình thực chu kỳ, tính lặp lại có chu kỳ tín hiệu) Cơng suất tín hiệu trị trung bình – bình phương tín hiệu (lấy trung bình tồn thời gian từ − ∞ đến ∞ Tín hiệu phân loại theo: Tín hiệu liên tục theo thời gian xác định giá trị liên tục biến độc lập (thường biến thời gian t) Tín hiệu rời rạc theo thời gian xác định với tập thời điểm hữu hạn hay đếm Tín hiệu analog tín hiệu có giá trị biên độ liên tục Mặt khác, tín hiệu có biên độ có số hữu hạn giá trị tín hiệu số Thuật ngữ rời rạc theo thời gian hay liên tục theo thời gian cho thấy chất tín hiệu dọc theo trục thời gian (truc ngang), Thuật ngữ analog hay số , cho thấy chất biên độ tín hiệu (trục dọc) Tín hiệu tuần hồn định nghĩa với f (t ) = f (t +T0 ) với trịc bé T0 thỏa hệ thức gọi chu kỳ Tín hiệu tuần hồn giữ nguyên giá trị dời khoảng bội số chu kỳ Tín hiệu tuần hồn tạo từ cách mở rộng theo chu kỳ đoạn f (t ) với độ rộng T0 Cuối cùng, theo định nghĩa tín hiệu tuần hồn phải tồn suối thời gian − ∞ < t < ∞ Tín hiệu khơng tuần hồn khơng có chu kỳ Tín hiệu không dừng bắt đầu t = −∞ đến t = ∞ Tín hiệu nhân tín hiệu zêrơ t < Do đó, tín hiệu tuần hồn tín hiệu khơng dừng Tín hiệu có lượng hữu hạn t = −∞ đến t = ∞ Tín hiệu biết hồn tồn mơ tả vật lý dạng toán học hay dạng đồ thị gọi tín hiệu xác định Tín hiệu ngẫu nhiên tín hiệu biết thừa số củ mơ tả ngẫu nhiên trị trung bình, trị trung bình bình phương, v v,…, thay dạng mơ tả tốn học hay dạng đồ thị Tín hiệu f(t) làm trễ T giây (dời phảỉ) viết thành f( t- T) ; mặt khác, f(t) làm sớm (dời trái) viết thành f(t + T Tín hiệu f(t) nén theo theo thời gian với tỉ lệ a (a>1) viết thành f(at), mặt khác, tín hiệu giãn theo thời gian viết thành f ( ) Tín hiệu nghịch theo thời gian viết thành f( - t) a Hàm bước đơn vị u(t) hữu dụng để biểu diễn tín hiệu nhân tín hiệu có nhiều dạng mơ tả tốn học thời khoảng khác Theo định nghĩa truyền thống, hàm xung đơn vị δ(t ) đặc trưng diện tích đơn vị, tín hiệu tập trung thời điểm t = Hàm xung có đặc tính lấy mẩu (hay đặc tính dời), theo phần diện tích tích hàm với xung đơn vị với giá trị hàm thời điểm tồn xung đơn vị (với giả sử hàm liên tục vị trí tồn xung) Theo xu hướng đại, hàm xung xem hàm tổng quát định nghĩa từ đặc tính lấy mẩu Hàm mủ est, s số phức, liên quan đến nhiều loại tín hiệu bao gồm từ số, hàm mủ đơn điệu, hàm sin, hàm sin thay đổi theo dạng mủ Tín hiệu đối xứng theo trục dọc (t = 0) hàm chẵn theo thời gian phản đối xứng theo trục dọc hàm lẻ theo thời gian Tích hàm chẵn với hàm lẻ hàm lẽ theo thời gian Tuy nhiên, tích hàm chẵn với hàm chẵn hay tích hàm lẻ với hàm lẻ hàm chẳn Diện tích hàm lẻ từ t = - a đến a luôn zêrô, bất chấp giá trị a Mặt khác, diện tích phần chẵn từ t = - a đến a hai lần phần diện tích tích hiệu lấy từ t =0 đến a (hay từ t =-a đến 0) Các tín hiệu viết thành tổng hàm chẵn hàm lẻ theo thời gian Hệ thống xử lý tín hiệu ngõ vào để tạo tín hiệu ngõ (đáp