CHƯƠNG III ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị ngành khoa học phát triển từ lâu lại có nhiều ứng dụng đại Những ý tưởng đưa từ kỷ 18 nhà toán học Thụy Sĩ tên Leonhard Euler Ông dùng đồ thị để giải toán cầu Konigsberg tiếng Đồ thị dùng để giải toán nhiều lĩnh vực khác Thí dụ, dùng đồ thị để xác định xem có thực mạch điện bảng điện phẳng khơng Chúng ta phân biệt hai hợp chất hóa học có cơng thức phân tử có cấu trúc khác nhờ đồ thị Chúng ta xác định xem hai máy tính có nối với đường truyền thơng hay khơng dùng mơ hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị với trọng số gán cho cạnh dùng để giải tốn tốn tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thơng Chúng ta dùng đồ thị để lập lịch thi phân chia kênh cho đài truyền hình 3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ Đồ thị cấu trúc rời rạc gồm đỉnh cạnh (vơ hướng có hướng) nối đỉnh Người ta phân loại đồ thị tùy theo đặc tính số cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Nhiều toán thuộc lĩnh vực khác giải mơ hình đồ thị Chẳng hạn người ta dùng đồ thị để biểu diễn cạnh tranh loài môi trường sinh thái, dùng đồ thị để biểu diễn có ảnh hưởng lên tổ chức đó, dùng đồ thị để biểu diễn kết cục thi đấu thể thao Chúng ta dùng đồ thị để giải tốn tốn tính số tổ hợp khác chuyến bay hai thành phố mạng hàng không, hay để giải toán tham quan tất đường phố thành phố cho đường phố qua lần, tốn tìm số màu cần thiết để tô vùng khác đồ Trong đời sống, thường gặp sơ đồ, sơ đồ tổ chức máy, sơ đồ giao thông, sơ đồ hướng dẫn thứ tự đọc chương sách, , gồm điểm biểu thị đối tượng xem xét (người, tổ chức, địa danh, chương mục sách, ) nối số điểm với đoạn thẳng (hoặc cong) hay mũi tên, tượng trưng cho quan hệ đối tượng Đó thí dụ đồ thị 3.1.1 Định nghĩa: Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm tập khác rỗng V mà phần tử gọi đỉnh tập E mà phần tử gọi cạnh, cặp khơng có thứ tự đỉnh phân biệt 37 3.1.2 Định nghĩa: Một đa đồ thị G = (V, E) gồm tập khác rỗng V mà phần tử gọi đỉnh họ E mà phần tử gọi cạnh, cặp khơng có thứ tự đỉnh phân biệt Hai cạnh gọi cạnh bội hay song song chúng tương ứng với cặp đỉnh Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị 3.1.3 Định nghĩa: Một giả đồ thị G = (V, E) gồm tập khác rỗng V mà phần tử gọi đỉnh họ E mà phần tử gọi cạnh, cặp khơng có thứ tự đỉnh (khơng thiết phân biệt) Với v∈V, (v,v)∈E ta nói có khuyên đỉnh v Tóm lại, giả đồ thị loại đồ thị vô hướng tổng quát chứa khun cạnh bội Đa đồ thị loại đồ thị vô hướng chứa cạnh bội khơng thể có khun, cịn đơn đồ thị loại đồ thị vơ hướng khơng