Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 1 Bài1. Giới hạn của dãy số Phương pháp giải bài tập: BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho dãy (u n ) thoả mãn n u n với mọi n. Chứng minh rằng lim n n u    Giải: lim vì vậy lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. mặt khác u nên lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó. Vậy lim n n n n n n n u u       Bài 2. Cho dãy số (u n ) có 2 1 n n u n   . Tìm lim n n u  . Giải: 2 1 1 Ta biến đổi: 2 . 1 Vậy lim 2vì lim 0 n n n n n n u n n u u n         Bài 3. Biết dãy số (u n ) thỗ mãn 2 1 n n u n   với mọi n. Chứng minh rằng lim 0 n n u   Giải Đặt 2 2 1 1 .Ta có lim lim 0. Do đó, có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Mặt khác, theo giả thiết ta có (2) Từ (1) và (2) suy ra n n n n n n n n v v v n n u v v        có thể nhỏ hơn một số dương tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghóa là lim 0 n n u u  CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN Dạng 1: Tìm giới hạn của một dãy: Phương pháp 1: Dùng định nghĩa để tìm giới hạn của một dãy  lim 0 n n u   khi và chỉ khi |u n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.    lim lim 0 n n n n v a v a        lim n n u    khi và chỉ khi u n có thể lớn hơn một số dương lớn tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  lim lim ( ) n n n n u u         www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Biết dãy số (u n ) thỗ mãn 2 n u n với mọi n. Chứng minh rằng lim n n u    Giải: 2 2 2 Vì lim nên n có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi Mặt khác, theo giả thiết với mọi n, nên cũng có thể lớn hơn một số dương tùy , k n n n u n u ý    ể từ số hạng nào đó trở đi. Vậy lim n u   Bài 2. Cho biết lim n n u    và n n v u với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn v n . Hướng dẫn: lim lim ( ) lim ( ) Vậy lim n n n n n n n n n n u u v u v v                     Bài 3. Cho dãy số (u n ) hội tụ, dãy (v n ) khơng hội tụ. Có kết luận gì về sự hội tụ của dãy   n n u v . Hướng dẫn: Kết luận dãy   n n u v khơng hội tụ Thật vậy:     Xét dãy , giả sử nó hội tụ nghóa là lim và lim . Khi đó lim lim Vậy lim lim Vì lim lim Vậy( ) là hội tụ, điều này kho n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u v u v a u b u v a v a u u b v a b v                       âng đúng. Vậy dãy không hội tụ. n n u v Bài 4. Cho dãy (u n ) xác định bởi: 3 2 1 n n u n    a) Tìm số n sao cho 1 3 1000 n u   b) Chứng minh rằng với mọi n > 999 thì các số hạng của dãy (u n ) đều nằm trong khoảng (2,999;3,001). Hướng dẫn: 1 1 ) 3 999 1 1000 1 1 1 ) Khi 999 3 3 3 2,999 3,001 1000 1000 1000 n n n n a u n n b n u u u                   Bài 5. Biết rằng dãy số (u n ) có giới hạn là 0. Giải thích vì sao dãy số (v n ) với v n =|u n | cũng có giới hạn là 0. Chiều ngược lại có đúng khơng? Hướng dẫn: www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 3 Vì (u ) có giới hạn là 0 nên có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. Mặt khác, . Do đó, cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy y n n n n n n u v u u v  ù, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (u ) có thể nhoe hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Vậy (v ) cũng có giới hạn là 0. (Chứng minh tương tự n n , ta có chiều ngược lại cũng đúng). Bài 6. Vì sao dãy ( ) n u với   1 n n u   khơng thể có giới hạn là 0 khi n  ? Hướng dẫn: Vì ( 1) 1, nên không thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Chẳng hạn, không thể nhỏ hơn 0,5 với mọi n. Do đó, dãy số (u ) không thể n n n n n u u u    có giới hạn là 0. Bài 7. Cho biết dãy số (u n ) có giới hạn hữu hạn, còn dãy (v n ) khơng có giới hạn hữu hạn. Dãy   n n u v có thể có giới hạn hữu hạn khơng? Hướng dẫn: Xem nội dung lời giải bài 3. Bài 8. a) Cho hai dãy (u n ) và (v n ). Biết lim và với mọi n. Có kết luận gì về giới hạn của dãy ( ) khi n + ? n n n n n u v u v       b) Tìm lim với ! n n n v v n    Bài 9. Biết 1 2 3 n n u   . Có kết luận gì về giới hạn của dãy số (u n )? Bài 10. Dùng định nghĩa giới hạn cảu dãy số. Chứng minh: 2 3 3 3 2 2 ) lim 3 ) lim 1 1 sin ) lim 0 ) lim 1 n n n n n n a b n n n c d n n                www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 4 BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Tính 3 2 3 2 3 5 1 lim 2 6 4 5 n n n n n n       . Giải: Phương pháp 2: Sử dụng các giới hạn đặc biệt và các định lý để giải các bài tốn tìm giới hạn dãy. 1. Các giới hạn đặc biệt: * * lim 0 ; lim 0 ; lim ; lim lim , ; lim 0; lim 0, 1 ; lim , 1 n n n n k k n n n n n n C C C C n n n C n k N k N n q q q q                          lim 0 lim ; lim lim 0 n n n n n n n n A A v v v v             2. Định lý về giới hạn hữu hạn:     * Giả sử lim và lim . Khi đó: 1. lim 2. lim . . 3. lim , 0 4. lim (với 0với mọi n N ) n n n n n n n n n n n n n n n n u a v b u v a b u v a b u a b v b u a u                  3. Định lý về giới hạn  * 1.Nếu lim và lim thì lim 0 2.Nếu lim 0, lim 0và 0, thì lim 3.Nếu lim và lim 0 thì lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n u u a v v u u a v v n v u v a u v                              Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa luỹ thừa của n thì chia tử và mẫu cho n k với k là mũ cao nhất.  Nếu biểu thức chứa căn thức ( dạng 3 3 ;A B A B  ) cần nhân một lượng liên hiệp để đưa về dạng cơ bản. www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 5 3 2 3 3 2 2 3 5 1 3 3 5 1 3 lim lim 6 4 5 2 2 6 4 5 2 n n n n n n n n n n n n               Bài 2. Tính 2 2 2 1 5 lim 1 3 n n n n     . Giải: 2 2 2 2 1 1 5 2 2 1 5 0 lim lim 0 1 3 1 3 3 n n n n n n n n n             Bài 3. Tính   2 2 lim 7 5 n n n     Giải   2 2 2 2 2 2 2 2 7 5 2 lim 7 5 lim lim 0 7 5 7 5 n n n n n n n n n n n                   Bài 4. Tính   2 2 lim 3 n n n n    Giải:   2 2 2 2 3 3 3 lim 3 lim lim 2 3 3 1 1 n n n n n n n n n n n             BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Tính các giới hạn sau:      2 2 2 2 3 1 0 1 1 1 0 1 1 4 2 2 Toång 4 1 1 2 ) lim ) lim ) lim 1 3 2 2 5 . Tính giôùi haïn: lim . Tính giôùi haïn sau: 2 1 d) lim q ) uaùt: 2 1 3 2 n n n m m m m p p n p p n n n n n a b c n n n n a n a n a n a b n b n b n b n n e n n n                                         3 2 5 2 3 1 lim 1 4 n n n n     Đáp số: 27 ) 2 )0 ) ) 1 ) 4 a b c d e   Bài 1.1   2 Tính: lim 1 n n n n     Giải:   2 2 1 1 Tính: lim 1 lim ( ) 1 n n n n n n n n                    www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 6 Bài 