BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Hiểu khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn + Nắm phương pháp biểu diễn nghiệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn  Kĩ + Biết xác định miền nghiệm bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn + Áp dụng giải toán thực tế I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bất phương trình bậc hai ẩn  ax + by > c  ax + by < c x , y , Bất phương trình bậc hai ẩn mệnh đề chứa hai biến có dạng   ax + by ≥ c   ax + by ≤ c a, b, c số thực với a + b ≠ Nghiệm bất phương trình Cặp số ( x0 ; y0 ) để ax0 + by0 > c bất đẳng thức gọi nghiệm bất phương trình ax + by > c Biểu diễn miền nghiệm Đường thẳng ax + by = c (d ) chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng bờ ( d ) Một hai nửa mặt phẳng (khơng kể bờ) gồm điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình ax + by > c Nửa mặt phẳng lại gồm điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình ax + by < c Chú ý: Bất phương trình ax + by ≥ c miền nghiệm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng ( d) đường thẳng ( d ) Hệ bất phương trình bậc Miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn giao miền nghiệm bất phương trình hệ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Bất phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Bất phương trình bậc hai ẩn x; y có dạng tổng quát ax + by ≤ c (1) Trang (hoặc ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c) Trong a, b, c số thực cho; a b không đồng thời 0, x y ẩn số BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mô tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp điểm có toạ độ nghiệm bất phương trình (1) gọi miền nghiệm Từ ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) bất phương trình ax + by ≤ c sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c) Bước Trên mặt phẳng toạ độ Oxy vẽ đường thẳng ∆ : ax + by = c Bước Lấy điểm M ( x0 ; y0 ) không thuộc ∆ (ta thường lấy gốc toạ độ O) Bước Tính ax0 + by0 so sánh ax0 + by0 với c Bước Kết luận +) Nếu ax0 + by0 < c nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M miền nghiệm ax0 + by0 ≤ c +) Nếu ax0 + by0 > c nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M miền nghiệm ax0 + by0 ≤ c Chú ý: Miền nghiệm bất phương trình ax0 + by0 ≤ c bỏ đường thẳng ax0 + by0 = c miền nghiệm bất phương trình ax0 + by0 < c Ví dụ: Biểu diễn hình học tập nghiệm bất phương trình x + y ≤ Hướng dẫn giải Vẽ đường thẳng ∆ : x + y = Lấy gốc toạ độ O ( 0;0 ) ta thấy O ∉ ∆ có 2.0 + < nên nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa gốc toạ độ O miền nghiệm bất phương trình cho (miền khơng bị tơ đậm hình) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Xác định miền nghiệm bất phương trình sau: Trang a) x − y ≥ b) x − y 2x + y +1 > Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : x − y = Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm M ( 1;0 ) Ta thấy ( 1;0 ) nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ chứa d chứa điểm M ( 1;0 ) (miền không tơ màu hình vẽ) b) Ta có x − y 2x − y +1 > ⇔ ( x − y ) − ( x − y + 1) > ⇔ −x − y − > ⇔ x + 4y + < Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆ : x + y + = Xét điểm O ( 0;0 ) , ta thấy ( 0;0 ) nghiệm bất phương trình cho, miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ ∆ (khơng kể đường thẳng ∆) không chứa điểm O ( 0;0 ) (miền khơng tơ đậm hình vẽ) Trang Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm bất phương trình sau: a) x − y ≥ b) x− y < x + y + −2 Hướng dẫn giải a) Trong mặt phẳng toạ độ, vẽ đường thẳng d : x − y = Ta có d chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm khơng thuộc đường thẳng đó, chẳng hạn điểm N ( 1;0 ) Ta thấy ( 1;0 ) nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ chứa d chứa điểm N ( 1;0 ) (miền khơng tơ đậm hình vẽ) b) Ta có x− y < x + y + ⇔ x − y > −2( x + y + 1) −2 ⇔ 3x + y + > Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆ : 3x + y + = Xét điểm O(0;0), ta thấy ( 0;0 ) nghiệm bất phương trình cho, miền nghiệm cần tìm nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể đường thẳng ∆) chứa điểm O ( 0;0 ) (miền khơng tơ đậm hình vẽ) Trang Ví dụ 3: Miền nghiệm bất phương trình x − ( x + y ) < 3x + y + ( y + 1) nửa mặt phẳng chứa điểm A ( 1;1) B ( −1; −2 ) C ( 0; −1) D ( −3; −1) Hướng dẫn giải Ta có x − ( x + y ) < 3x + y + ( y + 1) ⇔ x + y + > ( 1) Thay cặp số ( x; y ) phương án vào bất phương trình ( 1) ta Phương án A ( 1;1) , ta có + + > (đúng) Phương án B ( −1; −2 ) , ta có −2 − 14 + > (sai) Phương án C ( 0; −1) , ta có −7 + > (sai) Phương án D ( −3; −1) , ta có −6 − + > (sai) Chọn A Ví dụ 4: Miền nghiệm bất phương trình x + − ( x + y ) < ( − x ) nửa mặt phẳng chứa điểm điểm sau? A ( 1; −1) B ( −2;1) C ( 1; −1) D ( 4; ) Hướng dẫn giải Ta có x + − ( x + y ) < ( − x ) ⇔ x − y − < ( 1) Thay cặp số ( x; y ) phương án vào bất phương trình (1) ta Phương án A ( 1; −1) , ta có + − < (sai) Phương án B ( −2;1) , ta có −14 − − < (đúng) Phương án C ( 1; −1) , ta có + − < (sai) Phương án D ( 4; ) , ta có 28 − − < (sai) Chọn B Ví dụ 5: Trong cặp số sau đây, cặp khơng thuộc miền nghiệm bất phương trình Trang x − y + < 0? A ( −4;1) B ( −1; ) C ( −2;3) D ( 1;1) Hướng dẫn giải Thay cặp số ( x; y ) phương án vào bất phương trình x − y + < Ta có Phương án A ( −4;1) , ta có −12 − + < (đúng) Phương án B ( −1; ) , ta có −3 − 16 + < (đúng) Phương án C ( −2;3) , ta có −6 − 12 + < (đúng) Phương án D ( 1;1) , ta có − + < (sai) Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong cặp số ( x; y ) sau đây, cặp số không nghiệm bất phương trình x + y < 1? A ( −2;1) B ( 3; −7 ) C ( 0;1) D ( 0;0 ) Câu 2: Trong cặp số ( x; y ) sau đây, cặp số không nghiệm bất phương trình x − y + ≥ 0? A (−5;0) B (−2;1) C (1; −3) D (0;0) Câu 3: Cặp số ( 1; −1) nghiệm bất phương trình sau đây? A x + y − > B − x − y < C x + y + < D − x − y − < Câu 4: Cặp số ( 2;3) nghiệm bất phương trình sau đây? A x − y − > B x − y < C x > y D x − y + < Câu 5: Cặp số ( x; y ) sau nghiệm bất phương trình −2 ( x − y ) + y > 3? A (4; −4) B (2;1) C (−1; −2) D (4; 4) Câu 6: Bất phương trình x − ( y − x + 1) > tương đương với bất phương trình sau đây? A x + y + > B x − y − > C x − y − > D x − y − > Câu 7: Cặp số ( x; y ) sau khơng nghiệm bất phương trình x − ( y − 1) ≤ 0? A (1;3) B (0;1) C (−1;1) D (−1;0) Câu 8: Bất phương trình x + ( y − x + ) > tương đương với bất phương trình sau đây? A x − y − < B x − y − > C x + y − > D x + y + < Câu 9: Cho bất phương trình x + y − ≤ 0, ( 1) Chọn khẳng định khẳng định sau A Bất phương trình (1) có nghiệm B Bất phương trình (1) vơ nghiệm C Bất phương trình (1) ln có vơ số nghiệm D Bất phương trình (1) có tập nghiệm ¡ Trang Câu 10: Phần tơ đậm hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau? A x − y < −3 B x + y > −3 C x − y > −3 D x + y < −3 Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Tương tự hệ bất phương trình ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc hai ẩn Trong mặt phẳng toạ độ, ta gọi tập hợp điểm có toạ độ thoả mãn bất phương trình hệ miền nghiệm hệ Vậy miền nghiệm hệ giao miền nghiệm bất phương trình hệ Để xác định miền nghiệm hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học sau: - Với bất phương trình hệ, ta xác định miền nghiệm gạch bỏ (tơ màu) miền cịn lại - Sau làm tất bất phương trình hệ mặt phẳng toạ độ, miền cịn lại khơng bị gạch (tơ đậm) miền nghiệm hệ bất phương trình cho x + y − ≥ Ví dụ: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau   x − y + ≤ Hướng dẫn giải Vẽ đường thẳng d : x + y − = 0, d ′ : x − y + = mặt phẳng toạ độ Oxy Xét điểm O ( 0;0 ) , ta thấy ( 0;0 ) nghiệm bất phương trình x + y − ≥ x − y + ≤ miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ đậm hình vẽ kể hai đường d d ′ Trang Ví dụ mẫu 2 x + y − ≥ Trong điểm sau, điểm thuộc miền nghiệm Ví dụ 1: Cho hệ bất phương trình   x + y − 10 < hệ bất phương trình? A M ( 1;1) B N ( −2; −1) C P ( −4;3) D Q ( 4; −3) Hướng dẫn giải Thay cặp số ( x; y ) phương án vào hệ bất phương trình ta có 2 + − ≥ Phương án A M ( 1;1) , ta có  (sai) 1 + − 10 <  −4 − − ≥ Phương án B N ( −2; −1) , ta có  (sai)  −2 − − 10 <  −8 + − ≥ Phương án C P ( −4;3) , ta có  (sai)  −4 + − 10 < 8 − − ≥ Phương án D Q ( 4; −3) ta có  (đúng)  − − 10 < Chọn D x + y >  Ví dụ 2: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình sau:  x − y + > x − y +1 ≥  Hướng dẫn giải Vẽ đường thẳng d : x + y = 0, d ′ : x − y + = d ′′ : x − y + = mặt phẳng toạ độ Oxy Trang Xét điểm O(0;0), ta có ( 0;0 ) nghiệm bất phương trình x − y + > x − y + ≥ Do O(0;0) thuộc miền nghiệm bất phương trình x − y + > x − y + ≥ Xét điểm M (1;0) nghiệm bất phương trình x + y > điểm M (1;0) thuộc miền nghiệm bất phương trình x + y > Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ đậm hình vẽ kể đường thẳng d ′′ ( ) 3 Ví dụ 3: Xác định miền nghiệm bất phương trình ( x − y ) x + y ≥ Hướng dẫn giải Ta có ( ) ( ) ( x − y ) x + y ≥ ⇔ ( x − y )( x + y ) x − xy + y ≥ ⇔ ( x − y )( x + y ) ≥ x − y ≥ x − y ≤ ⇔ ( x − y )( x + y ) ≥ ⇔  (1)  (2) x + y ≥ x + y ≤ Như miền nghiệm hệ bất phương trình cho gồm hai miền nghiệm hệ bất phương trình (1) (2) Vẽ đường thẳng d : x + y = d ′ : x − y = mặt phẳng toạ độ Oxy Xét điểm M ( 1;0 ) , ta có ( 1;0 ) nghiệm bất phương trình hệ (1) M ( 1;0 ) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình (1) Xét điểm N ( −1;0 ) , ta có ( −1;0 ) nghiệm bất phương trình hệ (2) N ( −1;0 ) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình (2) Vậy miền nghiệm cần tìm phần mặt phẳng khơng tơ đậm hình vẽ kể hai đường thẳng d d ′ Trang 2 x + y ≥ x ≥ y −  Ví dụ 4: Miền nghiệm hệ bất phương trình  chứa điểm điểm sau đây? y ≥ − x   y ≤ A O ( 0;0 ) B M ( 1; ) C N ( 2;1) D P ( 8; ) Hướng dẫn giải Thay cặp số ( x; y ) phương án vào hệ bất phương trình ta có 0 ≥  ≥ −4  Phương án A O ( 0;0 ) , ta có  (sai) 0 ≥ 0 ≤  + ≥ 1 ≥ −  Phương án B M ( 1; ) , ta có  (sai) 4 ≥ −  ≤ 4 + ≥ 2 ≥ −  N 2;1 , Phương án C ( ) ta có  (sai) 2 ≥ − 1 ≤ 16 + ≥ 8 ≥ −  Phương án D P ( 8; ) , ta có  (đúng) 8 ≥ −  ≤ Chọn D Ví dụ 5: Giá trị lớn Fmax 2 x + y − ≤  biểu thức F ( x; y ) = x + y miền xác định hệ  x − y ≤  y −1 ≤  A Fmax = B Fmax = C Fmax = D Fmax = Trang 10 Hướng dẫn giải Trong mặt phẳng Oxy ta vẽ đường thẳng có phương trình: x + y − = 0; x − y = 0; y − = Khi miền nghiệm hệ miền tam giác ABC kể biên, tô đậm, với A ( 3;3) , B ( 4;1) , C ( 1;1) Ta có F ( 3;3) = 9; F ( 4;1) = 9; F ( 1;1) = Vậy giá trị lớn Fmax = x = 4; y = x = 3; y = Chọn C Bài tập tự luyện dạng x + y +1 < Câu 1: Miền nghiệm hệ bất phương trình  không chứa điểm sau đây?  − x + y > −3 A A ( −1;1) B B ( −2;0 ) C C ( −1; −1) D D ( 0; −2 ) 3 x + y ≥ x ≥ y −  Câu 2: Miền nghiệm hệ bất phương trình  chứa điểm điểm sau đây? 2 y ≥ − x  y ≤ A O ( 0;0 ) B M ( 1; ) C N ( 2;1) D P ( 8; ) Câu 3: Điểm M ( 0; −3) thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình sau đây? 2 x − y ≤ A   x + y ≤ 12 x + 2 x − y > B   x + y ≤ 12 x +  x − y > −3 C   x + y ≥ 12 x +  x − y ≤ −3 D   x + y ≥ 12 x +  x + y < Câu 4: Cho hệ bất phương trình   x + y < ( 1) ( 2) Gọi S1 tập nghiệm bất phương trình (1), S tập nghiệm bất phương trình (2) S tập nghiệm hệ A S1 ⊂ S2 B S ⊂ S1 C S ≡ S D S1 ≠ S Câu 5: Phần tơ đậm hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau? Trang 11 A x − y < B x − y > C x − y < D x − y > x + y −1 >  Câu 6: Miền nghiệm hệ bất phương trình  y ≥ phần khơng tơ đậm hình vẽ − x + y >  hình vẽ sau? A B C Trang 12 D Câu 7: Phần khơng tơ đậm hình vẽ (không chứa biên) biểu diễn tập nghiệm hệ bất phương trình hệ bất phương trình sau? x − y ≤ A   x + y ≥ −2 x − y > B   x + y < −2 x − y ≤ C   x + y ≤ −2 x − y < D   x + y > −2 0 ≤ y ≤ x ≥  Câu 8: Giá trị lớn biểu thức F ( x; y ) = x + y với điều kiện  x − y −1 =  x + y − 10 ≤ A B C 10 D 12 0 ≤ y ≤ x ≥  Câu 9: Giá trị nhỏ biểu thức F ( x; y ) = x − y với điều kiện  x + y − ≥  x − y − ≤ A −10 C −8 B 12 D −6 2 x + y − ≤  , đạt giá trị lớn Câu 10: Biểu thức L = y − x , với x y thoả mãn hệ bất phương trình  x ≥ 2 x − y − ≤  a đạt giá trị nhỏ b Hãy chọn kết kết sau A a = 25 ; b = −2 B a = 2; b = − 11 C a = 3; b = D a = 3; b = − Dạng 3: Bài toán thực tế Phương pháp giải Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phương trình bậc có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính Đó ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế Trang 13 Lưu ý: Ta thừa nhận kết sau “Giá trị nhỏ hay lớn biểu thức P ( x; y ) = ax + by + c a + b ≠ miền đa giác lồi (kể biên) đạt đỉnh đa giác” Ví dụ: Một công ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm công ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận phát chương trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chương trình dài tối đa phút Theo phân tích thời lượng phút quảng cáo truyền hình có hiệu gấp lần sóng phát Cơng ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Cơng ty cần đặt thời lượng quảng cáo sóng phát truyền để hiệu nhất? Hướng dẫn giải Phân tích tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút), truyền hình y (phút) Chi phí cho việc 800.000 x + 4.000.000 y (đồng) Mức chi phí khơng phép vượt mực chi tối đa, tức 800 000 x + 000 000 y ≤ 16 000 000 ⇔ x + y − 20 ≤ Theo giả thiết, ta có x ≥ 5; x ≤ Đồng thời x, y thời lượng nên x ≥ 0; y ≥ Hiệu chung quảng cáo x + y Bài tốn trở thành: Tìm x, y cho M ( x; y ) = x + y đạt giá trị lớn nhất, với x, y thoả mãn hệ bất  x + y − 20 ≤  ( *) phương trình  x ≥ 0 ≤ y ≤  Trong mặt phẳng Oxy, ta biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình (*) phần tam giác ABC với A ( 5;3) , B ( 5;0 ) , C ( 20;0 ) Ta có M ( 5;3) = 23; M ( 5;0 ) = 5; M ( 20;0 ) = 20 suy giá trị lớn M ( x; y ) 23 ( 5;3) Tức đặt thời lượng quảng cáo sóng phát phút truyền hình phút đạt hiệu Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm, kg sản phẩm loại cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 000 đồng Mỗi sản phẩm loại hai cần 4kg nguyên liệu 15 đem lại mức lợi nhuận 30 000 đồng Xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc Hỏi cần sản xuất loại sản phẩm để có mức lợi nhuận cao nhất? Hướng dẫn giải Phân tích toán: Gọi x ( x ≥ ) số kg loại cần sản xuất, y ( y ≥ ) số kg loại hai cần sản xuất Suy số nguyên liệu cần dùng x + y, thời gian 30 x + 15 y có mức lợi nhuận 40 000 x + 30 000 y Trang 14 Theo giả thiết toán xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc, suy x + y ≤ 200 hay x + y − 100 ≤ 0; 30 x + 15 y ≤ 1200 hay x + y − 80 ≤  x + y − 100 ≤  x + y − 80 ≤  ( *) cho L ( x; y ) = 40 000 x + 30 000 y Bài tốn trở thành: Tìm x; y thoả mãn hệ  x ≥  y ≥ đạt giá trị lớn Biểu diễn miền nghiệm hệ (*) miền tứ giác OABC với O ( 0;0 ) , A ( 40;0 ) , B ( 0;50 ) , C ( 20; 40 ) Ta có L ( 0;0 ) = 0, L ( 40;0 ) = 1600 000, L ( 0;50 ) = 1500 000, L ( 20; 40 ) = 000 000 Do giá trị lớn L ( x; y ) 000 000 ( x; y ) = ( 20; 40 ) Vậy nên sản xuất 20kg sản phẩm loại I 40kg sản phẩm loại hai để có mức lợi nhuận cao Ví dụ 2: Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio hai dây chuyền độc lập Radio kiểu sản xuất dây chuyền với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày Để sản xuất radio kiểu cần 12 linh kiện, để sản xuất radio kiểu hai cần linh kiện Tiền lãi bán radio kiểu 250 000 đồng, lãi thu bán radio kiểu hai 180 000 đồng Hỏi cần sản xuất để tiền lãi thu nhiều nhất, biết số linh kiện sử dụng tối đa ngày 900? A Sản xuất 15 radio kiểu 80 radio kiểu hai B Sản xuất 45 radio kiểu 40 radio kiểu hai C Sản xuất 45 radio kiểu D Sản xuất 80 radio kiểu hai Hướng dẫn giải Gọi x y số radio kiểu số radio kiểu hai mà công ty sản xuất ngày ( x; y ∈ N * ) Số tiền lãi mà công ty thu hàng ngày f ( x; y ) = 250000 x + 180000 y (đồng) 12 x + y ≤ 900  ( *) Ta có hệ bất phương trình 0 ≤ x ≤ 45 0 ≤ y ≤ 80  Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ miền ngũ giác OABCD O ( 0;0 ) , A ( 45;0 ) , B ( 45; 40 ) , C ( 15;80 ) , D ( 0;80 ) Ta có f ( x; y ) lớn ( x; y ) = ( 45; 40 ) , tức công ty cần sản xuất 45 radio kiểu 40 radio kiểu hai Chọn B Trang 15 Ví dụ 3: Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30 g đường lít nước; pha chế lít nước táo cần 10 g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 20 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để số tiền thưởng lớn nhất? A lít nước đường B lít nước táo C lít nước đường, lít nước táo D lít nước đường, lít nước táo Hướng dẫn giải Gọi x; y số lít nước cam táo đội pha chế ( x; y ≥ ) Số điểm thưởng đội chơi f ( x; y ) = 20 x + 80 y Số gam đường cần dùng 30 x + 10 y (g) Số lít nước cần dùng x + y (l) Số gam hương liệu cần dùng y (g) Vì thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường nên ta có hệ bất phương trình sau 30 x + 10 y ≤ 210 3 x + y ≤ 21 x + y ≤ x + y ≤   ⇔ ( *)   y ≤ 24 y ≤  x; y ≥  x; y ≥ Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD Trong O ( 0;0 ) , A ( 7;0 ) , B ( 6;3) , C ( 3;6 ) , D ( 0;6 ) Suy f ( 3;6 ) giá trị lớn hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ (*) Như để số điểm thưởng lớn cần pha chế lít nước cam lít nước táo Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong thi làm sinh tố, đội chơi sử dụng tối đa 24 g hương liệu, lít nước 210 g đường để pha chế sinh tố cam sinh tố xoài - Để pha chế lít sinh tố cam cần 30 g đường, lít nước 1g hương liệu; - Để pha chế lít nước sinh tố xồi cần 10 g đường, lít nước 4g hương liệu Mỗi lít sinh tố cam nhận 60 điểm thưởng, lít sinh tố xồi nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít sinh tố loại để đạt số điểm thưởng cao nhất? A lít sinh tố cam lít sinh tố xồi B lít sinh tố cam lít sinh tố xồi C lít sinh tố cam lít sinh tố xồi D lít sinh tố cam lít sinh tố xồi Câu 2: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Trang 16 Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40 nghìn; Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu 15 giờ, đem lại mức lợi nhuận 30 nghìn Xưởng có 200kg nguyên liệu 1200 làm việc nên cần sản xuất loại sản phẩm ki-lôgam để có mức lợi nhuận cao nhất? A 30 kg loại I 40 kg loại II B 20 kg loại I 40 kg loại II C 30 kg loại I 20 kg loại II D 25 kg loại I 45 kg loại II Câu 3: Một nhà khoa học nghiên cứu tác động phối hợp hai loại Vitamin A B thu kết sau: ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị Vitamin A lẫn B tiếp nhận khơng q 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B Do tác động phối hợp hai loại vitamin nên ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A Hỏi số đơn vị vitamin loại để người dùng ngày cho chi phí rẻ nhất, biết đơn vị vitamin A có giá 9000 đồng đơn vị vitamin B có giá 7500 đồng? A 600 đơn vị Vitamin A, 400 đơn vị Vitamin B B 600 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B C 500 đơn vị Vitamin A, 500 đơn vị Vitamin B D 100 đơn vị Vitamin A, 300 đơn vị Vitamin B Câu 4: Cơng ty Bao bì Dược cần sản xuất ba loại hộp giấy: đựng thuốc B 1, đựng cao Sao vàng đựng “Quy sâm đại bổ hoàn” Để sản xuất loại hộp này, cơng ty dùng bìa có kích thước giống Mỗi bìa có hai cách cắt khác Cách thứ cắt ba hộp B1, hộp cao Sao vàng sáu hộp Quy sâm Cách thứ hai cắt hai hộp B1, ba hộp cao Sao vàng hộp Quy sâm Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có 900 hộp, số hộp B tối thiểu 900 hộp, số hộp cao vàng tối thiểu 1000 hộp Cần cắt theo phương án để tổng số bìa phải dùng nhất? A Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 300 B Cắt theo cách 150 tấm, cắt theo cách hai 100 C Cắt theo cách 50 tấm, cắt theo cách hai 300 D Cắt theo cách 100 tấm, cắt theo cách hai 200 Câu 5: Một hộ nông dân trồng đậu cà diện tích 8ha Nếu trồng đậu cần 20 cơng thu 000 000 đồng diện tích ha, trồng cà cần 30 cơng thu 000 000 đồng diện tích Hỏi cần trồng loại với diện tích để thu nhiều tiền nhất, biết tổng số công không 80 công? A 1ha đậu 7ha cà B 6ha đậu 2ha cà C 6ha cà 2ha đậu D 8ha cà Câu 6: Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm Để sản xuất kg sản phẩm loại cần 2kg nguyên liệu 30 giờ; để sản xuất kg sản phẩm loại hai cần 4kg nguyên liệu 15 Xưởng sản xuất có 200kg nguyên liệu hoạt động 50 ngày liên tục Biết kg sản phẩm loại thu lợi nhuận 40 nghìn đồng, kg sản phẩm loại hai thu lợi nhuận 30 nghìn đồng Hỏi nên sản xuất loại sản phẩm để lợi nhuận thu lớn nhất? A 20kg sản phẩm loại 40kg sản phẩm loại hai B 50kg sản phẩm loại hai Trang 17 C 80kg sản phẩm loại hai D 40kg sản phẩm loại ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1: Bất phương trình bậc hai ẩn 1-C 2-B 3-C 4-B 5-D 6-B 7-A 8-A 9-C 10-D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn C Trên mặt phẳng toạ độ, đường thẳng d : x + y − = chia nửa mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Chọn điểm O ( 0;0 ) không thuộc đường thẳng d Ta thấy ( x; y ) = ( 0;0 ) nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O ( 0;0 ) kể d Vậy bất phương trình (1) ln có vơ số nghiệm Câu 10 Chọn B Từ đồ thị ta thấy, phương trình đường thẳng x + y = −3 Vẽ đường thẳng d : x + y = −3 Chọn điểm O ( 0;0 ) thay cặp ( 0;0 ) vào bất phương trình x + y < −3, ta có < −3 sai, phần tơ đậm miền nghiệm bất phương trình x + y < −3 Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn 1-A 2-D 3-A 4-A 5-B 6-B 7-D 8-C 9-A 10-B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A Trước hết ta vẽ đồ thị hai hàm số y = − x +1 y = x − Trang 18 Ta thấy ( −2;0 ) nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa điểm ( −2;0 ) thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau tơ đậm phần khơng thích hợp, phần khơng tơ màu miền nghiệm hệ Quan sát ta thấy điểm cho, có điểm A ( −1;1) khơng nằm miền nghiệm hệ Câu Chọn D Thay toạ độ điểm vào hệ bất phương trình - 0 ≥  ≥ −3  Bất phương trình thứ thứ ba sai nên A sai Với O ( 0;0 ) , ta có  0 ≥ 0 ≤ - 3 + ≥ 1 ≥ − M 1; , Bất phương trình thứ thứ ba sai nên B sai ( ) ta có  Với ≥ −   ≤ - 6 + ≥ 2 ≥ −  Bất phương trình thứ thứ ba sai nên C sai Với N ( 2;1) , ta có  2 ≥ − 1 ≤ -  24 + ≥ 8 ≥ −  Với P ( 8; ) ,  8 ≥ −  ≤ Câu Chọn A Thay toạ độ M ( 0; −3) vào hệ bất phương trình phương án lựa chọn, ta có 3 ≤ Phương án A  (đúng)  −15 ≤ Trang 19 3 > Phương án B  (sai)  −15 ≤ 3 > −3 Phương án C  (sai)  −15 ≥ 3 ≤ −3 Phương án D  (sai)  −15 ≥ Câu Chọn A Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng ( d1 ) : x + y = 2, ( d2 ) : 2x + y = Ta thấy O ( 0;0 ) nghiệm hai bất phương trình Điều có nghĩa gốc toạ độ thuộc hai miền nghiệm hai bất phương trình Sau tơ đậm miền khơng thích hợp, miền không tô đậm miền nghiệm hệ Quan sát hình vẽ, ta có S = S1 ⊂ S2 Câu Chọn B 3  Đường thẳng qua hai điểm A  ;0 ÷ B ( 0; −3) nên có phương trình x − y = 2  Mặt khác, cặp số ( 0;0 ) khơng thoả mãn bất phương trình x − y > nên phần tơ đậm hình biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x − y > Câu Chọn B Chọn điểm M ( 0; ) thử vào bất phương trình hệ thấy thoả mãn Nhận thấy rằng, điểm M ( 0; ) thuộc miền nghiệm phương án B Câu Chọn D Do miền nghiệm không chứa biên nên ta loại phương án A C Chọn điểm M ( 0;1) thử vào hệ bất phương trình phương án B D Trang 20  −2 > Phương án B  (sai) 3 < −2  −2 < Phương án D  (đúng) 3 > −2 Câu Chọn C Vẽ đường thẳng d1 : x − y − = 0, đường d1 qua hai điểm ( 0; −1) ( 1;0 ) Vẽ đường thẳng d : x + y − 10 = 0, đường d qua hai điểm ( 0;5 ) ( 2; ) Vẽ đường thẳng d3 : y = Miền nghiệm ngũ giác ABCOE với A ( 4;3) , B ( 2; ) , C ( 0; ) , E ( 1;0 ) , O ( 0;0 ) Ta có F ( 4;3) = 10; F ( 2; ) = 10; F ( 0; ) = 8; F ( 0;0 ) = Vậy giá trị lớn biểu thức F ( x; y ) = x + y 10 Câu Chọn A 0 ≤ y ≤ x ≥  Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình  miền tứ giác ABCD với A ( 7;5 ) , x + y − ≥   x − y − ≤ B ( 0;5 ) , C ( 0; ) , D ( 2;0 ) hình vẽ Ta có F ( A ) = −3; F ( B ) = −10; F ( C ) = −4; F ( D ) = Vậy minF = −10 x = 0; y = Câu 10 Chọn B Trang 21  d1 : x + y − = 0;  Trước hết ta vẽ ba đường thẳng  d : x = 0;  d : x − y − =  1 7 5  Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tam giác ABC với A(0; 2), B  ; ÷, C  0; − ÷ 3 4 6  Ta có L( A) = 2; L( B ) = − 11 ; L(C ) = − Vậy giá trị lớn a = Giá trị nhỏ b = − 11 Dạng 3: Bài toán thực tế 1-C 2-B 3-D 4-A 5-C 6-A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn C Giả sử x; y số lít sinh tố cam số lít sinh tố xồi mà đội cần pha chế Suy 30 x + 10 y số gam đường cần dùng; x + y số lít nước cần dùng; x + y số gam hương liệu cần dùng Theo giả thiết ta có x > x > y > y >   30 x + 10 y ≤ 210 ⇔ 3 x + y ≤ 21 ( *) x + y ≤ x + y ≤    x + y ≤ 24  x + y ≤ 24 Số điểm thưởng nhận P = 60 x + 80 y Miền nghiệm hệ (*) ngũ giác ABCOD khơng tính cạnh OD OC , với A(6;3), B(4;5) Ta tìm giá trị lớn biểu thức P với x; y thoả mãn (*) Ta có P ( A) = 600; P ( B ) = 640 Trang 22 Suy giá trị lớn P 640 x = 4; y = Vậy cần pha chế lít sinh tố cam lít sinh tố xồi để đạt số điểm thưởng cao Câu Chọn B Gọi x ( x ≥ ) số kg loại cần sản xuất, y ( y ≥ ) số kg loại hai cần sản xuất Suy số nguyên liệu cần dùng x + y, thời gian 30 x + 15 y (giờ) có mức lời 40000 x + 30000 y Theo giả thiết tốn xưởng có 200kg ngun liệu 1200 làm việc, suy x + y ≤ 200 hay x + y − 100 ≤ 0;30 x + 15 y ≤ 1200 hay x + y − 80 ≤  x + y − 100 ≤  x + y − 80 ≤  Bài toán trở thành: Tìm x; y thỏa mãn hệ  (*) cho L ( x; y ) = 40000 x + 30000 y đạt x ≥   y ≥ giá trị lớn Biểu diễn miền nghiệm hệ (*), ta miền tứ giác OABC với O ( 0;0 ) , A ( 40;0 ) , B ( 0;50 ) , C ( 20; 40 ) Ta có L ( 0;0 ) = 0, L ( 40;0 ) = 1600000, L ( 0;50 ) = 1500000, L ( 20; 40 ) = 2000000 Do giá trị lớn L ( x; y ) 2000000 ( x; y ) = ( 20; 40 ) Câu Chọn D Gọi x ≥ 0; y ≥ số đơn vị vitamin A B để người cần dùng ngày Trong ngày, người cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin A lẫn B nên ta có 400 ≤ x + y ≤ 1000 Hàng ngày, tiếp nhận không 600 đơn vị vitamin A không 500 đơn vị vitamin B nên ta có x ≤ 600; y ≤ 500 Mỗi ngày người sử dụng số đơn vị vitamin B khơng nửa số đơn vị vitamin A không nhiều ba lần số đơn vị vitamin A nên ta có 0,5 x ≤ y ≤ x Số tiền cần dùng ngày T ( x; y ) = 9000 x + 7500 y 0 ≤ x ≤ 600 0 ≤ y ≤ 500  Bài toán trở thành: Tìm x ≥ 0; y ≥ thoả mãn hệ  để T ( x; y ) = 9000 x + 7500 y đạt giá  400 ≤ x + y ≤ 1000 0,5 x ≤ y ≤ x trị nhỏ Biểu diễn miền nghiệm hệ, ta tìm T ( x; y ) đạt giá trị nhỏ x = 100; y = 300 Vậy cần 100 đơn vị vitamin A 300 đơn vị vitamin B để người dùng ngày có chi phí rẻ Câu Chọn A Gọi x ≥ 0, y ≥ số bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai Trang 23 3 x + y ≥ 900  Bài tốn đưa đến tìm x ≥ 0, y ≥ thoả mãn hệ  x + y ≥ 1000 cho L = x + y nhỏ 6 x + y = 900  Biểu diễn miền nghiệm hệ, ta tìm L đạt giá trị nhỏ x = 100; y = 300 Vậy cần cắt 100 bìa theo cách 300 theo cách hai tổng số bìa Câu Chọn C Gọi số đậu cà mà hộ nông dân trồng x y ( x; y ≥ ) Lợi nhuận thu f ( x; y ) = 3000000 x + 4000000 y (đồng) Tổng số công dùng để trồng x (ha) đậu y (ha) cà 20 x + 30 y x + y ≤ x + y ≤   Ta có hệ bất phương trình  20 x + 30 y ≤ 180 ⇔ 2 x + y ≤ 18 ( *)  x; y ≥  x; y ≥   Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số f ( x; y ) miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) tứ giác OABC Trong O ( 0; ) , A ( 8;0 ) , B ( 6; ) , C ( 0;8 ) Ta có ff( 0;0 ) = 0, ( 8;0 ) = 24000000, ff( 6; ) = 26000000, ( 0;6 ) = 24000000 Suy f ( x; y ) lớn ( x; y ) = ( 6; ) tức hộ nông dân cần phải trồng 6ha đậu 2ha cà thu lợi nhuận lớn Câu Chọn A Gọi x y số kg sản phẩm loại loại hai mà xưởng sản xuất ( x; y ≥ ) Lợi nhuận thu f ( x; y ) = 40 x + 30 y nghìn đồng  x + y ≤ 200  x + y ≤ 100   Ta có hệ bất phương trình sau 30 x + 15 y ≤ 1200 ⇔ 2 x + y ≤ 80 ( *)  x, y ≥  x, y ≥   Miền nghiệm hệ bất phương trình (*) miền tứ giác OABC Ta suy f ( x; y ) đạt giá trị lớn miền nghiệm ( x; y ) = (20; 40) Vậy nên sản xuất 20 kg sản phẩm loại I 40 kg sản phẩm loại hai để lợi nhuận thu lớn Trang 24 ... x y ẩn số BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Cũng bất phương trình bậc ẩn, bất phương trình bậc hai ẩn thường có vơ số nghiệm để mơ tả tập nghiệm chúng, ta sử dụng phương. .. Cho bất phương trình x + y − ≤ 0, ( 1) Chọn khẳng định khẳng định sau A Bất phương trình (1) có nghiệm B Bất phương trình (1) vơ nghiệm C Bất phương trình (1) ln có vơ số nghiệm D Bất phương trình. .. Câu 10: Phần tơ đậm hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm bất phương trình bất phương trình sau? A x − y < −3 B x + y > −3 C x − y > −3 D x + y < −3 Dạng 2: Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Phương