ứng) Ngõ vào nguyên nhân ngõ hậu Thông thường, ngõ bị tác động hai nguyên nhân: điều kiện nội hệ thống (như điều kiện đầu) tín hiệu tác động bên ngồi Có nhiều phương pháp phân loại hệ thống: Hệ thống tuyến tính đặc trưng từ tính tuyến tính, bao hàm tính xếp chồng; có nhiều ngun nhân (thí dụ có nhiều ngõ vào nhiều điều kiện đầu) tác động vào hệ thống tuyến tính, đáp ứng tổng tổng đáp ứng nguyên nhân, với điều kiện tác động khác không tồn Hệ phi tuyến hệ khơng tuyến tính Hệ bất biến theo thời gian đặc trưng từ tham số hệ thống không đổi theo thời gian Tham số hệ khơng bất biến thay đổi theo thời gian Trong hệ thống khơng có tính nhớ (hệ tức thời), đáp ứng thời điểm t phụ thuộc vào giá trị ngõ vào (tại thời điểm t) Trong hệ có tính nhớ (còn gọi hệ thống động), đáp ứng hệ thống thời điểm t không phụ thuộc vào giá trị ngõ vào, mà phụ thuộc trị khứ ngõ vào (trị trước thời gian t) Ngược lại, đáp ứng hệ thống t phụ thuộc vào giá trị tương lai ngõ vào (giá trị ngõ vào sau t), hệ thống khơng nhân Trong hệ nhân quả, đáp ứng không phụ thuộc vào trị tương lai ngõ vào Ngõ hệ không nhân phụ thuộc vào giá trị tương lai ngõ vào, nên đáp ứng xuất trước có ngun nhân Khi hệ khơng nhân có biến độc lập thời gian (hệ thời gian), hệ hệ dự báo, nên khơng thể thực hệ thống thực tế, có phép xấp xỉ gần với số khâu trễ ngõ Hệ khơng nhân có biến độc lập khác biến thời gian (thí dụ có biến khơng gian) thực Nếu phẩn tử hệ thống có kích thước bé so với độ dài sóng tín hiệu, ta giả sử phần tử có tham số tập trung, hệ thống xem hệ có tham số tập trung Trong giả sử tín hiệu hàm theo thời gian Khi giả sử khơng tín hiệu hàm theo khơng gian thời gian; cịn gọi hệ có tham số phân bố Hệ thống có ngõ vào ngõ liên tục theo thời gian hệ liên tục theo thời gian; hệ thống có tín hiệu vào ngõ rơòi rạc theo thời gian hệ rời rạc theo thời gian Khi lấy mẩu tín hiệu liên tục theo thời gian, ta có tín hiệu rời rạc theo thời gian Có thể xử lý tín hiẹu liên tục theo thời gian dùng hệ rời rạc xử lý mẩu tín hiệu Hệ thống có tín hiệu ngõ vào ngõ tín hiệu analog hệ thống analog; cịn hệ có tín hiệu ngõ vào ngõ tín hiệu số gọi hệ thống số Nếu khơi phục tín hiệu vào f(t) từ ngõ y(t) hệ thống S thông qua số phép tính, hệ thống S gọi hệ khả nghịch, ngược lại hệ không khả nghịch Hệ thống có mơ hình tìm từ kiến thức cấu trúc bên hệ thống gọi mô tả nội Ngược lại, mơ tả bên ngồi hệ thống có mơ tả nhìn từ đầu ngõ vào ngõ hệ thống; mô tả có từ cách đưa vào hệ thống ngõ vào biết đo lường ngõ Trong hầu hết hệ thống thực tế, mơ tả nội thường tương đương với mô tả từ bên ngồi Tuy nhiên, số trường hợp mơ tả bên ngồi khơng cung cấp đủ thơng tin hệ thống, trường hợp này, hệ gọi hệ không điều khiểun hay không quan sát Tài liệu tham khảo Papoulis, A., The Fourier Integral and Its Applications, McGraw-Hill, New York, 1962 Kailath, T., Linear Systems, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1980 