2. Tính các giới hạn: 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 7 3 1 1 3 14 ) lim ) lim ) lim 2 3 1 2 2 ) lim 2 n n n n n n n n n n a b c n n n n n n d n                 Đáp số: 3 2 ) ) 3 1 )0 ) 2 2 a b c d Bài 3. Tình giới hạn sau:     1 1 1 1 1 3 2 3 2 4.3 7 ) lim ) lim ) lim 3 2 1 2 2.5 7 2 3 5 1 ) lim ) lim 5 1 2 3 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b c d e                       Đáp số: 1 ) 3 ) )7 ) )1 3 a b c d e  Bài 4. Tính các giới hạn sau:             3 2 3 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 ) lim 1 ) lim 3 2 ) lim 2 4 1 2 1 ) lim ) lim ) lim 1 2 2 1 ) lim 2 ) lim 2 4 n n n n n n n n a n n b n n n c n n n n n d n n n e f n n n n n n g n n n h n n                                Đáp số: 7 2 1 3 )0 ) ) ) )1 ) )3 ) 2 3 2 2 a b c d e f g h   Bài 5.Tính các giới hạn sau: 2 2 1 2 3 . 1 2 3 . ) lim ) lim 1 n n n n n a b n n n               2 2 2 1 1 1 1 1 . ) lim . ) lim vôùi 1, 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) 1 . 1 3 . 2 1 ) lim 2 1 1 1 1 1 ) lim . 1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1) 2 n n n n n n a a a c d a b n n b b b n n e n n f n n n                                              www.VNMATH.com Phng phỏp gii bi tp gii hn dóy s 01234332133 Trn ỡnh C - Trng THPT Phong in 7 2 2 2 4 * 2 3 2 2 2 ) lim 1 1 . 1 2.3 3.4 1 2 1 1 1 1 ) lim . 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 2.1 3.2 . 1 ) lim 1 1 1 ) lim . 2 1 2 3 2 2 3 ( 1) 1 1 3 5 ) lim . 2 2 2 n n n n n g n n h n n n n i n k n n n n l 2 1 2 n n Hng dn v ỏp s: 2 2 2 2 1 2 1 2 3 . 1 ) lim lim lim 1 1 1 2 2 n n n n n n n n n n n a n n n n n n b) 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) Ta coự: 1 ; ; ; .; 1.2 2 2.3 2 3 3.4 3 4 ( 1) 1 1 1 1 1 1 Suy ra: lim . lim 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1) 1 n n c n n n n n n n d) 1 1 1 lim 1 1 1 n b a S a b e) 2 2 1 2 1 1 3 . 2 1 1 2 lim lim 2 2 1 2 1 n n n n n n n S n n n n f) 1 1 1 1 Sửỷ duùng: 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 Vaọy: . 1.2.3 2.3.4 2 2 . 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Vaọy lim . lim 1.2.3 2.3.4 3.4.5 2 2 4 ( 1) 2 1 2 n n k k k k k k k n n n n n n n n n n g) 1 2 2 Ta thaỏy: 1 1 1 k k k k k k www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 8                  2 2 2 2 Vậy: 1 1 . 1 . 1 2.3 3.4 . 1 . 1 1 2 1 2 1.4 2.5 1 3 . . . 2.3 3.4 3 1 1 1 2 2 2 1 Vậy lim 1 1 . 1 2.3 3.4 3 1 2 n k k n n k k n n n n k k n n n n                                                                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) . 1 . 1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 2 3 3 5 2 1 2 1 1 1 1 1 nên lim 2 2 1 2 n n n h S n n n n S n                                                    2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 4 4 4 )Ta có: 2.1 3.2 . 1 1 1 1 2 1 2 . 1 1 1 2 1 1 2 . 1 2 2 6 1 1 2 1 1 lim lim 4 4 6 n n n n n i S n n n n n n n n n S n n n n n n n S n n n                                                            2 2 1 1 1 1 1 )Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 1 2 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 lim 1 2 2 3 1 1 n n n n n n n k n n n n n n n n n n S n n n n S n n n                                     2 3 2 2 3 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1 3 5 2 1 )Ta có: . 