chứa cạnh bội khun Thí dụ 1: v1 v2 v5 v3 v6 v4 v7 v1 v2 v3 v4 v5 v6 Đơn đồ thị Giả đồ thị 3.1.4 Định nghĩa: Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập khác rỗng V mà phần tử gọi đỉnh tập E mà phần tử gọi cung, cặp có thứ tự phần tử thuộc V 3.1.5 Định nghĩa: Một đa đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập khác rỗng V mà phần tử gọi đỉnh họ E mà phần tử gọi cung, cặp có thứ tự phần tử thuộc V Đồ thị vô hướng nhận từ đồ thị có hướng G cách xố bỏ chiều mũi tên cung gọi đồ thị vô hướng G Thí dụ 2: v1 V5 v2 v3 v6 Đồ thị có hướng v5 v7 v1 v2 v3 v4 v5 v6 Đa đồ thị có hướng 38 Thí dụ 3: 1) Đồ thị “lấn tổ” sinh thái học Đồ thị dùng nhiều mơ hình có tính đến tương tác lồi vật Chẳng hạn cạnh tranh loài hệ sinh thái mơ hình hóa đồ thị “lấn tổ” Mỗi loài biểu diễn đỉnh Một cạnh vô hướng nối hai đỉnh hai loài biểu diễn đỉnh cạnh tranh với 2) Đồ thị ảnh hưởng Khi nghiên cứu tính cách nhóm nguời, ta thấy số người có ảnh hưởng lên suy nghĩ người khác Đồ thị có hướng gọi đồ thị ảnh hưởng dùng để mơ hình tốn Mỗi người nhóm biểu diễn đỉnh Khi người biểu diễn đỉnh a có ảnh hưởng lên người biểu diễn đỉnh b có cung nối từ đỉnh a đến đỉnh b 3) Thi đấu vòng tròn Một thi đấu thể thao đội đấu với đội khác lần gọi đấu vịng trịn Cuộc thi đấu mơ hình đồ thị có hướng đội đỉnh Một cung từ đỉnh a đến đỉnh b đội a thắng đội b 4) Các chương trình máy tính thi hành nhanh cách thi hành đồng thời số câu lệnh Điều quan trọng khơng thực câu lệnh đòi hỏi kết câu lệnh khác chưa thực Sự phụ thuộc câu lệnh vào câu lệnh trước biểu diễn đồ thị có hướng Mỗi câu lệnh biểu diễn đỉnh có cung từ đỉnh tới đỉnh khác câu lệnh biểu diễn đỉnh thứ hai thực trước câu lệnh biểu diễn đỉnh thứ thực Đồ thị gọi đồ thị có ưu tiên trước sau 3.2 BẬC CỦA ĐỈNH 3.2.1 Định nghĩa: Hai đỉnh u v đồ thị (vô hướng) G=(V,E) gọi liền kề (u,v)∈E Nếu e = (u,v) e gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u v Cạnh e gọi cạnh nối đỉnh u v Các đỉnh u v gọi điểm đầu mút cạnh e 3.2.2 Định nghĩa: Bậc đỉnh v đồ thị G=(V,E), ký hiệu deg(v), số cạnh liên thuộc với nó, riêng khun đỉnh tính hai lần cho bậc Đỉnh v gọi đỉnh treo deg(v)=1 gọi đỉnh cô lập deg(v)=0 Thí dụ 4: v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 Ta có deg(v1)=7, deg(v2)=5, deg(v3)=3, deg(v4)=0, deg(v5)=4, deg(v6)=1, deg(v7)=2 Đỉnh v4 đỉnh cô lập đỉnh v6 đỉnh treo 39 3.2.3 Mệnh đề: Cho đồ thị G = (V, E) Khi 2|E| = ∑ deg(v) v∈V Chứng minh: Rõ ràng cạnh e = (u,v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh 3.2.4 Hệ quả: Số đỉnh bậc lẻ đồ thị số chẵn Chứng minh: Gọi V1 V2 tương ứng