Đang tải... (xem toàn văn)
Các phương pháp giải và biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp được luyện tập một cách đều đặn, bài bản và hệ thống sẽ rất hữu ích, không chỉ trong bộ môn Toán mà c[r]
(1)TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP CHỦ ĐẠO: KẾT HỢP SỬ DỤNG PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC PHỐI HỢP PHÉP THẾ, CỘNG ĐẠI SỐ VÀ ẨN PHỤ SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ SỬ DỤNG KẾT HỢP ĐÁNH GIÁ – BẤT ĐẲNG THỨC TỔNG HỢP CÁC PHÉP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BÀI TOÁN NHIỀU CÁCH GIẢI CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK); XYZ1431988@GMAIL.COM (GMAIL) THỦ ĐÔ HÀ NỘI – MÙA THU 2014 (2) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ “Non sông Việt Nam có trở nên tươi đẹp hay không, dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với các cường quốc năm châu hay không, chính là nhờ phần lớn công học tập các em” (Trích thư Chủ tịch Hồ Chí Minh) Yêu bảo là yêu, Ghét bảo là ghét, Dù ngon nuông chiều, Cũng không nói yêu thành ghét, Dù cầm dao dọa giết, Cũng không nói ghét thành yêu (Lời mẹ dặn – Phùng Quán; 1957) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (3) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH – HỆ HỖN TẠP LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA – QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP Trong khuôn khổ Toán học sơ cấp nói chung và Đại số phổ thông nói riêng, hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp là dạng toán thú vị, có phạm vi trải rộng, phong phú, liên hệ chặt chẽ với nhiều phận khác toán học sơ cấp toán học đại Tại Việt Nam, hệ phương trình, nội dung hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp là phận hữu cơ, quan trọng, phổ biến giảng dạy chính thức chương trình sách giáo khoa Toán các lớp 9, 10, 11, 12 song song với các khối lượng kiến thức liên quan Đây là kiến thức phổ biến xuất các kỳ thi kiểm tra kiến thức thường niên, kỳ thi chọn học sinh giỏi toán các cấp trên toàn quốc, kỳ thi tuyển sinh lớp 10 hệ THPT và kỳ thi tuyển sinh đại học – cao đẳng hàng năm, kỳ thi đầy cam go, kịch tính và bất ngờ, nó lại là câu quan tâm các bạn học sinh, phụ huynh, các thầy cô, giới chuyên môn và đông đảo bạn đọc yêu Toán Yêu cầu dạng toán khá đa dạng, đa chiều, mục tiêu tìm các ẩn thỏa mãn tính chất nào đó nên để thao tác dạng toán này, các bạn học sinh cần liên kết, phối hợp, tổng hợp các kiến thức học phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, nó đòi hỏi lực tư thí sinh cao Tuy nhiên "Trăm hay không hay tay quen", các phương pháp đã được các hệ trước đúc kết và tận tụy cho hệ tương lai, các bạn hoàn toàn đủ khả kế thừa, phát huy và sáng tạo không ngừng, chuẩn bị đủ hành trang nắm bắt khoa học kỹ thuật, đưa đất nước ngày càng vững bền, phồn vinh, và hiển nhiên bài toán các kỳ thi định không thể là rào cản, mà là hội thử sức, hội khẳng định kiến thức, minh chứng sáng ngời cho tinh thần học tập, tinh thần ái quốc ! Các phương pháp giải và biện luận hệ phương trình – hệ bất phương trình – hệ hỗn tạp luyện tập cách đặn, bài và hệ thống hữu ích, không môn Toán mà còn phục vụ đắc lực cho các môn khoa học tự nhiên khác hóa học, vật lý, sinh học, Tiếp theo các Lý thuyết giải hệ phương trình chứa (Phần 1, 2, 3, 4), tài liệu chủ yếu giới thiệu đến quý bạn đọc Lý thuyết giải hệ phương trình chứa cấp độ cao, trình bày chi tiết các thí dụ điển hình hệ giải nhờ sử dụng tổng hợp các phép thế, phép cộng đại số, đại lựợng liên hợp, sử dụng đồng tính chất đơn điệu hàm số, các phép ước lượng – đánh giá – bất đẳng thức Đây là nội dung có mức độ khó tương đối, đòi hỏi các bạn độc giả cần có kiến thức vững các phép giải phương trình chứa căn, kỹ biến đổi đại số và tư chiều sâu bất đẳng thức Các thao tác tính toán và kỹ trình bày phương trình, hệ phương trình xin không nhắc lại I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Kỹ thuật nhân, chia đơn thức, đa thức, đẳng thức Nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nắm vững các phương pháp giải, biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao Sử dụng thành thạo các ký hiệu toán học, logic (ký hiệu hội, tuyển, kéo theo, tương đương) Kỹ giải hệ phương trình và hệ phương trình đối xứng, hệ phương trình đồng bậc, hệ phương trình chứa thông thường Kỹ thuật đặt ẩn phụ, sử dụng đại lượng liên hợp, biến đổi tương đương Kiến thức tảng uớc lượng – đánh giá, hàm số - đồ thị, bất đẳng thức – cực trị CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (4) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ I MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH VÀ KINH NGHIỆM THAO TÁC x3 3x x y y 13 y 8, Bài toán Giải phương trình x; y ¡ 2 2 x y y 1 x x Lời giải Điều kiện x 2; y 3 Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x 3x x y y 12 y y x 1 x y y 3 Đặt x u; y v u u v v u v u v u v u uv v 1 Với u uv v u v v 1 (Vô nghiệm) Với u v x y x y , phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x x x 10 x x x x5 x22 x x2 1 1 x 5, x 3 (1) vô nghiệm x2 2 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 2;1 Ta có x 1 x x y y , Bài toán Giải hệ phương trình 2 x y 15 x y Lời giải Điều kiện 2x y x; y ¡ Phương trình thứ hệ tương đương với x 1 x 1 3 y y x 1 x 1 y y 3 3 Đặt x u; u u y y u y 3u y u y u uy y 3 Với u uy y u y y 1 (Vô nghiệm) Với u y x y thì phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x x x 20 x x x 24 x 2x x 3 x x8 x 1 x 1 2 x 8, x 1 (1) vô nghiệm x 1 2 Từ đây suy hệ ban đầu có nghiệm x; y 3; Rõ ràng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (5) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y x xy y x y 8, Bài toán Giải hệ phương trình 4 x y 62 x x y Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với x y x y x y 8 x; y ¡ x3 3x x y y y x3 3x x 3x y y y y x 1 x 1 y 1 y 1 3 Đặt x u; y v u u v v u v 3u 3v u v u uv v 3 Với u uv v u v v 3 (Vô nghiệm) Với u v x y , phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x x x 60 x x x 24 x x x 3 x 6 x5 3 x x 4 1 4 x 1 vô nghiệm x5 3 Kết luận hệ phương trình ban đầu có nghiệm x; y 4;6 Ta để ý 7 x y xy x y 12 x x 1, Bài toán Giải phương trình x; y ¡ 5 x y y x x Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với x 12 x x x3 x y xy y x 1 x y x x y y x Phương trình thứ hai hệ trở thành 3 x 1 x x x x 1 x x x x 5 x x x x 12 x x 2 x 6 x2 x 1 1 x x 2 1 5 x 6, x nên (1) vô nghiệm x 1 1 Suy hệ phương trình đề bài có nghiệm x; y 2; 1 Dễ thấy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (6) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 y x x y 4, Bài toán Giải hệ phương trình 2 x y x y x y Lời giải Điều kiện x y 0; y 5 Phương trình thứ hệ tương đương với y 10 x; y ¡ x3 x x x y y x 1 x 1 y y Đặt x t ta thu 1 1 t y 3t y t y t ty y t y t y y 3 t y t ty y 3 t y t y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x Với x , biến đổi dạng x x 3x x x x 1 x 15 x5 0 3x x x 5 x 2 3x x Rõ ràng x 0, x ;6 nên x x 3x x Từ đây đến hệ có nghiệm x; y 5; 4 Nhận xét Thông qua bài toán mở đầu, tiên nhiều bạn độc giả có thắc mắc tự nhiên là chưa thấy mặt mũi cái gọi là ý tưởng chủ đạo sử dụng công cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số Hết sức bình tĩnh, tạm thời chúng ta cần quan sát chút, rõ ràng bài toán trên có phương trình định hướng, thuận tiện biến đổi tương đương để phân tích nhân tử, dừng chân mức độ đơn giản, đó có phương trình hệ ban đầu có dạng phương trình đa thức hai ẩn có đặc thù biến đổi hàm số đơn điệu theo dạng thức f u f v u v Chưa vội sử dụng công cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số, hoàn toàn chưa sử dụng đồng hai phương trình hệ hay công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số biến, đến tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ các hàm số cần thiết Tiếp tục sử dụng phương pháp phương trình còn lại thu phương trình ẩn, hầu hết bài toán trên đã cố ý xếp theo hướng sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời, yêu cầu các bạn độc giả nắm vững các phương pháp giải phương trình chứa để đọc hiểu tài liệu cách tốt Kiến thức đạo hàm – khảo sát hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT, thực nhẹ nhàng và với các bạn thí sinh ôn luyện thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, học sinh lớp THCS hoàn toàn có thể giải toàn các bài toán tương tự theo hướng phân tích nhân tử, với kiến thức thức và phương pháp giải phương trình vô tỷ thông thường, điều này đáng hoan nghênh Vì tác giả mong muốn các bạn độc giả nhỏ tuổi có thể coi lời giải sử dụng kiến thức đạo hàm – hàm số có tính chất tham khảo CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (7) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán Trích lược câu 3, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT, Môn Toán; Tỉnh Lạng Sơn, Đề chính thức, năm học 2013 – 2014 x3 3x x y y , Giải hệ phương trình x; y ¡ x y Lời giải Điều kiện x 3; y 1 Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x x x y y x 1 x 1 y y 1 Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x 1 f y x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x 3x x 3x x 6 x x x 4 y 3 9 x 36 x 3x x 12 x 36 Kết luận hệ phương trình có nghiệm x; y 4;3 Bài toán Trích lược câu 2.b, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT, Môn Toán; Thành phố Hà Nội, Đề chính thức, năm học 2013 – 2014 x3 y 3x x y 0, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 2 x 3 y y x Lời giải 2 x Điều kiện 1 y Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x x x y y x 1 x 1 y y Xét hàm số 1 f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x 1 f y x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành 2 3x x x 3 x x y 2 4 x x 12 x x 5x 6 Đối chiếu điều kiện, kết luận hệ có nghiệm x; y 0;1 Nhận xét Hai bài toán và bước đầu sử dụng đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số, và may mắn là lại chung hàm số f t t 3t ; t ¡ Trước tiên chúng ta không quá khó để nhận đơn giản và định hướng xuất phát từ phương trình thứ hệ ban đầu Thực phân tích, thêm bớt và biến đổi đến dạng tương đồng hàm số f u f v u v Điều kiện tiên để có hành trình này là hàm số đặc trưng cần xét phải đơn điệu trên miền xác định (tập hợp số thực miền xác định các biểu thức đề bài, thâm chí điều kiện có nghiệm các ẩn) Để chứng minh hàm số đơn điệu trên miền các bạn có thể có hai phương án, đó là sử dụng định nghĩa hàm số đơn điệu chương trình Đại số lớp 10 THPT công cụ đạo hàm Phương án Sử dụng công cụ đạo hàm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (8) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Đạo hàm dương nên hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Từ đó f u f v u v Phương án Sử dụng định nghĩa đơn điệu hàm số 3 f x1 f x2 x1 3x1 x2 3x2 x13 x23 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x12 x1 x2 x22 3 x x1 x2 x x1 x2 x22 0, x1 ; x2 ¡ x1 x2 Suy hàm số đồng biến và liên tục Thu f u f v u v 2 x x xy y y y y x 2, Bài toán Giải hệ phương trình 2 x y 1 y 1 y x x x Lời giải Điều kiện x y 1 Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x3 3x y 3xy y x y y y y y x y x y y 1 y 1 3 Xét hàm số f t t 2t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên ¡ nên f x y f y 1 x y y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 2 x x y 1 x x x x x x3 x x 3x x3 3x x 3x x3 x x x 1 x 1 x x 3 2 x 1 3x x 2 2 Dễ dàng nhận thấy x 1 2, x (1) vô nghiệm 3x 2 Từ đây ta thu nghiệm hệ x; y 1;0 x 1 1 x3 x y y 1 y 1 1, Bài toán Giải hệ phương trình x; y ¡ x y x y 19 xy y 105, Lời giải Điều kiện x y 0; x y 19 Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x y y y x x y y y y x x y 1 y Đặt y t ta x t x x t t x t x t x t x xt t 1 x t t 1 Dễ nhận thấy (*) vô nghiệm 3 3 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (9) LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Với x t x y 1; x y y , phương trình thứ hai đó trở thành 2 y y y y y 105 (1) ; y ; y y 0, y ; , hàm số đồng biến y5 Xét hàm số f y y y y y y Đạo hàm f y y 1 Mặt khác lại có f 105 nên phương trình (1) có nghiệm y x; y 4;5 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 5; x x y x y xy3 , Bài toán 10 Giải hệ phương trình 3 y x x y y Lời giải x; y ¡ x2 x2 Điều kiện y Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x y y Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ 1 x2 Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f f x x y y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x3 x x x 1 x x 2x 2 x 1 x x x 1 x2 x 2x 1 2x 1 1 2 2 23 x2 x x 0, x nên x x y 2 2x 1 1 2x 1 Kết luận hệ đã cho có nghiệm x; y 1;1 Để ý x y 3x 2 y x 3y Bài toán 11 Giải hệ phương trình x; y ¡ 3 x y x 1 10 x x y y Lời giải Điều kiện x 10; y Phương trình thứ hệ tương đương với x x y y y 3x x xy x y x y y x3 3x y 3xy y x y y y x y x y y y Xét hàm số f t t 4t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ 1 Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x y f y x y Phương trình thứ hai hệ đó trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (10) 10 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 x3 x3 x3 10 x x 2 2 10 x x x 10 x x 10 x x 3x 10 x x3 x 1 x 1 21 x 1 x x 1 x 1 6 x 4 10 x 10 x 2 2 21 Nhận xét x 0, x 10 nên x x y 4 10 x 1 Kết luận hệ đã cho có nghiệm x; y 1; 2 x3 x xy x y 3xy y y y, Bài toán 12 Giải hệ phương trình x y x3 x y x y x x y 11 Lời giải Điều kiện x y x x y 11 0; x y x; y ¡ Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x y xy y x xy y x y y y y x y x y x y y3 y y 1 Xét hàm số f t t t 2t ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Vậy hàm số trên đồng biến và liên tục trên ¡ nên 1 f x y f y x y y x y Khi đó phương trình thứ hai trở thành 3x x3 x x3 x x 22 x x 11 x 10 x3 x x 12 5 3x 3x x x x 15 9 x x x 1 x 6 x 3x x 2 2 15 1 Rõ ràng x 0, x nên x x y 2 3x Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x; y 2; x3 y 11y 12 y x x, Bài toán 13 Giải hệ phương trình x; y ¡ 3 11 y x y x 27 Lời giải Điều kiện y 2 Phương trình thứ hệ tương đương với x3 3x 3x x x 3x y y 12 y y y y x 1 x 1 x 1 y y y 3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (11) 11 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t t 3t ; t ¡ thì f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Vậy hàm số trên đồng biến và liên tục trên ¡ nên 1 f x 1 f y x y y x Phương trình thứ hai hệ đó trở thành 11 x x 1 x 27 11 x 12 x 12 x x 28 11 x 22 12 x 12 x x 11 x x x x 1 11 x 1 11 x 1 x 1 x 1 x 1 x32 x32 11 x 1 0, x 3 nên x x y x32 Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x; y 1; Nhận xét x x y y y x 10 , Bài toán 14 Giải hệ phương trình y x; y ¡ x y x x y x Lời giải Điều kiện x y 0; x Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x y xy y x y y y x y x y y y 1 Xét hàm số f t t 5t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x y f y x y Phương trình thứ hai hệ đó trở thành x x x x 12 x 14 x x 5 x x x 1 x 1 x 1 5x 1 x 1 x 1 5x 1 Nhận xét x 1 0, x nên x x y 5x 1 Kết luận hệ đã cho có nghiệm x; y 1; 2 x x 3 xy x y y x x y, Bài toán 15 Giải hệ phương trình 3 x y x 12 x y Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x; y ¡ x 12 x y xy y x xy y x y x3 12 x y xy y x xy y x y x x x x y x y x y x3 x x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (12) 12 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t t t ; t ¡ ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x y f x x y x x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành 3 x x x 3x x x 3 3x x x x 3x x 3x x 2 3x 3x Ta có x 0, x nên x x y 2 3x Từ đây đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x; y 2; 2 x x2 2x 2 1, y y y 6 Bài toán 16 Giải hệ phương trình x; y ¡ x y 3 y 1 x2 5x y 3 Lời giải Điều kiện x x y 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với x3 x x y y y x 3x x 1 x x 1 x y y y 1 y y 1 y x 1 x 1 x y 1 y 1 y 3 1 Xét hàm số f t t t t ; t ¡ ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên 1 f x 1 f y 1 x y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành x x 5 x x x 11 x x2 x x2 x x x 11 x x x x x 17 x 32 Nhận xét x x 17 x 35 x 5 x x x 2x x 1 x 1 2 x 0, x nên x x y Hệ có nghiệm x; y 5;3 x 1 3 x x x 16 y y 12 y , Bài toán 17 Giải hệ phương trình 3 x x y y x y x; y ¡ Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (13) 13 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 x x 16 y y 12 y x3 x x y y 12 y y y y x3 x x y y y Xét hàm số f t t t 4t ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Vậy hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f x f y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x x x x x x x x x x x x 4x x2 3 x x x x 4x x 1;3 x 4x x 3x x (Hệ vô nghiệm) 9 x x So sánh điều kiện ta thu nghiệm x; y 1;3 , 3;5 Bài toán 18 Trích lược câu II 2, Đề thi thử Đại học – Cao đẳng lần thứ 3, Môn Toán (Dành cho tất các khối thi); Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội, trực thuộc Đại học Sư phạm Hà Nội ; Mùa thi 2013 1 x x2 y y2 1 , Giải hệ phương trình x; y ¡ x 3x x y2 y Lời giải Điều kiện y Rõ ràng x không thỏa mãn hệ phương trình đã cho 2t t 2t 2t t t t 1 Xét hàm số f t t ; t ta có f t 0, t 2 t 1 t 1 t 1 t 1 Suy hàm số liên tục, đồng biến với t Phương trình thứ hệ tương đương với f x f y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 9x2 3x x x 3x 2 x x x x 4 t t x 12 x t 12 x x x Ta