Đang tải... (xem toàn văn)
Chương 2 Động học tay máy Theo quan điểm động học, một tay máy() có thể được biểu diễn bằng một chuỗi động học hở, gồm các khâu được liên kết với nhau bằng các khớp. Một đầu của chuỗi được gắn lên thân, còn đầu kia nối với phần công tác. Thao tác trong quá trình làm việc đòi hỏi phần công tác phải được định vị và định hướng chính xác trong không gian. Động học tay máy giải quyết 2 lớp bài toán: Lớp bài toán thuận căn cứ vào các biến khớp để xác định vùng làm việc của phần công tác và mô tả chuyển động của phần công tác trong vùng làm việc của nó; Lớp bài toán ngược, xác định các biến khớp để đảm bảo chuyển động cho trước của phần công tác. 2.1. Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian 2.1.1. Hệ toạ độ vật Thế (Posture) của một vật rắn trong không gian được coi là được xác định hoàn toàn nếu biết được vị trí và hướng của nó trong một hệ quy chiếu cho trước. Trên hình 2.1, hệ toạ độ Oxyz với các vector đơn vị là x, y, z được dùng làm hệ toạ độ gốc. Để mô tả vị trí và hướng của vật rắn trong không gian, thường phải gắn lên nó một hệ toạ độ, gọi là hệ toạ độ vật, ví dụ hệ Oxyz. Gốc toạ độ O đại diện cho vị trí của vật trong hệ Oxyz, được xác định qua biểu thức: o = oxx + oyy + ozz trong đó ox, oy, oz là các thành phần của vector o trong hệ toạ độ Oxyz. Như vậy, vị trí của điểm O được mô tả nhờ vector (3 ?1) sau: o = (2. 1) Hướng của vật được đại diện bởi các vector đơn vị x, y, z của hệ Oxyz và được mô tả bằng các quan hệ sau: (2. 2) Các thành phần của các vector đơn vị (xx, xy, xz ) là cosin chỉ phương của các trục của hệ Oxyz so với hệ Oxyz. Hình 2. 1: Vị trí và hướng của vật rắn trong không gian 2.1.2. Ma trận quay Để cho gọn, 3 vector đơn vị trong (2.2) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận (3 ? 3), gọi là ma trận quay, ký hiệu là R, như sau: R = = = (2. 3) Phép quay một vật quanh một trục toạ độ là trường hợp riêng của phép quay một vật trong không gian. Chiều quay được quy ước là dương nếu ngược kim đồng hồ. Giả sử hệ Oxyz nhận được do quay hệ Oxyz quanh trục z một góc ? (hình 2.2), vector đơn vị của hệ này được biểu diễn trong hệ Oxyz như sau: x = ; y = ; z = Hình 2. 2: Quay hệ Oxyz quanh trục z Vì vậy, ma trận quay quanh trục z của hệ Oxyz so với hệ Oxyz là: R(z, ?) = (2. 4) Tương tự, các ma trận quay khi quay vật quanh trục y một góc ?, R(y, ?) và quanh trục x một góc ?, R(x, ?): R(y, ?) = (2. 5) R(x, ?) = (2. 6) Các ma trận quay trên sẽ rất hữu ích khi khảo sát phép quay vật quanh một trục bất kỳ. Có thể thử để xác minh rằng chúng có các tính chất sau: R(k, ?) = RT(k, ?) (2. 7) trong đó k = x, y, z, ? = ?, ?, ? và RT là ma trận chuyển vị của ma trận R. 2.1.3. Phép quay một vector Ma trận quay không chỉ được dùng để biểu diễn vị trí của một hệ toạ độ so với một hệ toạ độ khác mà còn để mô tả sự quay của một vector. Giả sử 2 hệ toạ độ Oxyz và Oxyz, có gốc O và O trùng nhau (hình 2.3). Hình 2. 3: Biểu diễn điểm P trong 2 hệ toạ độ Điểm P trong không gian được mô tả lần lượt trong hệ Oxyz và Oxyz bằng các vector p và p: p = và p = Vì p và p biểu diễn cùng một điểm P và chú ý đến biểu thức (2.3)() ta có: p = p = pxx + pyy + pzz = x y zp = Rp (2. 8) hay: p = RTp (2. 9) Trong trường hợp này, ma trận quay R chính là ma trận chuyển đổi toạ độ của một vector từ hệ Oxyz sang hệ Oxyz, còn RT là ma trận chuyển vị của ma trận R. Ví dụ, nếu hệ Oxyz nhận được bằng cách quay hệ Oxyz quanh trục z một góc ? (hình 2. 4) thì ta có quan hệ giữa toạ độ của điểm P trong 2 hệ là: px = px cos ? py sin ? py = px sin ? + py cos ? pz = pz. Nếu viết gọn lại và để ý đến biểu thức (2. 4) thì ta có: p = p = R(z, ?)p Đó cũng chính là phương trình mô tả phép quay vector p quanh trục z một góc ?. Biểu diễn hình học của phép quay này như trong hình 2. 5. Tóm lại, ma trận quay R có 3 ý nghĩa tương đương nhau: Biểu diễn hướng giữa 2 hệ toạ độ, trong đó các cột của ma trận là cosin chỉ phương giữa các trục của hệ mới so với hệ gốc. Biểu diễn sự chuyển đổi tọa độ của một vector giữa 2 hệ toạ độ có gốc trùng nhau. Là toán tử biểu diễn phép quay một vector trong cùng một hệ toạ độ. Hình 2. 4: Biểu .diễn vector trong 2 hệ toạ độ Hình 2. 