2 2 2 2 1 1 3 1 5 3 2 1 2 3 2 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 2 . 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 Suy ra: 1 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n n n l S n n n S S n n n S                                                                    2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 Mặt khác: . Mà lim 0 lim 0 1 1 2 2 1 1 Vậy lim 3 n n n n n n n n n n n n n n S n n n n n S                       www.VNMATH.com Phng phỏp gii bi tp gii hn dóy s 01234332133 Trn ỡnh C - Trng THPT Phong in 9 BI TP MU: Tớnh 2 2 2 1 2 lim 1 2 n n n n n n . Gii: Ta thy: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . 1 2 1 2 1 1 2 1 2 . 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 lim 2 2 1 1 2 1 lim 2 1 2 n n n n n n n n n n n n n n Vaứ n n n n n n n n n n n Vaọy n n n n n n n Maứ n n Vaọy n n n n BI TP P DNG: Bi 1. Tớnh gii hn ca cỏc gii hn sau: 2 2 2 2 2 1 1 3sin 4 osn sin ) lim ) lim ) lim 2 3 n+1 3n+4 1 3n sin2 os2n ) lim ) lim 3n+1 cosn+5n 1 1 1 ) lim . 1 2 n n n n n n n n n c n n a b c n n c d e f n n n n ỏp s: 1 3 ) 0 ) 0 ) )0 ) )1 3 5 a b c d e f Bi 2. Cho 2 dóy s (u n ) v (v n ). Chng minh rng nu lim 0 vaứ n n v u v vi mi n thỡ lim 0 n u Phng phỏp 3. Dựng nguyờn lớ kp. Cho ba dóy s (u n ), (v n ) v (w n ). Nu vụựi moùi n n n n u v w V lim lim ( ) thỡ lim n n n u w L L v L www.VNMATH.com Phương pháp giải bài tập giới hạn dãy số 01234332133 Trần Đình Cư - Trường THPT Phong Điền 10 Hướng dẫn: lim 0 có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. (1) Vì và với mọi n, nên với mọi n (2) Từ (1) và (2) suy ra cũng có n n n n n n n n n v v u v v v u v u      thể nhỏ hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghóa là lim 0 n u  Áp dụng: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng qt như sau: 2 1 ( 1) 2 ( 1) ) ) ) ! 2 1 2 11 n n n n n n a u b u c u n n n         ) (0,99) cos ) 5 cos n n n n d u n e u n     Đáp số: )0 )0 )0 )0 )a b c d e   DẠNG 2: Chứng minh một dãy số có giới hạn: Phương pháp: 1. Áp dụng định lý Vâyơstraxơ:  Nếu dãy số (u n ) tăng và bị chặn trên thì nó có giới hạn.  Nếu dãy số (u n ) giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. 2. Chứng minh một dãy số tăng và bị chặn trên ( dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng đầu tiên của dãy và quan sát mối liên hệ để dự đốn chiều tăng (chiều giảm) và số M. 3. Tính giới hạn của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau: * Phương pháp 1:  Đặt lim n n u a    Từ 1 lim lim ( ) n n n n u f u     ta được một phương trình theo ẩn a.  Giải phương trình tìm nghiệm a và giới hạn của dãy (u n ) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là giới hạn cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.  Chú ý: Giới hạn của dãy số nếu có là duy nhất.  Phương pháp 2:  Tìm cơng thức tổng qt u n của dãy số bằng cách dự đốn./  Chứng minh cơng thức tổng qt u n bằng phương pháp quy nạp tốn học.  Tính giới hạn của dãy thơng qua cơng thức tổng qt đó. www.VNMATH.com .     Bài 9. Tính      so haïng . . lim 10 n n n a aa aaa a Hướng dẫn: Ta có:    so haïng so haïng so haïng 10 1 100 1 10 1 .