Dạng Tiếp cận với khai triển nhị thức newton Câu Câu Câu (THPT CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ - HỊA BÌNH - 2018) Số số hạng khai triển 50 ( x + 2) 49 50 52 51 A B C D Lời giải n + = 50 + = 51 Số số hạng khai triển là: (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Có số hạng khai triển nhị 2018 ( x − 3) thức 2019 2017 2018 2020 A B C D Lời giải n 2018 ( a + b) ( x − 3) n +1 Trong khai triển nhị thức số số hạng nên khai triển có 2019 số hạng (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn ( x − y) x − x y + 10 x y − 10 x y + xy − y x − x y − 10 x3 y − 10 x y − xy + y A B 2 5 2 x + x y + 10 x y + 10 x y + xy + y x + x y − 10 x y + 10 x y − xy + y C D Lời giải Ta có: ( x − y) Hay Câu Câu 5 =  x + ( − y )  = C50 x + C51 x ( − y ) + C52 x3 ( − y ) + C53 x ( − y ) + C54 x1 ( − y ) + C55 ( − y ) ( x − y) 5 = x5 − x y + 10 x y − 10 x y + xy − y (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Trong khai triển nhị thức Niu-tơn (3 − x) 2019 có số hạng? 2019 2018 2020 2021 A B C D Lời giải Chọn C ( a + b) n n +1 Ta có: Khai triển nhị thức Niu-tơn có số hạng 2019 (3 − x) 2020 Vậy khai triển nhị thức Niu-tơn có số hạng ( x + 1) 10 Từ khai triển biểu thức thành đa thức Tổng hệ số đa thức 512 1023 1024 2048 A B C D Lời giải Chọn C f ( x) = ( x + 1) 10 k =0 Xét khai triển Gọi Câu S tổng hệ số khai triển ta có S = f (1) = ( + 1) 10 = 210 = 1024 (Lương Thế Vinh - Kiểm tra HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Từ khai triển biểu thức 10 ( x + 1) thành đa thức Tổng hệ số đa thức 512 1023 1024 2048 A B C D Lời giải Chọn C f ( x) = ( x + 1) Xét khai triển Gọi Câu 10 = ∑ C10k x k S 10 10 = ∑ C10k x k k =0 tổng hệ số khai triển ta có S = f (1) = ( + 1) 10 = 210 = 1024 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - GIA LAI - LẦN - 2018) Tính tổng hệ số 2018 ( − 2x ) khai triển −2018 2018 −1 A B C D Lời giải 2018 (1 − 2x) 2018 = C2018 − x.C2018 + ( −2 x) C2018 + ( −2 x)3 C2018 + + ( −2 x) 2018 C2018 Xét khai triển Tổng hệ số khai triển là: 2 3 2018 2018 S = C2018 − 2.C2018 + (−2) C2018 + (−2) C2018 + + (−2) C2018 x =1 (1 − 2.1) 2018 = C2018 − 2.1.C2018 + (−2.1) C2018 + ( −2.1) 3.C32018 + + ( −2.1) 2018.C 2018 2018 Cho ta có: 2018 ⇔ ( −1) = S ⇔ S =1 Câu (THPT TRẦN NHÂN TÔNG - QN - LẦN - 2018) Khai triển số hạng hữu tỉ khai triển trên? 30 31 32 A B C ( − 7)124 D 33 Có Lời giải 124 124 − k k ( − 7)124 = ∑ C124 ( −1) Ta có k k k =0 Số hạng hữu tỉ khai triển tương ứng với 124 − k  ∈ ¢  k ∈¢ ⇔ k ∈ { 0; 4;8;12; ;124}  Vậy số giá trị Câu k là: 124 − + = 32 (LƯƠNG TÀI BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Trong khai triển nhị thức newton P ( x) = ( x + 3) 2018 thành đa thức,có tất có số hạng có hệ số nguyên dương? A 673 B 675 C 674 D 672 Lời giải Chọn A P ( x) = ( x + 3) 2018 2018 =∑ k =0 ( Để hệ số nguyên dương 2x ) 2018 − k 2018− k 3k x 2018−k ( 2018 − k ) M3 ⇔ 2018 − k = 3t ⇔ k = 2018 − 3t ta có 2018 ≈ 672, ,do ≤ k ≤ 2018 20 k = ∑ C20 ( −2 ) x k , 20 k =0 Ta có Vậy k nên t=0,1,2….672 nên có 673 giá trị (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Trong khai 20 20 ( − x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x a0 − a1 + a2 Giá trị A 801 B 800 C D 721 Lời giải Chọn A ( − 2x) Câu 11 2018 = ∑2 k k =0 ≤ 2018 − 3t ≤ 2018 ⇔ ≤ t ≤ Câu 10 triển 2 ⇒ a0 = C200 , a1 = −2.C20 , a2 = ( −2 ) C20 = 4C20 ( k∈Z) 2 a0 − a1 + a2 = C20 + 2C20 + 4C20 = 801 (Chuyên Lê Thánh Tơng-Quảng Nam-2018-2019) Có số hạng số ngun ( 3+ 5 khai triển biểu thức 136 403 A B ) 2019 ? 