5: Phép quay một vector 2.2. Phép quay một vector quanh một trục bất kỳ 2.2.1. Tổng hợp các ma trận quay Thông thường một vật thể trong không gian có thể quay quanh một trục bất kỳ. Trong trường hợp đó, có thể coi phép quay tổng quát là sự tổ hợp nào đó của các phép quay đơn giản. Nếu làm được như vậy thì ma trận quay tổng quát sẽ là tổng hợp của các ma trận quay đơn giản. Giả sử có 3 hệ toạ độ chung gốc là Ox0y0z0, Ox1y1z1, Ox2y2z2. Vector p đại diện cho một điểm bất kỳ trong không gian được biểu diễn trong mỗi hệ là p0, p1, p2(). Ký hiệu ma trận biểu diễn phép quay của hệ i so với hệ j là Rij. Ta có mối quan hệ giữa các vector p1 và p2 như sau: p1 =R21 p2 (2.10) Tương tự, ta có: p0 =R10 p1 (2. 11) p0 =R20 p2 (2. 12) Thay (2.10) vào (2.11) và sử dụng (2.12), ta có: R20 = R10 R21 . (2. 13) Ma trận quay R20 trong biểu thức (2.13) có thể hiểu là ma trận tổng hợp từ 2 ma trận quay R10 và R21. Nó mô tả 2 phép quay liên tiếp nhau: Quay vật (đang trùng phương với hệ Ox0y0z0) theo R10 để nó trùng phương với hệ Ox1y1z1. Tiếp tục quay vật (hiện đã trùng phương với hệ Ox1y1z1) theo R21 để nó trùng phương với hệ Ox2y2z2. Phép quay nói trên là quay vật quanh hệ toạ độ hiện thời (hình 2.6). Cũng có thể liên tiếp thực hiện phép quay quanh hệ toạ độ ban đầu. Trong trường hợp này, các phép quay luôn luôn được thực hiện với hệ toạ độ cố định (hình 2.7). Hình 2. 6: Quay liên tiếp một vật theo hệ toạ độ hiện thời Hình 2. 7: Quay liên tiếp một vật theo hệ toạ độ cố định Có thể hình dung quá trình quay theo các bước sau: Ban đầu có 2 hệ Ox0y0z0 và Ox1y1z1 lệch phương nhau theo ma trận quay R10. Quay hệ Ox1y1z1 cho trùng với hệ Ox0y0z0 , tương ứng ma trận quay R01. Quay hệ Ox1y1z1 theo R21 để nhận được hệ Ox2y2z2. Bù phép quay ở bước 1 bằng phép quay ngược R10. Quá trình trên được thể hiện bởi biểu thức sau: R20 = R10R01R21R10 Vì R10R01 = 1, nên cuối cùng ta nhận được biểu thức: R20 = R21R10 (2. 14) So sánh với (2.13), chúng ta nhận thấy phép quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ cố định cho kết quả giống như phép quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ hiện thời, nhưng theo thứ tự ngược lại. Điều đó cũng nói lên rằng không thể tuỳ tiện thay đổi thứ tự quay vật. Cũng có thể kiểm tra kết luận trên bằng cách so sánh phép quay trong hình 2.6 và hình 2.7. 2.2.2 Phép quay quanh trục bất kỳ Trường hợp thường xuyên gặp phải trong nghiên cứu động học tay máy là mô tả phép quay một vật quanh trục bất kỳ. Giả sử r = rx ry rzT là vector đơn vị trong hệ Oxyz của trục quay. Ma trận quay R(r, ?) mô tả phép quay quanh trục r một góc ? được xác định bằng cách tổ hợp các ma trận quay theo các trục toạ độ gốc (hình 2.8). Góc ? được quy ước là dương nếu chiều quay ngược kim đồng hồ. Hình 2. 8: Phép quay quanh một trục bất kỳ Một trong những cách tổ hợp có thể như sau: Làm trùng vector r với trục z bằng cách quay r một góc ? quanh trục z, sau đó là ? quanh trục y. Quay một góc ? quanh z. Quay trả góc ? quanh y, rồi ? quanh z. Mô tả bằng ma trận quay các phép quay trên như sau: R(r, ?) = R(z, ?)R(y, ?)R(z, ?)R(y, ?)R(z, ?) (2. 15) Từ các thành phần của vector r, có thể biểu diễn các hàm siêu việt để tính các thành phần của ma trận quay trong (2. 15) như sau: sin? = ; cos? = ; sin? = ; cos? = rz Thay chúng vào (2.15), nhận được ma trận quay R(r,?), mô tả phép quay quanh trục bất kỳ như sau() R(r,?)= (2.16) Ma trận quay R(r, ?) có tính chất sau: R(r, ?) = R(r, ?) Điều đó có nghĩa là phép quay một góc ? quanh trục r tương đương với phép quay một góc ? quanh trục r. Khi giải bài toán ngược, nghĩa là tìm góc quay ? và trục quay r khi biết ma trận quay: R = thì có thể sử dụng các biểu thức sau: ? = cos1 ; r = (2. 17) với sin? ? 0. Ta thấy (2.17) mô tả phép quay nhờ 4 thông số: góc quay ? và 3 thành phần của vector r. Tuy nhiên, vì r là vector đơn vị nên 3 thành phần của nó bị ràng buộc bởi điều kiện: rx2 + ry2 + rz2 = 1. (2. 18) Nếu sin? = 0 thì (2.17) vô nghĩa. Khi đó, phải xét trực tiếp các trường hợp cụ thể, kể cả trường hợp ? = 0 và ? = ?. 2.2.3. Mô tả tối thiểu của hướng Ma trận quay dùng để mô tả hướng của vật có 9 thành phần, nhưng các thành phần này không hoàn toàn độc lập với nhau. Chúng phải vuông góc với nhau từng đôi một, nên có 6 điều kiện ràng buộc. Ngay cả phép quay quanh trục bất kỳ, tuy được mô tả bằng 4 tham số như trong (2.17), thì vẫn có một ràng buộc như biểu diễn ở (2.18). Điều đó có nghĩa là, để mô tả phép quay (hay định hướng), chỉ cần dùng 3 tham số độc lập. Việc dùng 3 tham số độc lập để mô tả hướng được gọi là sự mô tả tối thiểu (Minimal Representation of Orientation MRO). Có thể dùng các bộ ba tham số khác nhau cho MRO, nhưng thường dùng nhất là góc Euler và góc RPY. 2.2.3.1. Góc Euler Góc Euler hình thành MRO bằng cách tổ hợp các thành phần của ma trận quay trong hệ toạ độ hiện thời. Tuỳ theo kiểu tổ hợp ma trận quay, có 12 bộ góc Euler khác nhau. Sau đây là một kiểu, gọi là kiểu ZYZ. Giả sử (? ? ?) là một tổ hợp của góc Euler. Phép quay tương ứng với nó được hình thành theo thứ tự sau (xem hình 2.9): Hình 2. 