thu t 2 t 2 t 12 t t2 4t t 12 t 4t Đặt x 3x 1 3x x x ; x 1 1 1 1 Kết luận hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y ; ; , 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (14) 14 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 1 x y y x2 , Bài toán 19 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 6 x y x y y Lời giải Điều kiện y Xét x không thỏa mãn hệ phương trình đã cho 1 Với x phương trình thứ hệ tương đương x y x 4 y 4 Xét hàm số f t t với t ta có t 4 2t t 8t 2t 16 f t 2 t 4 t 4 t 4t t 2t 3t 11 t 4 t t 1 3t 11 2 t 4 0, t Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu f x f y x y Phương trình thứ hai đó trở thành x x2 x x2 x x x2 x x x x x2 x x2 x Đặt 1 x x t t , phương trình (1) trở thành t xt x t t x x t x t x t x x 2 x2 x x 281 281 x x x x y 70 70 x0 x x x 2 x x 36 x 281 281 Kết luận hệ đã cho có nghiệm x; y ; 70 70 1 x y 2x2 y2 , Bài toán 20 Giải hệ phương trình x y x y x y Lời giải x; y ¡ Điều kiện x y Phương trình thứ tương đương với x Xét hàm số f t t 2x 1 y y2 1 thì 2t f t 4t 2t 1 4t 4t 4t 2t 1 4t 2t 1 2t 1 2 Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu f x f y x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (15) 15 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Phương trình thứ hai đó trở thành x2 4x x x x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 3 x 1 x 1 x x 3 Với x 1 , đặt x u; x v v thu u 2v 2u 5uv 2v u 2v 2u v v 2u Xét các trường hợp x 1 x 1 u 2v (Hệ vô nghiệm) 2 x x x 12 7 x x 11 x 1 x 1 4 14 4 14 v 2u x y 2 2 2 x x 2 x x x 1 Kết luận hệ phương trình có nghiệm x 4 14 4 14 ;y 2 1 x x2 x y y y , Bài toán 21 Giải hệ phương trình x; y ¡ x x y x y Lời giải Điều kiện x y Nhận xét x y thỏa mãn hệ phương trình đã cho Xét xy x 0; y Xét hàm số f t t ; t thì t t 1 2 2t t 2t t 2t 2t 2t t t 2t 3 f t 0; t 2 t t 1 t t 1 t t 1 Suy hàm số liên tục và đồng biến với t Phương trình thứ trở thành f x f y x y Khi đó phương trình thứ hai hệ có dạng x x x3 x x x x x x Với x 1 , đặt x x u; x v u 0; v ta thu u v u 7uv 6u u v u 6v u 6v Xét hai trường hợp xảy x 1 x u v x2 x x x x 1 x 1 x 37 1509 37 1509 x 1 u 6v x x x x ; 2 x 37 x 35 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (16) 16 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 37 1509 37 1509 37 1509 37 1509 Vậy phương trình đã cho có nghiệm S 0;0 , 2; ; ; ; ; 2 2 2 x x2 x y y2 y , Bài toán 22 Giải hệ phương trình x; y ¡ 3 x y x x y Lời giải Điều kiện x; y ¡ Xét hàm số f t t ta có t 2t 2t t 4t 4t 6t 12t 4t f t 2 t 2t 3 t 2t 3 t 4t 4t 6t 8t t 2t t 1 2t 2 0, t ¡ t 1 Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Thu f x f y x y t 2t 3 Thay vào phương trình ta có x x x x Nhận xét x x x x x x 1 x x x 1 x x 1 Phương trình trên tương đương với x x 1 x x 1 x x x x Đặt x x u; x x v u 0; v thu u v 2u 3v 5uv 2u u v 3v u v 2u 3v u v 2u 3v 2 u v x x 1 x x 1 x 13 69 13 69 2u 3v x x x x x 13 x x ; 10 10 13 69 13 69 13 69 13 69 Từ đây đến kết luận tập nghiệm S 0;0 ; ; ; ; 10 10 10 10 Nhận xét Thông qua 22 bài toán mở màn, chắn nhiều bạn độc giả đã hình dung phần nào ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số giải hệ phương trình chứa thức (hệ phương trình vô tỷ) nói chung Các bài toán trên dừng chân với mức độ đơn giản, có phương trình thứ có dạng đa thức, đồng thời mang tính chất định hướng lộ liễu Vế phía sau bài toán bước đầu xoay quanh giải phương trình vô tỷ bản, sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời (các bài toán đến 16), sử dụng ẩn phụ đồng bậc (các bài toán 19 đến 22), yêu cầu đòi hỏi kiến thức và kỹ thực hành phương trình định có thể hoàn thành trọn vẹn Sau đây là số bài tập tương tự dựa theo motip trên, mời các bạn thử sức theo hai phương cách (biến đổi tương đương sử dụng tính chất đơn điệu) trước chuyển sang lớp hệ phương trình quy dạng hàm số với các biến chứa CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (17) 17 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài tập tương tự Giải các hệ phương trình sau đây trên tập hợp số thực y y x3 x, x y x y 2 y y x x, x y x y 3 y y y x3 y x, 2 x y x y 2 y y y x3 y x, 2 x y x x y y y x3 x x 4, x y y x y x y 28 y 30, x x y x3 y 3x x y 0, x y 1 x y x 10 11 12 13 14 x3 3x x y y 13 y 8, 2 9 x y 17 y x x 1 x x y y, y 3 x x x y x x 21x y 45 x, y x y x xy y x y 8, 7 x y xy x y 12 x x 1, 2 6 x 20 x y x 3 x y x3 y 3x x y 4, 2 x y x x y x3 3x x y y , 8 x 19 x y 64 x x3 y 3x x y 0, x 3x y x y x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (18) 18 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x xy y y y y x 2, 15 3 x x y 24 x x y 64 x3 x y y 1 y 1 1, 16 x x y x x x y x3 y 3xy , 17 2 2 6 x y y x x y x y 3x , 2 18 y x y 2 y 17 x 99 x x y 24 19 20 21 22 23 24 25 26 27 x3 x xy x y 3xy y y y , 2 18 x y x 16 y x x3 y 11y 12 y x x, 2 3 x y 14 x 45 x 27 y x x y y y x 10 , 4 y x y x y x x 3 xy x y y 3x x y , x 2 y x 1 x x x2 x 2 1, y y y 3 x y x y 1 x x2 y y2 , y 2 3 x y 2 x y 1 x y , 2 y 4 x 4 2 y 2 x x y y 1 x y , 2x y2 1 6 x y y x x y 1 x y , 2 x x 1 y y 1 3 x y y x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (19) 19 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán 23 Trích lược câu III, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Tỉnh Vĩnh Phúc; Năm học 2012 – 2013 2 y y x x x , Giải hệ phương trình x; y ¡ y y x Lời giải Điều kiện 4 x Phương trình thứ hệ tương đương với y y x x 1 x 1 x y y 1 x x x 1 Đặt x t thu 1 y y 2t t t y t y t y t ty y 1 t y y t y t y t y 1 t y y 1 x 2 2 y 1 x t y t y 1 Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành 2x x x x 1 x 2x x 3 x3 x3 0 x 1 1 x 2x 1 x 3 2 x 1 x 2x 1 Dễ thấy 0, x 4;1 nên x x 3 y x 1 1 x 2x Đối chiếu điều kiện ta đến nghiệm Lời giải Điều kiện 4 x Phương trình thứ hệ tương đương với y y x x 1 x 1 x y y 1 x x x 1 Xét hàm số f t 2t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập số thực y Như 1 f y f x y x y 1 x Phương trình thứ hai hệ đã cho trở thành 2x x x 2x x x 1 Xét hàm số g x x x x 4; x 4;1 ta có 1 0, x 4;1 2x 1 x x Dẫn đến hàm số liên tục và đồng biến trên miền xét y2 Suy 1 g x g 3 x 3 y Hệ có nghiệm x; y 3; y g x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (20) 20 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán 24 Trích lược bài toán T7/412, Đề kỳ này; Số 412, Tháng 10 năm 2011; Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà Xuất Giáo dục Việt Nam, Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam Tác giả: Nguyễn Tiến Tiến – Giáo viên Trường THPT Gia Viễn B, Huyện Gia Viễn, Tỉnh Ninh Bình 17 x x y 14 y 0, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y 3 x y 11 x x 13 Lời giải Điều kiện x y 0;3 x y 11 0; x 5; y Phương trình thứ hệ tương đương với 3 x 2 x 3 y y 35 x x x 3 y y y 1 Xét hàm số f t 3t 2t ; t ¡ ta có f t 9t 0, t ¡ Suy hàm f t liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Khi đó 1 f 5 x f y x y x y y x 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x 13 Với điều kiện x ta biến đổi dạng 3x x 2 x x 3x x 5x x x2 x 3 x x 5x x x2 x x x 1 1 5x x 3x x 2 Rõ ràng 0, x ;5 nên thu 3x x 5x x x x 1 x 1; 0 x; y 0; 1 , 1; 2 Kết luận hệ phương trình có hai nghiệm kể trên 53 x 10 x y 48 y 0, Bài toán 25 Giải hệ phương trình x y x 2 x y 11 x 66 x; y ¡ Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với 5 10 x 3 10 x 5 y 3 y 5 10 x 10 x 9 y 3 9 y Xét hàm số f t 5t 3t ; t ¡ thì f t 15t 0, t ¡ , Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Ta thu f 10 x f y 10 x y 10 x y y x Khi đó phương trình thứ hai trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (21) 21 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x x 66 10 x x x x 63 10 x x9 x 9 x x 0 x7 4 10 x 1 x 9 x 7 x 10 x Vì 1 1 x 0, x 7;10 nên 1 x x x 10 x Vậy hệ đã cho có nghiệm x; y 9;8 23 x x y 20 y 0, Bài toán 26 Giải hệ phương trình x y x y x 14 x Lời giải Điều kiện x y 0;8 x y 0; x 7; y Phương trình thứ hệ tương đương với 3 x x 3 y y x; y ¡ 37 x x x 36 y y y Xét hàm số f t 3t 2t ; t ¡ ta có f t 9t 0, t ¡ Suy hàm f t liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Khi đó ta có f 7 x f y x y x y x y 1 x x x 14 x Với x ta biến đổi 3 x x x 14 x Phương trình thứ hai hệ trở thành x 15 x 5 x x 1 3x x x 5 3x 1 3x x 1 Chú ý x 0, x Do đó 1 x x 3x x Từ đây đến nghiệm x; y 5; x x y y , Bài toán 27 Giải hệ phương trình x; y ¡ 1 x y 3x y x Lời giải Điều kiện x y 0; 1 x 2; y Phương trình thứ hệ tương đương với 3 x 1 x 3 1 y 1 y x x x 1 y y y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (22) 22 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t 3t t ; t ¡ f t 9t 0, t ¡ Hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên f 2 x f 1 y x 1 y x 1 y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 4x2 x x x x 1 x 1 x 1 x Đặt x u; x v; v ta thu 2u 7v 2u 7v u 5v 2u 7v 2 2 u 5v 4u 28uv 49v 3u 28uv 44v u v 2u 7v 2u 7v u 2v 3u 22v u 22 v u 2v u v Loại trường hợp vì v u 22 v 1 x 2u 7v Xét trường hợp x 1 2x u 2v 4 x x x 1 2 7 7 x x x; y ; 2 2 4 x x 7 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y ; 2 x2 y , x Bài toán 28 Giải hệ phương trình y x; y ¡ 3 x x 1 y x y 16 Lời giải Điều kiện x 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với x x y y x3 x y y y Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực, ta thu f x f x 3 y x 3 y x y Lúc này phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x x 16 x x x x 2x 1 2x 4x x 1 x 1 x x x 1 x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (23) 23 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ u v u v Đặt x u; x v v ta có u v u 3v 2 v v u u 2uv v u 3v Xét hai trường hợp xảy u v 2 x x (Hệ vô nghiệm) v 2 x 1 u v x x Do v nên u v 2x 1 2x 1 x 2 u v 4 x x x x x 3 3 3 Từ đây suy phương trình đã cho có nghiệm x; y ; 2 4 17 x x x 63 14 x 18 y Bài toán 29 Giải hệ phương trình y x x x 12 y 34 13 y 17 y x; y ¡ Lời giải 17 ; x 0;63 14 x 18 y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 x x 17 y 17 y 17 y 17 y Điều kiện y Xét hàm số f t t 2t 9t f t 3t 4t t 2t 0, t ¡ Suy hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Hơn x 17 y f x f 17 y x 17 y x Phương trình thứ hệ lúc đó trở thành 6y x x 63 14 x x 17 x x x 14 x 12 y x x x2 x 4 x x x x 2x Đặt x u; x v v thu 3u v 3u v 3u 2v 2 2 9u 6uv v 12u 8v 3u v 3u v 3u v u v u 2uv 3v u v u 3v u 3v 0 x 0 x 3u v u 0; v x x 2 0 u v u v 2 x x x 3u v 10v v v x (Hệ vô nghiệm) u 3v u 3v u 3v u x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (24) 24 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 8 Từ đây đến kết luận hệ có nghiệm x; y 1; 3 3 x x x2 y , Bài toán 30 Giải hệ phương trình 1 x x y 14 x x x y 11 y y Lời giải Điều kiện y 6; x x y 14 0; x x; y ¡ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 x x y y y y Xét hàm số f t t t 5t f t 3t 2t t 1 2t 0, t ¡ Như hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp ¡ Thu x f x f y x y x y Thay vào phương trình thứ ta có 3 x x 3 x x 1 x x x 14 x 3x x x x 3x x x x x x Đặt x u; x v u ta thu u v u v u v u v2 2 2 u v u v 2uv u v u v 2 x x x 1 x x 1 x 1 Từ đây suy hệ có nghiệm x; y 1;5 Nhận xét Thông qua 30 bài toán mở đầu với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm – tính chất đơn điệu hàm số, số bài toán có hình thức phức tạp đồng hai phương trình hệ ban đầu, nhiên mức độ còn đơn giản có phương trình định hướng khai thác, các ẩn tham gia thiết lập hàm số còn nguyên sơ, dễ dàng quy dạng thức f u f v u v đó u g x ; v h y , hàm đơn thức Sau đây chúng ta phức tạp hóa các đơn vị tham gia hàm số thêm bậc, thiết lập f u f v u v đó u g x; y ; v h x v h y là các hàm đơn thức Trong các thí dụ điển hình tiếp theo, tác giả tập trung sử dụng hai dạng hàm số đặc trưng (đa thức hệ số nguyên) đồng biến trên tập số thực ¡ sau Hàm số f t at bt với a 0; b f t 3at b Hàm số f t at bt ct với f t 3at 2bt c 0, t b 3ac Rõ ràng trường hợp thứ hai xuất các ẩn x và y bên ngoài thức, khiến cho việc phán đoán hàm số trở nên khó khăn, nhiên cần bình tĩnh, không có gì là không thể, tác giả đồng hành bước cùng độc giả việc chinh phục lớp bài toán này ! CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (25) 25 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y x y y y 1, Bài toán 31 Giải hệ phương trình y x; y ¡ x 1 1 5 x 2y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 1 x y x y y 1 y y x y 1 x y 1 y 1 y 1 Xét hàm số f t t 7t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Như hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Thu f x y 1 f y 1 x y 1 y 1 x y 1 y 1 x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x 1 x x x x x x x x x2 1 x x x x x x x2 x2 x x , đặt t , t ta thu phương trình x x t t x2 x x2 x t x 1 x x x 5t t t 1 5t 1 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm hệ x; y 1; 2 Với điều kiện x 0; 2 4 y 1 x x , x Bài toán 32 Giải hệ phương trình x; y ¡ x y 29 x y y 23 y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y x y 17 x y y 1 y 17 y 6 x y2 17 x y y 17 y Xét hàm số f t 6t 17t ; t ¡ f t 18t 17 0, t ¡ Như hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Thu f x y2 f y x y y x y y 1 x 1 y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành 2 2 2 x 1 1 x x x 3x x x x x x x x x x Với điều kiện x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (26) 26 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Đặt x t , t ta thu x t t t 1; 2 2 t 1 t t 3t x x x x x 1; 2; 2; 3 3 Từ đây suy hệ phương trình có các nghiệm S 1; 2; ; 2; ; 2; 2 y x 11 y x x 11 x 1, Bài toán 33 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2x y x y 3 x y 2x x Lời giải Điều kiện các mẫu thức và thức xác định Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với y x 1 y x y x x 1 x x 2 y x 1 y x 1 2x x Xét hàm số f t 2t 9t ; t ¡ f t 6t 0, t ¡ Như hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Thu f y x 1 f 2x 1 y x 2x y x 2x 1 y 2x Lúc này phương trình còn lại hệ trở thành x 1 3x x x 1 x 1 x x x x x x x 1 x x x 3x x 1 1 x x x 1 x x x x Với điều kiện x x 1 0;3 x x Đặt x t , t ta thu x 1 13 13 t t t t t 3x x x ; 2 t t t 1 t t 2;1 13 13 Từ đây suy hệ đề bài có nghiệm x; y ;1 13 , ;1 13 x y 13 x y x 2, x2 Bài toán 34 Giải hệ phương trình y y 1 x 3 15 x y 1 Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (27) 27 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y 13 x y x 12 x x y 3 x y 10 x y x x y 10 x y x 10 x x 10 x Ta xét hàm số f t t 10t ; t ¡ f t 3t 10 0, t ¡ Như hàm số này liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Thu f 2x y f x 2x y x 2x y x y x Khi đó phương trình thứ hai trở thành x x 3 15 x x x 15 x x 12 x 2 x x x x x x Với điều kiện x 0; x 6 , đặt x t , t ta thu x x t t t t 3 2 t 3 t t 4;3 t t 12 6 x x x x 1;6 x x Đối chiếu điều kiện và thử lại thu hai nghiệm x; y 1; , 6;7 x x 2 x y x y 1 x y 1, Bài toán 35 Giải hệ phương trình 2 x xy x y y 42 x y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x x x x y x y 1 x y x; y ¡ x 1 x x x x y x y x y x y 2x 1 2x 1 2x 1 x y x y x y Xét hàm số f t t t t ; t ¡ ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x 1 f x y 2x 1 x y x y Khi đó phương trình thứ hai trở thành x 3x 1 x x y 1 x 42 x x x 3x x x 23 x 19 x 3x x x x 3 x x 1 x 3x x x x 3 x 1 Đặt x 3x a; x b a ta thu phương trình 2a b 2a b 2a b 2a b 5a 4b 2 2 4a 4ab b 5a 4b a 4ab 3b a b;3b Xét hai trường hợp CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (28) 28 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 1 2a b a 0; b x 1 (Hệ vô nghiệm) x x x x x a b a b x 1 x 1 2a b a 0; b 33 15 x x x x x 16 x 15 x a 3b a 3b 33 15 31 33 Từ đây suy hệ có nghiệm x; y ; 16 16 x y x y x x x y, Bài toán 36 Giải hệ phương trình 2 x x y 14 y 12 x Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 2 x y 2x y x 2 x x x; y ¡ x y 1 x y x y x y x 1 x x x 2x y 1 2x y 1 2x y x 1 x 1 x 1 Xét hàm số f t t t t ; t ¡ ta có f t 3t 2t 2t t 1 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x y f x 2x y x 2x y x 1 x y Khi đó phương trình thứ hai hệ tương đương với x x 14 x 12 x x x x x 1 1 x x x 1 x 1 x Với điều kiện x 0;14 x 12 x Đặt x a;1 x b a ta có a b a b a b 3a 2b 2 2 a 2ab b 12a 8b 11a 2ab 9b a b a b a b a b a b a b 11a 9b a b 11a 9b 11a 9b Xét hai trường hợp xảy 1 a b a 0; b 1 x 1 x o x a b a b 1 x x x x x a a a 1 x a o a b (Hệ vô nghiệm) a a b x 11a 9b 11a 9b 11a 9b Từ đây đến hệ có nghiệm x; y 0; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (29) 29 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Nhận xét Hai bài toán 35 và 36 đã bước đầu phức tạp hóa hàm số dạng f t at bt ct với f t 3at 2bt c 0, t b 3ac Hàm số có dạng làm xuất các biểu thức tự phía ngoài thức, làm cho quá trình Gia Cát Dự hàm số trở nên khó khăn và yêu cầu chút may mắn Tuy nhiên các bạn có thể thực sau Đối với bài toán số 35 Trước hết biến đổi tạm thời x x x y x y 1 x y Xác định ẩn hàm là hai thức Thiết lập hàm số a 2x 1 b 2x 1 c 2x 1 a x y b x y c x y a x 1 x b x 1 c x a x y x y b x y c x y 2ax a c x bx by b ax ay c x y Thực đồng thức 2ax a c x bx by b ax ay c x y 2 x x x y x y 1 x y 2a a a c Tức là b f t t t t b c a 1; c Biến đổi ngược đảm bảo yếu tố tự nhiên, logic x x x x y x y 1 x y x 1 x x x x y x y x y x y 2x 1 2x 1 2x 1 x y x y x y Công đoạn xét hàm số và các bước đã trình bày lời giải phía trên Đối với bài toán số 36 Trước hết biến đổi tạm thời x y x y x y x x Xác định ẩn hàm là hai thức, Thiết lập hàm số a 2x y 1 b 2x y c 2x y a x 1 b x 1 c x 1 a x y 1 x y b x y 1 c x y a x 1 x b x 1 c x 2ax ay a c x y bx by ax a c x Thực đồng thức 2ax ay a c x y bx by ax a c x 1 x y x y x y x x 2a a a Nghĩa là b f t t t t a c c b Biến đổi ngược đảm bảo tự nhiên, logic trình bày CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (30) 30 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y 2 x y 2x y x 2 x x x y 1 x y x y x y x 1 2x y 1 2x y 1 2x y 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x y x x y y x 18, Bài toán 37 Giải hệ phương trình x y 3 x y x y y 3 y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y 3 x y x y y 3 y y x; y ¡ 2x y 2x y 2x y 2x y y y y y 2x y 2 2x y 2x y y 2 y 3 y Xét hàm số f t t 2t 3t ; t ¡ ta có f t 3t 4t t 1 t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x y f y 2x y y 2x y y x y Lúc này phương trình thứ hệ trở thành x x x 3x x 18 x x x x x x x x u; x v u 0; v ta thu Đặt u 0; v u 0; v u 0; v u 2 2 2 u v u 2uv v 3u v u u v u v 3u v u x x x 3 x x 3; 2 u v x x x x x 6; Từ đây suy hệ có hai nghiệm x; y 2; , 6; x y x y y x 4, Bài toán 38 Giải hệ phương trình x y 14 x y x y y y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y 14 x y x y y 14 y y x; y ¡ x y 3 x y x y 3 3x y y y y 3 y 3 3x y 3x y 3x y 2y 3 3y 2y Xét hàm số f t t t 5t ; t ¡ ta có f t 3t 2t t 1 2t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (31) 31 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ f 3x y f y 3x y y 3x y y x y Khi đó phương trình thứ hệ trở thành x x x x x x x x x 1 x x x a; x x b a 0; b ta thu Đặt a a b 3a b a 2ab b 3a b a a b a b Xét hai trường hợp a 2x 1 x x a b x x 3x x x 3x x x x 1 1 1 Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x; y ; 2 2 2 x y y 1 x x 38 y 9, Bài toán 39 Giải hệ phương trình x y x y y y x y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y x y x y y 8 y y x y x; y ¡ x y x y x y y 1 y y 1 y x y x y 7 x y y 1 y 1 y 1 Xét hàm số f t 2t t 7t ; t ¡ f t 6t 2t t 1 5t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f x y f y 1 x y y x y y x y Khi đó phương trình thứ hệ trở thành 2x y 1 x x 19 x 1 2 x x x x 19 x 28 2 x x x x 3 x x Với x , đặt 2 x a; x x b a 0; b thu a 2a b 8a b 4a 4ab b 8a b a a b a b Xét hai trường hợp xảy a0 x 1 1 a b x x 3x x x x ; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (32) 32 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 3 1 Từ đây đến hệ có nghiệm x; y ; 2 4 x y x y x y y 3 y 1, Bài toán 40 Giải hệ phương trình 3 y x x x y x y y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y x y x y y 3 y y x; y ¡ x y x y x y x y y 1 y y 1 y 2x y 2 2x y 2x y 2 y 1 2 y 1 y 1 Xét hàm số f t t 2t 4t; t ¡ f t 3t 4t t 2t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x y f y 1 x y y 1 2x y y x y Phương trình thứ hai đó trở thành x x x x x 1 x y 1 x x3 x x3 x x x x x3 x x x3 x Chú ý điều kiện 3 x x Đặt x y x y x3 x y y ta thu x y y x 2 y x y x xy y y x x x x x3 x x x y x y x x x 1 x x x3 x x x x y x x y x x x x Thử lại nghiệm, kết luận hệ có nghiệm tập nghiệm S 1;3 ; 2; 2 y x3 x 14 y x 17 x y 26, Bài toán 41 Giải hệ phương trình x y x y y y x y 1 Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y x y 3x y y y y x; y ¡ x y x y x y x y y 3 y y y x y2 3 x y2 4 x y2 y 3 3 y3 4 y3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (33) 33 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t 3t 4t f t 3t 6t t 1 t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f x y2 f y x y y x y y x y 1 Khi đó phương trình thứ hệ trở thành 2 x 1 x x x 1 x 17 x x 27 2 x x x x 18 x 27 2 x x x x 1 x3 x 3 x 18 x 27 Với điều kiện x x x Đặt x a; x3 x b a 0; b thu 2a b 6a 3b 4a 4ab b 6a 3b a b a b x x3 x x3 x Thử lại thấy giá trị này thỏa mãn phương trình ẩn x trên Kết luận nghiệm x; y 6; 1 x y 11 x y y x y y 2, Bài toán 42 Giải hệ phương trình 2 x x y 16 y x 43 x x; y ¡ Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 11 x y x y y y y x y 3 x y x y 3 x y y 2 y y y 2 y 2 2 2x y y2 2x y 2x y 5 y 2 Xét hàm số f t 2t 2t 5t ; t ¡ f t 6t 4t t 5t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x y f y 2x y y 2x y y 2x 1 y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x 1 x 1 x 43 x x x 18 x 16 x 39 x x x 3x 18 x 16 x 39 25 x 1 x x 10 x x 1 x 18 x 16 x 39 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (34) 34 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 10 5 x 1 x 1 x 16 x x 12 x 1 x 1 x x 3x x x x x x 1 x Với x , đặt x x u; x v u 0; v ta thu u v 5uv 4u v u v 4u v u 4v Xét hai trường hợp xảy x x uv (Vô nghiệm) x x x 2 x x x x 17 u 4v x 2 x x 16 x 32 2 x 17 x 31 19 17 Vậy hệ phương trình đề bài có nghiệm x; y 3; x y x y x y x 5 x , Bài toán 43 Giải hệ phương trình 2 x y 24 x 28 x y y x 20 Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x 10 x x 3x y 3x y 3x y x; y ¡ x x x 10 x x y x y x y x y x 2 x 5.2 x 3x y 3x y 3x y Xét hàm số f t t t 5t ; t ¡ f t 3t 2t t 1 2t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f x f 3x y x x y x 3x y x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x 24 x 28 x x x 20 x 24 x 28 25 x x x 20 10 2x2 x x x x x 5 x x x x x x x x 5 x 24 x 28 Với điều kiện x x 2; x x 20 Đặt x a; x x b a 0; b ta thu a b 3a 2b 5ab a b 3a 2b 3a 2b Xét hai trường hợp xảy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (35) 35 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 61 61 a b x x x x x 13 x ; 11 3a 2b x x x x 17 x 77 x ; 61 61 So sánh điều kiện ta thu nghiệm hệ S 7; ; ; 2 Bài toán 44 Giải hệ phương trình 3 x y x3 13x 12 y x3 x y y x 1, x 2y 2x y x y 1 x y x; y ¡ Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y 5 x y x y 4 x y x y 1 x y x y x y x y x y x y x y 10 2x y 2x y Xét hàm số f t t 4t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f x y 1 f x y x y 2x y x y 2x y x y Khi đó phương trình thứ hệ trở thành x x x 13 x x 1 x x y 1 x 2 x x x3 13 x x 10 x x x x x x3 x x x3 x x x x Khi các xác định, đặt x x a; x x x b a 0; b ta có 3a b 5b a 9a 6ab b 5b a 5a 3ab 2b a b a b 5a 2b 5a 2b Xét hai trường hợp xảy a b x x x x x x3 x x 1 x x x x x x 5a 2b a x (Hệ vô nghiệm) x 3x x a 0; b b x 3x x Thử lại nghiệm, kết luận hệ có nghiệm x; y 1;1 Nhận xét CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (36) 36 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán số 44 đã bước đầu xuất hai ẩn hàm đơn thức, mức độ tăng thêm hai ẩn này đồng thời các ẩn x, y và số tự u g x; y f u f v u v đó v h x; y Tuy nhiên biểu thức dấu dừng chân tạm thời các đa thức bậc hai ẩn x và y Các bài toán tăng cường bậc các đa thức hai ẩn g x; y ; h x; y x y x y x y x y 1, Bài toán 45 Giải hệ phương trình y 1 x 8 30 1 x y 2x y 3x y x; y ¡ Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 1 x y x y x y 1 x y x y 2 2x y 1 2x y 1 x y 1 x y 1 Xét hàm số f t 2t 3t ; t ¡ f t 6t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên ¡ nên thu f 2x y f x y 1 2x y x y 2x y 1 x y 1 x y Lúc đó phương trình thứ hai hệ trở thành x 1 x 30 x x 17 x 30 2x 1 x x x x 8 8 x 17 30 x x 12 x x x x 8 Với điều kiện x 0; x , đặt x t , t ta thu x x t t t t x x x x 1; 4 2 x t t 12 t 3 t t 4;3 2x Thử lại đến kết luận hệ phương trình có hai nghiệm x; y 1;1 , 4; x y x y y x y x , Bài toán 46 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y 13 y2 x5 y5 Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với 2x y 2x y 2x y 2 y x y x y x 2x y 2x y 2y x 7 2y x Xét hàm số f t t 7t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên thu CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (37) 37 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ f 2x y f y x 2x y y x 2x y y x x y Suy phương trình thứ hai hệ tương đương với x2 x 13 1 x5 x5 x x 12 x 13 x5 x x x 3x x5 x5 x5 x 3x , đặt t , t ta thu x5 x5 t t t t 1 2 t t t 2;1 t t 2 x 3x x x x x 3;1 Với điều kiện x 5; x x 3x 1 x5 Thử lại đến hệ có hai nghiệm x; y 3; 3 , 1;1 x y 10 x y y x 1 x y x y 1, Bài toán 47 Giải hệ phương trình x 1 x y y x3 y 2 Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 10 x y x y x y x y x y x; y ¡ x y x y x y 10 x y x y 1 x y x y 1 10 x y x y 2 x y 10 x y 2x y 1 2 x y 10 x y Xét hàm số f t t 2t 10t f t 3t 4t 10 t 2t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f x y f x y x y 2x y x y x y 1 x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x 1 8 x2 2x x2 3 x2 3 x3 x3 x3 x3 Với x 3; x x 3 x x x x3 x3 x2 x x2 x 2 x3 x3 x x2 , đặt t , t ta thu x3 x3 t t t t 1 2 t t t 2;1 t t x2 x x x x x x 1;1 x3 Thử lại, dẫn đến hệ có hai nghiệm x; y 1; 1 , 1;0 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (38) 38 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y 11 x y x y 14 x y x y 1 , Bài toán 48 Giải hệ phương trình x y x 13 x x4 x y3 Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y 11 x y x y x y 14 x y x y x; y ¡ x y x y x y 11 x y x y 3 x y x y 3 11 x y 4x y 4x y 11 x y x 2y 3 x 2y 11 x y Xét hàm số f t 2t t 11t ; t ¡ f t 6t 2t 11 t 1 5t 10 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f 4x y f x y 4x y x y x y x y 3x y x y Lúc này phương trình thứ hai hệ tương đương với 3x x 13 3x x 13 3x 3x 5 3 2 2 x x4 x x4 x x4 x x4 x x4 x x4 3x 1 Với điều kiện x , đặt t , t ta thu x x4 t t t 3x t 1 1 2 t t t 2;1 x x t t 2 x x x x x x 1 x 3 x 1;3 Thử lại đến kết luận hệ có nghiệm x; y 1; , 3; x y 1 x y x 1 x y x y 1, Bài toán 49 Giải hệ phương trình yx x3 y y 3 x x y x x x; y ¡ Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x y x y x y x y x y 1 x y x y x y 3 x 2y 2 x 2y x 2y x y x y 1 x y Xét hàm số f t 3t 2t t ; t ¡ f t 9t 4t 2t 1 5t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f x 2y f x y 1 x y x y 1 x y x y 1 y Phương trình thứ hai trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (39) 39 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 1 x x3 1 x x3 1 33 x x 1 x x 1 x x 1 x3 x 1 Với điều kiện 1 x x3 x3 x3 4 x3 x x3 x x3 x x3 x x3 x3 0; x x , đặt t , t ta thu x3 x x3 x t x3 t t x x3 x x 2 t 4;1 x x 1 t 3t Thử lại ta thu nghiệm x; y 1;1 x y 15 x y x y 15 x y x y , Bài toán 50 Giải hệ phương trình y x y 1 3 x y x Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với 3x y 15 3x y x y x y 15 x y x y x; y ¡ x y x y x y 13 x y x y x y x y 13 x y 3x y 13 3x y x y x y 13 x y 3x y 3 Xét hàm số f t 2t 3t 13t ; t ¡ f t 6t 6t 13 t 3 5t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f 3x y f x y 3x y x y x y x y x y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x 1 x x x 1 1 x3 x3 x3 x 3 Với điều kiện x x x3 x x3 x3 x3 x x3 x 0; x , đặt t , t ta thu x3 x3 t t t x3 x x3 x x 2 t 2;1 t t Suy hệ phương trình có nghiệm x y x y x y x x 1, Bài toán 51 Giải hệ phương trình x y 1 x y x Lời giải x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (40) 40 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x y x y x y x 1 x x x2 y 6 x2 y x 1 x 1 Xét hàm số f t t 6t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f x2 y f x x2 y x x2 y x Lúc này phương trình thứ hai hệ trở thành x x 1 1 2 2 x 3 x 3 x 3 x 3 2 x 2x2 x 1 2 2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 1 Đặt t ta thu 2t t 2t 1 t 1 t 1; 2 x2 x x x x x2 4 x x x 1;1 x 1 x 1 x x x x x x2 Kết luận phương trình đã cho có nghiệm x y x x y 11 x y y x 11 y x , Bài toán 52 Giải hệ phương trình x x2 x x 2y y 2 x Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x y x y 11 x y y x y x 11 y x 2 x2 y 11 x2 y yx 11 y x Xét hàm số f t 2t 11t ; t ¡ f t 6t 11 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f x2 y f y x x2 y Phương trình thứ hai hệ trở thành x 2 x Với điều kiện x , Đặt x x2 2 x2 y x x2 y y x x2 y x x 1 2 x 2 2 x x x 2x x2 3 2 x2 x 2 x2 x 2 t ta thu 2t t t 1 t 3 t 3;1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (41) 41 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x t x x2 x 1 2 x x x x x o t 3 x 3 x x x 9.2 x 5 x Từ đây dẫn đến hệ có các nghiệm x; y 1;1 , ; 10 o x y x y y x 5 y x , Bài toán 53 Giải hệ phương trình x 1 6x y x x y Lời giải Điều kiện các thức và mẫu thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x2 y x2 y x2 y 3 y x y x 3 x2 y 5 2x2 y 2y x 2y x Xét hàm số f t 3t 5t ; t ¡ f t 9t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ nên ta f x2 y f y x x2 y y x x2 y y x x2 y x Khi đó phương trình thứ hai hệ tương đương với x 1 3x x 1 3x x 1 x2 2x 1 1 x2 x x x x2 x x x x2 x x x t x 1 Đặt t ta thu t t t 1 t x2 x t x 1 x 1 t x x2 x x 1 x x x x x x 1 t 2 x 2 x x x x x x x 16 Kết luận hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y 1;1 x x x y 8 x y , Bài toán 54 Giải hệ phương trình x 13 x y 26 x y x x Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với 2x x; y ¡ 1 x x x y x y x y 2x2 1 2x2 1 2x y 8 2x y Xét hàm số f t t 8t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Như hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (42) 42 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ f x2 f x y 2x2 1 2x y 2x2 x y 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành x 13 x x x 26 x x x x x x 11x 27 x x x 11x 27 x x 2x2 2x x2 x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x x a 0; b thì (1) trở thành x x a; x b Với x , đặt 1 a b a 2b 3ab a b a 2b a 2b a b x x x x x x 2;1 17 17 a 2b x x x x x x 1 x x x ; Kết hợp điều kiện ta thu hai nghiệm 51 y 17 x y x 51x 17 y x y , Bài toán 55 Giải hệ phương trình y2 y 11x y y x 19 x x Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ 17 y x y x y x 17 x y 3x y x y 17 3y2 x 6 3 y x 17 3x y 6 x y Xét hàm số f t 17t 6t ; t ¡ f t 51t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f 3y2 x f 3x y y x 3x y y x 3x y y y x Khi đó phương trình thứ hai trở thành 11x x x 19 x x 11x x 19 x x 11x x 19 x 1 x 2x2 2x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x x x x x 1 x x x Đặt x x a; x b x x x 1 a 0; b thì (1) trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (43) 43 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ a b a 2b 3ab a b a 2b a 2b a b x x x x x x 2;1 17 17 a 2b x x x x x x 1 x x x ; Kết hợp điều kiện ta thu các nghiệm hệ 3 x y x y 19 x 1, Bài toán 56 Giải hệ phương trình 2 x y x y y y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với x; y ¡ x y 1 x y x y y 1 y y 2 x2 y x2 y y 1 y 1 Xét hàm số f t 2t 7t ; t ¡ f t 6t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x2 y f y x2 y y x2 y y x2 y Phương trình thứ đó hệ trở thành x y x x 19 x x x x 19 x 9x x2 x 1 x x 3x 19 x x x x x x x x x x x x x 3x a; x b a 0; b ta thu Đặt a b 3ab a 2b a b a 2b a 2b o a b x x x x x (Vô nghiệm) o a 2b x x x x x x x x 10 (Vô nghiệm) Phương trình ẩn x vô nghiệm dẫn đến hệ phương trình ban đầu vô nghiệm x xy 5 x xy 3xy y xy y 1, Bài toán 57 Giải hệ phương trình x x y 14 x y x Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (44) 44 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x xy x xy x xy xy y 1 xy y xy y 3 x xy x xy xy y xy y Xét hàm số f t 3t 5t ; t ¡ f t 9t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x xy f xy y x xy xy y x xy xy y x y Lúc đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x 14 x x x x x 15 x x x x x 15 x x x x x 3 x 1 x x x x x x 3x x x x x x 3 x x x x Đặt x x u; x v u 0; v thì (*) trở thành u v 2u v uv u v 2u v uv 2u v 1 1 x 2 Kết hợp điều kiện, kết luận phương trình x vô nghiệm Hệ phương trình đề bài vô nghiệm x2 2x x x2 x x x y x y y x y x 1, Bài toán 58 Giải hệ phương trình x3 x 26 x y y 13 x 1 y y x3 Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x y x y x y y x 1 y x y x 7 x2 y x2 y y2 x 1 y2 x 1 Xét hàm số f t 7t 2t ; t ¡ f t 21t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x2 y f y x x2 y y2 x 1 x2 y y2 x y y x2 x Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành x3 x 26 x x x 13 x x x x 1 x3 x x 27 x 12 x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (45) 45 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x 27 x 12 x3 x x 1 x x 1 x x x 27 x 12 x x x 26 x x 1 x x2 x x x x x 1 x x x x Đặt x 3x u; x x v u 0; v ta thu 7u 5v 2uv u v 7u 5v u v x x x x x Thử lại, kết luận hệ có nghiệm x y x y y y y y x y , Bài toán 59 Giải hệ phương trình x3 y x 1 x x xy Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với x x; y ¡ y x y 3x y y y y y y y x2 y x2 y x2 y x2 y y y y2 y y y y y x2 y 3 x2 y x2 y y2 y 3 y2 y 6 y2 y Xét hàm số f t t 3t 6t; t ¡ f t 3t 6t t 1 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x2 y f y y x2 y y y x2 y y y x2 y Lúc đó phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x x x3 x x x x x3 x x x3 x x 1 x x 1 x x x x x x x x x 1 x x x x x x x2 x x2 x x2 x x2 x x2 x t t thì 3t 2t t ;1 t x x x x x x x 1 1 1 1 1 Đối chiếu điều kiện và thử lại ta thu các nghiệm x; y ; , ; 2 2 2 2 Nhận xét Bài toán 59 hàm số đã phức tạp hóa dạng f t at bt ct; f t 3at 2bt c 0, t ¡ , ẩn hàm tăng cường dạng đa thức bậc hai hai ẩn x và y, bước đầu gây khó khăn cho nhiều bạn học sinh công đoạn định hướng Đặt CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (46) 46 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Hà Nội không vội đâu Nhận định hai ẩn hàm tạm thời là hai thức nhỏ, chúng ta sử dụng đồng thức thiết lập hàm số sau a x2 y b x2 y c x2 y a y2 y b y2 y c y2 y a x2 y x2 y b x2 y c x2 y a y y y y b y y c y y a x y c x y bx by a y y c y y Đồng thức a x y c x y bx by a y y c y y x y x y x y y y y y a Nghĩa là c f t t 3t 6t b 3 Biến đổi đảo chiều trình bày x y x y 3x y y y y y y y x2 y x2 y x2 y x2 y y