135 C Lời giải D 134 Chọn C ( Ta có 3+ 5 ) 2019 2019 k = ∑ C2019 k =0 ( ) 3 2019 − k ( ) 5 Để khai triển có số hạng số ngun k 2019 k = ∑ C2019 k =0 2019 − k k 5 k ∈ ¥ k ∈ ¥ 0 ≤ k ≤ 2019 0 ≤ k ≤ 2019    2019 − k  k  ∈ ¥ ⇔ 673 − ∈ ¥ 3   k k  ∈¥  ∈¥ 5 5 k ∈ ¥  ⇔ 0 ≤ k ≤ 2019 k M  15 kM 15 ⇒ k = 15m ≤ k ≤ 2019 ⇔ ≤ 15m ≤ 2019 ⇔ ≤ m ≤ 134, Ta có mà hạng số nguyên khai triển biểu thức Suy có 135 số 2019 Câu 12 1  151 13  x y +x y ÷   (Gia Bình I Bắc Ninh - L3 - 2018) Trong khai triển y x thừa số hạng thứ khai triển? 1348 1346 1345 A B C Lời giải Chọn D 2019 − k Ta có số hạng thứ Theo đề ta có; k +1 C k 2019  151 13  x y ÷   D , số hạng mà lũy 1347 k  13 51  2019 2019 + k − k x y ÷ k 15 15 15 = C x y   2019 : 2019 2019 + k= − k⇔ k = 1346 15 15 15 Vậy số hạng thỏa yêu cầu toán số hạng thứ 1347 Câu15 (THPT Yên Dũng - Bắc Giang lần 1- 18-19) Cho khai triển 20 (2 x − 1) = a0 + a1 x + a2 x + + a20 x 20 a1 Tìm A 20 B 40 C -40 D -760 Lời giải Chọn C a1 x Ta có: hệ số 19 −C20 x ⇒ a1 = −40 Hạng tử chứa x khai triển là: ( − 2x ) 20 = a0 + a1 x + a2 x + L + a20 x20 Câu 13 (SGD&ĐT BẮC NINH - 2018) Cho khai triển a0 + a1 + a2 + L + a20 bằng: 320 A B C Lời giải 20 ( − 2x ) = a0 + a1 x + a2 x + L + a20 x20 ( 1) 20 a0 + a1 + a2 + L + a20 = ( −1) = ( 1) x =1 Thay vào ta có: D −1 Giá trị Dạng Tìm hệ số, số hạng khai triển nhị thức newton Dạng 2.1 Khai triển biểu thức Dạng 2.1.1 Bài tốn tìm hệ số số hạng Câu 14 (Chuyên Thái Bình lần - 2018-2019) Hệ số số hạng chứa x7 khai triển nhị thức 12   x− ÷ x x  A 376 (với x>0 ) là: B −264 264 C Lời giải D 260 Chọn C 12 Số hạng tổng quát khai triển   x− ÷ x x  (với x>0 ) k   3k 5k Tk +1 = C12k x12− k  − ÷ = ( −2 ) k C k x12 − k x − = ( −2 ) k C k x12− 12 12  x x Số hạng chứa x 12 − suy Vậy hệ số số hạng chứa Câu 15 Câu 16 x7 5k =7⇔k =2 = ( −2 ) C122 = 264 khai triển x7 (HKI CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG 2018-2019) Tìm hệ số số hạng chứa khai 13 1  x+ ÷ x  x≠0 triển nhị thức , (với ) 1716 68 −176 286 A B C D Lời giải Chọn D 13 1  x+ ÷ x  Số hạng tổng quát khai triển nhị thức k 1 Tk +1 = C13k x13− k  ÷ = C13k x13− k  x Tk +1 x ⇔ 13 − 2k = ⇔ k = chứa 13 1  x+ ÷ C133 = 286 x  x7 Vậy hệ số số hạng chứa khai triển nhị thức bằng: (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Hệ số 40   x+ ÷ ,x ≠ x   x 31 khai triển A C404 B C402 C40 C Lời giải D C40 Chọn C 40 40 40   k 40 − k −2 k x + = C x x = C40k x 40−3k ∑ ∑ 40  ÷ x   k =0 k =0 Theo giả thiết: Vậy hệ số Câu 17 40 − 3k = 31 ⇒ k = x 31 C = 9880 40 (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Hệ số lớn khai triển 1  + x  ÷ 4  A 27 128 B 32 C Lời giải 27 32 D 27 64 Chọn D 4 −k k 1   3 k 1  + x ÷ = ∑ C4  ÷  ÷  4  k =0 4 4 Ta có 27 27 81 = + x+ x + x + x 256 64 128 64 256 Vậy hệ số lớn khai triển Câu 18 27 64 x2 (HKI-Chu Văn An-2017) Cho biết hệ số khai triển n =8 n = 12 n = 14 A B C ( 1+ 2x) n D n = 10 180 Lời giải Chọn D Tk +1 = Cnk 2k x k Ta có: x 180 Hệ số khai triển Cn2 22 = 180 ⇔ Câu 19  n = 10 n! 22 = 180 ⇔ n ( n − 1) = 90 ⇔ n − n − 90 = ⇔  ( n − )  n = −9 ( l ) (HKI-Chu Văn An-2017) Tìm hệ số 90 720 A B x7 khai triển 120 C Lời giải Chọn D Số hạng tổng quát là: Tk +1 = C10k x k ( + x) 10 D 45 Tìm n Số hạng chứa x7 ( + x) 10 nên hệ số 45 h x5 Câu 20 (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Tìm hệ số số hạng chứa khai  2 x + ÷ x  triển h = 84 h = 672 h = 560 h = 280 A B C D Lời giải Chọn D 7−k 7  2 k k 2 k − k 3k −7  x + ÷ = ∑ C7 ( x )  ÷ = ∑ C7 x x  k =0  x k =0 Ta có: k 3k − = k = Cần tìm cho , suy  2 x + ÷ h = C74 23 = 280 x  h x5 Vậy hệ số số hạng chứa khai triển Câu 21 khai triển là: T8 = C108 x x6 (HKI-Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2017-2018) Hệ số số hạng chứa khai triển 15   x− ÷ x   Newton −3640 3640 −1863680 A B C 455 D Lời giải Chọn A 15 k 15 15   15 k 15− k k k 15 −3k  k 15− k  −2 k k  x − ÷ = ∑ C15 x  − ÷ =∑ C15 x ( −2 ) ( x ) = ∑ C15 ( −2 ) x x    x  k =0 k =0 k =0 Tk +1 = C15k ( −2 ) x15−3k k Số hạng tổng quát khái triển x 15 − 3k = ⇔ k = x6 Số số hạng chứa : Hệ số số hạng chứa k k C15 ( −2 ) = C15 ( −2 ) = −3640 Câu 22 (Lương Thế Vinh - Kiểm tra HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tìm hệ số khai triển A 58690 (x + xy ) 15 B 4004 C 3003 Lời giải Chọn C C15k ( x3 ) 15− k D 5005 ( xy ) = C15k x 45− k y k , k Số hạng tổng quát khai triển đã cho x 25 y10 ≤ k ≤ 15 k ∈ ¥ k = 10 với , Số hạng chứa (thỏa mãn) Vậy hệ số x 25 y10 khai triển (x + xy ) 15 C1510 = 3003 x 25 y10 Câu 23 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x3 số hạng chứa khai triển 80 160 240 A B C Lời giải: Chọn D Ta có: Số hạng chứa với D 60 x>0 Tìm hệ số k 3k 6 6−   k 6−k   k k x+ ÷ = ∑ C6 x  ÷ = ∑ C6 x x x   k =0   k =0 x   x+ ÷ x  6− ứng với 3k = 3⇒ k = 2 Vậy hệ số số hạng chứa x3 22.C62 = 60 Câu 24 (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Cho khai triển x3 số hạng chứa khai triển 80 160 240 A B C Lời giải: Chọn D Ta có: Số hạng chứa Câu 25 D x>0 với 60 Tìm hệ số k 3k 6 6−   k 6−k   k k x+ ÷ = ∑ C6 x  ÷ = ∑ C6 x x x   k =0   k =0 x   x+ ÷ x  6− ứng với 3k = 3⇒ k = 2 Vậy hệ số số hạng chứa x3 22.C62 = 60 (Lương Thế Vinh - Kiểm tra HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Biết hệ số n ( − 3x ) n 90 khai triển Tìm n=7 n=6 n =8 n=5 A B C D Lời giải Chọn D n k Tk +1 = Cnk ( −3) x k ( − 3x ) k +1 Số hạng thứ khai triển là: x k =2 Số hạng chứa ứng với 2 Cn ( −3) = 90 ⇔ Cn = 10 n ≥ n∈¥ Ta có: (với ; ) n = n! ⇔ ⇔ = 10 ⇔ n ( n − 1) = 20 2!( n − ) !  n = −4 ( L ) n=5 Vậy x2 Dạng 2.1.2 Bài tốn tìm số hạng thứ k Câu 26 13 (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Số hạng thứ khai triển 15 ( − x) bằng? 3640x13 3640x12 −420x12 3640 A B C D Lời giải Chọn B ( − x) 15 = ∑ C15k 215−k ( − x ) 15 k =0 Ta có Số hạng thứ k 13 12 15−12 k = 12 ⇒ C15 ( − x ) khai triển tương ứng với 12 = 3640 x12 Câu 27 Câu 28   x− ÷ 2x   (DHSP HÀ NỘI HKI 2017-2018) Tìm số hạng chứa x khai triển 1 3 − C93 x C9 ×x −C93 ×x C93 x3 8 A B C D Lời giải Chọn A k k   9− k 9−k  k Tk +1 = C9 x ì ữ = C9 ì ữ x 2x k +1 Số hạng thứ khai triển là: k − 2k = ⇔ k = x Số hạng chứa có giá trị thỏa mãn: 3 − C9 x x3 Vậy số hạng chứa khai triển là: (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Tìm số hạng chứa x7 khai triển 13 1  x− ÷ x  A −C 13 B −C133 x −C134 x C Lời giải Chọn B Ta có cơng thức số hạng tổng quát: k k k  1 Tk +1 = C13k x13− k  − ÷ = C13k x13−k ( −1) x − k = C13k ( −1) x13− k  x Số hạng chứa x7 Vậy số hạng chứa x 13 − 2k = ⇔ k = khai triển −C x 13 D −C134 Câu 29 x 31 (TRƯỜNG THPT THANH THỦY 2018 -2019) Tìm số hạng chứa khai triển 40   x+ ÷ x   ? 37 31 37 31 31 31 - C 40 x C 40 x C 40 x C 40x B C D A Lời giải Chọn D 40 Ta có khai triển: 40 40 k   k 40 − k −2 k 40 −3 k x + = C x x = C40 x ( ) ∑ ∑ 40  ÷ x   k =0 k =0 Số hạng tổng quát khai triển: Số hạng chứa x 31 Vậy số hạng chứa Câu 30 Câu 31 ứng với: x 31 là: k 40 − 3k C40 x 40 − 3k = 31 ⇔ k = 3 31 C40 x (Lương Thế Vinh - Kiểm tra HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Số hạng chứa 40 1  x+ ÷ x  khai triển 37 34 34 34 34 −C40 x C40 x C40 x C40 x A B C D Lời giải Chọn B 40 1  x+ ÷ x  k +1 Số hạng thứ khai triển là: k k 40 − k   k 40 − k − k ak +1 = C40 x  ÷ = C40 x x = C40k x 40 − k x   40 1  x+ ÷ 34 x  x 40 − 2k = 34 ⇔ k = Số hạng chứa khai triển tương ứng với: 40 1  34 x+ ÷ 34 C40 x x  x Vậy số hạng chứa khai triển là: (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Biết hệ số số hạng chứa n ( 1+ 4x) n 3040 triển Số tự nhiên bao nhiêu? 