Lathi, B.P., Signals, Systems and Communications, Viley, New York, 1965 Lathi, B.P., Signals and Systems, Berkeley-Cambridge Press, Carmichael, California, 1987 Bài tập 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Tìm lượng tín hiệu hình P1.1-1 Nhận xét lượng tín hiệu đổi dấu Nhận xét lượng tín hiệu nhân với k Làm lại tập 1.1-1 dùng hình P1.1-2 (a) Tìm lượng cặp tín hiệu x(t) y(t) vẽ hình P1.1-3a P1.1-3b Vẽ tìm lượng tín hiệu x(t) + y(t) x(t) + y(t) Nhận xét gỉ tử kết ? (b) Làm lại phần (a) dùng hình P1.1-3, cho biết nhận xét phần (a) cịn có giá trị khơng? 1.1.4 1.1.5 Tìm cơng suất tín hiệu tuần hồn f(t) hình P1.1-4 Tìm tiếp công suất trị rms (a) – f(t) (b) f(t) (c) c f(t) Nhận xét Chứng minh cơng suất tín hiệu n f (t ) = ∑Dk e jωk t k =m 1.1.6 1.3.2 Pf = ∑ Dk k =m Với giả sử tần số phân biệt, với ωi ≠ ωk với i ≠ k Tìm cơng suất trị rms tín hiệu sau π π π    (a) 10 cos100t +  (b) 10 cos100t +  + 16 sin 150t +   1.3.1 n 3 3  (d) 10 cos 5t cos10t jαt (f) e cos ω0t  5 (c) (10 + sin t ) cos10t (e) 10sn cos 10t Trong hình P1.3-1, tín hiệu f1 (t ) = f (−t ) Biểu diễn tín hiệu f (t ) , f (t ) , f (t ) f (t ) theo f (t ) , f1 (t ) tính chất: dời theo thời gian, tỉ lệ theo thời gian tính khả nghịch theo thời gian Thí dụ f (t ) = f (t −T ) + f1 (t −T ) t Từ tín hiệu f (t ) hình P1.3-2, vẽ tín hiệu (a) f ( − ) (b) f (t + 6) (c) f (3t ) (d) f (t / 2) 1.3.3 Từ tín hiệu f (t ) hình P1.3-3, vẽ tín hiệu (a) f (t − 4) f (t / 1,5) t (c) f ( − ) (d) f ( 2t −4) (b) (e) f ( −t ) 1.4-1 Vẽ tín hiệu (a) u (t −5) −u (t − 7) (b) u (t − 5) + u (t − 7) (c) t [u (t −1) − u (t − 2)] (d) (t − 4)[u (t − 2) −u (t − 4)] 1.4.2 Biểu diễn tín hiệu hình P1.4-2 dùng biểu thức xác định với t 1.4.3 Tín hiệu f (t ) có lượng E f , chứng tõ lượng tín hiệu − f (t ) , f ( − ) f (t −T ) có giá trị E f Chứng tõ lượng t tín hiệu f (at ) tín hiệu f ( at − b) E f / a Điều cho thấy phép dời phép nghịch theo thời gian không ảnh hưởng lên lượng tín hiệu Mặt khác, phép nén theo thời gian (a > 1) giảm lượng phép giãn theo thởi gian (a < 1) làm tăng lượng Cho biết lượng thay đổi nhân tín hiệu với số a 1.4.4 Đơn giãn biểu thức sau:  sin t  δ (t ) (a)  t +2 (c) [e −t cos(3t −60 )]δ (t )   δ (ω + 3) jω +    (e)    jω +  δ (ω ) (b)  ω +9  sin[ π (t − 2)]  δ (t − 1) (d)  t2 +    sin kω  δ (ω)  ω  (f)  1.4.5 Tính tích phân sau: ∞ δ τ (a) ∫∞ (τ) f (t − ) dτ − ∞ t δ (e) ∫∞ (t + )e − dt − ∞ ( t (f) ∫∞(t + )δ − ) dt − ∞ τ (b) ∫∞ f (τ)δ(t − )dτ − ∞ −ω j t δ dτ (c) ∫∞ (t )e − ∞ t ( t (g) ∫∞ f ( − )δ − ) dt − tdt (d) ∫∞δ(t −2) sin π (h) ∫ ∞e ( x − ) cos[ π ( x −5)]δ( x −3) dx − − δ( x) tồn tại x = Thí dụ δ(1 −t ) tồn tại – t = tính tiếp Hướng dẫn: 1.4.6 (a) Tìm vẽ df / dt tín hiệu f (t ) hình P1.3-3 (b) Tìm vẽ d f / dt tín hiệu f (t ) hình P1.4-2a ∞ ∞ 1.4.7 1.4.8 1.4.9 t Tìm vẽ giá trị ∫∞ f ( x ) dx tín hiệu f (t ) hình P1.4-7 − Dùng định nghĩa hàm tổng quát, chứng tỏ δ(t ) hàm chẵn theo t Hướng dẫn: Dùng phương trình (1.24a) để định nghĩa δ(t ) Thay biến t = - x để chứng minh ∞ φ ( t φ ∫∞ (t )δ −) dt = (0) − Chứng minh δ(at ) = δ(t ) a Hướng dẫn: chứng minh ∞ ∫ φ(t )δ( at )dt = − ∞ φ(0) a   (t δ ( −( 1.4.10 Chứng minh ∫∞  (t )φ t )dt = φ 0) φ(t ) φ ) liên tục t −  = 0, φ(t ) → t → ±∞ Tích phân nhằm định nghĩa δ(t ) hàm tổng quát Hướng dẫn: dùng phương pháp tích phân phần 1.4.11 Tín hiệu αt cos ωt xem tổng hàm mủ e st e −st (phương trình (1.30c) dùng tần số phức s = σ + jω s = σ − jω Xác định tín hiệu sin sau mặt phẳng phức: (a) cos3t (b) e-3tcos3t (c) e2tcos3t (d) e-2t (d) e2t (f) 1.5-1 Tìm vẽ thành phần chẵn lẻ (a) u(t) (b) tu(t) (c) sin ω0 tu (t ) (d) cos ω0 tu (t ) (e) sin ω t (f) cos ω t 0 ∞ 1.6-1 Tìm quan hệ vào-ra tích phân lý tưởng Xác định thành phần đáp ứng với ngõ vào zêrô đáp ứng trạng thái zêrô 1.7.1 Hệ thống mô tả từ phương trình sau, với ngõ vảo f (t ) , ngõ y (t ) , xác định hệ tuyến tính hệ phi tuyến dy + y (t ) = f (t ) dt dy + 3ty (t ) = t f (t ) (b) dt (a) (c) y (t ) + = f (t ) (f) dy df + (sin t ) y (t ) = + f (t ) dt dt  dy  (e)   + y (t ) = f (t )  dt  (d) 1.7.2 dy + y (t ) = f (t ) dt dy df + y (t ) = f (t ) dt dt t (h) y (t ) = ∫ ∞ f (σ) dσ − Hệ thống mô tả từ phương trình sau, với ngõ vảo f (t ) , ngõ y (t ) , xác định hệ bất biến hệ thay đổi theo thời gian (a) y (t ) = f (t − 2) (d) y (t ) = − f (t − 2) (b) y (t ) = f (−t ) (e) y (t ) = ∫ f (τ)dτ − (c) y (t ) = f (at ) 1.7.3 (g)  (f) y (t ) =  df    dt  Hệ thống tuyến tính bất biến (TT-BB) có ngõ vảo f (t ) , ngõ y (t ) , hai điều kiện đầu x1 (0) x2 (0) , ta ghi nhận quan sát sau: Tìm y (t ) hai ngõ vào zêrơ ngõ vào f (t ) có dạng hình P1.7-3 Hướng dẫn: Có ba ngun nhân: ngõ vào điều kiện đầu Từ tính tuyến tính, nguyên nhân tăng giá trị k, đáp ứng tăng với giá trị k Tuy nhiên, cộng thêm nguyên nhân giá trị, đáp ứng cộng thêm giá trị tương ứng 1.7.4 Hệ thống đặc trưng quan hệ vào-ra f (t ) y (t ) = df dt Chứng minh hệ thống thỏa tính đồng khơng thỏa tính cộng 1.7.5 Chứng minh mạch hình P1.5-7 hệ tuyến tính trạng thái zêrơ, phi tuyến với ngõ vào zêrô Giả sử điốt có đặc tính giống Hướng dẫn: trạng thái (khi điện áp đầu tụ vC (0) = ) mạch tuyến tính Nếu ngõ vào f (t ) = , vC (0) khác zêrơ, dịng điện y (t ) khơng có tính tuyến tính theo nguyên nhân vC (0) 1.7.6 1.7.7 1.7.8 Cuộn L tụ C hình P1.7-6 linh kiện phi tuyến, nên mạch khơng tuyến tính Ba phần tử cịn lại tuyến tính Chứng tõ ngõ y (t ) mạch phi tuyến thỏa điều kiện tuyến tính theo ngõ vào f (t ) điều kiên đầu (tất dỏng điện ban đầu qua cuộn dây điện áp ban đầu qua tụ) Chú ý nguồn dòng hở mạch dịng điện zêrơ Hệ thống mơ tả từ phương trình sau, với ngõ vảo f (t ) , ngõ y (t ) , xác định hệ nhân hệ không nhân (a) y (t ) = f (t − 2) (c) y (t ) = f (at ) a > (b) y (t ) = f (−t ) (d) y (t ) = f (at ) a