Đang tải... (xem toàn văn)
Về dạng định lý cơ bản thứ hai kiểu cartan cho các đường cong chỉnh hình
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2008 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. TẠ THỊ HOÀI AN THÁI NGUYÊN – 2008 ▼ö❝ ❧ö❝▼ð ✤➛✉ ✷✶ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✻✶✳✶ ❍➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶✳✷ ▲þ t❤✉②➳t ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✶✳✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ❝❤♦ ❤➔♠ ♣❤➙♥ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✽✶✳✷✳✷ ▼ët sè ✈➼ ❞ö ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✵✶✳✷✳✸ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✶✸✶✳✷✳✹ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ♥❤➜t ❝õ❛ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛ ✳ ✳ ✳ ✶✹✶✳✷✳✺ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❦✐➸✉ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸✷✳✶ ❈→❝ ❤➔♠ ◆❡✈❛♥❧✐♥♥❛✲❈❛rt❛♥ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✷✸✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣ ❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ❝➢t❝→❝ s✐➯✉ ♠➦t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✷✳✷✳✶ ▼ët sè ❜ê ✤➲ q✉❛♥ trå♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✷✳✷✳✷ ✣à♥❤ ❧þ ❝ì ❜↔♥ t❤ù ❤❛✐ ❝❤♦ ❝→❝ ✤÷í♥❣ ❝♦♥❣❝❤➾♥❤ ❤➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾✶ ỵ tt ố tr ừ ữủ ởttr ỳ t tỹ s s ừ t ồ tr t ữỡ ữủ t tứ ỳ ừ ừ t ỵtt õ ỗ ố tứ ỳ ổ tr ừ rr õ ự ử tr ỹ ừ t ồ ỵ tt ố tr ờ sỹ tờ qt õ ỵ ỡ ừ số ỡ ỵ tt ự sỹ ố tr ừ tứ C C{} r từ ỵ tt ỗ ỵ ỡ ừ ỵ ỡ tự t ởt t ừ ổ tự Pss s ỵ õ r trữ T (r, a, f) ổ ử tở a t s ởt ữủ tr õ a ởt số ựtũ ỵ ỵ ỡ tự t ỳ t q t ss t ừ ỵ tt ố tr ỵ ữ r ố q ỳ trữ rt ự ỵ s f : C Pn(C) ữớ ổ s t t Hi i = 1, ., q s tr tờ qt ợ ộ > 0 t õqj=1m(r, Hj, f) (n + 1 + )T (r, f),tr õ t tự ú ợ ồ r > 0 ởt t õ ở s ỳ t q tr ừ rt ổ tr t rở ỵtt ữớ ỷ ử t q õổ ữ r ữợ ữủ số t ữớ ợ s tr tờ qt ổ tr ừổ ữủ t sự q trồ r ởt ữợ ự ợ t tr ỵ tt ỵ tt ữớ s ữủ t t ồ ờ t ừ t õ ỵ tt rtỳ rở t q ừ rt trữớủ s t t út ữủ sỹ ú ỵ ừ t ồ ự tt ừ t r ử t ổ ự r f : C Pn(C) ữớ ổ s số Dj, j = 1, ., q, s t dj tr tờ qt õ(q (n + 1) )T (r, f) qj=1d1jN (r, Dj, f) + o(T (r, f)),tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởtt õ ở s ỳ t q tr ữủ rở trữớ ủ t ở ỏ ồ ửt t q ữủ t ữ s sỷ f : C Pn(C) ởt ổ s số Dj 1 j q q s t tr Pn(C) õ djtữỡự tr tờ qt õ ợ ộ > 0 tỗ t ởt số ữỡ M s q (n + 1) )T (r, f) qj=1d1jNM(r, Dj, f) + o (T(r, f)) ,tr õ t tự tr ú ợ ồ r ừ ợ ởtt õ ở s ỳ ự sỹ tỗ t ừ tổ q