28 26 20 24 A B C D Lời giải Chọn D 10 x2 x 34 trong khai Câu 91 (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN - 2018) Tìm hệ số x3 sau khai triển rút gọn 1 2  − x + 2x ÷ x  x≠0 đơn thức đồng dạng , −2940 3210 2940 −3210 A B C D Lời giải Ta có 9 9−k 9 k k 1 1  k − i i k + i −9 2 k 1 k i k  − x + x ÷ =  + x ( x − 1)  = ∑ C9  ÷ x ( x − 1) = ∑∑ Ck C9 ( −1) x x  x  k =0  x  k = i =0 2k + i − = ⇔ 2k + i = 12 ≤ i ≤ k ≤ i, k ∈ ¥ Theo u cầu tốn ta có ; ; ( i; k ) ( 0;6 ) , ( 2;5) , ( 4; ) Ta có cặp thỏa mãn là: 6−0 5− 4−4 C6 C9 ( −1) + C5 C9 ( −1) 22 + C44C94 ( −1) 24 = −2940 x3 Từ hệ số : Câu 92 (THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ - LẦN - 2018) Hệ số số hạng chứa x7 khai triển −6432 A (x (x − 3x + ) = ( x − 1) − 3x + ) −4032 B ( x − 2) Số hạng tổng quát khai triển 12 −i − k −i = C6k C6i x i + k ( −1) ( 2) i =1⇒ k = ⇒ i =2⇒k =5 ⇒ i =3⇒ k = ⇒ i =4⇒k =3 ⇒ i =5⇒k = ⇒ D −5418 Số hạng tổng quát khai triển Số hạng chứa −1632 Lời giải Số hạng tổng quát khai triển x7 C ứng với hệ số ( x − 1) (x C6i xi ( −2 ) −i với − 3x + ) = ( x − 1) 6 = C65C62 ( −1) ( ) = −1440 = C64C63 ( −1) ( ) = −2400 = C63C64 ( −1) ( ) = −1200 = C62C65 ( −1) ( ) = −180 hệ 6−k với k = 0;1; ;6 i = 0;1; ; ( x − 2) 37 C x ( −1) k k Kết hợp với điều kiện ta nghiệm 5 = C C ( −1) ( ) = −192 6 hệ số C6k x k ( −1) i+k =7 hệ ( x − 2) hệ số 6− k C6i xi ( −2 ) −i = C61C66 ( −1) ( ) = −6 i = ⇒ k =1 ⇒ hệ số Vậy hệ số số hạng chứa Cách (x x7 khai triển − x + ) = ( x + ( −3 x + ) ) (x − 3x + ) −5418 C6k ( x ) 6− k ( −3x + ) k k = 0;1; ; Số hạng tổng quát khai triển với k i i k −i Ck ( −3 x ) ( −3x + ) 0≤i≤k Số hạng tổng quát khai triển với Số hạng tổng quát khai triển i = C6k Cki 2k −i ( −3) ( x12 −2 k +i ) x7 Số hạng chứa nghiệm (x − 3x + ) C6k ( x ) 12 − 2k + i = ⇔ 2k − i = ứng với i Kết hợp với điều kiện ta = C63C31 22 ( −3) = −720 hệ số k =4⇒i =3 ⇒ k =5⇒i =5 ⇒ = C64C43 ( −3) ( ) = −3240 hệ số = C65C55 ( ) ( −3) = −1458 hệ số Vậy hệ số số hạng chứa x khai triển (x − 3x + ) Câu 93 (SGD&ĐT HÀ NỘI - 2018) Tìm hệ số số hạng chứa 582 1902 7752 A B C Lời giải Ta có: Cki 2k −i ( −3x ) k = 3⇒ i =1 ⇒ (1+ x + x 6−k +x ) 10 Hệ số số hạng chứa = ( 1+ x x5 nên ) ( 1+ x) 10 2k + i = 10 10 10 x5 −5418 khai triển D 10 10 (1+ x + x 252 = ∑ C x ∑ C x = ∑∑ C10k C10i x k + i k =0 k 10 2k i =0 i 10 i k =0 i= C100 C105 k =0 i=5 x5 Trường hợp 1: , nên hệ số chứa C10 C10 k =1 i = x5 Trường hợp 2: , nên hệ số chứa C10 C10 k = i =1 x Trường hợp 3: , nên hệ số chứa C10 C10 + C10 C10 + C10 C101 = 1902 x5 Vậy hệ số số hạng chứa 38 + x3 ) 10 Câu 94 (THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG - HÀ TĨNH - LẦN - 2018) Cho 3C + 4C + 5C + + (n + 3)C = 3840 n n n (1 + x − x + x ) n n A số tự nhiên thỏa mãn Tổng tất hệ số số hạng khai triển n 10 n 49 B 210 C Lời giải D 29 3Cn0 + 4Cn1 + 5Cn2 + + (n + 3)Cnn = 3840 ⇔ ( + 3) Cn0 + ( + 3) Cn1 + ( + 3) Cn2 + + ( n + 3) Cnn = 3840 ⇔ ( Cn1 + 2Cn2 + + nCnn ) + ( Cn0 + C n1 + Cn2 + + Cnn ) = 3840 ⇔ n.2 n −1 + 3.2n = 3840 ⇔ n = 9 x = ⇒ (1 + x − x + x ) = ( + − + ) = Cho Câu 95 (THPT (1+ x + x CHUYÊN ) 10 11 + x + + x VĨNH PHÚC - LẦN - 2018) Giả sử = a0 + a1 x + a2 x + a3 x + + a110 x110 a0 a1 a2 a110 với , , ,…, hệ 10 11 T = C11a11 − C11a10 + C11a9 − C11a8 + + C11 a1 − C11 a0 số Giá trị tổng T =0 T = −11 T = 11 T =1 A B C D Lời giải A = ( + x + x + x + + x10 ) ⇔ ( − x ) A = ( − x11 ) 11 Ta có: 11 110 11 11 11 ⇔ ∑ C11k ( − x ) ∑ x i = ∑ C11m ( − x11 ) k =0 =0 44 i4 43 m1=044 43 k P Hệ số x11 Q P Q 11 x là: Hệ số là: T = −C11 = −11 Vậy Dạng 2.2.2 Tổng Câu 96 m ( a1 + b1 ) n C a − C a + C112 a9 − C113 a8 + + C1110 a1 − C1111a0 = T 11 11 11 10 −C111 + ( a2 + b2 ) + + ( ak + bk ) m h (CHUYÊN THÁI BÌNH LẦN 