tập đỉnh bậc chẵn tập đỉnh bậc lẻ đồ thị G = (V, E) Khi 2|E| = ∑ deg(v) + ∑ deg(v) v∈V1 v∈V2 Vế trái số chẵn tổng thứ số chẵn nên tổng thứ hai số chẵn Vì deg(v) lẻ với v ∈ V2 nên |V2| số chẵn 3.2.5 Mệnh đề: Trong đơn đồ thị, tồn hai đỉnh có bậc Chứng minh: Xét đơn đồ thị G=(V,E) có |V|=n Khi phát biểu đưa tốn: phịng họp có n người, tìm người có số người quen số người dự họp (xem Thí dụ 2.2.3) 3.2.6 Định nghĩa: Đỉnh u gọi nối tới v hay v gọi nối từ u đồ thị có hướng G (u,v) cung G Đỉnh u gọi đỉnh đầu đỉnh v gọi đỉnh cuối cung 3.2.7 Định nghĩa: Bậc vào (t.ư bậc ra) đỉnh v đồ thị có hướng G, ký hiệu degt(v) (t.ư dego(v)), số cung có đỉnh cuối v Thí dụ 5: v2 v3 v5 v6 v1 v4 degt(v1) = 2, dego(v1) = 3, degt(v2) = 5, dego(v2) = 1, degt(v3) = 2, dego(v3) = 4, degt(v4) = 1, deg0(v4) = 3, degt(v5) = 1, dego(v5) = 0, degt(v6) = 0, dego(v6) = Đỉnh có bậc vào bậc gọi đỉnh lập Đỉnh có bậc vào bậc gọi đỉnh treo, cung có đỉnh cuối đỉnh treo gọi cung treo 3.2.8 Mệnh đề: Cho G =(V, E) đồ thị có hướng Khi 40 ∑ deg t (v) = ∑ deg o (v) = |E| v∈V v∈V Chứng minh: Kết có cung tính lần cho đỉnh đầu lần cho đỉnh cuối 3.3 NHỮNG ĐƠN ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 3.3.1 Đồ thị đầy đủ: Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị mà hai đỉnh phân biệt ln liền kề Như vậy, Kn có có bậc n−1 Thí dụ 6: v1 v1 v1 v1 v2 K2 K1 v2 v1 v3 v4 v3 n(n − 1) cạnh đỉnh Kn v5 v2 v2 K3 V4 K4 v3 K5 3.3.2 Đồ thị vòng: Đơn đồ thị n đỉnh v1, v2, , (n≥3) n cạnh (v1,v2), (v2,v3), , (vn-1,vn), (vn,v1) gọi đồ thị vòng, ký hiệu Cn Như vậy, đỉnh Cn có bậc v1 v1 Thí dụ 7: v1 v1 v2 v6 v2 v5 v2 v5 v3 v2 v4 v3 v4 v3 v3 v4 C4 C5 C6 3.3.3 Đồ thị bánh xe:Từ đồ thị vòng Cn, thêm vào đỉnh vn+1 cạnh (vn+1,v1), (vn+1,v2), , (vn+1,vn), ta nhận đơn đồ thị gọi đồ thị bánh xe, ký hiệu Wn Như vậy, đồ thị Wn có n+1 đỉnh, 2n cạnh, đỉnh bậc n n đỉnh bậc C3 v1 v1 Thí dụ 8: v1 v1 v2 W3 v5 v4 v6 v2 v6 v5 v4 v3 v2 v2 v7 v5 v3 v4 W4 v3 v3 W5 W6 v4 3.3.4 Đồ thị lập phương: Đơn đồ thị 2n đỉnh, tương ứng với 2n xâu nhị phân độ dài n hai đỉnh kề xâu nhị phân tương ứng với hai đỉnh khác bit gọi đồ thị lập phương, ký hiệu Qn Như vậy, đỉnh Qn có bậc n số cạnh Qn n.2n-1 (từ cơng thức 2|E| = ∑ deg(v) ) v∈V 41 Thí dụ 9: 10 110 11 111 100 00 Q1 101 01 Q2 011 010 001 000 Q3 3.3.5 Đồ thị phân đôi (đồ thị hai phe): Đơn đồ thị G=(V,E) cho V=V1∪V2, V1∩V2=∅, V1≠∅, V2≠∅ cạnh G nối đỉnh V1 đỉnh V2 gọi đồ thị phân đôi Nếu đồ thị phân đôi G=(V1∪V2,E) cho với v1∈V1, v2∈V2, (v1,v2)∈E G gọi đồ thị phân đơi đầy đủ Nếu |V1|=m, |V2|=n đồ thị phân đôi đầy đủ G ký hiệu Km,n Như Km,n có m.n