ữủ ừ s t ữớ t tữớ sỷ ử ỵ ỡ tự rt tổ q t ở r ỵ rt ỏ t t t s ừ ữớ ử t ừ tr t q ữủữ r ừ ợ ổ ử ự ừ ỵ tt rt tứ C Pn(C). ữủ t ữỡ ũ ợ t ử t t ữỡ tr ởt số tự ỡ s t t ừ r ự ỵ ỡ tự ừ ữỡ tr ự ởt ỵ ỡ tự t s t tr tờ qt ữỡ ữủ t ỹ tr ổ tr ừ ữủ t ữợ sỹ ữợ ồ ừ tọ ỏ t ỡ t sỹ ú ù ồ t tỳ t ủ t t t tr trồ ỡ t ổ trữớ ồữ tở ồ t rPữỡ t ổ trữớ ồ ữ ở t ổ ồ ú ù t t õ ồ ụ t ỡ trữớ ổ t ổ tồ t ủ t t tr q tr ồ t ữỡ ỵ tt r ữỡ ú tổ ởt số tự ỡ sữủ sỷ ử tr s tự ừ ữỡ ữủ tr tứ D ởt tr t ự C f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ữủ ồ C t z0 C tỗt ợ ỳ limh0f(z0+ h) f(z0)h tr õ ữủ ồ ự ừ f(z) t z0 f(z) ữủ ồ C tr D õ C t ồz0 D. f(z) ữủ ồ t z0 C õ C tr ởt õ ừ z0 f(z) ữủ ồ tr D õ t ồ z tở D tr D H(D) f(z) tr t t ự C ữủ ồ ỵ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) tr D u(x, y) v(x, y) R2 tr D tr õ u(x, y) v(x, y) tọ tự ux=vy,uy= vx, (x, y) D. ỵ sỷ f(z) ởt tr ỳ D C õ tr ộ ừ ộ z D f(z) ữủ tr t ộf(z) = f(z0) +(z z0)1!f(z0) +(z z0)22!f(z0) + . . . ỡ ỳ ộ tr ở tử f(z) tr trỏ|z z0| tũ ỵ tr D.ộ ữủ ồ ộ ừ f(z) tr ừ z0. z0 C ữủ ồ ổ m > 0 ổ m > 0 ừ f(z) f(n)(z0) = 0, ồ n = 1, ., m 1 f(m)(z0) = 0. f(z) ữủ ồ trD C f =ghtr õ g, h tr D. D = C t t õ f(z) tr C ỡ f(z) z0ữủ ồ ỹ m > 0 ừ f(z) tr ừ z0 f(z) =1(z z0)m.h(z)tr õ h(z) tr ừ z0 h(z0) = 0 ỵ ổ tự Ps s sỷ f(z) 0 ởt tr trỏ {|z| R} ợ 0 < R < sỷ aà à = 1, ., M, ổ ở b, = 1, 2, ., N, ỹ ừ f tr trỏ õ ụ ở õ z = rei(0 < r < R), f(z) = 0, f(z) = tlog |f(z)| =1220logf(Rei)R2 r2R2 2Rr cos( ) + r2d+Mà=1logR(z aà)R2 aàzN=1logR(z b)R2 bz. ỵ tt sỷ f tr R r < Rỵ n(r, , f) tữỡ ự n(r, , f), số ỹ t ở tữỡ ự ổ t ở ừ f tr õ r. sỷ a C t n(r, a, f) = nr, ,1f a, [...]... , j = 1, , q 22 Chữỡng 2 nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Nevanlinna -Cartan cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh 2.1 CĂc hm Nevanlinna -Cartan cho ữớng cong chnh hẳnh Chúng tổi s nhưc lÔi mởt số khĂi niằm, kẵ hiằu chuân cừa Lỵ thuyát Nevanlinna - Cartan cho cĂc ữớng cong chnh hẳnh tứ C vo Pn (C) 2.1.1 nh nghắa gồi l trản nh xÔ f := (f0 : : fn ) : C Pn (C) ữủc ữớng cong chnh hẳnh trản C náu f0, , fn l cĂc hm... bÊn thự hai cho ữớng cong chnh hẳnh cưt cĂc siảu mt 2.2.1 Mởt số bờ ã quan trồng Tiáp theo, chúng tổi trẳnh by mởt số bờ ã Ôi số ữủc sỷ dửng trong cĂc chựng minh cừa nh lỵ cỡ bÊn thự hai kiu Cartan cho cĂc Ănh xÔ chnh hẳnh 2.2.1 nh nghắa (i) = (i1 , , im ) Nm Chúng ta nh nghắa (i1 , , im ) l 2 l cĂc số phực hỳu hÔn, riảng biằt, > 0 v giÊ sỷ... ữớng cong chnh hẳnh f ựng vợi siảu mt D Hm r nM (t, D) nM (0, D) f f M Nf (r, D) = dt + nM (0, D) log r