1_2018-2019) Sau khai triển rút gọn 18  1 12 P ( x) = (1 + x) +  x + ÷ x  có tất số hạng 27 28 30 25 A B C D Lời giải Chọn A 39 18 Đặt A = ( 1+ x) 12 ; 1  B =  x2 + ÷ x  A = ( 1+ x) 12 12 = ∑ C12k x k k= Ta có khai triển có 13 số hạng 18 Và khai triển 18 1  B =  x + ÷ = ∑ C18l x 36−3l x  l =0 có 19 số hạng Ta tìm số hạng có lũy thừa, mà giản ước khai triển 36 − 3l = k ⇔ k + 3l = 36 (1) P ( x) , ta phải có : (k; l) = {(0;12), (3;11), (6;10), (9;9), (12;8)} Phương trình (1) cho ta ta cặp nghiệm thỏa mãn tương ứng với số hạng P( x) 13 + 19 − = 27 Vậy sau khai triển rút gọn ta có số hạng P ( x ) = ( x − 2) 2017 Câu 97 (PTNK CƠ SỞ 2-TPHCM-LẦN1- 2018) Cho đa thức = a2018 x 2018 + a2017 x 2017 + + a1 x + a0 S = a2018 + a2017 + + a1 + a0 Khi 2018 2017 A B C D Lời giải P ( x ) = a2018 x 2018 + a2017 x 2017 + + a1 x + a0 Ta có 2017 2018 + ( − 2.1) =0 x = ⇒ P ( 1) = a2018 + a2017 + + a1 + a0 = ( − ) Cho + ( − 2x) 2018 Câu 98 (THPT LÝ THÁI TỔ - BẮC NINH - 2018) Sau khai triển rút gọn biểu thức 12 21 3  1  f ( x ) =  x + ÷ +  x3 + ÷ x  x   A 30 B 32 12 f ( x) có số hạng? 29 C Lời giải D 35 k 12 12  3 k 12 − k   k k 24 −3 k x + = C x  ÷ ∑ 12 ( )  ÷ = ∑ C12 x x  x k =0 k =0 21 k 21 21  1 k 21− k   k 21− k 63−5 k 2x + = C x = ( ) ∑ 21   ÷ ∑ C21 x ÷ x x     k =0 k =0 Ta cho k chạy từ đến 12 số mũ x không 12 Với khai triển  3 x + ÷ x  tổng số hạng là: 35 21 ta có 13 số hạng; Với khai triển 40    2x + ÷ x   ta có 22 số hạng Vậy Câu 99 x5 (THPT NGUYỄN HUỆ - TT HUẾ - 2018) Tìm hệ số khai triển 12 P ( x ) = ( x + 1) + ( x + 1) + + ( x + 1) 1716 1715 1287 1711 A B C D Lời giải ( x + 1) Xét nhị thức Hệ số Hệ số Hệ số x5 x5 x5 trong x Vậy hệ số n = ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ x) ( 1+ x) 12 n có số hạng tổng quát C65 C là C125 khai triển P ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a12 x 720 P ( x) C65 + C75 + + C125 = 1715 Ta có 12 ( 1+ x) B Ta có: Câu 100 (CHUYÊN BẮC NINH LẦN 10 11 12 P ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) A Cnk x k 700 Tìm hệ số a8 - 2018) = C80 + C81 x + + C88 x8 đa thức: Khai triển rút gọn ta đa thức: 715 C Lời giải Cho x8 D 730 C88 suy hệ số chứa 9 ( + x ) = C + C x + + C x + C9 x C98 x8 Lại có suy hệ số 10 C10 ( 1+ x) x8 Tương tự khai triển có hệ số 11 ( 1+ x) x8 C11 có hệ số 12 C12 ( 1+ x) x8 có hệ số P ( x) a8 = C88 + C98 + C108 + C118 + C128 = 715 x8 Suy hệ số Câu 101 9 8 (CHUYÊN BẮC NINH LẦN 2018) Cho đa thức 10 11 12 P ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) Khai triển rút gọn ta đa thức 12 P ( x ) = a0 + a1 x + + a12 x i = 0; 1; 2; ; 12 Tính tổng hệ số , 7936 7920 A B C D Lời giải Ta có 10 11 12 P ( x) = ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) + ( 1+ x) 41 Áp dụng khai triển n ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n Cho x =1 , ta có C + C + C + + Cnn = 2n n n n P ( x) Do ta có tổng hệ số là: 10 11 12 S = + + + + = ( + + + + 16 ) = 31.28 = 7936 ( a1 + + an ) ( b1 + + bn ) m Dạng 2.2.3 Tích l Câu 102 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN - 2018) Tìm hệ số số hạng chứa 11 ( + 2x ) ( + x ) triển nhị thức Newton 4620 1380 9405 2890 A B C D Lời giải ( 1+ 2x) ( + x) 11 = ( + x) + 2x ( + x) 11 x9 khai 11 11 11 k =0 k =0 = ∑ C11k 311−k x k + x ∑ C11k 311−k x k 11 11 k =0 k =0 = ∑ C11k 311− k x k + ∑ C11k 2.311− k.x k +1 C119 32 + C118 2.33 = 9045 x9 Suy hệ số triển khai nhị thức là: Câu 103 (THPT CHUYÊN THĂNG LONG - ĐÀ ( + 2x) A 10 ( + 4x + 4x ) 2 482496 ( 1+ 2x) Do 2 A C14 triển x6 khai triển 1 ÷ 4 khai Tìm giá trị 278016 453504 C D Lời giải 10   =  ∑ C10k 2k x k ÷ ( 16 x + 32 x3 + 40 x + 24 x + )  k =0  Câu 104 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ - THÁNG - 2018) Hệ số  Cho a6 a6 = C102 22.16 + C103 23.32 + C104 24.40 + C105 25.24 + C106 26.9 = 482496 ( x + 1)  x + x + 2018) 529536 ( + 4x + 4x ) Ta có: - = a0 x + a1 x + a2 x + K + a14 x14 B 10 LẠT thành đa thức C14 B C146 C Lời giải 42 D 4C148 n ( x + 1) = ( 1+ 2x) = ∑ n C6k 16−k ( 2x) k = k =0 Xét khai triển 8 1  1 1    x + x + ÷ =  x + ÷ =  + x÷ = 4  2    6 ( x + 1)  x + x + ÷ = 4  Số hạng khai triển chứa Xét bảng: ∑ j =0 x6 8− j 1 C 8j  ÷  2 ∑ C6k 2k x k k =0 Vậy C8J j =0 x Vậy hệ số khai triển Dạng 2.2.4 Dạng kết hợp tích tổng xj 8− j 1  ÷ 2 n j x = ∑ ∑ C6k 2k k =0 C8J j =0 8− j 1  ÷ 2 x j +k j+k =6 6 k k k k =0 n ∑ ∑C x ( x + 1)  x + x + ÷ 4  thành đa thức 3003 = C14 4 x5 Câu 105 (MĐ 103 BGD&ĐT NĂM 2017-2018) Hệ số khai triển biểu thức x ( x − 1) + ( x − 3) 1752 −1272 1272 −1752 A B C D Lời giải Chọn B x ( x − 1) C64 24 ( −1) = 240 x5 Hệ số khai triển biểu thức ( x − 3) C8 ( −3) = −1512 x5 Hệ số khai triển biểu thức x ( x − 1) + ( x − 3) x5 240 − 1512 = −1272 Suy hệ số khai triển biểu thức Câu 106 (Mã đề 102 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số khai triển −3007 −577 3007 A B C Lời giải Chọn B x ( x − 1) + ( x − 1) = x ∑ C6k ( 3x ) k =0 k ( −1) 6− k + ∑ C8m ( x ) m =0 43 x ( x − 1) + ( x − 1) x5 m ( −1) 8−k D 577 = ∑ C6k 3k ( −1) 6− k k =0 x k +1 + ∑ C8m 2m ( −1) 8− k xm m =0 k =4 m=5 ứng với ; 4 C6 ( −1) + C85 25 ( −1) = −577 Hệ số cần tìm Hệ số Câu 107 Câu 108 x x5 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số khai triển biểu thức x( x − 2) + (3 x − 1) −13548 13668 −13668 13548 A B C D Lời giải Chọn A ( x − 2)6 C6 = 60 x4 Hệ số khai triển nhị thức 5 C8 (−3) = −13608 (3x − 1) x5 Hệ số khai triển nhị thức x( x − 2) + (3 x − 1) −13608 + 60 = −13548 x Vậy hệ số khai triển biểu thức (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Hệ số x ( x − 1) + ( x − 1) 13848 13368 −13848 A B C Lời giải Chọn D x ( x − 1) + ( x − 1) = x.∑ C6k ( x ) k =0 Ta có = ∑ C6k ( ) k =0 6−k ( −1) x 7− k + ∑ C8m ( 3) k m=0 Để có số hạng Do hệ số Câu 109 6−k x5 x5 8− m ( −1) ( −1) m k x5 khai triển biểu thức D + ∑ C8m ( x ) 8− m m =0 ( −1) −13368 m x8 − m k = 2; m = khai triển khai triển bằng: C62 24 + C83 ( 3) ( −1) = −13368 x5 (HKI – TRIỆU QUANG PHỤC 2018-2019) Hệ số khai triển x ( x − ) + ( x − 1) −13548 13548 −13668 13668 A B C D Lời giải Chọn A Số hạng tổng quát khai triển có dạng: 6− k m 8−m 6− k 8− k x.C6k x k ( −2 ) + C8m ( x ) ( −1) = C6k x k +1 ( −2 ) + C8m 3m ( −1) x m 44 k + = k = ⇔  m = m = k, m ta cần tìm cho C6 ( −2 ) + C85 35 ( −1) = −13548 x5 Hệ số cần tìm bằng: Để tìm hệ số Câu 110 x5 (TH&TT LẦN – THÁNG 12) Tìm hệ số x5 khai triển đa thức 10 f ( x) = x ( 1- x) + x2 ( + 2x) A 965 B 263 632 C Lời giải D 956 Chọn A x5 Hệ số C 54.1 = 965 ( - 1) +C 103 1.2 x5 Câu 111 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN - 2018) Tìm hệ số khai triển 10 P ( x ) = x ( − x ) + x ( + 3x ) 3240 3320 80 259200 A B C D Lời giải k m k k P ( x) xC5 ( −2 x ) + x 2C10m ( x ) = ( −2 ) C5k x k +1 +3m C10m x m+ Khải triển có số hạng tổng quát ( k ∈ ¥ k ≤ m ∈ ¥ m ≤ 10 , , , ) k + = k = ⇔  x5 k m m + = m = Hệ số ứng với , thỏa hệ 4 3 ( −2 ) C5 + C10 = 3320 Vậy hệ số cần tìm Dạng Ứng dụng nhị thức newton để giải toán Câu 112 (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) 20 S = 319C20 + 318C20 + 317C20 + + C20 3S Giá trị 19 418 3 420 A B C Lời giải Chọn A 20 S = 319C20 + 318C20 + 317C20 + + C20 Ta có: 20 3S = 320C20 + 319C20 + 318C20 + + C20 45 Cho D biểu 421 thức ( 3+ 1) Xét khai triển: ⇒ ( 3+ 1) Câu 113 20 20 20 19 18 20 20 = C20 + C20 + C20 + + C20 31 20 19 18 20 = C20 + C20 + C20 + + C20 ⇔ 3S = 420 (HỌC KỲ I ĐAN PHƯỢNG HÀ NỘI 2017 - 2018) Tổng 22017 − 22017 + 22017 A B C 2017 C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 D 42017 Lời giải Chọn A ( + 1) 2017 2017 k 2017 = ∑ C2017 1k12017 − k = C2017 +C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 k =0 Ta có 2017 C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 = 22017 − Vậy Câu 114 (Lương Thế Vinh - Kiểm tra HK1 lớp 11 năm 2018 - 2019) Tổng 2018 C + C2018 + + C2018 2018 A 22018 B 22018 + C Lời giải 22018 − D 42016 Chọn C ( + 1) 2018 i =0 Ta có Suy 2018 i 2018 = ∑ C2018 = C2018 + C2018 + C2018 + + C2018 2018 C2018 + C2018 + + C2018 = 22018 − Câu 115 (THPT CHUYÊN THÁI BÌNH - LẦN - 2018) Tổng bằng: 22017 − 22016 22017 A B C Lời giải Xét hai khai triển: + + 22017 = ( + 1) 2017 = ( − 1) 2017 = C2017 − C2017 + C2017 − C2017 + − C2017 Lấy 2017 ( 1) − ( ) 2017 = C2017 + C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 ( 1) theo vế ta được: 2017 T = C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 D 22016 − ( 2) 2017 22017 = ( C2017 + C2017 + C2017 + + C2017 ) ⇒ T = 22016 Câu 116 (HKI_L11-NGUYỄN GIA THIỀU - HÀ NỘI 1718) Tổng bằng: 324 435 243 A B C Lời giải Chọn C 46 S = C50 + 2C51 + 2 C52 + + 25 C55 D 342 Xét tổng Thay ( 1+ x) x=2 = C50 + xC51 + x 2C52 + + x 5C55 S = C50 + 2C51 + 22 C52 + + 25 C55 = ( + ) = 35 = 243 ta được: S = C100 + 2C101 + 22 C102 + L + 210 C1010 Câu 117 (HKI-Chu Văn An-2017) Tính tổng S = 59050 S = 59049 A B S = 1025 C D S = 1024 Lời giải Chọn B ( x + 1) 10 k =0 Ta có Chọn x=2 10 = ∑ C10k x k ( + 1) ta có 10 10 = ∑ C10k k k =0 ⇔ S = 310 = 49049 S = C100 + 2C101 + 22 C102 + 23 C103 + L + 210 C1010 Câu 118 (THPT CHU VĂN AN - HKI - 2018) Tính tổng S = 59050 S = 1024 S = 59049 A B C Lời giải 10 2 ( + x ) = C10 + C10 x + C10 x + C103 x3 + L + C1010 x10 Xét khai triển 10 2 3 10 10 ( + 2) = C10 + 2C10 + C10 + C10 + L + C10 x=2 Với ta có S = 310 = 59049 Vậy Câu 119 (SGD&ĐT ĐỒNG THÁP - 2018) Tổng 22016 42016 A B Ta có: Chọn Câu 120 (1+ x) x =1 2016 2016 C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 22016 + C Lời giải 2016 2016 = C2016 + C2016 x + C2016 x + + C2016 x , ta có: 2016 22016 = C2016 + C2016 + C2016 + + C2016 D S = 1025 22016 − D hay 2016 C2016 + C2016 + + C2016 = 22016 − n (Chuyên Nguyễn Huệ - Hà Nội -HK1 2018 - 2019) Cho số nguyên dương thỏa mãn Cn0 + 4Cn1 + 42 Cn2 + + 4n Cnn = 15625 n Tìm n=3 n=5 n=6 n=4 A B C D Lời giải Chọn C n ( + x ) = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n Xét khai triển n 2 n n = Cn + 4Cn + Cn + + Cn x=4 15625 = 5n ⇔ 56 = 5n ⇔ n = Cho ta có: Suy ra: 47 2018 2019 S = 2C2019 + 3C2019 + + 2019C2019 + 2020C2019 Câu 121 (THPT THUẬN THÀNH 1) Tổng bằng: 2020.22019 2019.22018 A B 2021.22018 − C Lời giải D tương ứng 2020.22019 − Chọn C x ( + x ) 2019 k 2018 2018 2019 2019 = x.∑ C2019 x k = x ( C2019 + C2019 x + + C2019 x + C2019 x ) 2019 k =0 Ta có: =C 2019 x +C 2019 x + + C 2018 2019 x 2019 +C 2019 2019 x 2020 Đạo hàm vế theo biến x ta 2018 2019 (1 + x) 2019 + 2019 x(1 + x)2018 = C2019 + C2019 x + + C2019 2019 x 2018 + C2019 2020 x 2019 + 2019.2 = C + 2C x =1 Cho suy ⇔ (2 + 2019).22018 = + S ⇔ S = 2021.22018 − 2019 Vậy S = 2021.2 2018 −1 2018 2019 2019 + + 2019C 2018 2019 + 2020C 2019 2019 12 13 20 21 22 S = C22 + C22 + + C22 + C22 + C22 Câu 122 (HKI-Nguyễn Gia Thiều 2018-2019) Tính tổng 11 11 C C S = 221 + 22 S = 21 − 22 11 11 S = 221 + C22 S = 221 − C22 2 A B C D Lời giải Chọn C 22 20 21 222 = ( + 1) = C22 + C22 + C222 + + C22 + C22 + C2222 Ta có : Cnk = Cnn −k Áp dụng tính chất : , suy ra: 22 21 10 12 C22 = C22 C22 = C22 C22 = C2220 C22 = C22 , , ,……, 20 21 22 12 13 20 21 11 C22 + C22 + C22 + + C22 + C22 + C22 = ( C22 + C22 + + C22 + C22 + C2222 ) + C22 