cạnh, đỉnh V1 có bậc n đỉnh V2 có bậc m Thí dụ 10: v1 v3 v2 v4 v5 v6 v1 v2 v3 v4 v5 v6 K3,3 K2,4 3.3.6 Một vài ứng dụng đồ thị đặc biệt: 1) Các mạng cục (LAN): Một số mạng cục dùng cấu trúc hình sao, tất thiết bị nối với thiết bị điều khiển trung tâm Mạng cục kiểu biểu diễn đồ thị phân đôi đầy đủ K1,n Các thông báo gửi từ thiết bị tới thiết bị khác phải qua thiết bị điều khiển trung tâm Mạng cục có cấu trúc vịng trịn, thiết bị nối với hai thiết bị khác Mạng cục kiểu biểu diễn đồ thị vịng Cn Thơng báo gửi từ thiết bị tới thiết bị khác truyền theo vòng tròn đến nơi nhận v2 v3 v4 v1 v2 v8 v5 v1 v6 v7 v8 v9 v3 v3 v9 v4 v1 v7 v4 v6 Cấu trúc hình v2 v5 Cấu trúc vịng tròn 42 v8 v5 v7 v6 Cấu trúc hỗn hợp Cuối cùng, số mạng cục dùng cấu trúc hỗn hợp hai cấu trúc Các thông báo truyền vịng quanh theo vịng trịn qua thiết bị trung tâm Sự dư thừa làm cho mạng đáng tin cậy Mạng cục kiểu biểu diễn đồ thị bánh xe Wn 2) Xử lý song song: Các thuật toán để giải toán thiết kế để thực phép toán thời điểm thuật toán nối tiếp Tuy nhiên, nhiều toán với số lượng tính tốn lớn tốn mơ thời tiết, tạo hình y học hay phân tích mật mã khơng thể giải khoảng thời gian hợp lý dùng thuật toán nối tiếp dùng siêu máy tính Ngồi ra, giới hạn mặt vật lý tốc độ thực phép toán sở, nên thường gặp tốn khơng thể giải khoảng thời gian hợp lý thao tác nối tiếp Vì vậy, người ta phải nghĩ đến kiểu xử lý song song Khi xử lý song song, người ta dùng máy tính có nhiều xử lý riêng biệt, xử lý có nhớ riêng, nhờ khắc phục hạn chế máy nối tiếp Các thuật toán song song phân chia tốn thành số tốn cho giải đồng thời Do vậy, thuật toán song song nhờ việc sử dụng máy tính có đa xử lý, người ta hy vọng giải nhanh tốn phức tạp Trong thuật tốn song song có dãy thị theo dõi việc thực thuật toán, gửi toán tới xử lý khác nhau, chuyển thông tin vào, thông tin tới xử lý thích hợp Khi dùng cách xử lý song song, xử lý cần thông tin xử lý khác Do chúng cần phải kết nối với Người ta dùng loại đồ thị thích hợp để biểu diễn mạng kết nối xử lý máy tính có nhiều xử lý Kiểu mạng kết nối dùng để thực thuật toán song song cụ thể phụ thuộc vào yêu cầu với việc trao đổi liệu xử lý, phụ thuộc vào tốc độ mong muốn tất nhiên vào phần cứng có Mạng kết nối xử lý đơn giản đắt có liên kết hai chiều cặp xử lý Các mạng mơ hình đồ thị đầy đủ Kn, n số xử lý Tuy nhiên, mạng liên kết kiểu có số kết nối nhiều mà thực tế số kết nối cần phải có giới hạn Các xử lý kết nối đơn giản xếp chúng theo mảng chiều Ưu điểm mảng chiều xử lý có nhiều đường nối trực tiếp với xử lý khác Nhược điểm nhiều cần có nhiều kết nối trung gian để xử lý trao đổi thông tin với P1 P2 P3 P4 P5 P6 Mạng kiểu lưới (hoặc mảng hai chiều) hay dùng cho mạng liên kết Trong mạng thế, số xử lý số phương, n=m2 Các xử lý 43 gán nhãn P(i,j), ≤ i, j ≤ m−1 Các kết nối hai chiều nối xử lý P(i,j) với bốn xử lý bên cạnh, tức với P(i,j±1) P(i±1,j) chừng xử lý lưới P(0,0) P(0,1) P(0,2) P(0,3) P(1,0) P(1,1) P(1,2) P(1,3) P(2,0) P(2,1) P(2,2) P(2,3) P(3,0) P(3,1) P(3,2) P(3,3) Mạng kết nối quan trọng mạng kiểu siêu khối Với mạng loại số xử lý luỹ thừa 2, n=2m Các xử lý gán nhãn P0, P1, , Pn-1 Mỗi xử lý có liên kết hai chiều với m xử lý khác Bộ xử lý Pi nối với xử lý có số biểu diễn dãy nhị phân khác với dãy nhị phân biểu diễn i bit Mạng kiểu siêu khối cân số kết nối trực tiếp xử lý số kết nối gián tiếp cho xử lý truyền thơng Nhiều máy tính chế tạo theo mạng kiểu siêu khối nhiều thuật toán thiết kế để sử dụng mạng kiểu siêu khối Đồ thị lập phương Qm biểu diễn mạng kiểu siêu khối có 2m xử lý P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 3.4 BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ BẰNG MA TRẬN VÀ SỰ ĐẲNG CẤU ĐỒ THỊ: 3.4.1 Định nghĩa: Cho đồ thị G=(V,E) (vơ hướng có hướng), với V={v1,v2, , vn} Ma trận liền kề G ứng với thứ tự đỉnh v1,v2, , ma trận A= (aij )1≤i , j ≤n ∈ M (n, Z ) , aij số cạnh cung nối từ vi tới vj Như vậy, ma trận liền kề đồ thị vô hướng ma trận đối xứng, nghĩa aij = a ji , ma trận liền kề đồ thị có hướng khơng có tính đối xứng Thí dụ 11: Ma trận liền kề với thứ tự đỉnh v1, v2, v3, v4 là: ⎛0 ⎜ ⎜3 ⎜0 ⎜⎜ ⎝2 1 1 2⎞ ⎟ 1⎟ 2⎟ ⎟ ⎟⎠ v1 v2 v4 v3 44 Ma trận liền kề với thứ tự đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 là: ⎛1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 0⎟ ⎜1 0 ⎟ v5 ⎜ ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎝ ⎠ v1 v2 v4 v3 3.4.2 Định nghĩa: Cho đồ thị vô hướng G=(V,E), v1, v2, , đỉnh e1, e2, , em cạnh G Ma trận liên thuộc G theo thứ tự V E ma trận M= (mij )1≤i ≤n ∈ M (n × m, Z ) , 1≤ j ≤ m mij cạnh ej nối với đỉnh vi cạnh ej không nối với đỉnh vi Thí dụ 12: Ma trận liên thuộc theo thứ tự đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 cạnh e1, e2, e3, e4, e5, e6 là: e6 v2 v3 v1 ⎛1 0 0 ⎞ e ⎜ ⎟ e4 ⎜0 1 ⎟ e5 e1 ⎜ 0 0 1⎟ e2 ⎜ ⎟ v4 v5 ⎜1 0 ⎟ ⎜0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 3.4.3 Định nghĩa: Các đơn đồ thị G1=(V1,E1) G2=(V2,E2) gọi đẳng cấu tồn song ánh f từ V1 lên V2 cho đỉnh u v liền kề G1 f(u) f(v) liền kề G2 với u v V1 Ánh xạ f gọi phép đẳng cấu Thông thường, để chứng tỏ hai đơn đồ thị không đẳng cấu, người ta chúng khơng có chung tính chất mà đơn đồ thị đẳng cấu cần phải có Tính chất gọi bất biến phép đẳng cấu đơn đồ thị Thí dụ 13: 1) Hai đơn đồ thị G1 G2 sau đẳng cấu qua phép đẳng cấu f: a a x, b a u, c a z, d a v, e a y: a u z v b c e y x d G2 G1 45 2) Hai đồ thị G1 G2 sau có đỉnh cạnh khơng đẳng cấu G1 có đỉnh bậc mà G2 khơng có đỉnh bậc 3) Hai đồ thị G1 G2 sau có đỉnh, 10 cạnh, có đỉnh bậc 4, bốn đỉnh bậc hai đỉnh bậc Tuy nhiên G1 G2 khơng đẳng cấu hai đỉnh bậc G1 (a d) không kề nhau, hai đỉnh bậc G2 (y z) kề b a c h g v d x w u e t y z G2 G1 4) Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay khơng? u1 u2 v1 v3 v2 u5 u4 u6 v6 u3 v5 v4 G2 G1 Hai đồ thị G1 G2 đẳng cấu hai ma trận liền kề G1 theo thứ tự đỉnh u1, u2, u3, u4, u5, u6 G2 theo thứ tự đỉnh v6, v3, v4, v5, v1, v2 bằng: ⎛ 1 0⎞ ⎜ ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ ⎜ 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 1 ⎟ ⎜ 0 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0⎟ ⎝ ⎠ 3.5 CÁC ĐỒ THỊ MỚI TỪ ĐỒ THỊ CŨ 3.5.1 Định nghĩa: Cho hai đồ thị G1=(V1,E1) G2=(V2,E2) Ta nói G2 đồ thị G1 V2 ⊂ V1 E2 ⊂ E1 Trong trường hợp V1=V2 G2 gọi bao trùm G1 46 Thí dụ 14: a d a a d e b d b c e c b c b c G a a G2 G1 d a d b c G3 e b c G5 G4 G1, G2, G3 G4 đồ thị G, G2 G4 đồ thị bao trùm G, cịn G5 khơng phải đồ thị G 3.5.2 Định nghĩa: Hợp hai đơn đồ thị G1=(V1,E1) G2=(V2,E2) đơn đồ thị có tập đỉnh V1 ∪ V2 tập cạnh E1 ∪ E2, ký hiệu G1 ∪ G2 Thí dụ 15: x y u z v x y u z x y z w u v w G2 G1∪G2 3.5.3 Định nghĩa: Đơn đồ thị G’=(V,E’) gọi đồ thị bù đơn đồ thị G=(V,E) G G’ cạnh chung (E ∩ E’=∅) G ∪ G’là đồ thị đầy đủ Dễ thấy G’ bù G G bù G’ Khi ta nói hai đồ thị bù Thí dụ 16: x x G1 x y x y u v u v v y u z G’ G G 1’ Hai đồ thị G’ G bù hai đồ thị G1 G1’ bù v y u z G1 3.6 TÍNH LIÊN THÔNG 3.6.1 Định nghĩa: Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, với n số nguyên dương, đồ thị (giả đồ thị vô hướng đa đồ thị có hướng) G=(V,E) dãy cạnh (hoặc cung) e1, e2, , en đồ thị cho e1=(x0,x1),e2=(x1,x2), ,en=(xn-1,xn), với x0=u xn=v Khi đồ thị khơng có cạnh (hoặc cung) bội, ta ký hiệu đường 47 dãy đỉnh x0, x1, , xn Đường gọi chu trình bắt đầu kết thúc đỉnh Đường chu trình gọi đơn khơng chứa cạnh (hoặc cung) q lần Một đường chu trình khơng qua đỉnh lần (trừ đỉnh đầu đỉnh cuối chu trình trùng nhau) gọi đường chu trình sơ cấp Rõ ràng đường (t.ư chu trình) sơ cấp đường (t.ư chu trình) đơn Thí dụ 17: x y z w v u Trong đơn đồ thị trên, x, y, z, w, v, y đường đơn (không sơ cấp) độ dài 5; x, w, v, z, y khơng đường (v, z) khơng cạnh; y, z, w, x, v, u, y chu trình sơ cấp độ dài 3.6.2 Định nghĩa: Một đồ thị (vơ hướng) gọi liên thơng có đường cặp đỉnh phân biệt đồ thị Một đồ thị không liên thông hợp hai hay nhiều đồ thị liên thông, cặp đồ thị khơng có đỉnh chung Các đồ thị liên thông rời gọi thành phần liên thông đồ thị xét Như vậy, đồ thị liên thông có thành phần liên thơng Thí dụ 18: x y z a b g v w d c h k u t i l G G’ Đồ thị G liên thông, đồ thị G’ khơng liên thơng có thành phần liên thông 3.6.3 Định nghĩa: Một đỉnh đồ thị G mà xố tất cạnh liên thuộc với ta nhận đồ thị có nhiều thành phần liên thơng đồ thị G gọi đỉnh cắt hay điểm khớp Việc xoá đỉnh cắt khỏi đồ thị liên thông tạo đồ thị không liên thơng Hồn tồn tương tự, cạnh mà ta bỏ tạo đồ thị có nhiều thành phần liên thông so với đồ thị xuất phát gọi cạnh cắt cầu Thí dụ 19: x y z u v w s 48 t Trong đồ thị trên, đỉnh cắt v, w, s cầu (x,v), (w,s) 3.6.4 Mệnh đề: Giữa cặp đỉnh phân biệt đồ thị liên thơng ln có đường sơ cấp Chứng minh: Giả sử u v hai đỉnh phân biệt đồ thị liên thơng G Vì G liên thơng nên có đường u v Gọi x0, x1, , xn, với x0=u xn=v, dãy đỉnh đường có độ dài ngắn Đây đường sơ cấp cần tìm Thật vậy, giả sử khơng đường đơn, xi=xj với ≤ i < j Điều có nghĩa đỉnh u v có đường ngắn qua đỉnh x0, x1, , xi-1, xj, , xn nhận cách xoá cạnh tương ứng với dãy đỉnh xi, , xj-1 3.6.5 Mệnh đề: Mọi đơn đồ thị n đỉnh (n ≥ 2) có tổng bậc hai đỉnh tuỳ ý không nhỏ n đồ thị liên thông Chứng minh: Cho đơn đồ thị G=(V,E) có n đỉnh (n ≥ 2) thoả mãn yêu cầu toán Giả sử G không liên thông, tức tồn hai đỉnh u v cho khơng có đường nối u v Khi đồ thị G tồn hai thành phần liên thơng G1 có n1 đỉnh chứa u, G2 chứa đỉnh v có n2 đỉnh Vì G1, G2 hai số thành phần liên thông G nên n1+n2 ≤ n ta có: deg(u)+deg(v) ≤ (n1 −1)+(n2 − 1) = n1+n2−2 ≤ n−2 1 (*) Nếu ta thay Gi Gj đồ thị đầy đủ với ni+1 nj−1 đỉnh tổng số đỉnh không thay đổi số cạnh tăng thêm lượng là: ⎡ (ni + 1)ni ni (ni − 1) ⎤ ⎡ n j (n j − 1) (n j − 1)(n j − 2) ⎤ − − ⎥ = ni − n j + ⎥−⎢ ⎢ 2 2 ⎦ ⎣ ⎣ ⎦ Thủ tục lặp lại hai thành phần có số đỉnh thoả (*) Vì m1 lớn (n, k cố định) đồ thị gồm k-1 đỉnh cô lập đồ thị đầy đủ với n-k+1 đỉnh Từ suy bất đẳng thức cần tìm 3.6.10 Định nghĩa: Đồ thị có hướng G gọi liên thông mạnh với hai đỉnh phân biệt u v G có đường từ u tới v đường từ v tới u Đồ thị có hướng G gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng liên thơng Đồ thị có hướng G gọi liên thông chiều với hai đỉnh phân biệt u v G có đường từ u tới v đường từ v tới u Thí dụ 20: u v w u v w x y s x t y G s t G’ 50 Đồ thị G liên thông mạnh đồ thị G’ liên thông yếu (khơng có đường từ u tới x từ x tới u) 3.6.11 Mệnh đề: Cho G đồ thị (vơ hướng có hướng) với ma