9: Sự hình thành góc Euler ZYZ Quay hệ toạ độ một góc ? quanh z, tương ứng ma trận quay R(z, ?), xem (2.4). Quay tiếp hệ toạ độ hiện thời góc ? quanh y, tương ứng R(y, ?), xem (2.5). Quay tiếp hệ toạ độ hiện thời góc ? quanh z, tương ứng R(z, ?), xem (2.4). Hướng của hệ toạ độ cuối cùng là kết quả của sự tổ hợp các phép quay trong hệ toạ độ hiện thời: REUL = R(z, ?)R(y, ?)R(z, ?) = = (2. 19) Bài toán ngược được giải bằng cách so sánh (2.19) với ma trận quay cho trước: R = Chú ý các phần tử 1, 3, 2, 3 và 3, 3 của (2.19) với giả thiết r13 ? 0 và r33 ? 0, ta có: ? = Atan2(r23, r13) và ? = Atan2( , r33)() Yêu cầu > 0 (nghĩa là sin(?) > 0), góc ? nằm trong khoảng (0, ?). Để ý các phần tử 3, 1 và 3, 2, ta có: ? =Atan2(r32, r31) Tổng hợp lại, nếu chọn ? trong khoảng (0, ?) thì ta có lời giải sau cho bài toán ngược: (2. 20) Nếu chọn ? trong khoảng (?, 0), có lời giải tương tự: (2. 21) Lời giải bị suy thoái khi s? = 0. Khi đó chỉ có thể tính tổng hoặc hiệu của ? và ?. Nếu ? = 0 hoặc ? = ? thì phép quay chỉ thực hiện quanh các trục toạ độ ban đầu. 2.2.3.2. Góc RPY Khác với góc Euler, góc RPY hình thành MRO bằng cách tổng hợp các phép quay thành phần trong hệ toạ độ cố định. RPY là các chữ tắt của các từ mô tả ba chuyển động của con tàu: Roll chòng chành, Pitch bồng bềnh và Yaw chệch hướng (hình 2.10). (a) (b) Hình 2. 10: Mô tả góc RPY (a) và thể hiện của nó trên tay máy (b) Phép quay tương ứng với góc RPY được thực hiện theo trình tự sau: Quay hệ toạ độ gốc một góc ? quanh trục z. Phép quay này được mô tả bằng ma trận quay R(z, ?) và biểu thức (2.4). Quay tiếp một góc ? quanh trục y, tương ứng với ma trận quay R(y, ?) và biểu thức (2.5). Quay tiếp một góc ? quanh trục x, tương ứng với ma trận quay R(x, ?) và biểu thức (2.6). Ma trận quay tổng hợp là tích của các ma trận quay thành phần. Chú ý rằng các phép quay được thực hiện theo hệ toạ độ ban đầu (xem lại mục 2.2.1): RRPY = R(z, ?)R(y, ?)R(x, ?) = = (2. 22) Tương tự như trường hợp góc Euler, bài toán ngược được giải bằng cách so sánh (2.22) với ma trận quay cho trước: R = Để thì ? nằm trong khoảng (?2, ?2). Khi đó ta có lời giải sau: (2.23) Với ? trong khoảng (?2, 3?2), có lời giải sau: (2.24) Lời giải bị suy thoái khi c? = 0. Khi đó chỉ có thể tính tổng hoặc hiệu của ? và ?. 2.3. Phép chuyển đổi thuần nhất Chuyển động tổng quát trong không gian của một vật rắn gồm 2 thành phần: tịnh tiến (chuyển vị) và quay (chuyển hướng). Giả sử có một điểm P trong không gian (hình 2.11). Ký hiệu po là vector biểu diễn điểm P trong hệ toạ độ O0x0y0z0; p1 là vector trong hệ O1x1y1z1; o10 là vector chuyển vị của gốc O1 so với O0, còn R10 là ma trận quay của hệ 1 so với hệ 0. Thế của điểm P so với hệ O0x0y0z0 có thể được biểu diễn bằng biểu thức sau: p0 = o10 + R10p1. (2. 25) Bằng cách nhân 2 vế của (2.25) với R10T và chú ý rằng R10T = R01, ta nhận được phương trình biểu diễn chuyển vị ngược lại: p1 = R01o10 + R01p0 (2. 26) Cả 2 biểu thức trên đều thể hiện rằng, phép chuyển đổi toạ độ có thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp của phép chuyển vị và phép quay. Có thể biểu diễn phép chuyển đổi kiểu trên nhờ một ma trận duy nhất A10 gồm 4 ma trận con: A10 = (2. 27) Trong đó R10 là ma trận quay dạng 3 ? 3, o10 là vector chuyển vị có dạng ma trận 3 ? 1, 0T là vector chuyển vị phối cảnh và đối với động học robot là vector 0, 1 là giá trị của hệ số tỷ lệ. Ma trận trên được gọi là ma trận chuyển đổi thuần nhất. Phép chuyển đổi nhờ ma trận chuyển đổi thuần nhất được gọi là phép chuyển đổi thuần nhất. Bằng cách trên, ta có thể biểu diễn các phép quay cơ bản: R(z, ?) = (2. 28) R(y, ?) = (2. 29) R(x, ?) = (2. 30) và phép tịnh tiến cơ bản: T(dx, dy, dz) = . (2. 31) Hình 2. 11: Biểu diễn điểm P trong các hệ toạ độ khác nhau Hình 2. 12: Hệ toạ độ trên bàn tay Nhờ 4 ma trận cơ bản này có thể biểu diễn chuyển động bất kỳ của một vật trong không gian. Thông qua ma trận chuyển đổi thuần nhất, có thể biểu diễn phép chuyển đổi toạ độ tổng quát (2.25) dưới dạng thuần nhất: trong đó: . Tương tự, chuyển đổi thuần nhất giữa hệ toạ độ 0 sang hệ toạ độ 1: hoặc: . Chú ý rằng, đối với ma trận chuyển đổi thuần nhất tính chất trực giao, nghĩa là A1 ? AT không được đảm bảo. Nói tóm lại, phép chuyển đổi thuần nhất cho phép biểu diễn dưới dạng thu gọn phép chuyển đổi giữa 2 hệ toạ độ. Rõ ràng, nếu gốc của 2 hệ toạ độ trùng nhau thì phép chuyển đổi thuần nhất trở thành phép quay. Ngược lại, nếu góc quay bằng 0 thì nó trở thành phép tịnh tiến. Tương tự với phép quay, ma trận của phép tịnh tiến tổng hợp có thể được biểu diễn dưới dạng tích các ma trận tịnh tiến thành phần: Trong đó, Aii1 mô tả chuyển đổi thuần nhất toạ độ một điểm từ hệ thứ i về hệ thứ i1. 2.4. Bài toán thuận của động học tay máy Trong đại đa số các trường hợp, tay máy là một chuỗi động hở, được cấu tạo bởi một số khâu (Links), được nối với nhau nhờ các khớp. Một đầu của chuỗi nối với giá (Base), còn đầu kia nối với phần công tác. Mỗi khâu hình thành cùng với khớp phía trước nó một cặp khâu khớp. Tuỳ theo kết cấu của mình mà mỗi loại khớp đảm bảo cho khâu nối sau nó các khả năng chuyển động nhất định. Mỗi khớp (thực chất là cặp khâu khớp) được đặc trưng bởi 2 loại thông số: Các thông số không thay đổi giá trị trong quá trình làm việc của tay máy được gọi là tham số. Các thông số thay đổi khi tay máy làm việc được gọi là các biến khớp. Hai loại khớp thông dụng nhất trong kỹ thuật tay máy là khớp trượt và khớp quay. Chúng đều là loại khớp có một bậc tự do. Bài toán thuận nhằm mô tả thế (vị trí và hướng) của phần công tác dưới dạng hàm số của các biến khớp. Giả sử có một tay máy với n+1 khâu và n khớp (hình 2.13). Thế của phần công tác so với hệ toạ độ gốc O0x0y0z0 được mô tả bằng vector định vị p0 và hướng của các vector chỉ phương n, s, a. Phép chuyển đổi toạ độ được biểu diễn bằng ma trận chuyển đổi thuần nhất: (2. 32) Trong đó, q là vector n phần tử, gồm các biến khớp; p là vector định vị; n, s, a là các vector chỉ phương của phần công tác, cũng chính là vector đơn vị của các trục toạ độ. Nếu phần công tác là tay gắp thì gốc toạ độ đặt vào tâm quay; vector a đặt theo phương tiến đến vật; s nằm trong mặt phẳng trượt của hàm kẹp; n vuông góc với a và s theo quy tắc bàn tay phải. Một trong những phương pháp giải bài toán thuận là dùng trực tiếp hình học giải tích. Ví dụ, đối với trường hợp cơ cấu 2 khâu phẳng (hình 2.14), ta có(): Phương pháp tính toán trực tiếp chỉ áp dụng được cho các cơ cấu đơn giản. Để có thể giải các bài toán tổng quát cần một thuật giải chung. Một trong những thuật giải như vậy xuất phát từ quy tắc DenavitHartenberg, được Denavit và Hartenberg xây dựng vào năm 1955. Đó là quy tắc thiết lập hệ thống toạ độ trên các cặp khâu khớp trên tay máy. Dựa trên hệ toạ độ này có thể mô tả các cặp bằng hệ thống các tham số, biến khớp và áp dụng một dạng phương trình tổng quát cho bài toán động học tay máy. Hình 2. 13: Mô tả thế của phần công tác Hình 2.14: Chuỗi phẳng 2 khâu 2.4.1. Mô tả quy tắc DenavitHartenberg Giả sử trong chuỗi động học của tay máy có n khâu, khâu thứ i nối khớp thứ i với khớp thứ i+1 (hình 2.15). Hình 2. 15: Biểu diễn các thông số động học theo quy tắc DenavitHartenberg Theo quy tắc DenavitHartenberg thì hệ toạ độ được gắn lên các khâu, khớp như sau(): Đặt trục toạ độ zi dọc theo trục của khớp sau (thứ i+1). Đặt gốc toạ độ Oi tại giao điểm giữa zi và pháp tuyến chung nhỏ nhất của trục zi và zi1. Giao điểm của pháp tuyến chung với trục zi1 là gốc Oi của hệ Oixi yi zi. Đặt trục toạ độ xi theo phương pháp tuyến chung giữa zi1 và zi, hướng từ khớp thứ i đến khớp thứ i+1. Trục yi vuông góc với xi và zi theo quy tắc bàn tay phải. Sau khi được thiết lập, vị trí của hệ Oixiyizi so với hệ Oi1x i1y i1z i1 hoàn toàn xác định nhờ các thông số sau: ai = Oi Oi: khoảng cách giữa 2 khớp liên tiếp theo phương xi. di = Oi1 Oi: khoảng cách giữa 2 khớp liên tiếp theo phương zi1. ?i: góc quay quanh trục xi giữa zi1 và zi. ?i: góc quay quanh trục zi1 giữa xi1 và xi. Trong 4 thông số trên thì ai và ?i chỉ phụ thuộc vào kết cấu của khâu thứ i. Nếu là khớp quay thì ?i là biến, còn di = const. Với khớp trượt thì di là biến, còn ?i = const. Đến đây, có thể mô tả phép chuyển toạ độ giữa hệ i và hệ i1, như sau: Tịnh tiến hệ Oi1x i1y i1z i1 dọc theo trục zi1 một khoảng di, sau đó quay một góc ?i để nhận được hệ Oixi yi zi. Ma trận chuyển đổi thuần nhất tương ứng là:
Chơng Động học tay máy Theo quan điểm động học, tay máy (*) đợc biểu diễn chuỗi động học hở, gồm khâu đợc liên kết với khớp Một đầu chuỗi đợc gắn lên thân, đầu nối với phần công tác Thao tác trình làm việc đòi hỏi phần công tác phải đợc định vị định hớng xác không gian Động học tay máy giải lớp toán: - Lớp toán thuận vào biến khớp để xác định vùng làm việc phần công tác mô tả chuyển động phần công tác vùng làm việc nó; - Lớp toán ngợc, xác định biến khớp để đảm bảo chuyển động cho trớc phần công tác 2.1 Vị trí hớng vật rắn không gian 2.1.1 Hệ toạ độ vật Thế (Posture) vật rắn không gian đợc coi đợc xác định hoàn toàn biết đợc vị trí hớng hệ quy chiếu cho trớc Trên hình 2.1, hệ toạ độ O-xyz với vector đơn vị x, y, z đợc dùng làm hệ toạ độ gốc Để mô tả vị trí hớng vật rắn không gian, thờng phải gắn lên hệ toạ độ, gọi hệ toạ độ vật, ví dụ hệ O'-x'y'z Gốc toạ độ O' đại diện cho vị trí vật hệ O-xyz, đợc xác định qua biểu thức: o' = o'xx + o'yy + o'zz ®ã o'x, o'y, o'z thành phần vector o' hệ toạ độ O-xyz Nh vậy, vị trí điểm O' đợc mô tả nhờ vector (3 1) sau: (*) Trong chơng đầu nói robot nối tiếp o' x o' = o' y o' z (2 0) Hớng vật đợc đại diện vector đơn vị x', y', z' hệ O'-x'y'z' đợc mô tả quan hÖ sau: x ' x 'x x x 'y y x 'z z y ' y 'x x y 'y y y 'z z (2 0) ' ' ' ' z z x x z y y z z z Các thành phần vector đơn vị (x'x, x'y, x'z ) cosin phơng cđa c¸c trơc cđa hƯ O'-x'y'z' so víi hƯ O-xyz Hình : Vị trí hớng vật rắn không gian 2.1.2 Ma trận quay Để cho gọn, vector đơn vị (2.2) đợc biểu diễn dới dạng ma trận (3 3), gọi ma trËn quay, ký hiƯu lµ R, nh sau: R = x' y ' z ' x' x = x' y x' z y' x y' y y' z z'x z ' y z ' z x 'T x T = x' y x 'T z y 'T x y 'T y y 'T z z 'T z 'T z 'T x y z (2 0) PhÐp quay mét vËt quanh mét trơc to¹ độ trờng hợp riêng phép quay vật không gian Chiều quay đợc quy ớc dơng ngợc kim đồng hồ Giả sử hệ O'-x'y'z' nhận ®ỵc quay hƯ O-xyz quanh trơc z mét gãc (hình 2.2), vector đơn vị hệ đợc biĨu diƠn hƯ O-xyz nh sau: cos sin 0 x' = sin ; y' = cos ; z' = 0 1 H×nh : Quay hƯ O-xyz quanh trơc z V× vËy, ma trËn quay quanh trơc z cđa hƯ O'-x'y'z' so víi hƯ O-xyz lµ: cos sin 0 R(z, ) = sin cos 0 (2 0) 0 1 T¬ng tù, c¸c ma trËn quay quay vËt quanh trơc y mét gãc , R(y, ) vµ quanh trơc x mét gãc , R(x, ): cos sin R(y, ) = (2 0) sin cos 0 1 0 cos sin R(x, ) = (2 0) 0 sin cos Các ma trận quay hữu ích khảo sát phép quay vật quanh trục Có thể thử để xác minh r»ng chóng cã c¸c tÝnh chÊt sau: R(k, -) = RT(k, ) (2 0) ®ã k = x, y, z, = , , vµ RT lµ ma trËn chun vÞ cđa ma trËn R 2.1.3 PhÐp quay vector Ma trận quay không đợc dùng để biểu diễn vị trí hệ toạ độ so với hệ toạ độ khác mà để mô t¶ sù quay cđa mét vector Gi¶ sư hƯ toạ độ O-xyz O'-x'y'z', có gốc O O' trïng (h×nh 2.3) H×nh : BiĨu diƠn điểm P hệ toạ độ Điểm P không gian đợc mô tả lần lợt hệ Oxyz O-x'y'z' vector p p': px p' x p p = y vµ p' = p ' y p z p' z V× p p' biểu diễn điểm P chó ý ®Õn biĨu thøc (2.3)(*) ta cã: p = p' = p'xx' + p'yy' + p'zz' = [x' y' z']p' = Rp' (2 0) hay: p' = RTp (2 0) Trong trờng hợp này, ma trận quay R ma trận chuyển đổi toạ độ vector tõ hƯ O-xyz (*) Chó ý r»ng vector cđa R vuông góc với đôi R ma trận đơn vị Nó có tính chất: RTR = I vµ RT = R-1 Tõ biĨu thøc ta rút kết luận quan trọng: Nghịch đảo ma trận quay nghịch đảo [5] sang hệ O-x'y'z', RT ma trận chun vÞ cđa ma trËn R VÝ dơ, nÕu hƯ O-x'y'z' nhận đợc cách quay hệ O-xyz quanh trục z mét gãc (h×nh 4) th× ta cã quan hệ toạ độ điểm P hƯ lµ: px = p'x cos - p'y sin py = p'x sin + p'y cos pz = p'z Nếu viết gọn lại để ý ®Õn biĨu thøc (2 4) th× ta cã: cos sin 0 p = sin cos 0 p' = R(z, )p' 0 Đó phơng trình mô tả phÐp quay vector p quanh trôc z mét gãc Biểu diễn hình học phép quay nh hình Tóm lại, ma trận quay R có ý nghĩa tơng đơng nhau: - Biểu diễn hớng hệ toạ độ, cột ma trận cosin phơng trục hƯ míi so víi hƯ gèc - BiĨu diƠn sù chuyển đổi tọa độ vector hệ toạ độ có gốc trùng - Là toán tử biĨu diƠn phÐp quay mét vector cïng mét hƯ toạ độ Hình : Biểu diễn vector hệ toạ độ Hình : Phép quay vector 2.2 PhÐp quay mét vector quanh mét trôc bÊt kỳ 2.2.1 Tổng hợp ma trận quay Thông thờng mét vËt thĨ kh«ng gian cã thĨ quay quanh trục Trong trờng hợp đó, coi phép quay tổng quát tổ hợp phép quay đơn giản Nếu làm đợc nh ma trận quay tổng quát tổng hợp ma trận quay đơn giản Giả sử có hệ toạ độ chung gốc O-x0y0z0, Ox1y1z1, O-x2y2z2 Vector p đại diện cho điểm không gian đợc biểu diễn hệ lµ p0, p1, p2(*) Ký hiƯu ma trËn biĨu diƠn phÐp quay cđa hƯ i so víi hƯ j lµ Rij Ta có mối quan hệ vector p1 p2 nh sau: p1 =R21 p2 (2.0) Tơng tự, ta cã: p0 =R10 p1 (2 0) 0 p =R2 p (2 0) (*) Từ sau, số ký hiệu vector ma trận hệ toạ độ, vector ma trận đợc mô tả Thay (2.10) vào (2.11) sư dơng (2.12), ta cã: R20 = R10 R21 (2 0) Ma trËn quay R20 biÓu thøc (2.13) hiểu ma trận tổng hợp từ ma trận quay R10 R21 Nó mô tả phép quay liên tiếp nhau: - Quay vật (đang trùng phơng với hệ O-x0y0z0) theo R10 để trùng phơng víi hƯ O-x1y1z1 - TiÕp tơc quay vËt (hiƯn ®· trùng phơng với hệ Ox1y1z1) theo R21 để trùng phơng với hệ O-x2y2z2 Phép quay nói quay vật quanh hệ toạ độ thời (hình 2.6) Cũng cã thĨ liªn tiÕp thùc hiƯn phÐp quay quanh hƯ toạ độ ban đầu Trong trờng hợp này, phép quay luôn đợc thực với hệ toạ độ cố định (hình 2.7) Hình : Quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ thời Hình : Quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ cố định Có thể hình dung trình quay theo bớc sau: Ban đầu có hệ O-x0y0z0 O-x1y1z1 lệch phơng theo ma trận quay R10 - Quay hƯ O-x1y1z1 cho trïng víi hƯ O-x0y0z0 , t¬ng øng ma trËn quay R01 - Quay hƯ O-x1y1z1 theo R21 để nhận đợc hệ Ox2y2z2 - Bù phép quay bớc phép quay ngợc R10 Quá trình đợc thể biểu thức sau: R20 = R10R01R21R10 Vì R10R01 = 1, nên cuối ta nhận đợc biểu thức: R20 = R21R10 (2 0) So sánh với (2.13), nhận thấy phép quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ cố định cho kết giống nh phép quay liên tiếp vật theo hệ toạ độ thời, nhng theo thứ tự ngợc lại Điều nói lên tuỳ tiƯn thay ®ỉi thø tù quay vËt Cịng cã thĨ kiểm tra kết luận cách so sánh phép quay hình 2.6 hình 2.7 2.2.2 Phép quay quanh trục Trờng hợp thờng xuyên gặp phải nghiên cứu động học tay máy mô tả phÐp quay mét vËt quanh trơc bÊt kú Gi¶ sư r = [rx ry rz]T vector đơn vị hƯ Oxyz cđa trơc quay Ma trËn quay R(r, ) mô tả phép quay quanh trục r góc đợc xác định cách tổ hợp ma trận quay theo trục toạ độ gốc (hình 2.8) Góc đợc quy ớc dơng chiều quay ngợc kim đồng hồ Hình : Phép quay quanh trục Một cách tổ hợp có thĨ nh sau: - Lµm trïng vector r víi trơc z b»ng c¸ch quay r mét gãc - quanh trơc z, sau - quanh trục y - Quay mét gãc quanh z - Quay tr¶ gãc quanh y, quanh z Mô tả ma trận quay phép quay nh sau: R(r, ) = R(z, )R(y, )R(z, )R(y, -)R(z, -) (2 0) 10 Chú ý lực xoắn công thức đợc giả thiết đặt trọng tâm khâu Vì vậy, có lực đặt điểm cần đợc quy trớc thay vào công thức Nói chung, tay máy song song, sè khíp chđ ®éng b»ng sè bËc tù cấu nên vector lực phát động đợc xác định nh sau: J p T ( Fˆ p J iT Fˆi ) (8 0) i Sau đây, tay máy Stewart-Gough đợc dùng để minh hoạ phơng pháp Sơ đồ tính toán nh hình 8.8 Trong sơ đồ này, gốc O hệ toạ độ tĩnh đợc đặt toạ độ trọng tâm đế, gốc P hệ toạ độ di động đợc đặt trọng tâm di động Chân thứ i đợc đại diện vector di Gắn vào chân hệ toạ độ C(xi, yi, zi), gốc trùng với tâm khớp cầu Ai; trục zi híng theo ®êng AiBi; trơc yi song song víi vector tích có hớng vector đơn vị hớng theo trục zi z; trục xi đợc xác định từ yi zi theo quy tắc bàn tay phải 229 Hình : Sơ đồ tính toán động lực häc tay m¸y Stewart-Gough Thđ tơc tÝnh to¸n qua c¸c bớc sau: 8.5.1.1 Xác định ma trận Jacobian Để xác định ma trận Jacobian tay máy, ta viết phơng trình vận tốc vbi tâm khớp cầu tÊm di ®éng nh sau: vbi v p p bi J bi x p (8 0) ®ã: 1 0 biz biy J bi 0 biz bix (8 0) 0 biy bix 230 ChuyÓn vbi biÓu thøc (8.53) đến hệ toạ độ chân thứ i: i J bix i i i vbi J bi x p J biy x p (8 0) i J biz ®ã J bii R Ai J bi lµ ma trËn 36 víi hàng nh sau: i J bix ci c i si c i s i biy ci c i bix si c i c s i J biy si i J biz i ci i biz si c i biy s i biz ci si s i c i biy ci s i bix si s i biz si biz ci c i bix s i biy si bix ci biz si s i biy c i biz ci s i bix c i (8 0) Sử dụng ma trận hàng trên, xác định đợc vận tốc chân nh sau: i d i J biz x p (8 0) Viết phơng trình (8.57) lần cho chân, đợc phơng trình vô hớng gộp chúng thành ma trËn díi d¹ng: q J p x p (8 0) Jp đợc gọi ma trận Jacobian cđa tay m¸y: J b11 z J J p b z J b6 z (8 0) Để xây dựng phơng trình động lực học cho chân, xây dựng sơ đồ tính nh hình 8.9, chân đợc tách thành khâu xilanh (khâu 1) piston (khâu 2) 231 Hình : Sơ đồ động lực học chân Ký hiệu e1 khoảng cách Ai toạ độ trọng tâm xilanh thứ i, e2 khoảng cách Bi toạ độ trọng tâm piston thứ i Vận tốc điểm Bi so với toạ độ trọng tâm chân