Do đó: 20 21 22 11 C + C22 + C22 + + C22 + C22 + C22 C22 12 13 21 ⇔ C22 + C22 + + C2220 + C22 + C2222 = 22 − 2 12 13 20 21 22 ⇔ C22 + C22 + + C22 + C22 + C22 = 11 222 C22 − 2 12 13 20 21 22 ⇔ C22 + C22 + + C22 + C22 + C22 = 221 − S = 221 − Vậy 11 C22 11 22 C 48 Câu 123 (THPT CHU VĂN AN -THÁI NGUYÊN - 2018) Kí hiệu ( ≤ k ≤ n; k , n ∈ ¢ ) tử tính tổng sau: 2017 2018 S = C2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2018C2018 + 2019C2018 A 1009.22016 B 1006.22018 C Cnk 1010.22018 số tổ hợp chập D k n 1007.22018 14 phần Lời giải ( + x) 2018 2018 = C02018 + xC12018 + x2C2018 () + x3C32018 + + x2018C2018 Đạo hàm vế đẳng thức 2018 ( + x) 2017 2018.2 2017 = C Lấy + 2C x=1 Đồng thời, thay 22018 = C +C 2018 ( ) + ( 3) ta được: = C12018 + 2xC2018 + 3x2C32018 + + 2018x2017 C2018 2018 2018 2018 ( 1) 2018 vào +C 2018 + 3C 2018 ( 1) + + 2018C 2018 2018 ta có: +C 2018 2018 + + C2018 ( 2) Cho x=1 ta được: ( 3) ta được: 2017 2018 S = 2018.2 2017 + 22018 = C2018 + 2C2018 + 3C2018 + + 2018C2018 + 2019C2018 Vậy S = 1009.22018 + 22018 = 1010.22018 Câu 124 (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ ( 1− x) x x ( 1− x) x ( 1− x) + + + + 10! 9! 1! 8! 2! 10! 10 A 10! B 20! - THÁNG - 2018) Biểu thức 10 10! C Lời giải D xk ( − x ) 10! 10 − k k k 10 − k = x k ( − x ) = C x − x ( ) 10 k ! ( 10 − k ) ! 10! k !( 10 − k ) ! 10! 100! 10 − k Ta có ( 1− x) x10 x ( − x ) x ( − x ) + + + + 10! 9! 1! 8! 2! 10! 10 = với ≤ k ≤ 10 10 k k 10 − k 1 10 C10 x ( − x ) = x +1− x) = ( ∑ 10! k =0 10! 10! n Câu 125 (CỤM TRƯỜNG CHUYÊN - ĐBSH - LẦN - 2018) Có số dương cho S = + ( C10 + C20 + + Cn0 ) + ( C11 + C21 + + Cn1 ) + + ( Cnn−−11 + Cnn −1 ) + Cnn 1000 số có chữ số? 49 C D Lời giải 0 1 S = + ( C1 + C2 + + Cn ) + ( C1 + C2 + + Cn1 ) + + ( Cnn−−11 + Cnn −1 ) + Cnn A B = + ( C10 + C11 ) + ( C20 + C21 + C22 ) + + ( Cn0−1 + Cn1−1 + + Cnn−−11 ) + ( Cn0 + Cn1 + + Cnn ) = + + ( + 1) + + ( + 1) = + 21 + 22 + + 2n S n −1 = + + ( + 1) 2n − − ⇒ S = 2n +1 ⇒ 10 1000 n 999 ≤ S < 10 ⇔ 10999 ≤ 2n+1 < 101000 1000 số có chữ số ⇔ 999 log 10 − ≤ n < 1000 log 10 − Do n∈¥ Vậy có Câu 126 nên n ∈ { 3318;3319;3320} số nguyên dương n thỏa mãn u cầu tốn (HỌC KÌ 1- LỚP 11- KIM LIÊN HÀ NỘI 18-19) Gọi 1 1 1024 + + + + = 1!( n − 1) ! 3!( n − 3) ! 5!( n − ) ! ( n − 1) !1! n ! Tìm mệnh đề n 10 A số chia hết cho n C số chia hết cho B n D số chia hết cho Lời giải ⇔ Cn1 + Cn3 + Cn5 + + Cnn = 1024 (1+ x) n (1) C + C + Cn5 + + Cnn = 2n −1 n n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n Thật vậy, xét n Với số nguyên dương 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn x =1 Thay = Cn − Cn + Cn − Cn + − Cnn −1 + Cnn x = −1 Thay ⇒ Cn + Cn + Cn4 + + Cnn = Cn1 + Cn3 + + Cnn −1 4 44 4 43 44 4 43 A số nguyên dương thỏa mãn: số nguyên tố n Chọn B n! n! n! n! ⇔ + + + + = 1024 1!( n − 1) ! 3!( n − ) ! 5!( n − ) ! ( n − 1) !1! Ta chứng minh đẳng thức n B 50 (2) A = B ⇔ B = n ⇔ B = 2n−1  n A + B = Từ ta có: Do đẳng thức (2) chứng minh 2n−1 = 1024 = 210 n = 11 (1) nên , chọn đáp án B Thay vào 51 ... 4620 138 0 9405 2890 A B C D Lời giải ( 1+ 2x) ( + x) 11 = ( + x) + 2x ( + x) 11 x9 khai 11 11 11 k =0 k =0 = ∑ C11k 31 1? ??k x k + x ∑ C11k 31 1? ??k x k 11 11 k =0 k =0 = ∑ C11k 31 1? ?? k x k + ∑ C11k... x11 ) k =0 =0 44 i4 43 m1=044 43 k P Hệ số x11 Q P Q 11 x là: Hệ số là: T = −C11 = ? ?11 Vậy Dạng 2.2.2 Tổng Câu 96 m ( a1 + b1 ) n C a − C a + C112 a9 − C1 13 a8 + + C 1110 a1 − C 1111 a0 = T 11. .. −8 ⇔ n = 13 ( x3 + y ) Ta có: Câu 49 13 13 = ∑C ( x ) k 13 13 − k ( 2y ) 39 − 3k + k = 34 ⇔ k = k 13 = ∑ C13k k x 39 ? ?3 k y k Vậy hệ số C = 4118 4 (SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM - 2018) Cho 13 n 5Cn1