trận liền kề A theo thứ tự đỉnh v1, v2, , Khi số đường khác độ dài r từ vi tới vj r số nguyên dương, giá trị phần tử dòng i cột j ma trận Ar Chứng minh: Ta chứng minh mệnh đề quy nạp theo r Số đường khác độ dài từ vi tới vj số cạnh (hoặc cung) từ vi tới vj, phần tử dòng i cột j ma trận A; nghĩa là, mệnh đề r=1 Giả sử mệnh đề đến r; nghĩa là, phần tử dòng i cột j Ar số đường khác độ dài r từ vi tới vj Vì Ar+1=Ar.A nên phần tử dòng i cột j Ar+1 bi1a1j+bi2a2j+ +binanj, bik phần tử dịng i cột k Ar Theo giả thiết quy nạp bik số đường khác độ dài r từ vi tới vk Đường độ dài r+1 từ vi tới vj tạo nên từ đường độ dài r từ vi tới đỉnh trung gian vk cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj Theo quy tắc nhân số đường tích số đường độ dài r từ vi tới vk, tức bik, số cạnh (hoặc cung) từ vk tới vj, tức akj Cộng tích lại theo tất đỉnh trung gian vk ta có mệnh đề đến r+1 BÀI TẬP CHƯƠNG III: Cho G đồ thị có v đỉnh e cạnh, M, m tương ứng bậc lớn nhỏ đỉnh G Chứng tỏ m≤ 2e ≤ M v Chứng minh G đơn đồ thị phân đơi có v đỉnh e cạnh, e ≤ v2/4 Trongmột phương án mạng kiểu lưới kết nối n=m2 xử lý song song, xử lý P(i,j) kết nối với xử lý (P(i±1) mod m, j), P(i, (j±1) mod m), cho kết nối bao xung quanh cạnh lưới Hãy vẽ mạng kiểu lưới có 16 xử lý theo phương án Hãy vẽ đồ thị vô hướng biểu diễn ma trận liền kề sau: ⎛1 ⎛1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ a) ⎜ 4⎟ , b) ⎜⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0⎠ ⎝1 ⎛0 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜1 0⎟ , c) ⎜ ⎜ 1⎟ ⎟ ⎜0 0⎠ ⎜ ⎝4 4⎞ ⎟ 0⎟ 1 1⎟ ⎟ 0 2⎟ ⎟ 3⎠ 51 Nêu ý nghĩa tổng phần tử hàng (t.ư cột) ma trận liền kề đồ thị vơ hướng ? Đối với đồ thị có hướng ? Tìm ma trận liền kề cho đồ thị sau: a) Kn , b) Cn, c) Wn , d) Km,n , e) Qn Có đơn đồ thị không đẳng cấu với n đỉnh khi: a) n=2, b) n=3, c) n=4 Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau có đẳng cấu không? ⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎜1 0 1⎟ ⎜ 0 ⎟ , ⎜1 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 1 1 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Hai đơn đồ thị với ma trận liền kề sau có đẳng cấu không? ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 0 0⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜0 1 , 0 1 ⎟ ⎜1 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟⎠ ⎜⎝1 10 Các đồ thị G G’ sau có đẳng cấu với không? a) u1 v1 v2 1⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ ⎟⎠ u2 v5 u3 v6 u4 b) u1 v4 u6 u5 u2 u3 v3 v1 v2 v6 u4 u5 u6 v3 v5 v4 11 Cho V={2,3,4,5,6,7,8} E tập hợp cặp phần tử (u,v) V cho u