thứ i đợc tính từ vận tốc góc i nã: vbii d i ii sii d i si (8 0) Từ ta tính đợc vận tốc góc cđa ch©n thø i: i vbiy i i i ii ( sii vbii ) vbix di di 232 (8 0) Tơng tự, ta tính đợc vận tốc dài toạ độ trọng tâm xilanh piston nh sau: i vbix e i v1ii e1ii sii v giy (8 0) di i (d i e2 )vbix i i i i i v2i (d i e2 )i si d i si (d i e2 )vbiy (8 0) di i d i vbiz Chun vỊ không gian công tác, biểu thức (8.61), (8.62) (8.63) cã d¹ng: i J biy i i ii J bix (8 0) x p di 016 i J bix e1 i i v1i J biy x p (8 0) di 016 i (d i e2 ) J bix i v2i i (d i e2 ) J biy (8 0) x p di i d i J biz Tổng hợp phơng trình (8.64), (8.65) (8.66) ta nhận đợc: x 1ii J 1ii x p (8 0) x 2i i J 2i i x p (8 0) ®ã 233 i e1 J bix i e1 J biy J 1ii 16i d i J biy Ji bix 016 (8 0) i (d i e2 ) J bix i (d i e2 ) J biy i d i J biz J 2i i (8 0) i d i J biy i J bix 016 ma trận Jacobian xilanh piston thứ chân thứ i 8.5.1.2 Xác định lực xoắn Giả thiết lực tác dụng lên tay máy trọng lực, vector tổng hợp lực xoắn quán tính lực xoắn tác dụng trọng tâm giá cố định b»ng: fˆ m p g m p v p Fˆ p p A (8 0) A nˆ p I p p p ( I p p ) A A B B ®ã I p RB I p R A momen quán tính di động quanh trọng tâm đợc tính theo đế Tơng tự, vector tổng ngoại lực lực quán tính trọng tâm xilanh piston, tính theo hệ toạ độ chân: f i m R i g m v i Fˆ1ii 1ii i 1i i A i 1i i1i i (8 0) nˆ1i I1ii i ( I1ii ) 234 fˆ i m R i g m v i Fˆ2ii 2i i i 2i i A i 2i i 2i i (8 0) nˆ 2i I 2ii i ( I 2ii ) Chó ý r»ng, tÝnh ®èi xøng nên ma trận quán tính di động chân ma trận đờng chéo 8.5.1.3 Phơng trình chuyển động Đến đây, đà áp dụng nguyên lý công để xây dựng phơng trình chuyển động Phơng trình (8.51) đợc viết lại nh sau: J Tp Fˆ p [( J1ii )T Fˆ1ii ( J 2i i )T Fˆ2ii ] 0 (8 0) i Chú ý phơng trình (8.74), F p đợc tính hệ cố định A, F1ii F2ii đợc lấy theo chân thứ i sau chuyển sang hệ cố định nhờ ma trân Jacobian khâu Tơng tự, momen phát động đợc xác định không gian khớp sau chuyển sang hệ cố định nhờ ma trận Jacobian tay máy Thay phơng trình (8.69) (8.70) vào (8.74) đơn giản, nhận đợc: J Tp ( Fˆz ) Fˆ p J xT Fˆx J Ty Fˆy 0 (8 0) ®ã: J b11 y J b11x J b2 y Jb2x Jx ; J y (8 0)(8 0) J b6 x J b6 y 235 Fˆx Fˆy Fˆz e1 fˆ11 x (d1 e1 fˆ12 x (d e fˆ (d 16 x e1 fˆ11 y (d1 e1 fˆ12 y (d e fˆ ( d 16 y fˆ21z ˆ f 22 z ˆ f 26 z e2 ) fˆ21x nˆ11 y nˆ 21 y d1 ˆ e2 ) f 22 x nˆ12 y nˆ 22 y d2 e2 ) fˆ26 x nˆ16 y nˆ 26 y d6 e2 ) fˆ21 y nˆ11 x nˆ 21x d1 e2 ) fˆ22 y nˆ12 x nˆ 22 x d2 ˆ e2 ) f 26 y nˆ16 x nˆ 26 x d6 (8 0) (8 0) (8 0) đó, f jix , f jiy f jiz thành phần x, y, z f jii vµ nˆ jix , nˆ jiy vµ nˆ jiz thành phần x, y, z n iji Từ phơng trình (8.75) tính đợc lực phát động để nhận đợc đặc tính chuyển động cần thiết, ví dụ phơng pháp loại trừ Gauss Dùng phơng pháp công loại trừ đợc lực momen liên kết Vì phơng pháp hiệu phơng pháp Newton-Euler phơng pháp Lagrange 236 8.5.2 Phơng pháp Lagrange Trong chơng 3, đà có dịp tìm hiểu ứng dụng phơng pháp Lagrange tính toán động lực học tay máy nối tiếp Trong mục này, ứng dụng phơng pháp để giải toán động lực học tay máy song song Tuy nhiên, tính phức tạp loại tay máy này, đề cập đến toán ngợc Ví dụ minh hoạ cho phơng pháp tay máy bậc tự do trờng đại học Maryland thiết kế (từ gọi tay máy Maryland) 8.5.2.1 Cơ sở phơng pháp Phơng pháp Lagrange dựa cân lợng hệ thống trạng thái chuyển động Trong trình làm việc, lợng hệ thống gồm: động năng, lợng ngoại lực tác dụng phải cân Hơn nữa, tay máy song song tồn toạ độ thừa, nghĩa số toạ độ n lớn số bậc tự cấu Với yếu tố trên, phơng trình Lagrange cã d¹ng: k d L L ( ) Q j i i víi j = n (8 0) dt q j q j q j i đó: L = T-U - hàm Lagrange, T - tổng động năng, U tổng cđa hƯ q = [q1, q2, qn]T - vector toạ độ tổng quát Q = [Q1, Q2, Qn]T - vector ngoại lực tác dụng lên di động i - hàm liên kết thứ i k - số hàm liên kết, hiệu số toạ độ n số bậc tự cấu i - nhân tử Lagrange Để thuận tiện cho trình giải, phơng trình hệ (8.81) đợc chia thành nhóm Nhóm thứ chứa ẩn nhân tử Lagrange Nhóm thứ hai chứa ẩn lực tổng quát cấu 237 phát động sinh Giả thiết k phơng trình đầu liên quan đến toạ độ thừa n-k phơng trình lại liên quan đến biến khớp Nhóm phơng trình đầu có dạng: k d L L ˆ i i ( ) Qj (8 0) q j dt q j q j i 1 đó, Q j - lực tổng quát sinh ngoại lực (nếu có) Đối với toán ngợc, Q j đà biết, nên vế phải hệ (8.82) đà biết Hệ có k phơng trình với k ẩn nhân tử Lagrange i Sau đà biết nhân tử Lagrange, lực phát động đợc xác định nhờ nhóm phơng trình thứ hai: k d L L Qj ( ) i i víi j = k+1 n (8 0) dt q j q j i 1 q j 8.5.2.2 øng dụng cho tay máy Maryland: Tay máy Maryland có dạng nh hình 8.10 Tay máy có chân giống để nối đế với di động Mỗi chân có phần phần dới Phần chân đợc hình thành cấu bình hành khâu Giữa phần chân đợc nối với khớp quay A, B C với trục song song Đờng tâm khớp B C gặp vuông góc với trục đối xứng bình hành Cơ cấu có khớp chủ động khớp quay gắn với đế 11, 12 13 238 Hình : Sơ đồ chung (trái) kích thớc chân (phải) tay máy Maryland Với kết cấu nh trên, tay máy Maryland có 17 khâu vµ 21 khíp Sè bËc tù chung b»ng: Dof (n j 1) f i 6 (17 21 1) 21 i Tuy nhiên, cách bố trí khâu khớp mà nhiều liên kết khớp trïng (thõa), cuèi cïng c¬ cÊu cã bËc tù tịnh tiến Các chân quay quanh trục z trục xi Tấm di động quay quanh mà chuyển động tịnh tiến theo phơng x, y, z Tay máy Maryland đợc dùng làm thiết bị trỏ 3-D Phơng trình (8.81) đại diện cho hệ phơng trình có ẩn: ẩn nhân tử Lagrange: i (i = 1, 2, 3) ẩn lực phát động Qj víi j = 4, 5, 6) Chó ý r»ng lực Qj với j =1, 2, thành phần x, y, z ngoại lực tác động trọng tâm P di động Có thể nhận đợc hàm liên kết i với ý khoảng cách khớp Bi Ci chiều dài phần b chân: i Bi Ci b 0 , hay i ( p x hci rc i aci c1i ) ( p y hsi rsi asi c1i ) ( p z as1i ) b 0 víi i=1, 2, 239 (8 0) Để đơn giản, giả thiết trọng tâm thân chân nằm trục đối xứng đầu B, C Chúng ta xây dựng hàm Lagrange nh sau: Tổng động tay máy T T p (Tai Tbi ) (8 0) i 1 đó, Tp - động di động; Tai rotor động khâu phát động Tbi - động phần chân thứ i: T p m p ( p x2 p y2 p z2 ) 1 Tai ( I m ma a )12i 1 Tbi mb ( p x2 p 2y p z2 ) mb a 212i 2 mp , ma mb- lần lợt khối lợng di động, khâu phát động phần chân; Im momen quán tính hớng trục rotor gắn chân Giả thiết gia tèc träng trêng híng theo trơc -z T¬ng tù nh trên, tay máy mặt phẳng cố định x-y bằng: U U p (U U bi ) (8 0) i 1 ®ã: U p m p g c p z U ma g c as1i U bi mb g c ( p z as1i ) Thay biểu thức (8.85) (8.86) với i=1, 2, vào hàm Lagrange, ta nhận đợc: L (m p 3mb )( p x2 p y2 p z2 ) 240 1 ( I m ma a mb a )(112 122 132 ) (m p 3mb ) g c p z ( ma mb ) g c a( s11 s12 s13 ) (8 0) Lấy đạo hàm hàm Lagrange tơng ứng với toạ độ tổng quát, ta nhận đợc: d L L ( ) (m p 3mb ) p x , 0 dt p x p x d L L ( ) (m p 3mb ) p y , 0 dt p y p y d L L ( ) ( m p 3mb ) p z , (m p 3mb ) g c dt p z p z d L L ( ) ( I m ma a mb a )11 , ( ma mb ) g c ac11 ) dt 11 11 d L L ( ) ( I m ma a mb a )12 , ( ma mb ) g c ac12 ) dt 12 12 d L L ( ) ( I m ma a mb a )13 , ( ma mb ) g c ac13 ) dt 13 13 Lấy đạo hàm riêng hàm liên kết i theo toạ độ tổng quát, ta đợc: i 2( p x hci rc i aci c1i ) víi i 1,2,3 p x i 2( p y hsi rsi asi c1i ) víi i 1,2,3 p y i 2( p z as1i ) víi i 1,2,3 p z 1 2a( p x c1 p y s1 h r ) s11 p z c11 ) 11 i 0 víi i 2,3 ; 11 241 i 12 2 12 i 13 3 13 0 víi i 1,3 2 a ( p x c2 p y s2 h r ) s 12 p z c 12 ) 0 víi i 1,2 2 a( p x c3 p y s3 h r ) s 13 p z c 13 ) Thay tất đạo hàm vào phơng trình (8.82) (8.83), ta nhận đợc hệ phơng trình động lực học Với j =1, 2, ta cã: 2 i ( p x hci rci aci c 1i ) (m p 3mb ) p x f px (8 0) i 1 2 i ( p y hsi rsi asi c 1i ) (m p 3mb ) p y f py (8 0) i 1 2 i ( p z as 1i ) (m p 3mb ) p z (m p 3mb ) g c f pz (8 0) i đó, fpx, fpy, fpz thành phần x, y, z ngoại lực đặt lên di động Với j = 4, 5, ta cã: 1 ( I m a mb a )11 ( ma mb ) g c ac11 2a1 [( p x c1 p y s1 h r ) s11 p z c11 ] (8 0) 1 ( I m a mb a )12 ( ma mb ) g c ac12 2a [( p x c2 p y s2 h r ) s12 p z c12 ] (8 0) 1 ( I m a mb a )13 ( ma mb ) g c ac13 2a3 [( p x c3 p y s3 h r ) s13 p z c13 ] (8 0) 242 Các phơng trình (8.88) đến (8.90) hình thành hệ phơng trình để xác định nhân tử Lagrange Sau đà xác định đợc chúng, ta giải hệ phơng trình (8.91) đến (8.93) để xác định lực phát động Hai nhóm phơng trình đợc dùng để ®iỊu khiĨn robot theo thêi gian thùc 243 ... ngợc động học tay máy Bài toán thuận động học tay máy cho phép xác định phần công tác, vùng làm việc theo quan hệ với thông số động học cặp khâu - khớp Bài toán ngợc nhằm xác định thông số động học. .. robot Động học động lực học tay máy phục vụ việc phân tích kết cấu tay máy, đồng thời đặt móng cho thiết kế tay máy Mặt khác, mối quan hệ biến khớp với phần công tác vùng hoạt động nó, thông số động. .. Việc nghiên cứu động lực học tay máy phục vụ cho mục đích sau: - Mô hoạt động tay máy, để khảo sát, thử nghiệm trình làm việc mà dùng tay máy thật - Phân tích, tính toán kết cấu tay máy - Phân tích,