f t 0 ữủc gồi l mt hm ám cửt cừa ữớng cong chnh hẳnh f ựng vợi siảu D 2.1.3 nh nghắa Hm xĐp x cừa hm f ựng vợi siảu mt D ữủc nh nghắa bi 2 m(r, D, f ) = log 0 2.1.4 nh nghắa Ănh xÔ chnh hẳnh GiÊ sỷ f (rei ) d d i ) 2 Q(f )(re f := (f0 : : fn ) : C Pn (C) l mởt Hm c trững Nevanlinna - Cartan. .. nÔp nhữ sau: giÊ sỷ l hai n bở liản tiáp sao cho chồn ữủc mởt cỡ s cừa diạn trong cõ dÔng W(i) i i d( ), d( ) N W(i ) Tứ nh nghắa ta cõ th lĐy ữủc biu trong õ xƠy dỹng trữợc trong i v giÊ sỷ rơng ta  cừa cĂc phƯn tỷ trong khổng gian thữỡng i i r11 rnn , i ( )>() W(i ) VN d(i) W(i) /W(i ) Ta m rởng cỡ s  ữủc bơng cĂch thảm vo cĂc biu diạn õ v ta s thu ữủc cỡ s cho cĂc khổng gian 33... sỷ VN = deg r1 deg rn (r1 , , rn ) VN r1 , , rn {Q1 , , Qq } l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc sao cho chúng nh nghắa mởt a tÔp con trong bơng 0 Ta xƠy dỹng mởt cĂi lồc cừa trêt tỹ tứ in i ( ) N d i W(i) = W(i) cõ số chiãu nhữ sau: sưp xáp lÔi theo n bở ( ) = (i1 , , in ) cĂc số nguyản khổng Ơm sao cho nh nghắa khổng gian Hin nhiản, VN Pn (C) d, (e)(i) W(0, ,0) = VN l mởt cĂi lồc cừa v W(i) = WN,(i)... iãu cƯn chựng minh BƠy giớ chúng ta tiáp tửc sỷ dửng bờ ã trản Ănh giĂ số chiãu cừa khổng gian thữỡng cừa hai khổng gian liản tiáp trong lồc Ta kẵ hiằu số chiãu õ l (i) Kát hủp Bờ ã 2.2.2 v 2.2.3 ta cõ bờ ã sau 2.2.4 Bờ ã Tỗn tÔi mởt số nguyản dữỡng N0 ch phử thuởc vo r1 , , rn sao cho (i) := dim W(i) = dn , W(i ) vợi iãu kiằn d(i) < N N0 Hỡn nỳa, vợi cĂc bở (i) cỏn lÔi ta cõ W( ) dim l b... náu bv 20 l cỹc im bởi k N (r, f ) = thẳ ữủc tẵnh k lƯn GiÊ sỷ b1 , b2 , , bN l cĂc cỹc im phƠn biằt cừa f (z) vợi cĐp lƯn k1 , k2 , , kN Xt tÔi im bv , ta thĐy khai trin cừa f (z) s ck cõ dÔng f (z) = + (z b )k ck Khi õ f (z) s cõ khai trin l f (z) = + , tực l bv s (z b )k +1 l cỹc im cĐp kv + 1 cừa hm f (z) Nhữ vêy b1 , b2 , , bN l cĂc cỹc lữủt l im cừa f (z) k log | N (r, f ) = k1 + 1, k2... f )), |Lj (f )(rei )| 2 trong õ tờng trản lĐy trản tĐt cÊ cĂc têp con K cừa 1, , q sao cho cĂc dÔng tuyán tẵnh Lj , j K , l ởc lêp tuyán tẵnh, f (z) l giĂ tr lợn nhĐt cừa |fj (z)|, 0 j n v Lj l giĂ tr lợn nhĐt cừa giĂ tr tuyằt ối cừa cĂc hằ số trong Lj Nôm 2004, M Ru  chựng minh ữủc nh lỵ cọ bÊn thự hai cưt cĂc siảu mt v trẵ tờng quĂt nh lỵ ny  giÊi quyát trồn vàn giÊ thuyát cừa Shiffman . HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN TRƯỜNG GIANG VỀ DẠNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ HAI KIỂU CARTAN CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH