Đang tải... (xem toàn văn)
Hai phân số đều nhỏ hơn đơn vị, nếu phân số phần bù đến đơn vị của phân số nào lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số bằng nhau)... 3).[r]
(1)Vì nghiệp giáo dục
Phn III: PHÂN SỐ I Các khái niệm bản:
*
a
phân số với a lµ tư sè, b lµ mÉu sè (a, b N, b 0)
b
Các số tự nhiên coi phân số có mẫu s bng *
a
phân số tối giản a, b nguyên tố nha
b u tøc lµ (a,b) =
Các phân số chưa tối giản có phân số tối giản II Tính chất bản:
a a.m a.n
= = (m, n 0)
b b.m b.n Ta áp dụng t/c để rút gọn phân số. a : n a
=
b : n b với n UCLN a b (rút gọn lần để phân số
tối giản) n ước a b (rút gọn nhiều lần) III Các cách so sánh hai phân số:
1) Qui đồng tử hay mẫu số:
a Nếu hai phân số có tử số, phân số có mẫu số ớn phân số nhỏ
b Nếu hai phân số có mẫu số, phân số có tử số lớn phân số lớn
2) Phân số phần bù đến đơn vị:
Hai phân số nhỏ đơn vị, phân số phần bù đến đơn vị phân số lớn phân số nhỏ (hai phân số phần bù đến đơn vị có tử số nhau)
3) Phân số trung gian thứ 3: Thơng thường có hai cách sau:
a Chọn phân số trung gian thứ ba có tử số với hai phân số cho, mẫu số với phân số lại
b Chọn phân số trung gian thứ ba thể mối quan hệ tử số mẫu số hai phân số
IV Bài tập áp dụng:
1 So sánh hai phân số sau:
(2)Vì nghiệp giáo dục
Ta chn phõn s
12 12 12
làm phân số trung gian, ta cã: (1)
47 49 47
Ta lại có:
12 13 12 13
(2) nên từ (1) (2) ta suy
47 47 49 47
2 So sánh hai phân số:
15 24 vµ 59 97
Giải:
Ta thấy 59 gấp gần lần 15; 97 gấp lần 24 Ta có:
15 15 24 24
(1); (2) 59 604 97 96 4
Từ (1) (2)
15 24 59 97
3 Cho phân số
a
(a < b)
b Cùng thêm m đơn vị vào tử số mẫu số phân số
mới lớn hay bé
a b ?
Giải:
Cách 1: Nếu a < b thì:
a b - a
1 (phần bù đến đơn vị) b b
Khi :
a + m b - a
1
b + m b + m So sánh
b - b - a b - b - a
với ta đ ợc
b b + m b b + m
Vậy:
a a + m
b b + m
Cách 2: Qui đồng mẫu số: MSC b(b + m)
a a(b + m) ab + am
b b(b + m) b(b + m)
a + m b(a + m) ab + bm
b + m b(a + m) b(b + m)
(3)Vì nghiệp giáo dục
ab + am ab + bm
So s¸nh víi cã cïng mÉu sè
b(b + m) b(b + m)
NÕu a < b th× ab + am < ab + bm
ab + am ab + bm a a + m
VËy: hay <
b(b + m) b(b + m) b b + m
Cách 3: Nếu a < b am < bm => ab + am < ab + bm
=> a(b + m) < b(a + m) =>
a a + m
b b + m
………
4 Tìm tất số tự nhiên n > để
n + 19
phân số tối giản n -
Gii:
Vì n số cần tìm có tử số mẫu số nên cần biến đổi
n +19
n - thành tổng các
phân số cho n tử mẫu số
n + 19 n - + 21 n - 21 21
1
n -2 n - n - 2n - n - 2.
Muốn
n + 19 21
phân số tối giản phải phân số tối giản
n - n - hay 21 n – 2
là nguyên tố nhau, mà 21 chia hết cho nên (n – 2) không chia hết cho
Vậy n
n + 19
3k + vµ n 7k + (k N) tối giản
N -2
………
4 Với giá trị số tự nhiên a thì:
5a - 11
có giá trị lớn nhất, giá trị bao nhiêu? 4a - 13
Giải: Biết
a
b có giá trị lớn tử số a không đổi, mẫu số b nhỏ Vậy cần biến đổi
5a - 11
(4)V× sù nghiƯp gi¸o dơc
5a - 11 4(5a - 11) 20a - 44 5(4a - 13) + 21 21
4a - 134(4a - 13)4(4a - 13) 4(4a - 13) 4 4(4a - 13)
Muốn
5a - 11
4a - 13 có giá trị lớn ta cần tìm với giá trị a để 21
4(4a - 13) có giá trị lớn nht. 21
Muốn có giá trị lớn a phải có giá trị nhỏ
4(4a - 13)
Giá trị nhỏ a để phép trừ 4a – 13 thực a = Khi
5a - 11 5a - 11
3, giá trị lớn
4a - 13 4a - 13.