y y2 y y y y y x2 y 3 x2 y x2 y y2 y 3 y2 y 6 y2 y x x x x y 1 x y x y , Bài toán 60 Giải hệ phương trình x3 x x y x x y x Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x x; y ¡ 8 x x x y x y x y x 1 x x 1 x x y x y x y x y x2 x2 x2 x y 4 x y 7 x y Xét hàm số f t t 4t 7t ; t ¡ f t 3t 8t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x2 f x y x2 x y x2 x y x2 x y Khi đó phương trình thứ hai phía trên trở thành x3 x x x x x3 x x x 1 x x3 x2 x x3 x x x3 x x x3 3x x 10 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x2 x x x 1 x x 2 x x x x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (47) 47 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Đặt x x u; x x v u 0; v thì 1 3u v 2uv u v 3u v u v x x2 3x x2 x x2 x x Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm hệ là x; y 5;8 y y 32 x 17 x y x 3, Bài toán 61 Giải hệ phương trình 2 xy x 13 xy x x y x 1 x y 13 x y Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với xy x 13 xy x x; y ¡ xy x x y xy x x y 13 x y xy x xy x 13 xy x y x y x y 13 x y xy x 3 xy x 13 xy x x2 y 3 x2 y 13 x2 y Xét hàm số f t t 3t 13t; t ¡ f t 3t 6t 13 t 1 10 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f xy x f x y xy x x y x y xy x x y x y x 1 x y x 1 Phương trình thứ hệ đó trở thành x3 x 32 x 17 x x x x3 x 32 x 17 x x x x x 32 x 17 x x x x 31x 24 x x 3 x x x x 3 x2 x x x x x x x x x Đặt x x a; x x b a 0; b ta có phương trình 5a 3b ab a b 5a 3b a b x x x x x Đối chiếu điều kiện, kết luận phương trình ẩn x vô nghiệm, dẫn đến hệ đã cho vô nghiệm 2x y y2 1 x , 6 Bài toán 62 Giải hệ phương trình 2 x 13 x x x y xy 13 xy x; y ¡ Lời giải CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (48) 48 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hai hệ tương đương với 4x 13 x x xy 3 xy xy xy x 3 x x 3 x xy 3 xy xy 3 xy 4 x2 x2 x2 xy xy xy Xét hàm số f t 4t 3t t ; t ¡ f t 12t 6t 3t 1 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu f x2 f xy x xy x xy x x y y y 1 y2 1 y 3 2 2 y 6y 1 3 y y 1 y 1 Xét x y , phương trình thứ hệ trở thành Xét x 1 y x 1 2 x x 1 x2 x x2 x x 1 6 x x 1 2 x 1 x x 1 x x x 1 x x x x x 1 x2 1 x 0 x x2 x x2 4x x Đối chiếu điều kiện ta thu ba nghiệm x; y 3; , 3; , 0;3 2 Bài toán 63 Giải hệ phương trình x y x y x y x 1 x xy 5 x xy , 3 x x x 12 x 14 y 12 Lời giải Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với 3x x; y ¡ y x y x 10 y x xy 5 x xy x 10 xy x2 y x2 y x2 y x2 y x xy x xy x xy x xy 3 x2 y 5 x2 y x2 y x xy 5 x xy x xy 5 Xét hàm số f t 3t 5t 5t ; t ¡ f t 6t 10t t 0, t ¡ 6 Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực ¡ Ta thu CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (49) 49 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ f x2 y f x xy x y x xy x y x xy x y x 1 x 1; y Xét x 13 14 y y 26 Xét x y thì phương trình thứ hai hệ tương đương với 28 x x x 12 x x 12 x x x 12 x x 12 x Với điều kiện x x 3 3 x Đặt x x 12 u; x v, u 0; v thu 3uv u v u 2v 2u v u 2v u 0; v u 0; v x x 12 x x 10 x 12 x 13; x 13 13 13 26 Từ đây ta có các nghiệm x; y 13; , 13; , 1; 28 y 3 y x 3 x 0, Bài toán 64 Giải hệ phương trình x; y ¡ 9 x x y Lời giải, Điều kiện x 0; y Phương trinh thứ hệ đưa dạng y y y x x x Xét hàm số f t 2t 3t ; t f t 6t 0, t Hàm số liên tục và đồng biến với t Thu f y f 2x y x y x Phương trình thứ hai trở thành x x x 36 x 20 x 12 x 36 x 12 x x 3 x x 1 2 x 2 x 2 x 3 x x 1 1 x 2 x 3 x x 2 Phương trình (2) vô nghiệm vì 3 x 0, x 3 x 34 34 x Thu 1 x ;y 9 x x x 9 x x Kết luận hệ phương trình có nghiệm kể trên Nhận xét Bài toán hệ phương trình số 64 và các bài toán trước đó, có dạng tương đồng hàm số Sử dụng công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số thuộc liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT là kiến thức bản, nhanh chóng và gọn gàng để thu mối liên hệ các ẩn Không thiết thế, các bạn đọc nhỏ tuổi (lớp 9, lớp 10) có thể sử dụng phân tích nhân tử thu kết tương tự Đặt y a; x b, a 0; b thu 2a 3a 2b3 3b a b3 a b a b a ab b a b a b a b a ab b 3 a b 2 a b a b 3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (50) 50 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 12 x x y y 1 0, Bài toán 65 Giải hệ phương trình x; y ¡ x x x 1 y Lời giải Điều kiện x Đặt x u , u x u 12 x 4u 12 x 4u Phương trình thứ hệ tương đương với 4u 1 u y 1 y u y u y u y u uy y u y u y u uy y 1 u y y u y 3x y 2 u y 3u 1 y 3x Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x 1 3x 3x x x x 3x x x2 2 x x x 1 x 1 x 1 1 x 2 x 1 1 x 1 x 1 1 1 1 Để ý 3x x 1, x nên 3x x 1 x 1 x 1 x 1 Vậy 1 x x Ta thu nghiệm hệ là x 2; y Nhận xét Bài toán số 65, phương trình thứ hệ lời giải sử dụng ẩn phụ và phép phân tích nhân tử thông thường dựa trên đẳng thức, có thể đây là cách làm tối ưu và yêu cầu kiến thức nhẹ nhàng, cần có trình độ Toán học học sinh lớp THCS các bạn có thể xử lý đẹp bài toán này Kiến thức đạo hàm – hàm số bậc THPT tỏ khá cao cấp và chí khó nhìn nhận bài toán tương tự Cụ thể biến đổi 4u 1 u y 1 y u y u y 4u u 4 y y 4u u y y Lúc này xét hàm số f t 4t t ; t ¡ f t 12t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực dẫn đến f u f y u y u y Bài toán 66 Trích lược câu VI, Đề thi tuyển sinh Đại học; Môn Toán; Khối A; Đề thi chính thức; Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam; Kỳ thi tuyển sinh năm 2010 x 1 x y 3 y 0, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 4 x y x Lời giải Điều kiện x ; y Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (51) 51 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 1 x y y x x y 1 y 2x 2x 5 y y y 1 Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ , hàm số liên tục và đồng biến trên ¡ Ta có 1 f x f x x y 2x y x2 y 4 x y x2 Phương trình thứ hai lúc đó trở thành x x 16 x 24 x x 3 Với điều kiện x 0; ta xét hàm số g x 16 x 24 x x 4 2 Đạo hàm g x 64 x3 48 x 16 x x 3 4x 4x 3 Nhận xét x 0; x x x x 3 16 x x 3 16 4x 4 3 1 Vậy hàm số g x liên tục và nghịch biến trên miền x 0; và g x g x y 4 2 Thử lại, kết luận hệ có nghiệm kể trên Nhận xét Bài toán số 66 nằm vị trí câu VI, Đề thi chính thức năm 2010, theo truyền thống hành vị trí câu VI đó là câu hỏi có mức độ tư tổng hợp, tổng hòa kiến thức, phân loại thí sinh Hơn đây là hệ phương trình đầu tiên mở màn cho phương pháp sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số, giá trị lớn nhất, nhỏ tiếp tục kế thừa với mức độ cao các Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán khối A các năm tiếp theo, 2012, 2013 và 2014 Phương trình (1) hệ lời giải trên có sử dụng phép nhân hai vế với số 2, mục tiêu làm xuất dạng thức tương đồng hàm số Ngoài phương cách trên các bạn có thể đặt ẩn phụ để có cảm giác an toàn sau t2 Đặt y t , t y t y dẫn đến t2 x x t x x2 1 t t 1 x3 x t t Đến đây có thể sử dụng phân tích nhân tử, không thiết sử dụng đơn điệu hàm số x u u u t t u t u t u t u ut t 1 Điểm đặc biệt thứ hai bài toán là sử dụng đồng phương pháp hàm số hai phương trình, x x mấu chốt biến đổi hệ x y x2 y 4 x y 3 Từ đây xuất chặn miền giá trị x 0; phục vụ đắc lực cho tính chất đơn điệu (nghịch biến) 4 hàm số g x Dĩ nhiên bài toán có nghiệm hữu tỷ x nên có thể sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời với chú ý điều kiện x trên CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (52) 52 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 2 x x y 6, Bài toán 67 Giải hệ phương trình x y y x x Lời giải Điều kiện y 1; x 6 Từ phương trình thứ hai hệ ta có y x x y x 2 x; y ¡ 0, x ¡ , y 1 x 2 y x x 2 y Phương trình thứ hai biến đổi thành x y y 1 x 1 x 2 1 y u v Đặt x u; y v 1 u 1 v 1 t Xét hàm số f t ; t f t 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến t 1 t 1 2 Ta 1 f u f v u v x y y x x Phương trình thứ trở thành 2 x 2 x x2 4x x 2 x 2 x x x 15 x x2 4x x 2 x x 3 x6 3 x 3 x x 2 x 2 x 3 x 5 x x (Vì x 0, x ) x6 3 x6 3 Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x 3; y Nhận xét o Lời giải bài toán 67 trên mục đích minh họa cho sức mạnh công phá thời phương pháp hàm số, vì nó đơn dạng thức quen thuộc f u f v u v nên chúng ta có thể hoàn toàn xử lý phương trình thứ hai dựa vào biến đổi thông thường, phân tích nhân tử, chí còn đơn giản u v Sau nhận dạng đặt ẩn phụ u và v thu uv u uv v u v u 1 v 1 Tuy nhiên bắt buộc sử dụng nhận định x y x Tạo điều kiện bình phương hai vế dễ dàng và phục vụ cho lập luận thực hiên liên hợp phương trình vô tỷ ẩn x hệ phương trình thứ u v o Lưu ý thêm sử dụng hàm số x u; y v 1 Có lẽ có nhiều bạn độc giả có u 1 v 1 u 1 v 1 suy nghĩ “đơn giản” “nguy hiểm” xét hàm số dạng thức sau Đây là manh u v u 1 v 1 1 1 nha tự nhiên và không cần thiết xét đạo hàm vì u v , điểm u v u v u v 2 u 1 v 1 đáng chú ý là giả dụ hàm không nên lạm dụng vì bị gián đoạn và phải xét thêm trường hợp u v cồng kềnh u v , mach nhỏ liệu pháp an toàn là xét hàm số cho mẫu số luôn luôn u v t dương với miền giá trị biến, tức là nên dùng hàm hình thức nghịch đảo ; f t u 1 v 1 t 1 Hoặc để chắn các trường hợp bạn nên sử dụng phân tích đa thức thành nhân tử! CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (53) 53 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ y4 x2 x x 1 y y , Bài toán 68 Giải hệ phương trình x y y xy Lời giải Điều kiện x Nhận xét các trường hợp y x không thỏa mãn hệ đã cho Ngoài các khả đó, phương trình thứ hệ biến đổi x x 1 x 2x 1 Xét hàm số f t t 2x t 1 1 ;t f t 1 Hàm số liên tục, đồng biến với t nên f 1 1 y4 y2 y2 y4 1 1 y y t t x; y ¡ 0, t 2x 1 f 2x 1 y y Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành y x x 1 x 3x x x 3x 2x 1 x x 12 x x x x 1 x x 2x 1 2 x 1 2 x 1 x x Xét hai trường hợp sau x x 1 x 1 x 2x 1 x 1 1 x 1 2 x y2 1 y x2 x x 1 2 1; Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm x; y 1;1 , 1; 1 , 2; 1 , 2; 1 Nhận xét Bài toán 68 này yếu tố hàm số đã gần lộ liễu, các bạn học sinh cố gắng cô lập hai ẩn “Hai bên vĩ tuyến”, nhiên lưu ý đạo hàm hàm số phân thức, liên tục trên khoảng, đó cần xét các trường hợp đặc biệt trước chia, trước sử dụng công cụ đạo hàm Để giải phương trình ẩn x, có nhiều phương án, ngoài lời giải phân tích bình phương trên, chúng ta có thể sử dụng đại lượng liên hợp (kèm theo nhẩm nghiệm), nâng lũy thừa – biến đổi tương đương hay chí đưa hệ đối xứng loại 2, e chừng tình hình phức tạp hơn! x y y x x 4, Bài toán 69 Giải hệ phương trình 2 y x x Lời giải x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (54) 54 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Điều kiện x; y ¡ Từ phương trình thứ hai ta có x y x 0, x; y ¡ x x y 0, x 0, y ¡ Kết hợp y 0 2 x x 0, x Phương trình thứ biến đổi 2 x x2 2 y 1 y 1 x2 x x 2 2 1 y y y2 1 1 x x x x t2 Xét hàm số f t t t t 1, t f t t 0, t ¡ Hàm số liên tục, đồng biến t2 1 2 Thu f y f y Phương trình thứ hai trở thành x x 2 3x2 x 3x 3x x x x x x x x x 3x 16 x 13 x 12 x 16 x 16 x 16 x 13 x 14 x 12 x x 2 Vì 13 x 14 x 12 x x 0, x nên x Kết luận bài toán có nghiệm Nhận xét Thí dụ 69 tương tự thí dụ 68, với tư tưởng cô lập biến hai bên, sử dụng lập luận các biến dương để tránh khỏi tình chia trường hợp và thuận lợi cho thao tác xét đạo hàm, suy tính chất đơn điệu hàm số phía sau Một điều may mắn là hàm số chúng ta luôn luôn đồng biến trên tập hợp số thực nên không thiết cần có điều kiện y Hơn đến chặng đường phương trình hệ ẩn x, ngoài cách bình phương trực tiếp hai vế quy phương trình (2), các bạn có thể sử dụng công cụ hàm số thêm lần nữa, chút duyên số đã bố trí x 3x 2 2 1 y 1 y x 3x x x x x x Hàm số g y y 1 y ; y g y , hàm đơn điệu đồng biến, liên tục x Thu g y g 1 y x 2; y 2 x3 16 y 1 x x 20, Bài toán 70 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y y x x Lời giải Điều kiện x Xét x không thỏa mãn phương trình đã cho x 2 y 0, x 0, y ¡ Xét trường hợp x , kết hợp y x x 0, x Biến đổi phương trình thứ hai hệ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (55) 55 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ y y2 2y 2y 2 y x x2 1 y y y2 1 x x x 1 1 1 1 x x x Xét hàm số f t t t t 1; t f t 2t t2 1 x2 x2 1 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến trên ¡ 1 Thu f y f y xy Phương trình thứ nhất: x x x x 20 x x Đặt 2 x x u , u thì u u u u u 16 u u u 5; u u 20 x x3 x 16 x x x x2 x 1 7 Từ đây suy hệ có nghiệm x 2; y Nhận xét Vẫn xoay quanh thủ pháp cũ, cô lập các ẩn hai bên chiến tuyến, tìm cách thiết lập dạng tương đồng hàm số thì chúng ta thực ngay, lưu ý thiết lập bất khả thi thì bài toán không thể giải phương pháp này nhé, kiểu dùng thuyền bơi nước mà muốn bay lên trời phi vậy, hoang đường Một lưu ý nhỏ gặp biểu thức f x x x , bài toán trên chúng ta có nguyên điều kiện x nên dễ dàng thu f x x x , thực nó luôn luôn dương với giá trị x vì x x x 0; x f x x x2 x x2 x x x x 0; x Mặc dù hàm số phía sau chúng ta đơn điệu đồng biến trên toàn trục số buộc cần có điều kiện x để x x2 1 đưa thừa số vào sâu thức x2 x x x2 1 1 x2 x x x y2 1 , 2 Bài toán 71 Giải hệ phương trình x x x y x 1 24 y x x x x Lời giải Điều kiện x 1; y Nhận xét y 0, y ¡ và y y x; y ¡ x 1 x2 x x 1 0, x y Phương trình thứ tương đương 1 y y y 1 x 1 x 1 x 1 y y y 1 1 x x x 1 x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (56) 56 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t t t 1; t f t 2t 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến trên ¡ t2 1 1 Thu f y f y Phương trình thứ hai trở thành 2y x 1 x 1 x 1 24 x 1 x x x x x x x 12 x 1 2 Xét các hàm số g x x x x 4; x g y x x x x 1 0, x ¡ 0, x x 1 Hai hàm số g x , h x này liên tục, đồng biến với x nên hàm tích g x h x đồng biến h x x 1; x h x Mặt khác g h 12 x Dẫn đến hệ có nghiệm x 2; y Nhận xét Bài toán số 71 sử dụng motip hàm số đơn điệu đồng biến 2t f t t t t 1; t f t t2 1 0, t ¡ , làm cho bài toán có hình thức khá cồng kềnh, chưa x 1 kể kèm theo lộ liễu Thông qua phương trình thứ hai hệ các bạn chú ý các tính chất Tổng các hàm số đơn điệu là hàm đơn điệu Tích các hàm số đơn điệu là hàm đơn điệu Thương hai hàm khác tính đơn điệu xác định theo hàm tử thức : ; Thương hai hàm cùng tính đơn điệu chưa khẳng định điều gì Trong đó hai ẩn hàm đã phức tạp với y; x2 y y x x , Bài toán 72 Giải hệ phương trình x; y ¡ x y 16 y 2 4 x x 18 Lời giải Điều kiện 1 x 4; y Phương trình thứ hệ tương đương x x x y y x 1 x y y Xét hàm số f t t 2t ; t f t 4t 0, t , hàm liên tục và đồng biến với t Thu f x 1 f y x 1 y x y Phương trình thứ hai trở thành x 1 x x x 16 x 18 x 3 x 15 x 1 x x 18 x x x x 18 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (57) 57 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Ta có 1 3x 17 x 3x x 18 x 3x x x x x x 3x x 3x x x 3 x 3x x 2 3 Rõ ràng (3) vô nghiệm với điều kiện xác định phía trên x 1 x 1 3 x 1; 2 x 3x x x 2 x x 3 5 So sánh điều kiện ta nghiệm hệ 1; , ; , 3; 2 2 2 2 x y x x x x xy y 0, Bài toán 73 Giải hệ phương trình y x3 5 x Lời giải Điều kiện 3 x Phương trình thứ hệ tương đương với x y x 2 x 2 x y x; y ¡ 1 Xét trường hợp x y 2 x y x 2; y 2 Xét trường hợp x y x thì phương trình trên trở thành x 2 1 x2 x y x y 1 0 x y x y 1 x y 1 2 x 1 2 2 x y 2 x x y 2 x Nếu x y x x x 2 2 2 x 1 2 x x y x x y x x 2; y 2 Với x y x x y y x Ta có phương trình thứ hai đó 10 x x3 x 4 x x x Đặt x3 x x x2 8x x 2 x x 2 x 1 2x 7x x x 3 x 2x x 1 x 1 x t , t x t Ta có t2 t 3 t 2t 3 t 1 t 1 2t t 3t t 1 2t 3 t ;1 t x 2 Đối chiếu điều kiện thu nghiệm x 2; y x 3; y 4 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (58) 58 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Nhận xét Bài toán số 73 sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số tất nhiên khả thi, tất nhiên không phải phương án tối ưu, vô t2 1 tình chúng ta làm phức tạp chất ban đầu vì xét thì f t , với điều kiện t Một số bài toán có t may mắn cho hàm nghịch biến, nhiên số trường hợp lại gián đoạn và dẫn đến làm nghiệm u v2 2 tảng nó Điển hình các bạn có thể quan sát phương trình sau với u v u v u v 2 Xét hàm số f t t ; t f t 0, t dẫn đến hàm số đồng biến và u v t t Phân tích nhân tử u v2 u 2v 2v v 2u 2u uv u v u v u v u v u v uv uv 2 Trong thao tác xét hàm số trên thực tế hàm số đã bị gián đoạn điểm t , cho trường hợp đẹp đẽ u v nhiều điều này lại bị loại thay vào phương trình còn lại Nếu sử dụng phân tích nhân tử là biện pháp an toàn và tránh rủi ro không đáng có, mong bạn đọc chú ý, không nên lạm dụng hàm số không cần thiết Sau đây là thí dụ tương tự 2x 1 x2 x 1 , 2y y Bài toán 74 Giải hệ phương trình 2 x x y x Lời giải x x 0, x ¡ Điều kiện: Vì nên x ; y y 0, y ¡ Kết hợp 2x 1 2y x; y ¡ x2 x 1 và x 0, x y Phương trình thứ tương đương y 3 x 1 x 1 2x 1 x2 x y y 3 y2 y2 2 x 1 y x 1 x 1 y y 2 2 x 1 y x y x y Thay vào phương trình thứ hai ta có 2 x x 2x x x2 x x x x x 1 x x 1 x 8x x 1 x 1 4x 7x 1 2x 1 x 4x 4x Ta có x x 1, x 1 vô nghiệm 2x 1 1 Vậy hệ phương trình đề bài có nghiệm x 1; y 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (59) 59 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x2 y x x 12 y y , y x 2 Bài toán 75 Giải hệ phương trình x x y 18 y x 1 Lời giải Điều kiện x 1; y Phương trình thứ tương đương với x2 x x y 12 y y x y x; y ¡ y 3.4 y y x2 3x x x 4y Xét hàm số f t t 3t t 1; t ta có t t 1 t 0, t t 3t f t t t t t2 t 1 t 1 t 1 Hàm số liên tục và đồng biến với f x f y x y Phương trình thứ hai trở thành 18 x x 1 x 1 x x 1 18 x 1 x x x 17 x 1 x 1 x x x 20 3x x 1 x x x 20 x x x x x x4 3 x x 1 x 1 Phương trình (1) vô nghiệm vì x x x Hệ có nghiệm x 5; y x 3 3 x 1 x 