………
6 Tính giá trị phân số:
2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32
3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32
Giải:
Ta thấy tử mẫu phân số tổng bốn số hạng, số hạng tích ba thừa số Ta có:
2.4 2.4.8 4.8.16 8.16.32
3.4 2.6.8 4.12.16 8.24.32
=
1.2.4 1.2.4.2.2.2 1.2.4.4.4.4 1.2.4.8.8.8 1.3.4 1.3.4.2.2.2 1.3.4.4.4.4 1.3.4.8.8.8
=
3 3 3
1.2.4(1 )
1.3.4(1 )
………
7 Tìm phân số tối giản biết giá trị khơng thay đổi cộng tử số với mẫu số với
Giải:
Gọi phân số cần tìm
a
b Theo đầu ta có:
a a +
Suy ra:
b b +
A(b + 8) = b(a + 6) => ab + 8a = ab + 6b => 8a = 6b =>
a
b 8
Vậy phân số cho
3 4.
(5)Vì nghiệp giáo dục
8 Cho phõn s
a a + b
tèi gi¶n, h·y gi¶i thÝch cịng tèi gi¶n
b b
Giải: Giả sử
a + b
kh«ng tèi giản a + b b có UCLN = d >
b Suy (a + b)
chia hết cho d b chia hết cho d nên (a + b) – b chia hết cho d a chia hết cho d Điều có nghĩa a b có UC d khác 1, tức phân số
a
không tối giản (điều trái với đầu bµi) b
Vậy
a + b
phân số tối giản b
9 Chứng minh phân số sau tối giản với n số tự nhiên lớn 0:
8n + 6n +
Giải:
Giả sử a số tự nhiên lớn 0, phân số
8n +
6n + 4 khơng tối giản thì
ƯCLN (8n + 5, 6n +4) = d > Suy (8n + 5) d (6n + 4) d Do [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] d, mà [4(6n + 4) – 3(8n + 5)] = d vô lý.
Vậy
8n +
phân số tối giản 6n +
………
10 Tìm tất số tự nhiên n lớn 0, để
4n +
5n + có thể rút gọn được?
Giải:
4n +
Õu cã thÓ rút gọn đ ợc 4n + 5n + 5n +
N
có ƯCLN d > 1, ta (4n +5) d (5n + 4) d, (20n + 25) d (1)
(20n + 16) d (2)
(6)V× sù nghiƯp gi¸o dơc
11 Tìm tất số tự nhiên n để:
3
n 2n
số tự nhiên n -
Giải:
2
3 2
2
n n -
n 2n n (n - 2) + 3
= n
n - n - n - n - n -
Muốn
3
n - 2 số tự nhiên n – phải ước 3, n – = hoặc
n – = Vậy n = n = ………
12 Hãy chứng tỏ rằng:
1 1 1
4142 43 7980 12.
Giải: Ta thấy từ
1
đến có 40 phân số
41 80 Tất phân số có tử số 1.
Ta nhóm phân số thành nhóm dựa vào kiến thức so sánh phân số có tử số giống
Vậy:
1 1 1
4142 43 7980
=
1 1 1 1
(1) 41 42 59 60 61 62 79 80
Vì
1 1
vµ (2) 4160 6180
Ta lại có:
1 1 1 1
60 60 60 60 80 80 80 80
=
20 20 1
(3) 60 80 12 12
Từ (1), (2), (3) ta được:
1 1 1
4142 43 79 80 12
(7)Vì nghiệp giáo dôc
S =
1 1
1.2.3.42.3.4.5 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
Giải:
Biến đổi phân số dạng tổng quát ta có:
1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + n - n
3n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
1 n +3 n
3 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
1 1
3 n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Áp dụng kết vào tập cho ta có:
1 1 1.2.3.4 1.2.3 2.3.4
1 1
2.3.4.5 2.3.4 3.4.5
1 1
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Cộng vế ta được:
1 1
S =
3 1.2.3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)
14 Cho hai phân số
4 4 4
4
a c a - b a b vµ H·y chøng tá r»ng:
b d c - d c d
Giải:
a c a b a - b Tõ ta cã
b d c d c - d Vì
a b a - b
c d c - d nên phân số nhân vi
(8)Vì nghiệp giáo dục
4
4
a b a - b = =
d c - d
c
(1)
Mà
4 4
4 4
a b a b = =
d c + d
c
(2)
Từ (1) (2) ta có
4 4 4
4
a - b a b c - d c d
15 Hãy chứng tỏ
2 2
a b a + b a th×
b c b c c.
Giải: Từ
2 2
2 2
a b a a b b a b a b suy =
b c b b c c b c b c
Từ
2
a b
suy b ac b c
Từ
2 2
2
2 2
a + b b
, thay b a.c vµo ta cã: b c c
2
2 2
a + b a.c a b c c c
(9)