5 2y y 3x x x x 3 , Bài toán 76 Giải hệ phương trình x x x xy y x Lời giải Điều kiện x 1; y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ 2y 2y 2y 2y x x 3 x x x x x x x Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục, đồng biến trên toàn trục số 2y 2y 2y Ta thu f x x y x2 f x x x x Phương trình thứ hai hệ trở thành x 1 x x3 3x x x 1 x x3 3x x 10 x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (60) 60 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 1 x x 3x x 10 x 1 x x 1 x x x x x x x x 1 x 1 x 1 x x x x x 5, x 1 vô nghiệm x 1 Vậy bài toán có nghiệm x 2; y Chú ý x3 y x 12 y x 12 y y x 1, Bài toán 77 Giải hệ phương trình x; y ¡ 3 x x y x x 18 x 17 Lời giải Điều kiện x 1; y Phương trình thứ hệ tương đương x3 3x x 3x x y 12 y y y y x 1 x 1 x y 1 y 1 y 3 Xét hàm số f t t 3t t ; t f t 6t 6t 0, t Hàm số liên tục và đồng biến tập số thực nên x x f x 1 f y x y 2 x x y 2 y x x Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x x 18 x 17 x x x3 x 20 x 15 x 5 x x x 11x 30 x x 5 x x3 x 11x 30 x x x4 3 x x 5 x2 x x 5 x2 x x 1 x 5 x 5 x 5, x x 5 Nhận xét x x x 1 vô nghiệm x4 3 x x x x x 5, x ¡ 17 Kết luận bài toán có nghiệm x 5; y Bài toán 78 Trích lược câu II.2; Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Hải Dương; Năm học 2013 – 2014 3 xy y x x , Giải hệ phương trình x; y ¡ x3 y 1 x 1 x 10 Lời giải Điều kiện x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (61) 61 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét x không thỏa mãn hệ đã cho Khi x , phương trình thứ hệ tương đương với x 1 x x xy y x x y y x 1 x 1 3y 3y y2 1 x x x x x 2t Xét hàm số f t t t t 1; t f t 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến trên ¡ t2 1 Thu f y f Phương trình thứ hai hệ trở thành 3y x x 3y 1 y2 1 x3 x x 1 x 10 Xét hàm số g x x3 x x 1 x ; x ta có g x x x x x x 1 0, x x Hàm số liên tục và đồng biến với x dương nên ta có f x f x 2; y Kết luận hệ phương trình có nghiệm Nhận xét Bài toán này so với các bài toán trước đó đã có ấn giấu đôi chút dạng thức hàm số ngoài phép chia cô lập ẩn còn có phép sử dụng đại lượng liên hợp – trục thức – hệ tạm thời Trên thực tế để xử lý hệ phương trình đề thi tuyển sinh đại học môn Toán, các bạn cần có tâm lý an toàn, cần có kỹ biến đổi thành thạo theo các hướng biến đổi tương đương để xuất nhân tử, triệt phá mẫu thức – thức, đại lượng liên hợp, đặt ẩn phụ làm quang đãng chằng chịt, đánh giá – hàm số để phá bỏ các chốt chướng ngại vật, kết hợp với kiến thức xét trường hợp, chia khoảng, điều kiện xác định, để đến đáp số cuối cùng x x y y 2, Bài toán 79 Giải hệ phương trình 12 y 10 y x3 Lời giải Điều kiện x; y ¡ Phương trình thứ hệ tương đương với x x 4 2 x x 4 y y2 1 x; y ¡ y2 1 y y2 1 y2 x x y y x x 2 y Xét hàm số f t t t 4; t ¡ thì f t t t2 t2 t t2 t2 t t t2 2 y 4 0, t ¡ f t 0, t ¡ Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Ta thu f x f 2 y x 2 y Phương trình thứ hai hệ trở thành 3x x x3 x3 3x 3x x x3 x3 x 1 x 1 x3 x3 Xét hàm số g t t 2t ; t ¡ ta có g t 3t 0, t ¡ , suy hàm số liên tục và đồng biến Khi đó phương trình ẩn x trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (62) 62 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ g x 1 g x x x3 x3 3x x x3 x x 1 x 1; 0 Từ đây suy hệ phương trình có hai nghiệm x; y 1; , 0; Nhận xét Lời giải bài toán 79 sử dụng tính chất đơn điệu hàm số phương trình thứ dựa trên phép liên hợp x x2 y y2 x x2 y y2 1 x x 4 y2 1 y y 1 y 2 x x2 y y 2 y Sau đó tiếp tục biến đổi tương đồng hàm số x x y y x x 2 y 4 Tuy nhiên ngoài cách làm này các bạn có thể lập luận x 2 y phép liên hợp sau Nền tảng x x y y Thực tương tự với biểu thức chứa x ta có y y 1 2 x 4x x2 x x 4 x 2 2y y x2 x x x y y Kết hợp lại thu x y y x x y x 2 y 2 y y x x A A A 0; A Lưu ý thêm công đoạn lập luận dấu đạo hàm, chú ý A2 A A A A A 0; A Vì hàm số dạng tương tự luôn luôn đơn điệu (đồng biến) x x y y 1, Bài toán 80 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x x y y 5, Lời giải Điều kiện x 3; y Phương trình thứ hệ tương đương x x2 x x2 y y x x2 y y 1 y Xét hàm số f t t t 1; t ¡ ta có f t t2 1 t y 1 t t 0; t ¡ f t 0, t ¡ t2 1 t 1 Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Thu hệ thức f x f y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành x2 x x2 x x x x2 x 1 x x2 x 2 2 x x x x 1 x2 2 x 2 x x y 2 x 1 x2 2 Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x; y 2; 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (63) 63 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x x y y 1, Bài toán 81 Giải hệ phương trình x3 3x y 12 y Lời giải x; y ¡ Điều kiện các thức xác định Phương trình thứ hệ biến đổi x x 1 1 y y 1 Xét hàm số f t t t 1; t ¡ ta có f t t2 1 t t2 t t t 0; t ¡ f x 0, t ¡ t2 1 t 1 t2 1 Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Ta thu f x 1 f y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành y 1 y 1 y 12 y y y y y y y 12 y 2 y y y y 1 y y y ; x 3 Kết luận hệ có nghiệm kể trên x2 x y y 3, Bài toán 82 Giải hệ phương trình 3 x y 15 y 15 y 21 y 21 y y Lời giải x; y ¡ Điều kiện thức xác định Phương trình thứ hệ tương đương với y y x 3x Xét hàm số f t t t 9; t ¡ thì f t t2 t 3x 3x t t 0; t ¡ t2 t2 Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Thu f y f x y x Khi đó phương trình thứ hai hệ trở thành y y 15 y 15 y 21 y 21 y y Đặt y a; 15 y b; 21 y c, a; b; c ta thu y a 15 b 21 c Phương trình đó tương đương y ab bc ca Do đó ta có 9 a ab bc ca ab bc ca a 2 15 b ab bc ca ab ac bc b 15 2 21 c ab bc ca ab ac bc c 21 b a c a a c a c a b a b c b c b 15 b c b a 15 a b c c b c 21 c a c b 21 Nhân vế ba phương trình (1), (2), (3) thu 1 2 3 a b b c c a 9.15.21 a b b c c a 35 (Do a 0; b 0; c ) Kết hợp với (1), (2) và (3) trên ta có CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (64) 64 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 35 a b 35 35 a b a b 41 35 1259 7 c x b c 35 70 140 71 35 71 35 2 a b c a b c c a 35 35 70 Kết luận hệ đã cho có nghiệm Bài toán 83 Trích lược Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lâm Đồng; Năm học 2013 – 2014 8 x y y x 2, Giải hệ phương trình x; y ¡ y y x x Lời giải Điều kiện y x Phương trình thứ hai hệ biến đổi 2 3x x y y 3x 3x y y 1 y y Xét hàm số f t t t 1; t ¡ ta có t2 1 t f t t2 t t t 0; t ¡ f x 0, t ¡ t 1 t 1 t 1 Suy hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực Ta thu f x f y y 3 x 2 Phương trình thứ hệ trở thành x x x Đặt x cos t ; t 0; Ta 2 cos 3t 3cos t cos t cos 3t 1 cos t cos t t k 4 k 4 cos 3t cos cos 3t t ; , k ¢ 2 Do t 0; t x 1; y 3 Bài toán có nghiệm kể trên 2 2 x x 3x x3 y y , Bài toán 84 Giải hệ phương trình x 14 x y x; y ¡ Lời giải Xét x không thỏa mãn phương trình đã cho Khi đó phương trình thứ hệ trở thành x3 x2 3x 4 y y 4 y y x x x x 3 1 3 y y y x x x x Điều kiện x 2; y 1 1 x x 3 2y 3 2y 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (65) 65 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục, đồng biến trên tập số thực 1 Ta có 1 f 1 f x y 1 y Thay vào phương trình thứ hai ta có x 1 x 14 x 1 x x 15 x Đặt ẩn phụ 2 x a; x 15 b, a a b3 17 Đưa (2) hệ phương trình a b a b a b a 111 3 x 7; y a b 17 b 2b b 17 b b 2b 16 98 b 2 a 0; b b b Kết luận bài toán có nghiệm kể trên x3 x y x 1 y 1 , Bài toán 85 Giải hệ phương trình x 1 x y x x x; y ¡ Lời giải Điều kiện x 1; y 1 Phương trình thứ hệ tương đương với x x3 x x y 2 y y 1 y y x x 1 x x 1 x 1 Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục, đồng biến trên tập số thực x x Ta thu f y 1 y Phương trình thứ hai trở thành f x 1 x 1 x2 2x x x2 2x x x x 1 x 1 x x 1 x x 1 x y0 x x 1 1 Kết luận hệ có nghiệm x ; y 4 x y 3x x y x , Bài toán 86 Giải hệ phương trình 2 x y x x x x y y Lời giải x; y ¡ Điều kiện 1 x Xét x x; y 0; y thỏa mãn hệ phương trình Xét x thì phương trình thứ hai hệ trở thành 2y 1 x x x4 x2 1 y y2 1 y y y2 1 x x x Xét hàm số f t t t t 1; t f t 2t t2 1 1 x2 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến trên ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (66) 66 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 1 Ta có f y f y xy Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x 3x x x Đặt a x ; b x ; a 0; b ab x và x x 1 x 2a b Ta thu 4a 2a b 2b ab 2a b ab 2b 4a b 2a 2a b a b b a Nếu b 2a b 4a x x x y Nếu b a x x x x x Vậy bài toán có ba cặp nghiệm 4 x x 12 y y 13 y 18 x 9, Bài toán 87 Giải hệ phương trình 4 x x x y y y Lời giải Điều kiện x Phương trình thứ hệ tương đương với x 3 x y3 12 y 13 y x; y ¡ x 1 1 x y y y 1 y x 1 x x y 1 y 1 Xét hàm số f t 4t t ; t ¡ ta có f t 12t 0, t ¡ Vậy f t liên tục và đồng biến y 1 x f y 1 x y 2 x y y Phương trình thứ hai hệ trở thành Ta có 1 f y y y y y 1 y y y y y y y3 y y y 6y 6y Dễ thấy y y y y y y 1 0, y 1 nên (2) vô nghiệm 2 Với y x x Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x; y 1;0 x2 x x y y 1, Bài toán 88 Giải hệ phương trình 2 x2 y x x y Lời giải Điều kiện x y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (67) 67 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x2 2x x y y2 x 1 1 x 1 y4 y2 x 1 1 x 1 y Xét hàm số f t t t ; t ¡ thì f t t 2 1 y2 t2 1 t 1 t 1 t 0, t ¡ t2 1 t2 1 t2 1 Như hàm số xét đồng biến, và 1 f x 1 f y x y x 3x x (2) x2 2x Điều kiện x x x 2 Ta thu x 3x x x x x 1 x x x 3x 1 3 13 x 2 x 1 x 1 Kết luận hệ phương trình đã cho có hai nghiệm Phương trình thứ hai hệ trở thành Bài toán 89 Trích lược câu 3, Đề thi luyện thi trực tuyến số năm 2014, Diễn đàn Nguoithay.vn Tác giả: Phạm Tuấn Khải 3x x 3y 1 y y x 1 , Giải hệ phương trình x; y ¡ y x y y Lời giải Điều kiện y ; x 1 Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x 1 3x 1 1 x 1 y2 3y x 1 y2 3y x 1 x 1 y2 3y y y y x 1 x 1 x 1 1 2t 3t 2t 1 t 1 Vì y ; x 1 nên ta xét f t t 3t ; t f t 2t 0, t t t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu f x f y x y x y Phương trình thứ hai trở thành y y y y y y y y y 1 Đặt 1 y y a; y b a ab b vì a b y Cho nên 1 y y2 y 4 9y y y y y y y 1 a ab b 0 y 1 y y y2 y 0 a ab b 9y y y 1 y2 y 6 0 2 y y a ab b 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (68) 68 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Vì 9y y y 1 0, y nên y y 3 y 2;3 x; y 8;3 , 3; a ab b Thử lại, kết luận hệ có hai nghiệm kể trên Nhận xét Bài toán số 89 có nét đặc sắc nằm biểu thức đạo hàm, đó là biểu thức phân thức, nó luôn dương với giá trị t dương, dẫn đến hàm số khảo sát xảy đồng biến, đơn điệu, từ đó dẫn đến lời giải Chúng ta có thể thiết lập muôn vàn hàm số dạng tương tự cách lấy nguyên hàm biểu thức đạo hàm không âm Có thể thực theo các bước sau t m t n với Chọn biểu thức đạo hàm xác định dương, nên chọn dạng t m t n t 2n m¡ ;n¡ f t , thu hàm số gốc t 2n Lựa chọn hai ẩn hàm t1 , t2 , có thể là đa thức, phân thức, thức đảm bảo xác định dương theo điều kiện xác định ban đầu bài toán Để tránh xảy tình trạng hàm số siêu việt nên lựa chọn cho khai Khai triển tung tóe và lấy nguyên hàm t m t n m m vì lý nguyên hàm m ln t C t t t Lưu ý đây tác giả dừng chân hàm số đơn thuần, không chặn miền giá trị biến Về vấn đề này, kính mong độc giả tìm đọc Lý thuyết Hệ phương trình chứa thức phần thứ triển 2n không xuất đại lượng x3 x y 20 y 2, x y Bài toán 90 Giải hệ phương trình x; y ¡ 13 x y 16 y Lời giải Điều kiện x 1, y 2 Phương trình thứ hệ tương đương với y 2 x3 x 8 y2 x2 6x y y x x y2 y2 t 3t t t 1 Xét hàm số f t t 6t ; t f t t 0, t t t t2 t2 Rõ ràng hàm số trên liên tục và đồng biến trên toàn tia Ox thực nên thu 2 f x f y2 x y2 Phương trình thứ hai hệ trở thành 13 x x 16 x 16 x 13 x x 1 9 13 x x x x 4 4 x 1 1 3 13 x x x 2 2 x 1 7 5 Kết luận hệ đã cho có nghiệm x; y ; 16 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (69) 69 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 12 x 76 64 x 10 y 12 , y y 1 x Bài toán 91 Giải hệ phương trình x y x Lời giải Điều kiện 1 x 1; y Phương trình thứ hệ tương đương với 12 x 76 64 12 x y 10 y y 1 1 x 1 x 1 x 12 1 x 64 1 x 12 1 x 64 x2 x 12 x 64 y 1 y 10 y 11 y y 12 64 1 x x; y ¡ y 12 y 1 Vì x 0, y 0, x; y ¡ nên ta xét hàm số f t t 12t 32 t 6t 32 t t Rõ ràng f t t 0, t t t2 t2 y 1 64 y 1 64 y 1 64 64 ; t f t 2t 12 t t Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên có f x2 f y 1 x2 y 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành 1 x 1 4 2 x x 1 x x x x 4 4 2 x 16 x x 2 1 x 1 x 1 x 1 1 x x x; y 0; 4 x x x x x 16 16 1 x Kết luận hệ đã cho có nghiệm kể trên 12 y 13 8 y y x x 42 x 5, Bài toán 92 Giải hệ phương trình x x x x y x Lời giải Điều kiện y 1; x Phương trình thứ hệ tương đương với 12 y 1 1 8y x 42 x 13 3x y 1 y 12 y x; y ¡ 1 x x 12 x 1 3x y 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (70) 70 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Vì y 0,3x 0, x nên ta xét hàm số 1 16t 12t 2t 1 4t 1 f t 8t 12t f t 16t 12 0, t t t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến trên miền t dương nên thu 2 f y f 3x 1 y 3x y x x y x x Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x3 x x x x x x x x Điều kiện x Đặt x x t , t t x x 1 Phương trình ẩn x tương đương với t t x x x x 1 t t t 1 t t x x 2 t 1 x 1 2 t 2;1 x x 1 x 1 x x 1 Kết luận hệ ban đầu có nghiệm x 1; y x y xy y y x x x 3, Bài toán 93 Giải hệ phương trình 6 x y x y 1 x 15 Lời giải Điều kiện x ; x y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x y x y y x x 1 x 2 x y x y x y x x x x 1 x y x y x y x x 1 x 1 Rõ ràng trường hợp x y x không xảy Xét hàm số f t t 2t t 1; t 1 f t 2t 0, t 1 t 1 2 Hàm số liên tục, đơn điệu tăng trên miền xét nên f x y f x 1 x y x x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 4 x x x x x 15 x 1 x x x 15 3 x 12 x 1 x x2 x x2 x x x 1 x 4 3 x x x 3 x x 3 4 3 x x x 3 x 3 x 3 1 2 Xét hai trường hợp xảy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (71) 71 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 9 x 12 x x x 15 x 21 15 141 x x x Vì 3 x 0, x vô nghiệm Kết luận hệ phương trình có nghiệm x 15 141 17 141 ;y 2 x2 y 1 x y x 18 y , Bài toán 94 Giải hệ phương trình x y x 2 y Lời giải Điều kiện x 1; y Phương trình thứ hệ tương đương với x 1 y 1 x y x 1 y 1 27 27 y 1 x 1 y 1 x y x 1 x 1 x 1 x; y ¡ 27 27 y 1 y 1 x 1 y 1 27 27 2t 9t 27 t 3 2t 3 Xét hàm số f t t 9t ; t ta có f t 2t 0, t t t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến với t dương nên 2 f x 1 f y 1 x 1 y 1 x 1 y 1 x y Phương trình thứ hai hệ trở thành x x 3x x x4 x x x x x x2 2 x 1 x 1 x x x 1 x 1 Đối chiếu điều kiện ta thấy hệ phương trình đã cho vô nghiệm 4 x 12 y y 1 x x , Bài toán 95 Giải hệ phương trình x y 31 y 17 10 x y x y 2 y Lời giải Điều kiện x ; y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x y 25 y 3 25 x y x y2 2y x y 15 x y x; y ¡ 125 125 15 y x y2 2y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (72) 72 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 125 x y 15 x y Xét hàm số f t t 15t x y2 y 15 y 125 2y 125 ; t ta có đạo hàm t 125 2t 15t 125 t 5 2t f t 2t 15 0, t t t2 t2 Như hàm số liên tục và đồng biến với t dương, dẫn đến hệ f x y2 f y x y y x y y x y Phương trình thứ trở thành x 12 x x x x x x x x x 5x x 2x 5x 1 5x x 1 2 x x 4 x 5x x 9 x x 1 x 1 x Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm hệ x 1; y 1 2 x , x y 2 y x x Bài toán 96 Giải hệ phương trình 2 4 y x 1 y x x x x x 10 x; y ¡ Lời giải Điều kiện x ; y x Phương trình thứ hệ tương đương với 1 1 x2 y2 x 1 x2 y2 x 1 2 2 x 1 y x x 1 y x 1 1 1 Nhận xét y x 1; x 1; x , y ¡ Xét f t t ; t f t 0, t t 1 t 1 t Hàm số liên tục và đồng biến với t lớn nên có hệ f x f y x 1 x y x Phương trình thứ hai hệ trở thành y x 1 y x 3x x x x 10 x 2 y x x x x x x 10 x 2 x x x x 10 x x2 x x 3x 3x x2 2 x 3x 0 x 2 x x x x2 3 x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (73) 73 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x; y 2; , 2; 5x 1 x y 1, x y 1 Bài toán 97 Giải hệ phương trình x; y ¡ 1 x y 3x 3 2y x Lời giải 1 Điều kiện 0; x 0; y Phương trình thứ hệ tương đương với x 2 1 x 1 x y 1 y y 1 y x x x 1 1 y 1 y y x x x 3 1 y y x x Xét hàm số f t t 3t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số trên liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên dẫn đến 1 1 f f y y y x x x Phương trình thứ hai hệ trở thành x 3x x 3x 3x x x x x 1 3x x 3x x x x Xét hai trường hợp x x 37 3x x x 2 3 x x x x 7x x 4 x 4 3x x x 3 x x x 16 x x 15 Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x x y 1 x 1 x 2 x x 2, Bài toán 98 Giải hệ phương trình 2 x x x x3 y y Lời giải 1 Điều kiện y ; x Nhận xét x không là nghiệm hệ phương trình đã cho Xét trường hợp x thì phương trình thứ hai hệ trở thành x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (74) 74 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 x 3x 1 y y 1 y y 1 x x x x 3 y 1 y y x x x x 1 y y x x Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên ta có hệ 1 f 1 f y y x x y x x Phương trình thứ hệ trở thành x x 1 3x x 2 x x x x x 1 3x x x x 3x x 2x x x 1 x 0 x x x x 3x x 1 x 2x 1 x x Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x y x x x x y 1 y , Bài toán 99 Giải hệ phương trình x; y ¡ x x xy x Lời giải Điều kiện x 2; y Nhận xét x không là nghiệm hệ phương trình đã cho Xét trường hợp x thì phương trình thứ hệ trở thành x2 x 2 x y y x2 x x 2 x x3 x3 x3 x2 x2 y y y x x Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực x2 x2 Dẫn đến f y y x x y Phương trình thứ hệ đó f x x x3 x y x x x3 x x x x3 x x x x3 x x x x x 3 x x 1 x22 x 3 x 1 x x , (1) vô nghiệm x2 2 3 x 2 Dễ thấy x 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (75) 75 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Kết luận hệ đã cho có nghiệm x 1; y 2x 1 9 y 18 x 12 x y 1 31, Bài toán 100 Giải hệ phương trình x x 1 x x y 1 y x; y ¡ Lời giải 1 Điều kiện x ; y Nhận xét x không là nghiệm hệ phương trình đã cho 2 Xét trường hợp x thì phương trình thứ hệ trở thành x x 1 x y y x3 x 1 2x 1 x3 2x2 x y 1 2 y 1 x3 2x 1 2x 1 y y x x Xét hàm số f t t 2t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến với t thực nên 2x 1 f f y 1 x Phương trình thứ hai hệ trở thành 2x 1 2x 1 y x x y 1 x x y 1 x 18 x 12 x 1 31 x 12 x 36 x 12 x 6x 1 x 3x x 3x 2 3x x x x x 1 2 Xét hai khả o 8 x x x 1 6 x x 48 x 64 9 x 54 x 65 o x x 24 x 16 x 18 x 17 x 23 Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x ; y 25 x x y x y x x 3 x , Bài toán 101 Giải hệ phương trình x3 3 x 1 x x y 12 x x y Lời giải Điều kiện x 12; x y 0; x y Nhận xét x không là nghiệm hệ phương trình đã cho Xét trường hợp x thì phương trình thứ hệ trở thành x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (76) 76 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 3x 2x y x y x3 x 3 x x y x y 3x x y 2x x x x3 x3 x y x y 2 3 x x x x x Xét hàm số f t 2t 3t ; t ¡ f t 2t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến với t thực x y Rõ ràng f x f x x y x x y x3 x Phương trình thứ hai hệ trở thành x x 12 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có x x 12 x x 1 x 12 x 12 x 1 x 2 x 12 x x 1 Do đó phương trình ẩn x có nghiệm dấu đẳng thức xảy ra, tức là x 12 x x 12 x x 12 x x x Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x 6; y 210 x y x y x y x y , y Bài toán 102 Giải hệ phương trình x x y x x x y Lời giải x x Điều kiện 0;1 y 0; x y 0; y 0; x x 2 y y Phương trình thứ hệ tương đương với x; y ¡ x x 2x y 4 2x y y y x x y y 2x y 2x y Xét hàm số f t t 4t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến với t thực x Khi đó f f y 2x y x x x 2x y 2x y y 2x y y y Phương trình thứ hai hệ trở thành x x x x x Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có Dẫn đến x2 2x 2x x x x x 1 3x 1 x x x x x x x Phương trình ẩn x có nghiệm và CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (77) 77 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 1 x x x x x x 2; 2 x2 2x 1 Đối chiếu điều kiện ta hai nghiệm hệ x 2; y Bài toán 103 Trích lược câu 8, Đề thi thử kỳ thi THPT Quốc gia, Môn Toán; Kỳ thi thử lần thứ 2; Trường THPT Dân lập Lương Thế Vinh, Thành phố Hà Nội; Năm học 2014 – 2015 x x x x 3 y y 1, Giải hệ phương trình x; y ¡ 3 x x x y Lời giải x 1; y 2 Điều kiện x 3; y 2 x 6x Phương trình thứ hệ tương đương với x Xét hàm số f t t t f t 3t t3 1 x 1 1 y2 1 y 1 0, t 1 Hàm số liên tục và đồng biến nên ta có 1 f x 1 f y x 1 3 y2 y 1 x Phương trình thứ hai trở thành x x x x x x x x 1 Đặt x u; u ta 3u x 3u x 3u x x 6u u u 5u x 9u 6ux x x 6u 3u 5u x 25u x 4 x 25 x 25 17 41 25 41 x ; y 8 x x Kết luận hệ có nghiệm kể trên Bài toán 104 Trích lược câu 8, Thử sức trước kỳ thi Đại học 2015, Đề số 2, Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam; Số 448, Tháng 10 năm 2014 Tác giả: Trần Quốc Luật – Giáo viên Trường THPT Chuyên Hà Tĩnh, Tỉnh Hà Tĩnh x2 y x4 x2 y3 y y x x , Giải hệ phương trình x; y ¡ x x x x y 1 Lời giải Điều kiện y 1; x x Phương trình thứ hệ tương đương với y 1 x x x2 2x x x2 y3 y y y x x x x y y 1 2y Đặt x x a; y y b thu a b 2ab a b a b x x y 1 y y Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (78) 78 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên f x f y 1 x x y 1 x y 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành x x3 x x3 x x x x x x x x3 x x x x 1 x3 x x2 0 x 1 x x 1 x x x x x 1 x x x x x 1; x x x x Từ đây suy hệ có hai nghiệm x; y 0;1 , 1; 3 x y x y 1, Bài toán 105 Giải hệ phương trình 3 x y y x y Lời giải Điều kiện x; y ¡ Hệ phương trình đã cho tương đương với x; y ¡ 3 x y x xy y x xy y y x y 2 x y 2 3x y y 3 3 x y x y x y x y x y x y x y x y x y 2 x y 1 x y Từ phương trình thứ suy x y 1 x y x y Xét hàm số f t t 3t ; t 1;1 f t 3t 0, t 1;1 , hàm số liên tục, nghịch biến Phương trình thứ hai đó có dạng f x y f x y x y x y y Từ đây suy x x ; ;0 , ;0 Hệ ban đầu có hai cặp nghiệm x; y 2 Bài toán 106 Trích lược câu VII, Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2015; Trường THPT Lê Quý Đôn; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái Bình x3 y y x y 12, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y x y 10 x y 22 Lời giải Điều kiện x 3; y Phương trình thứ hệ đã cho tương đương với x3 x y y 14 y 12 x x y y 12 y y x3 x y y 1 Xét hàm số f t t 2t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên 1 f x f y x y y x Phương trình thứ hai trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (79) 79 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x x x x 10 x x 10 22 x x x 11x 16 Với điều kiện x 1;3 ta có biến đổi x x x 11x 14 2 x x2 x x x 1 x 1 x 1 7 x 2 x x 1 1 Dễ thấy 7; x 2.3 7, x 1;3 nên (2) vô nghiệm x 1 x 1 Từ đây dẫn đến bài toán có nghiệm x; y 2; 2 x x x x 3 y y 2, Bài toán 107 Giải hệ phương trình x x y 8 x x x¡ Lời giải Điều kiện x Phương trình thứ hệ tương đương x x3 12 x x 2x 1 Xét hàm số f t t t f t x 1 1 3t 2 t3 1 y 1 y y 1 Đặt 1 y 1 1 0, t 1 Hàm số liên tục và đồng biến nên ta có 1 f x 1 f Phương trình thứ hai trở thành y 1 2x 1 y 1 y 2x 1 x x x x x 1 x x 1 x x u;1 x v, u 0; v ¡ ta u v u v u v u v2 2 2 u v u 2uv v 2u 2v 2 x u v x y 2 u , v 4 x x x x Đối chiếu điều kiện ta thu nghiệm x; y 0; 2 Bài toán 108 Trích lược câu 8; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ 3; Mùa thi 2015; Trường THPT Lê Quý Đôn; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái Bình x y x y 2, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 y y 1 x 1 y x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (80) 80 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Lời giải Điều kiện x Phương trình thứ hai hệ tương đương với y y y x x x 1 y y y x 1 x x 1 x 1 Xét hàm số f t t t t ; t ¡ f t 3t 2t t 1 2t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên 1 f y f y x 1 y x 1 y x 1 Phương trình thứ trở thành 3x x x x 3x x x x 2x x 1 x 3 x 1 3x x x x 2x 1 1 x 1, x 3x x 3 2 3 2 Như ta thu nghiệm x; y ; , ; 2 2 Ta thấy (1) vô nghiệm vì Bài toán 109 Trích lược câu 4; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Đề thi chính thức; Mùa thi 2015; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Lâm Đồng x y 1 y x3 , Giải hệ phương trình x x y y Lời giải: Điều kiện x 2; y Phương trình thứ hai hệ tương đương với x x x y 1 y y Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên f 2 x f y 1 x y 1 x y 1 x y Phương trình thứ hệ trở thành 3 x x x 1 x x 3x x 1 x3 1 x x x x x x Đặt x u; x x v; u , v ta có u v 3v 2u uv v u 3v 2u u v 3v 2u u v2 x2 x2 x x Từ đó đến hệ có nghiệm x 2; y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (81) 81 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán 110 Trích lược câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Phan Thúc Trực; Huyện Yên Thành; Tỉnh Nghệ An xy 3 y x x y x y 2, Giải hệ phương trình x; y ¡ x 16 2 y x Lời giải Điều kiện y 2; x 0; 2 Phương trình thứ hệ tương đương xy x y y 3 x 1 y x2 x x y x 1 x 1 x x 1 y y y x x x Xét trường hợp x thì phương trình thứ hai trở thành 1 25 2 y y Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên 1 f y2 f x 31 2 (loại) y2 x y2 x Phương trình thứ hai đó trở thành x 16 x 16 x x 16 x 16 x 16 x x 16 2 2 x2 4 x 2 x2 x 2 x2 x 2 x2 x x x 4 x 2 32 x x x ; Kết luận hệ có nghiệm x y 3 3x xy 1, Bài toán 111 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2x x 3x 2 x 1 xy Lời giải 2 Điều kiện x ; x 1 xy Phương trình thứ hệ tương đương 1 x y 3 xy 3x y y 3 x x Xét hàm số f t t t; t ¡ f t t t t2 t t t 3 t2 1 Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên f y f y xy x x t 3 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (82) 82 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Phương trình thứ hai trở thành 2x x 5 x 3x x x x 3x x x 3x x 5x x 3x x 3x x 3x x 3x x 3x x x 1 x 3x 2 x 3x x x 1 1 x 3x x 1; 2 x; y 1; , 2; 2 4 Kết luận hệ có hai nghiệm x y 1 x xy 1, Bài toán 112 Giải hệ phương trình x; y ¡ x xy x x Lời giải Điều kiện x Nhận xét hệ không nhận nghiệm với x x Khi đó phương trình thứ tương đương 1 x y 3 3xy x y y 3 x x Xét hàm số f t t t; t ¡ f t t t t2 x 1 t t t 3 t2 1 Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên f y f y xy x x Phương trình thứ hai đó trở thành t 3 1 x x x 1 x 1 x x 12 x x x x x x x x 12 x x x2 x x2 x 12 x x x x x 3x 1 x x 12 x x x 3x 1 x x 1 x 0;1 x x; y 1; 3 Kết luận hệ đã cho có nghiệm Bài toán 113 Trích lược câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Mùa thi 2016; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Thủ đô Hà Nội x 1 y x xy, Giải hệ phương trình x; y ¡ x xy 3x x 3xy Lời giải CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (83) 83 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Điều kiện x Phương trình thứ tương đương x y xy x x y xy x t Xét hàm số f t t t; t ¡ f t t t 1 2x 7 1 3 x x t t 0 t2 t2 1 Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên f y f y xy x x Phương trình thứ hai hệ trở thành t2 1 1 y2 1 y x x x x 3x x x 24 x 35 x x 3x 3x x x x x x2 x 6 3x 3x x2 x x2 x 6 x95 x3 x2 x 6 4 3x 3x x x 1 x x x 1; 6 x; y 1;1 , 6; 6 Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm 6 x x x y 3 x y 1 y 1, Bài toán 114 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 12 y x x x x x y Lời giải y 1 y Điều kiện y Xét x y 2 y 12 y Khi x , phương trình thứ hệ tương đương với y 4 y 1 y x3 x x y 1 y y 1 y 1 x x x Xét hàm số f t 2t 3t 6t ; t ¡ f t 6t 6t t t 1 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập số thực nên ta x 1 1 f f y y x y x x x y 1 Khi đó phương trình thứ hai tương đương x2 x3 x x x 2 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (84) 84 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Từ phương trình (2) ta có 3 x x x3 3x 3x x x 3x 3x 2 Điều kiện x x x x x x Kết hợp điều kiện 1 x x 3x x3 3x 3x 2 2 1 1 x 1 x x ; y 1 2 2 2 Đối chiếu điều kiện x ta thu nghiệm x3 3x x Bài toán 115 Tìm nghiệm hữu tỷ hệ phương trình x3 x xy 1 xy y y 1 xy 1, x; y ¡ 2 xy y x 1 x Lời giải Điều kiện x ; xy Xét xy thì phương trình thứ hai trở thành x 1 x 1 3 Rõ ràng x x 1 x , dẫn đến (1) vô nghiệm Xét xy thì phương trình thứ tương đương x3 x x x y3 y y3 y xy xy 1 xy xy xy 2 Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm liên tục và đồng biến dẫn đến x f f y xy Khi đó phương trình thứ trở thành 2 x xy y x y xy 2 xy x y xy 1 y xy 1 x 1 x x x 1 x x2 x x x x 4x x2 2x x2 2x 0 x 6x x 1 4x 1 x2 x 2 1 0 x 6x x 1 4x 1 Rõ ràng 0, x , nên ta x x x 3;1 ¤ x 6x x 1 4x Kết luận hệ đã cho không có nghiệm hữu tỷ x2 x xy x y y 8, Bài toán 116 Giải hệ phương trình 3 x y x y 26 x x 14 x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (85) 85 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Lời giải Điều kiện y Xét trường hợp y không thỏa mãn hệ, y thì phương trình thứ tương đương xy x xy x y y 4 y y x x2 1 y y y t2 Xét hàm số f t t t t 1, t f t t t2 1 0, t ¡ x Hàm số liên tục, đồng biến nên ta f x f x y y x y Phương trình thứ hai trở thành 3 x 26 x x 14 6 x 13 x x3 14 6 x 12 x x x 14 6 x x 1 x x 1 x 2 x 2 x2 2x x 2 x x 14 Ta thấy x x x 14 x 14 x 14 x3 14 0, x ¡ 1 x 14 0 1 nên (1) vô nghiệm Với x x 0; x x 2; y 12 , hệ có nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (86) 86 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài tập tương tự Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số thực x 1 x y, y 2 x xy x 8 x x x y , x3 x x3 y x y 2 x 13 x y 3 y 2, x y x 1 x y x y x , 2 12 x xy 18 x x y x 8 x x y xy x3 13, 3 x x x y x y x2 x y y 1, 4 x 22 x y x3 x y , 15 x x y y x x x y y 0, 4 x y y x3 y 1 x 1 x 6, 2 x y y x x 2 y x x x y, 10 2 2 x y x y x x x y y 1, 11 x x xy 4 xy y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (87) 87 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ y3 3x y , xy 12 x x y x y x x y y 1, 13 x2 y x 3x x y x x y y 1, 14 x y x 3 x x y y , 15 y x 1 2 y x 1 x3 xy y y , 16 x y x11 xy10 y 22 y12 , 17 4 2 7 y 13 x y x x y 1 x 3 x y y, 18 4 x x y y y x x y y 1, 19 x y 2 y y x x x , 20 y y x 16 y x 85, 21 3 16 x y 24 x 18 x y 21 2 x y x y 30 28 y , 22 x x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (88) 88 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 2 x y y x x , 23 x y 1 x x x y y 1, 24 x x xy xy x 2 2 x x x y y x x , 25 3 y 2x x x 2x 1 x x y y y 1 , 26 y 3 x 6x 4 2 y 2x y 1 x 3, 3 x y 27 x y 29 x y y 23 y 2012 x x y 2009 y 0, 28 2 x y 14 x 18 y x x 13 2 y 12 y 25 y 18 x x 4, 29 2 3 x 14 x y y x x3 y x 12 y 12 y x y x 1, 30 x; y ¡ x xy 1 y x y 2 y y x 0, 31 x; y ¡ 4 x xy y 2 y y x x x , 32 x; y ¡ 2 x x 20 13 y 17 x x y 14 y 0, 33 x; y ¡ 2 x x y x 1 x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (89) 89 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x y y y x 2x y x 1 , y 34 x; y ¡ x y 14 x y x y y y 54 x 10 x y 49 y 0, 35 x; y ¡ 2 2 y x x y x x x x y x y, 36 x; y ¡ x x x y 11 y y 24 x x y 21 y 0, 37 x x y x; y ¡ x y 4x 1 10 x x y y , 38 x; y ¡ y 1 x x 3y 1 x2 y , x 39 y x; y ¡ x y x x x y 13 x y x 2, 40 x x; y ¡ y x x y 14 x 35 x 84 36 x y 52, 41 x; y ¡ x x x 12 y 34 13 y 17 y x y x y y y 1, 42 x; y ¡ 2y 2 y 3 x y x x y x 11 y x x 11 x 1, 43 x; y ¡ 5y 8y 4 2 3x x 2 x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (90) 90 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 10 y 1 , y x 2 x 9 44 x; y ¡ x y x y y y x y x 2 x y x y 1 x y 1, 45 x; y ¡ x 3 x y y y 3x y x2 1 , x2 y 46 x y x; y ¡ x y 3 x y x y y 3 y x y x y x x x y, 47 x; y ¡ x x3 y 3x x y y y2 x y x y x y y 3 y 1, 48 x; y ¡ 2 4 x y x y 1 y 1 , x y 2 x y2 y 49 x; y ¡ x y x y y y x y 1 x y 11 x y y x y y 2, 50 x; y ¡ y 1 2x 1 8x y x x y x y x y x x , 51 x; y ¡ y 1 x x y y y y 25 x 15 x 2, 52 x y x; y ¡ 2x y x 2y 1 x y x y x y x y x y 1, 53 x; y ¡ 10 2 y 91 x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (91) 91 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y x y y x y x , 54 x; y ¡ 2 y x y y x x y 10 x y y x 1 x y x y 1, 55 x; y ¡ y 1 x x y 1 x y 11 x y x y 14 x y x y 1 , 56 x; y ¡ y 1 x 2x x y 1 y 1 x y 1 x y x 1 x y x y 1, 57 x; y ¡ x y x y x y x 10 xy 13 y x y 15 x y x y 15 x y x y , 58 x; y ¡ 2 x 16 y 18 y x y x y x y x x 1, 59 x y x; y ¡ x y 4x 1 x y 11 x y y x 11 y x , 60 x; y ¡ 2 x x y x 16 x2 y 2x2 y y x , y x 61 x; y ¡ 12 y x 1 x3 x y x x x x x y x y , 62 x; y ¡ 2x y x x y x 12 y 13 8 y y x x 42 x 5, 63 x; y ¡ x x 10 y x - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (92) 92 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ y x 2 y x x 3, 64 x; y ¡ 2 x y x y y y 51 y 17 x y x 51x 17 y x y , 65 x; y ¡ 3y2 y x2 x y 3 y x 3 x 0, 66 x; y ¡ y 2 x x y x y 2 x xy x xy 3xy y xy y 1, 67 x; y ¡ x y x x x y x y y y y y x y , 68 x; y ¡ x 1 y x x x x x x x y 1 x y x y , 69 x; y ¡ x 1 x y x x x y 7, 70 x; y ¡ 2 x 13 x x x y xy 13 xy y x y x 1, 71 x; y ¡ 2 xy x 13 xy x x y x x y 13 x y 12 x x y y 1 0, 72 x; y ¡ x y x x x y x x y x y x y x 1 x xy 5 x xy , 73 x; y ¡ 2 y 3 x x x 12 y x y4 x2 2x x y2 y , 74 x; y ¡ y x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (93) 93 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y y x x 4, 75 x; y ¡ x y x y y x xy x x y , 76 x; y ¡ x y y x x y2 1 1, y x 1 77 x; y ¡ x 1 x2 2x x 1 y 3x 3 xy y x x , 78 x; y ¡ 8 y 15 y x x x x x2 y x x 12 y y , y x 79 x; y ¡ 2 x 16 y 36 x y 27 y2 x y , 80 2 x x y y x y x3 x x y y 2, 81 2 x xy 16 x y 22 y 36 18 y y 17 y y , 82 x x; y ¡ 3 2 x x x x y y x y y y x 1, 83 x; y ¡ x 3x y x x2 y y x 1, 84 x; y ¡ 3 2 x y y x x y x 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (94) 94 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số thực xy x y y x y x 1, x; y ¡ 2 y x x x x y x x x x xy y 0, x; y ¡ x y 10 x y x y 2x 1 x2 x , y2 3 y x; y ¡ 2 x y x x 3x y 22 2y y 3x x x x 3 , x x; y ¡ 20 y 3x x y 3x x 3y 1 y y x 1 , x; y ¡ x y 3 y x x x y y 2, x; y ¡ 54 x y 23 x 52 y x x y y 1, x; y ¡ x y y y x 4, x x x y y 1, x; y ¡ y x y x x x2 x y y 3, x; y ¡ 2 26 x x y x 1 x y x2 x x y y 1, 10 x; y ¡ 2 2 y 1 x x 1 y 3x - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (95) 95 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 2 x x 3x x3 y y , 11 12 x 1 x; y ¡ x x y x 3 2y x3 x y x 1 y 1 , x 1 12 x; y ¡ 8 x 1 y 1 11x 1 x x x x x y x 1, 13 y x; y ¡ 2 x y x x x x3 y y x3 x 3 y y 1, 14 x; y ¡ 2 x x y y x3 y x 12 y x 12 y y x 1, 15 x; y ¡ x x y x x3 x y 20 y 2, x y2 16 x; y ¡ x y 12 x 76 64 x 10 y 12 , y y x; y ¡ 17 1 x 4 y 3x 12 x x y xy y y x x x 3, 18 x; y ¡ 9 y 3x x y x2 y 1 x y x 18 y , 19 x; y ¡ 3 x x y x y x y x x x y y, 20 x; y ¡ x y 31 y 17 x y 10 x y2 2y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (96) 96 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 1 2 x , x y 2 y x x 21 x; y ¡ 3 x y x x 5x 1 x y 1, y 1 x 22 x; y ¡ xy x 1 x xy 3x 2 x x y x x x 1, 23 x; y ¡ 3 2 x x x x y y x x x x3 y 1 y , 24 x; y ¡ x2 x2 y 2 2 x y x 1 x3 y x y 3x , 25 x; y ¡ 3 2 x y x y 1 x 17 y 2 x3 y x y xy x y , 26 x; y ¡ x x y y 22 x x x y y y, 27 x; y ¡ x y x y 1 1 y x3 x x y x y 0, 28 x; y ¡ 2 2 y 1 x 3x 1 x y 11x 11 x x x 1 x 11 12 y y 0, 29 x; y ¡ x y x 3y x x2 y x y y x , 30 x; y ¡ x y 17 x y - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (97) 97 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 y 17 x 32 y x y 24, 31 x; y ¡ y x x y x x y x y x x 4, 32 x; y ¡ 3 3 y y 3 11 y 13 x x x x y y 3, 33 x; y ¡ x x xy xy 3x x x y x y x 1, 34 x; y ¡ x y 3 x x x y 21 x x x y y y 5, 35 x; y ¡ 2 x y x y 80 x y x y, 36 x; y ¡ 2 x 12 xy y 4 x x y y 15 y x 1, 37 x; y ¡ y y 2 2 x x y 15 x y 12 32 x y y y y x 38 x; y ¡ y x x 13 y 82 x 29 12 x3 3 y y x x x , 39 x; y ¡ y x x y 8 y 1 x x x y y 1, 40 x; y ¡ x y y x y 13 y 7 x x x x y x y x , 41 x; y ¡ 2 x y x y 2 2 x y x y - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (98) 98 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 3 x y y 0, 42 x; y ¡ 4 x x y y y x 1 x y 3 y 1, 43 16 x; y ¡ y x 8 y y x x x 2, 44 x; y ¡ x y x y y 8 x y y y x, 45 x; y ¡ y x x 13 y 82 x 29 x x y y 0, 46 x; y ¡ 2 2 x y x 12 x x 11 3 y x x 10 y xy 12, 47 x; y ¡ 3 5 y x y xy x 2 x2 1 x , x y 1 y 1 48 x; y ¡ x3 y x x x y y x10 x , 49 x; y ¡ 4 x x x y 2 y 12 y 25 y 18 x x 4, 50 x; y ¡ 2 x x 14 x y y x x x y y x y 0, 51 x; y ¡ x y x y 2 x x x y y y , 52 x; y ¡ 2 3 x y 2 y x x x y, 53 x; y ¡ y x xy x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (99) 99 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x y y 1, 54 x; y ¡ 27 x x y 2 x y x x x y y 1, 55 x; y ¡ 4 x y x x y x x x y y x 2, 56 x; y ¡ 2 x x y y x y x x 1, 57 x; y ¡ 4 y 24 y 49 y 90 14 x x3 x3 y x y 15 xy 14 y y 0, 58 x; y ¡ 3 y x y 12 x3 3 y y x x x , 59 x; y ¡ y x x y y 1 x x x y x y, 60 x; y ¡ y y x 2014 2 y y x x x , 61 x; y ¡ 2 y x y y 13 y x3 x 1, 62 x; y ¡ y 2x y 1 x y x x y x x x x xy y 0, 63 x; y ¡ 2 2 x y x y x y 2 x x 3x x y y , 64 18 x; y ¡ y 17 y 17 y y x 1 - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (100) 100 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 4 x y 1 x x 9, 65 x; y ¡ 2 x y y x x x 10 y x y 10, 66 x; y ¡ 2 2 x 1 x y x y x x y y y 1 x 3, 67 x; y ¡ y 2014 x 2013 x11 xy10 y 22 y12 , 68 x; y ¡ 2 7 y 13 x y x x y 1 x x x y y 0, 69 x; y ¡ 4 x y y 4 x y 3x x y x , 70 x; y ¡ 2 x y x x x x y y 2 y y x 2, 71 x; y ¡ 4 x xy y x y y x 6, 72 x; y ¡ 4 x xy y 25 12 18 x 25 y , 9x x y 2y 73 x; y ¡ 7 x y xy x y 12 x x x y 2, 74 x; y ¡ x x x y y x 2 x 1 10 y 8, 75 x; y ¡ 2 2 x y y x y x y y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (101) 101 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số thực x 1 y 1 x x 1 y y 1 , x; y ¡ 3 x x x y x y 2 x x x x y, x; y ¡ 2 2 x y 12 x x y 19 y x x y y 1, x; y ¡ 3 x y x y x 1 y x xy, x; y ¡ x xy 3x x 3xy x3 x y y y, x; y ¡ x x y 3x x x x y y x y 0, x; y ¡ x y x y 1 y x x y 1, 1 x y x; y ¡ x y 2 x y x y y 0, x; y ¡ 2 2 y x y xy x x xy y y x x x y y 1, x; y ¡ y xy 2014 y y 2015 x x3 x 13x y y 10, 10 x; y ¡ 2 x y x y x x 10 y 2 y y x x x y 1 , 11 x; y ¡ y y y x - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (102) 102 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 y y x, 12 x; y ¡ x y 24 x y 47 xy 39 y 18 x x y y 4, 13 x; y ¡ x x xy xy x x y 3 xy x y xy , 14 x; y ¡ x y x y x x y , 15 x; y ¡ y y x x x y 3, 16 x; y ¡ y y x x x y y 2, 17 x; y ¡ x y y x x3 12 y x y y, 18 x; y ¡ x y y x x y y y x3 x , 19 x; y ¡ 5 x y x5 y y x , 20 x; y ¡ x y x y y x xy , 21 x; y ¡ 2 x y x3 x y 1 y 1, 22 x; y ¡ x 2 y x3 x y 1 y 1, 23 x; y ¡ x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (103) 103 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 3 y y x x x , 24 x; y ¡ x y 3 y y x x x , 25 x; y ¡ y y x x3 y y 1 y 1 x, 26 x; y ¡ x y 3 x y 17 11 y xy x y 1 x xy 1, 27 x; y ¡ x x xy x xy xy x y 3 3x xy 1, 28 x; y ¡ 2x 2 xy x x 2 x 1 xy x 1 y x xy , 29 x; y ¡ x 24 x 11 x y x 2 x x x x3 30 56 y 36 y y , 30 x; y ¡ 23 2 x 1 x y xy x x x y x x x y y 1, 31 x; y ¡ 18 x3 16 y 40 xy 34 x x 3x x x y y 1, 32 x; y ¡ 3 y x 12 x 12 x x y x y 2 y x x 12 x , 33 x; y ¡ xy x x x x y 1 x x y y , 34 x; y ¡ x x y xy xy x y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (104) 104 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ xy x y y 1, 35 x; y ¡ y 1 1 4 3 xy xy y y 3 x x3 x y 1 y , 36 x; y ¡ x 4 x y 7 x y xy x y 12 x x 1, 37 x; y ¡ 2 2 x y y x3 x 13x y y 10, 38 x; y ¡ x 3x 10 y x y x y 2016 x x 504 y y 1008, 39 x; y ¡ x x xy xy x (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ 2; Mùa thi 2016; Trường THPT Hồng Quang; Thành phố Hải Dương; Tỉnh Hải Dương) x3 y y x 15 y 14, 40 x; y ¡ 2 x y xy x 10 x y x x x y x 1 y 1 , 41 x; y ¡ 3 x x x 1 y (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Vĩnh Phúc) 4 y x 29 x y 0, 42 x; y ¡ y 2 y 3x y x x (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Kim Liên; Quận Đống Đa; Thành phố Hà Nội) x3 y x y y y 14, 43 x; y ¡ 27 x 27 x 20 x y x (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Thống Nhất; Huyện Yên Định; Tỉnh Thanh Hóa) - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (105) 105 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 y y x y 0, 44 x; y ¡ x x x y (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ 3; Mùa thi 2016; Trường THPT Đông Du; Thành phố Buôn Ma Thuột; Tỉnh Đăk Lăk) xy x y y, 45 x; y ¡ xy x x x xy 34 34 x xy 10 x x (Câu VII; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Tháng 4; Mùa thi 2016; Trường THPT Chuyên Nguyễn Chí Thanh; Thị xã Gia Nghĩa; Tỉnh Đăk Nông) x x y y 1, 46 x; y ¡ x x y y (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Trần Phú; Thành phố Vĩnh Yên; Tỉnh Vĩnh Phúc) x x x y y 3, 47 x; y ¡ x x y xy y x y x (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Thuận Thành 1; Huyện Thuận Thành; Tỉnh Bắc Ninh) y y y x x 13 x 12, 48 x; y ¡ x y (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Trần Bình Trọng; Huyện Cam Lâm; Tỉnh Khánh Hòa) x3 y x y 15 xy 14 y y 0, 49 x; y ¡ y x y x 1 x y 1 y 0, 50 x; y ¡ 4 x y y x (Câu 5; Đề thi khảo sát trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Mùa thi 2014; Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc; Thành phố Vĩnh Yên; Tỉnh Vĩnh Phúc) 2 y x3 x x y 3, 51 x; y ¡ 4 y 2 1 y x 16 (Câu 5; Đề thi khảo sát chất lượng học kỳ I; Môn Toán; Năm học 2015 – 2016; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Thái Bình) - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (106) 106 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x y y 0, 52 x; y ¡ 2 x y x y y (Câu 9; Đề thi khảo sát chất lượng học kỳ II; Môn Toán; Năm học 2015 – 2016; Trường THPT Nguyễn Đức Cảnh; Thành phố Thái Bình; Tỉnh Thái Bình) 2 y x x x y, 53 x; y ¡ x x y 40 (Câu II.2; Đề thi khảo sát trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lần thứ 3; Mùa thi 2014; Trường THPT Gia Lộc; Huyện Gia Lộc; Tỉnh Hải Dương) 18 x x x y y 27, 54 x; y ¡ y 3 24 x y x x y y , 55 x; y ¡ 2 x y x y (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Hàn Thuyên; Thành phố Bắc Ninh; Tỉnh Bắc Ninh) x y x3 y x 5, 56 x; y ¡ 3 2 x y 12 x y y x (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ hai; Mùa thi 2016; Trường THPT Anh Sơn II; Huyện Anh Sơn; Tỉnh Nghệ An) 8 x x x y y y , 57 x; y ¡ 4 xy y y 3x y 12 x (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Bảo Yên số 1; Huyện Bảo Yên; Tỉnh Lào Cai) 2 y y y x 1 x 1, 58 x; y ¡ 2 y y y x (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Trần Văn Dư; Huyện Phú Ninh; Tỉnh Quảng Nam) 5 x3 26 x 44 x 20 1 y y y 0, 59 x; y ¡ x x x x y (Câu 9; Đề thi khảo sát trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Thừa Lưu; Huyện Phú Lộc; Tỉnh Thừa Thiên Huế) x3 x x x y 1 x y y 1 , 60 x; y ¡ 2 x x x x y 12 y 20 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (107) 107 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ (Câu 3; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lớp 12B1; Mùa thi 2014; Trường THPT Kim Sơn A; Huyện Kim Sơn; Tỉnh Ninh Bình) 23 x x y 20 y 0, 61 x; y ¡ 3 y 3 x x y (Câu 3; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2014; Trường THPT Chuyên Phan Bội Châu; Thành phố Vinh; Tỉnh Nghệ An) 3 x y y x 15 y 14, 62 x; y ¡ 2 x y xy x 10 x y (Câu II.2; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2014; Trường THPT Yên Phong số 1; Huyện Yên Phong; Tỉnh Bắc Ninh) x y y x x y 5, 63 x; y ¡ x x y x y (Câu 2.2; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lần thứ 2; Mùa thi 2014; Trường THPT Cẩm Thủy số 1; Huyện Cẩm Thủy; Tỉnh Thanh Hóa) x x y y 1, 64 x; y ¡ 2 x y xy 24 (Câu 3; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2014; Trường THPT Trần Quốc Tuấn; Thành phố Quảng Ngãi; Tỉnh Quảng Ngãi) x x x y y 0, 65 x; y ¡ 4 x y 3 y (Câu 4; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Lục Ngạn số 1; Huyện Lục Ngạn; Tỉnh Bắc Giang) x x x y y y , 66 x; y ¡ 2 8 x 12 x y 14 x 1 x (Câu 3; Đề thi thử sức trước kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng; Môn Toán; Mùa thi 2014; Trường THPT Lê Văn Thịnh; Huyện Gia Bình; Tỉnh Bắc Ninh) x x y y 0, 67 x; y ¡ x x x x y x3 x 12 y y x y , 68 x; y ¡ x x x y 11 x y 11 (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2015; Trường THPT Trần Nhân Tông; Huyện Đông Triều; Tỉnh Quảng Ninh) CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (108) 108 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x y y y x, 69 x; y ¡ x 3 y x (Câu 4; Đề thi kiểm tra chất lượng học kỳ II; Môn Toán; Đề thi chính thức; Năm học 2014 – 2015; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Hà Tĩnh) x3 18 x y 19 y 0, 70 x; y ¡ 2 x x y xy 12 2 x y y y x x 1, 71 x; y ¡ y 1 x y x 1 x 18 x x x y y 27, 72 x; y ¡ y 3 24 x y 8 y xy x y x3 13, 73 x; y ¡ 3 x x x y x y x3 y x y 6 x 15 y 10, 74 x; y ¡ y x y x 10 y x , 3 xy x x y2 75 x; y ¡ x x x 3y2 x x y y 8x y3 , 76 x; y ¡ x3 x y 1 x xy 20 x x xy 20 4y y x y x y 4, 77 x; y ¡ x y y x x y y x x 1, 78 x; y ¡ 1 3 x x 5 2y 2y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (109) 109 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x3 y 3x x y 0, 79 x; y ¡ 2 x y x y x y xy y x 1 y x xy, 80 x; y ¡ x 11x xy 13x xy xy 17 x x x x 13 1, 81 y y 10 x; y ¡ x y x y x x 10 y x x y y 1, 82 x; y ¡ 2 x x y y x3 x y y y 5, 83 x; y ¡ x x x y xy x y y , 84 x; y ¡ 2 x xy x x x xy x 3x y xy 11 x y 57 y x 22, 85 x; y ¡ y y y x x x 10 x x 10 y y y x x y 0, 86 x; y ¡ y x y 3 x 3x y x y y x , 87 x; y ¡ x x x x x y xy 1 x y 1 x y y x x y 1, 88 x; y ¡ y x x3 y x y 13 y 8, 89 x; y ¡ 2 x 14 y x y 19 y CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (110) 110 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Giải các hệ phương trình sau trên tập số thực xy y x x y x, x; y ¡ 24 x y 11 16 x x xy x3 y 12 y x 19 y 11, x; y ¡ y x y x x y y 30 8 x y y y x 3, x; y ¡ x y x 7 x y xy x y 12 x x 1, x; y ¡ y y 25 x x y 3 y x x x y, x; y ¡ 2 x y x y x x y yx 24 , yx y x 11 x; y ¡ 2 2 y y x x3 y x y x y 18, x; y ¡ x y x y x x 13 y 12 y y 12 x 10 x 3, x; y ¡ 2 y x y 12 x 2 x x x y 1 y , x; y ¡ x 4 x y 6 x y y y y x x , 10 x; y ¡ y x y x x x x x 10 y 12 y y , 11 x; y ¡ 3 10 x y 40 x y 103 x 97 x 93 x 24 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (111) 111 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 1 x 1 x 1 y 1 y 1 , 12 x; y ¡ x y 30 x3 12 x y y 16 0, 13 x; y ¡ 2 4 x x x x y y 10 x x 2012 y y 2012 2012, 14 x; y ¡ x z y z x3 xy y y , 15 x; y ¡ 2 2 2 x y x y x x y y 1, 16 x; y ¡ 2 3 x x y x x x x y 13 y x x 1, 17 x; y ¡ y 2x y x y x x y 0, 18 x x x x x x x; y ¡ y2 y x x x2 x y2 y 8 x xy x y y y, 19 x; y ¡ y xy 1 x y y x y x y 30 28 y, 20 x; y ¡ x x 1 y x y x x x y y 1, 21 x; y ¡ y xy 2012 y y 2013 x x y 2013 11 y y , 22 x; y ¡ y x y 1 y x y - CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (112) 112 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 8 x y 12 x y 10 x 14 y 15 0, 23 x; y ¡ y 12 x x x x 1 x y y 0, 24 x; y ¡ 22 x y 18 x 76 xy y x y 1, 25 x; y ¡ 4 x y xy 1 12 x y 12 85 8 y x , 26 x; y ¡ 16 x y x x 16 y 21 y x x y 1, 27 x; y ¡ x x xy xy 3x x2 y y x x2 , 28 x; y ¡ y x 4x2 x y x3 y x x y 4, 29 x; y ¡ x y x y 10 x x y x x 1 y y 0, 30 x; y ¡ x 2 x xy 3x 2 x x y y y y x 12 y , 31 x; y ¡ 2 y x x y 16 x x y y xy y y x 0, 32 x; y ¡ x y x y xy x y y x 4, 33 x; y ¡ 2 y y xy x x xy CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (113) 113 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 13 2 y y x 15, y x 4x 34 x; y ¡ x x x y y y 3 x y y x y 0, 35 x; y ¡ x x x y (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Phùng Khắc Khoan; Huyện Thạch Thất; Thủ đô Hà Nội) x x x y 1 y y 0, 36 x; y ¡ x y y x y (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Yên Phong; Tỉnh Bắc Ninh) x3 y y x y 0, 37 x; y ¡ 2 x y x x y y x (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ nhất; Mùa thi 2016; Trường THPT Nguyễn Quán Nho; Huyện Thiệu Hóa; Tỉnh Thanh Hóa) x x y y y 2, 38 x; y ¡ 2 x x y 14 y (Câu 9; Đề thi thử sức trước kỳ thi THPT Quốc gia; Môn Toán; Lần thứ hai; Mùa thi 2016; Trường THPT Nam Duyên Hà; Huyện Hưng Hà; Tỉnh Thái Bình) xy x y y 8, 39 x; y ¡ x 3 x x 10 x 13 x x y 6 x x x y 3 x y 1 y 1, 40 x; y ¡ x 3 x x x 15 y 11 x 15 x 1 y x xy, 41 x; y ¡ x 3 x x y 10 xy x 13 x 12 xy x y y 8, 42 x; y ¡ 2 5 x x 1 x x y x x CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (114) 114 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ y y y x x 4, Bài toán 117 Giải hệ phương trình 2 y x y x Lời giải Điều kiện x; y ¡ Cộng vế hai phương trình hệ ta thu x; y ¡ y y y y x2 x2 Xét hàm số f t t t ; t f t 0, t Vậy hàm số liên tục, đồng biến t t Ta thu f y2 y f x2 y y x y 1 x y x 1 y x 1 y x 1; x y Với y x x x x x x x ; y 2 Với x y y y y y 1 y 4 y y ; x 4 Kết luận hệ phương trình có nghiệm x; y ; , ; 2 4 y y y x 22 x 21 x 1 x 1, Bài toán 118 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x 11x y Lời giải Điều kiện x Hệ phương trình đã cho tương đương với y y y x 22 x 21 x 1 x 4 x 22 x 18 y Trừ vế hai phương trình trên thu y y y x 22 x 21 x 22 x 18 x 1 x y y y y x 1 x y y y 1 y 1 x x y 1 y 1 x 1 x 2 x 1 Xét hàm số f t t 2t ; t ¡ thì f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến với t dương Ta có 1 f y 1 f x 1 y x 1 y x 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành x 11x x x 11x 11 2 x x 22 x 22 x x 20 x 25 x x x 5 2x 1 2 x x 3 x x 2 3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (115) 115 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 4 x 28 x 49 x 4 x 30 x 50 x 5 y x x 3 x 2 x 3 x 1 y 4 x 12 x x 2 x x Kết luận hệ phương trình đã cho có hai nghiệm x; y 5; , 1; x y x 0, Bài toán 119 Giải hệ phương trình 2 y2 8x2 y3 x x y Lời giải Thay x x y từ phương trình thứ vào phương trình thứ hai ta có x 3x y x x2 y x2 x2 y x x 1 4x y x 2 x2 x 2x2 y Rõ ràng x không là nghiệm (1) nên x; y ¡ y 8x2 y3 y 8x2 y x y.4 y y 1 1 y2 1 1 2x2 y y2 1 1 x x x x x x x x 0, x x x 0; x x2 Lúc đó kết hợp y 0 0 x 2 x y 0, y ¡ Lại biến đổi phương trình (1) 1 x2 x 1 y y2 1 1 2y x x x x Xét hàm số f t t t t 1; t f t 2t t2 1 2 y 1 y 0, t ¡ , hàm liên tục và đồng biến trên ¡ 1 1 Thu f f y xy và phương trình thứ trở thành x y x Kết luận hệ phương trình có nghiệm 3 x x x x y 1 y y 2, Bài toán 120 Giải hệ phương trình 2 x y x y Lời giải Trừ vế hai phương trình hệ ta có x; y ¡ x x x y y 1 y y y x x x x y y y 1 y y y y x2 x y 1 y2 y 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (116) 116 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Ta nhận xét x x x x x x x x nên đặt y u thì 1 x2 x u2 1 u x2 x u2 1 u x2 x u u x2 u x u x u x u xu x u x u 1 2 x2 u x 1 u 1 x u x u x y 1 2 x 1 x u 1 u 2 5 2 Khi đó phương trình thứ hai trở thành y y y 2; x; y 1; 2 , ; 3 3 3 Kết luận bài toán có hai nghiệm kể trên Bài toán 121 Trích lược câu 1, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Bắc Giang; Năm học 2013 – 2014 3 x x x 1 x x y y y 5, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y x y Lời giải Điều kiện x; y ¡ Phương trình thứ hệ tương đương với x x 1 x 1 x x x x y y y x 1 x 1 x x y y y y y x 1 x 1 x 1 y 2 y 2 Xét hàm số f t 2t 2t t 1; t ¡ ta có f t 4t t 2t t2 1 y 2 1 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên toàn trục số thực, dẫn đến f x 1 f y x y x y 1 Phương trình thứ hai hệ trở thành y y y y 12 y y 10 y y 3; 3 8 1 Từ đây dẫn đến hệ có nghiệm x; y 0; 3 , ; 3 3 Nhận xét bài toán từ 117 đến 121 không nằm ngoài phạm vi lớp hệ phương trình chứa giải phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu – khảo sát hàm số Tuy nhiên đây là chuyên mục thứ 2, mở màn với bài toán số 100, không đơn là khai thác phương trình hệ trước, yêu cầu kết hợp tổng hòa các phép thế, sử dụng biến đổi tương đương, liên hợp từ hai phương trình để thiết lập tương đồng hàm số Lấy điển hình bài toán số 121, tầm vóc bài toán chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT môn Toán, tỉnh Bắc Giang, địa phương trung du miền Bắc có bề dày truyền thống học tập và anh dũng Quan sát phương trình thứ hệ phương trình 121 chúng ta thấy có chút tương đồng hàm số, và phương trình thứ hai dùng phép biến đổi nào đó để xử lý, tất nhiên phép là phương cách trước CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (117) 117 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x x 1 x x y y y m x 1 x 1 x x m y y y y 2 Rõ ràng cần chú ý đồng cho m x 1 m y x x 2 Lại có x y x y y y x x y Khi đó x2 x 2 2 m x 1 m y m x x 1 y x2 x m m x x 1 3x x Thực đồng m x x x x m , dẫn đến lời giải trên y x 0, Bài toán 122 Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y y y y Lời giải Điều kiện x Hệ đã cho tương đương với y2 x 5 x 2 x y y x y x x y y y x 1 x x x 1 2 y 1 y x x y 1 y 1 A A, A Chú ý A A 0, A ¡ nên ta xét hàm số A A, A f t t t; t ¡ f t t t2 1 t t2 t2 Hàm số liên tục và đồng biến trên toàn trục số nên thu f t t2 t2 t t t2 x f y 1 0, t ¡ x y 1 Phương trình thứ lại trở thành y y 1 y y y 0;5 x; y 1;0 , 36;5 Kết luận hệ đã cho có hai nghiệm kể trên xy y x 2, Bài toán 123 Giải hệ phương trình 2 y x 1 x x x x Lời giải Do x; y ¡ x x, x ¡ nên phương trình thứ hệ biến đổi y x xy y x2 x 2y x 2x x2 x y Phương trình thứ hai hệ đó trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (118) 118 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x x 1 x x x x x x x x 1 x x x x x x x x 1 x x x x x x x 1 x x x x 1 x 1 Xét hàm số f t t t t 2; t ¡ f t x x x 2 2t 2 0, t ¡ t2 Như hàm số liên tục và đồng biến trên toàn trục số thực Dẫn đến f x f x 1 x x x y Vậy hệ có nghiệm kể trên 3 x y 10 xy, Bài toán 124 Giải hệ phương trình x xy y 1 x y x y Lời giải Điều kiện 1 x y Hệ phương trình đã cho tương đương với x; y ¡ x y 2 x y 2 x y 2 x y 2 x y 1 x y 3 x y 1 x y x y 1 x y 1 x y Đặt x y t ta có phương trình ẩn t: 2t 3 2t 2t 4t 1 2t 2t 2t 8t 2t 1 Xét hàm số f u u u; u ¡ f u 3u 0, u ¡ Hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực nên ta có t f 2t f 2t 2t 2t t x y 2t t x y x y Khi đó ta có hệ x; y 2;1 , 1; 2 x y x y 3;3 Đối chiếu điều kiện ta có hai cặp nghiệm kể trên x y 2 x xy y 3, Bài toán 125 Giải hệ phương trình 2 x y xy Lời giải Nhận xét x xy y x y xy x xy y x y Phương trình thứ hệ trở thành x y 1 t 1 t t x y Đặt x y t ; t ta có t 3t x; y ¡ t t 1 t2 t 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (119) 119 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ t t 1 t 1 3 t t x y 1;1 t 3 2 Xét hai trường hợp xảy y x x y 3 1 o x; y 0; 1 , ; 2 4 4 2 x y xy 2 x x 1 x x 1 y x x y 1 1 x ; y 0;1 , ; 2 x y xy x x x x 4 Kết luận hệ đã cho có bốn cặp nghiệm kể trên Nhận xét Hệ phương trình chứa mang tên hệ sử dụng tính chất đơn điệu hàm số hay GTLN, GTNN hàm số xảy tương đồng với hai ẩn hàm khác theo hai biến, có thể tùy ý xuất phát từ hai phương trình hệ Hai bài toán 124 và 125 trên là hệ phương trình chứa thức giải phương pháp thế, có thông qua chút ẩn phụ (nếu muốn), sau thay ta phương trình ẩn, quan trọng là không thiết sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số Trong thao tác giải hệ phương trình chắn chúng ta tổng hợp nhiều công đoạn, nhiều kỹ năng, kỹ thuật, chưa kể lồng ghép hỗn hợp các hướng xử lý phương trình vô tỷ, phương trình hữu tỷ, đó ít có ranh giới phân định rạch ròi phương pháp hệ phương trình Chẳng hạn có hai cách diễn đạt đáng lưu ý Trình độ học sinh lớp 8, 9, 10 chưa thể giải các thí dụ 124, 125 vì sử dụng đạo hàm Trình độ học sinh lớp 8, 9, 10 hoàn toàn giải các thí dụ 124, 125 Nếu nói theo cách thứ nhất, vô tình chúng ta đã ngộ nhận, ngăn ngừa và làm tư mạo hiểm các em học sinh nhỏ tuổi, vì thực tế hai bài toán 124 và 125 khá đơn giản, chưa cần kiến thức đạo hàm – hàm số liên chương trình Đại số - Giải tích lớp 11 – 12 THPT Nói cách khác, hai bài toán 110 và 111 không đặc thù cho phương thức sử dụng công cụ đạo hàm – hàm số, tác giả đề cập đây hy vọng các bạn độc giả có cái nhìn đa chiều, khách quan và đúng chất phương pháp này o 17 x 17 x y 1 y x x 17 y y 34, Bài toán 126 Giải hệ phương trình 2 17 x x 11x 14 y y 25 Lời giải Điều kiện x 1; y 2 Trừ vế hai phương trình hệ ta có x; y ¡ x x y 1 y x x y 12 y x x y 1 y x x y y x x x x y y y 1 y x 1 x 1 x x y y y y 2 Xét hàm số f t t 2t 2t; t f t 4t 6t t 1 2t 1 0, t Hàm số liên tục và đồng biến với t không âm nên ta f x 1 f y x 1 y x y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 17 x3 x 11x 14 x 1 x 1 25 17 x3 17 x 45 x 45 x 1 17 x 45 x y Kết luận hệ có nghiệm CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (120) 120 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Bài toán 127 Trích lược câu 3, Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 THPT, Môn Toán, Khối A và A1; Kỳ thi lần thứ 3; Năm học 2013 – 2014; Trường THPT Chuyên, Đại học Vinh, Tỉnh Nghệ An 2 x x x y y y 1, Giải hệ phương trình x; y ¡ 2 x y x y Lời giải Điều kiện x 2; y Trừ vế hai phương trình hệ ta có x 3x x y y y y y x 3x x y y y x 1 x 1 x y y y 2 Xét hàm số f t t t t 1; t 1 f t 2t Ta có f t t 1 ; f t t 1 1 t 1 1 t 1 t 3 Khảo sát hàm số g t f t Min f t f f t 0, t 1 4 t 1 Do đó hàm số liên tục và đồng biến với t 1 dẫn đến 1 f x 1 f y x y Phương trình thứ hai hệ trở thành 1 y y 1 y y y y 1 y 1 y ;1 6 1 Từ đây suy hệ có hai cặp nghiệm x; y 1;1 , ; 6 Nhận xét Ngoài phương án tính đạo hàm cấp hai để khảo sát biểu thức đạo hàm cấp một, các bạn có thể linh hoạt sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân với điểm rơi sau Trước tiên f t t t t 1; t 1 f t 2t t 1 y 1 Áp dụng 2t 1 1 1 t 1 3 t 1 1 33 1 2 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 6 x x 17 x 18 y y y 16, Bài toán 128 Giải hệ phương trình 5 x 12 x 10 x y Lời giải Điều kiện x 2; y Trừ vế hai phương trình hệ ta có x x x 10 y y y x 16 x; y ¡ x2 5x x y y y x 2 x x y y y Xét hàm số f t t t t 1; t 1 f t 2t g t ; t 1 t 1 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (121) 121 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Ta có g t t 1 ; g t t 1 t 1 t Thực khảo sát hàm g t Min g t g f t 0, t 1 t 1 Như hàm số f t liên tục và đồng biến với t 1 , dẫn đến f x f y x y Dẫn đến x 12 x 10 x x x 11x x 2 x 12 x x x x x 3 x 2x x 1 2x 1 x 2 x x 2 x x 1 x 1 7 17 1 x x x 8x 4 x x x 2 x 2 2 x 2 2 x x 2 Kết hợp điều kiện ta thu hai nghiệm kể trên Nhận xét Quan sát bài toán 128, hệ phương trình hình thức đơn giản thú vị và độc đáo, nó nằm đề thi khảo sát chất lượng khối THPT Chuyên Đại học Vinh, Tỉnh Nghệ An đã nói, ngôi trường có bề dày thành tích học tập, thi cử các công trình nghiên cứu, nằm địa phương tiếng truyền thống hiếu học, văn vật, tự cường, mảnh đất Nghệ An quê hương Chủ tịch Hồ Chí Minh Nhiều năm qua, đề thi đơn vị này luôn đầu tư công phu, có hàm lượng kiến thức bao hàm, đánh giá đúng lực thí sinh dự thi, và số sĩ tử nói vui “bám sát với đề thi chính thức Bộ giáo dục và đào tạo” Thực phổ biến, bài toán đòi hỏi nhiều kỹ năng, tư lập luận nhạy bén, công đoạn cộng đại số thiết lập tương đồng hàm, giai đoạn nhận định ẩn hàm, hẳn giáo viên đề đã tốn không ít công sức sáng tạo nó f t t t t 1; t 1 f t 2t t 1 Có lẽ nhiều bạn đọc, tác giả có ý định tìm nghiệm phương trình đạo hàm, nhiên việc này là bất khả thi đạo hàm hàm số đặc trưng đã bố trí để xác định dương, và phương án tối ưu là tìm giá trị nhỏ biểu thức đạo hàm, chính công cụ đạo hàm – khảo sát hàm số, tức là chúng ta cần xét thêm hàm số thứ hai, đồng nghĩa với việc tính đạo hàm cấp hai hàm ban đầu 1 Hàm số thứ hai g t 2t g t f t t 1 t 1 Con đường mở lại khá thuận lợi xuất f t t 1 1 t 1 t 3 Tiến hành khảo sát hàm số g t dẫn đến Min g t g g t 0, t 1 f t 0, t 1 4 t 1 Rõ ràng đến đây thì hàm số đã đồng biến và liên tục thực Tác giả đã tiến hành số quan sát nhỏ và phát công đoạn mấu chốt thiết lập hàm số, từ đó thiết lập muôn vàn bài toán tương tự, thực tế không quá khó Trước tiên lưu ý bạn đọc cần có kiến thức nguyên hàm và tích phân sau 3 1 2 2 2 t m t m ; at b at b 3 a tm a at b t m at b Hai công thức trên chính tảng cho đạo hàm cấp hai, tức hàm số phụ g t CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (122) 122 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ g t g t t m at b g t g t tm a at b Tiếp theo, có thể khái quát số bước sau ( a, b, c, d ) Lựa chọn nghiệm cho đạo hàm cấp hai g t c at b Lấy nguyên hàm hàm số g t 0 at b c2 b c at b c t a 3 2 f t ct td at b a a at b b Chú ý f t g t ct d 0, t thì thất bại, vì là trường hợp đơn giản Do đó a a at b d b cần lựa chọn các số thỏa mãn để bắt buộc xét hàm số phụ c a Quy đồng và bỏ mẫu đảm bảo hàm số có các hệ số nguyên ca 2t 2a 2td at b f t ct td at b a a2 Điển hình bài toán số 114, tác giả đã găm nghiệm đẹp với a b c g t ; g t t 1 t t t 1 f t g t ct d Lấy nguyên hàm ngược trở lại thì f t g t t t2 t 1 f t t t 2 t 1 Lấy hệ số nguyên thu f t : t t Tăng cường mức độ phức tạp cho hàm số f t : t t t f t 2t t 1 0, t 1 , thất bại t 1 Sau tìm mối liên hệ hai biến, tiếp tục xây dựng phương trình thứ hai, nhiên bài toán 113 tác giả bài toán sử dụng phương trình bậc hai bản, lại còn nghiệm hữu tỷ nữa, không lý nào mà chúng ta không giải Xuất phát từ các quan sát nhỏ trên, tác giả đã mạo hiểm triển khai và thành công với bài toán số 127, mặc dù chút ít thời gian có niềm vui lớn, phần nhỏ vì bài toán ẩn giấu chất thực hàm số, điều đặc biệt là găm các số đẹp vào phương trình thứ hệ, hai số 17 và 6, ngày 17.06.1997, ngày có ý nghĩa – ngày sinh nhật cô bé, cô bé đặc biệt, ngày xưa Nếu chọn f t : t 3t t f t 2t 4 x x 17 x 22 y 32, Bài toán 129 Giải hệ phương trình 2 6 x 17 x x x y 40 y y 41 Lời giải Điều kiện x ; y 3 Trừ vế hai phương trình hệ ta có x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (123) 123 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x x y x 18 y y x x y 18 y y x 18 x 18 x 18 x y 18 y y x 1 18 x 1 x 1 y 18 y y 2 12 f t 18t 18 18 t 3t 3t Xét hàm số g t t g t và g t 3t 3t t 3 3t 3t Xét hàm số f t 9t 18t 3t 2; t Khảo sát hàm số g t Min g t g 1 t 2 f t 18 12 3 Vậy hàm số f t liên tục và đồng biến trên miền t Dẫn đến f x 1 f y x y Phương trình thứ hệ trở thành x x 17 x 22 x 1 32 x x 10 x x x 1 x x x 1 x32 x 0 x 1 y x Từ đây suy hệ có nghiệm x 1; y Nhận xét Bài toán số 129 tiếp tục với motip cũ, bài toán 128, tác giả lựa chọn nghiệm cho đạo hàm cấp hai f t g t t f t g t 3 3t 3t Rõ ràng g t 3t 3t t 1 Lấy nguyên hàm đưa hàm số gốc dự kiến f t t t 3t Từ đây găm các ẩn hàm tùy theo sở thích, và sử dụng biến đổi đại số các bạn thu bài toán với số và nghiệm ý Lưu ý có thể sử dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân sau 3t 1 f t g t t 3 3t 3t 3t Quy đồng đưa đạo hàm có hệ số nguyên f t 9t 18t 3t 2; t 33 3t 1 1 33 0 3 3t 3t 27 3 4 x x 24 x x y 34 0, Bài toán 130 Giải hệ phương trình 2 4 x x x 33 y y 24 y Lời giải Điều kiện x ; y 2 Trừ vế hai phương trình hệ ta có x; y ¡ CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (124) 124 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ x 24 x y y 24 y x x x 24 x y y 24 y x 1 x 1 24 x y y 24 y 2 12 t2 Áp dụng bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng – trung bình nhân ta có 12 6 f t 2t t 2 2 t2 t2 t2 Xét hàm số f t t 2t 24 t 2; t 2 f t 2t 6 3 2.6.6 t2 t2 Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên tập hợp số thực Dẫn đến f x 1 f y x y Phương trình thứ hệ trở thành x x 24 x x x 1 34 3 t 2 x 1 24 x 16 x x3 x x x x x 1 3 x 2 x x x 1 x x x 1 Kết luận hệ phương trình ban đầu vô nghiệm x y y 1, 12 x x xy Bài toán 131 Giải hệ phương trình 2 x xy 3x x x; y ¡ Lời giải Điều kiện x 4; y x y y 1, 12 x x xy Hệ phương trình đã cho tương đương với 2 x xy 3x x Cộng vế hai phương trình trên ta có x x 1 y y x x 1 y y x x 1 y y x3 x y 1 y x x y 1 y y y 1 y 1 Xét hàm số f t t t ; t ¡ f t 3t 0, t ¡ Hàm số liên tục và đồng biến nên f 2x f x y 1 2x y 1 4 x y Phương trình thứ hai trở thành CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (125) 125 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ 2 x xy x x 4x2 x 2 x x 3x 2 0 2 x3 x x x x3 x x x 2 x 2x 1 x 1 x x 3 x 1 x 2x 2x 1 Rõ ràng x 1 x , x 1 vô nghiệm 2x Từ đây suy hệ có nghiệm x ; y 2 5 y y y 3 x 35 x x 14, Bài toán 132 Giải hệ phương trình 2 x y x y Lời giải Điều kiện x 1; y Hệ phương trình đã cho tương đương với 5 y y y 3 x 35 x x 14, 2 4 y y x 32 x 16 Cộng vế hai phương trình ta x 1 x 1 x 1 f x; y ¡ 2 t Hàm số liên tục và đồng biến với t không âm nên ta x; y ¡ x y 1 y y Xét hàm số f t t t t ; t f t 4t 2t f 1 y 1 x 1 0, t y 1 x y 1 x y Thế vào phương trình thứ hai ta giải dễ dàng Bài tập tương tự Trích lược câu 2.1, Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 THPT; Môn Toán; Đề thi chính thức; Sở Giáo dục và Đào tạo Tỉnh Hải Dương; Năm học 2015 – 2016 3 x x x x y 1 y y 2, Giải hệ phương trình 2 2 x y x y 3 x 1 x y y y 12 , Giải hệ phương trình x; y ¡ x y y 3 CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (126) 126 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ III MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Bài tập nâng cao và số chuyên đề toán Bùi Văn Tuyên; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Nâng cao và phát triển toán 8, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2004 Nâng cao và phát triển toán 9, tập – tập Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2005 Toán nâng cao Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; NXB Giáo dục Việt Nam; 1999 Bài tập nâng cao và số chuyên đề Đại số 10 Nguyễn Huy Đoan; Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2006 Tài liệu chuyên toán: Đại số 10 – Bài tập Đại số 10 Đoàn Quỳnh – Doãn Minh Cường – Trần Nam Dũng – Đặng Hùng Thắng; NXB Giáo dục Việt Nam; 2010 Một số chuyên đề Đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến và số tác giả; NXB Giáo dục Việt Nam; 2009 Tuyển tập các bài toán hay và khó Đại số Nguyễn Đức Tấn – Đặng Đức Trọng – Nguyễn Cao Huynh – Vũ Minh Nghĩa – Bùi Ruy Tân – Lương Anh Văn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 10 Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp, tập – tập Phan Đức Chính – Phạm Văn Điều – Đỗ Văn Hà – Phạm Văn Hạp – Phạm Văn Hùng – Phạm Đăng Long – Nguyễn Văn Mậu – Đỗ Thanh Sơn – Lê Đình Thịnh; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 1997 11 Bài giảng chuyên sâu Toán THPT: Giải toán Đại số 10 Lê Hồng Đức – Nhóm Cự Môn; NXB Hà Nội; 2011 12 Phương pháp giải phương trình và bất phương trình Nguyễn Văn Mậu; NXB Giáo dục Việt Nam; 1994 13 Toán bồi dưỡng học sinh phổ thông trung học – 1; Đại số Hàn Liên Hải – Phan Huy Khải – Đào Ngọc Nam – Nguyễn Đạo Phương – Lê Tất Tôn – Đặng Quan Viễn; NXB Hà Nội; 1991 14 Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực Nguyễn Đức Tấn – Phan Ngọc Thảo; NXB Giáo dục Việt Nam; 1996 15 Chuyên đề bồi dưỡng Toán cấp ba; Đại số Nguyễn Sinh Nguyên; NXB Đà Nẵng; 1997 16 Giải toán Đại số sơ cấp (Dùng cho học sinh 12 chuyên, luyện thi đại học) Trần Thành Minh – Vũ Thiện Căn – Võ Anh Dũng; NXB Giáo dục Việt Nam; 1995 17 Những dạng toán điển hình các kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng; Tập Bùi Quang Trường; NXB Hà Nội; 2002 18 Ôn luyện thi môn Toán THPT theo chủ đề; Tập một: Đại số và lượng giác Cung Thế Anh; NXB Giáo dục Việt Nam; 2011 19 Phương pháp giải toán trọng tâm Phan Huy Khải; NXB Đại học Sư phạm; 2011 20 Các bài giảng luyện thi môn Toán; Tập Đức Chính – Vũ Dương Thụy – Đào Tam – Lê Thống Nhất; NXB Giáo dục Việt Nam; 1993 21 500 Bài toán chọn lọc Đại số - Hình học 10 Lê Hoành Phò; NXB Đại học Quốc gia Hà Nội; 2012 22 Tam thức bậc hai và ứng dụng CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (127) 127 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ Lê Sĩ Đồng – Lê Minh Tâm; NXB Giáo dục Việt Nam; 2003 23 Chuyên đề Bất đẳng thức và ứng dụng đại số Nguyễn Đức Tấn; NXB Giáo dục Việt nam; 2003 24 23 Chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp ; Quyển Nguyễn Văn Vĩnh – Nguyễn Đức Đồng và số đồng nghiệp (NKTH); NXB Giáo dục Việt Nam; 2002 25 Phương pháp giải toán bất đẳng thức và cực trị Nguyễn Văn Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Trần Quốc Anh; NXB ĐHQG Hà Nội; 2011 26 Các bài giảng bất đẳng thức Cauchy Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2008 27 Cẩm nang luyện thi Đại học Ứng dụng hàm số Giải toán Đại số và Giải tích Huỳnh Nguyễn Luân Lưu – Nguyễn Thị Duy An; NXB ĐHQG Hà Nội ;2014 28 Tư logic tìm tòi lời giải Hệ phương trình Mai Xuân Vinh – Phạm Kim Chung – Phạm Chí Tuân – Đào Văn Chung – Dương Văn Sơn ; NXB ĐHQG Hà Nội; 2015 29 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Trung học sở, Đại số Nguyễn Thị Thanh Thủy – Phạm Minh Phương – Trần Văn Tấn; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 30 Chuyên đề Đại số Trung học sở Vũ Hữu Bình; NXB Giáo dục Việt Nam; 2014 31 Hệ phương trình và phương trình chứa thức Nguyễn Vũ Lương – Phạm Văn Hùng – Nguyễn Ngọc Thắng; NXB ĐHQG Hà Nội; 2006 32 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT Chuyên trực thuộc đại học và THPT Chuyên các tỉnh thành 33 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 hệ THPT hệ đại trà các địa phương trên toàn quốc 34 Đề thi học sinh giỏi môn toán khối đến khối 12 các cấp 35 Đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán (chính thức – dự bị) qua các thời kỳ 36 Đề thi Olympic 30 tháng Toán học khối 10, khối 11 các tỉnh miền Trung và Nam (1995 – 2013) 37 Các tạp chí toán học: Tạp chí Toán học và tuổi trẻ; Tạp chí Toán tuổi thơ THCS; Tạp chí Kvant 38 Các diễn đàn toán học: Boxmath.vn; Math.net.vn; Mathscope.org; Onluyentoan.vn; Diendantoanhoc.net; Math.net.vn; K2pi.net; Mathlink.ro; 39 Một số trang mạng học tập thông qua facebook; twitter; CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (128) 128 LÝ THUYẾT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (PHẦN 7) _ THÂN THỂ TẠI NGỤC TRUNG TINH THẦN TẠI NGỤC NGOẠI DỤC THÀNH ĐẠI SỰ NGHIỆP TINH THẦN CÁNH YẾU ĐẠI CREATED BY GIANG SƠN; GACMA1431988@GMAIL.COM; 01633275320 TRUNG ĐOÀN TRƯỜNG SA; QUÂN ĐOÀN TĂNG THIẾT GIÁP (129)