TỐN 11 BÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP MỤC LỤC PHẦN A CÂU HỎI Dạng Giải biện luận Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Dạng 1.1 Không cần biết đổi Câu (HỒNG QUANG - HẢI DƯƠNG - LẦN - 2018) Số vị trí biểu diễn nghiệm phương cos x − cos x − = trình đường trịn lượng giác là? A B C D cos 2 x + cos x − Câu Câu Phương trình π x = ± + kπ A =0 có nghiệm là: π 2π x = ± + k 2π x=± + kπ B C 2sin x – 5sin x – = Nghiệm phương trình π x = + kπ ; x = π + k 2π A π 7π x = − + k 2π ; x = + k 2π 6 C Nghiêm phương trình x = kπ x= x= B x= D sin x = – sin x + Câu B π + k2π là: D π 5π + k 2π ; x = + k 2π 4 π 5π + k 2π ; x = + k 2π π + kπ là: x= x=± C π + kπ x= D −π + k2π A Nghiệm phương trình Câu x = k 2π ; x = ± π + k 2π cos x − 3cos x + = là: x = −π + k 2π ; x = ± B 2π + k 2π A x= π π + k 2π ; x = + k 2π x = k 2π ; x = ± D π + k 2π C Câu Nghiệm phương trình A Câu Câu x = π + k 2π 3cos x = – 8cos x – B x = k 2π x=± C π + k 2π D x = kπ [Sở GD ĐT Cần Thơ - mã 301 - 2017-2018-BTN] Nghiệm phương trình sin x − 4sin x + = π x = − + k 2π , k ∈ ¢ x = k 2π , k ∈ ¢ A B π x = + k 2π , k ∈ ¢ x = π + k 2π , k ∈ ¢ C D Nghiệm phương trình lượng giác sin x − 2sin x = có nghiệm là: π π x = + kπ x = + k 2π 2 C D x = k 2π x = kπ A B Dạng 1.2 Biến đổi quy phương trình bậc hai Câu là: (THPT CHUYÊN BẮC NINH LẦN 01 NĂM 2018-2019) Nghiệm phương trình π π   sin x + cos x + cos x ữìsin x − ÷− = 4 4   x= A x= C π + kπ , k ∈ ¢ x= π + k 2π , k ∈ ¢ B x= D π + k 2π , k ∈ ¢ π + kπ , k ∈ ¢ Câu 10 (LỚP 11 THPT NGƠ QUYỀN HẢI PHỊNG NĂM 2018-2019) Cho phương trình t = cos x cos x − cos x + = Khi đặt , ta phương trình đây? 2t + t + = −4t − t + = 4t − t − = t +1 = A B C D Câu 11 (ĐỀ THI THỬ LỚP 11 TRƯỜNG THPT YÊN PHONG LẦN NĂM 2018 - 2019) Phương cos x + 5sin x − = trình có nghiệm π π π + k 2π + kπ ± + k 2π kπ 2 A B C D Câu 12 (THPT LÊ QUY ĐÔN ĐIỆN BIÊN NĂM 2018-2019 LẦN 01) Tìm nghiệm phương trình cos x − 2sin x = −3 ? x= A C Câu 13 Câu 14 π + k π, k ∈ Z π x = + k 2π, k ∈ Z B D π x = ± + k π, k ∈ Z π x = − + k 2π, k ∈ Z (CHUYÊN LONG AN - LẦN - 2018) Cho phương trình t = sin x , ta phương trình 2t + t + = −2t + t + = t +1 = A B C (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN - 2018) Giải phương trình x= A π + kπ , k ∈ ¢ B x = kπ , k ∈ ¢ C cos x + sin x + = D Khi đặt −2t + t + = 3sin x − cos x + = x= x = k 2π , k ∈ ¢ D π + k 2π , k ∈ ¢ Câu 15 (PHAN ĐĂNG LƯU - HUẾ - LẦN - 2018) Tìm tất nghiệm phương trình tan x + cot x − − = là: π π    x = + kπ  x = − + kπ ,k ∈¢ ,k ∈¢    x = π + kπ  x = π + kπ   A B π π    x = + k 2π  x = + kπ ,k ∈¢ ,k ∈¢   π π  x = + k 2π  x = + kπ   6 C D Câu 16 (THPT LÊ HỒN - THANH HĨA - LẦN - 2018) Cho phương trình π  π  π  cos  x + ÷+ cos  − x ÷ = t = cos  − x ÷ 3  6  6  Khi đặt , phương trình cho trở thành phương trình đây? 4t + 8t − = 4t − 8t − = 4t − 8t + = 4t − 8t + = A B C D Câu 17 cos x + sin x − = ( *) (THPT MỘ ĐỨC - QUẢNG NGÃI - 2018) Cho phương trình: Bằng ( *) t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) cách đặt phương trình trở thành phương trình sau đây? A Câu 18 −2t + t = B t2 + t − = C −2t + t − = (SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH - HKI I - 2018) Giải phương trình D −t + t = cos2 x + 5sin x − = x= π + kπ x=− π + kπ A B Dạng 1.3 Có điều kiện nghiệm C x = k 2π x= D 0≤ x< sin x – 3sin x + = Câu 19 Nghiệm phương trình π π x=− x= A B Câu 20 Câu 23 Câu 24 x= D π 2sin x + 5sin x − = x= C 3π là: x= D 5π (THPT Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018 - BTN) Tìm tổng tất nghiệm thuộc đoạn [ 0;10π ] sin 2 x + 3sin x + = phương trình 105π 105π 297π 299π 4 A B C D cos x + 4sin x + = (THPT LÊ VĂN THỊNH BẮC NINH NĂM 2018-2019) Phương trình ( 0;10π ) có nghiệm khoảng ? A B C D (CHUYÊN KHTN LẦN NĂM 2018-2019) Phương trình ( 0; 2019 ) nghiệm khoảng ? A Câu 25 (THPT Chuyên Bắc Ninh - Lần - 2017 - 2018) Tìm nghiệm phương trình lượng giác cos x − cos x = 0< x ⇔  ⇔ 3< m<  m > 0 < −b <   0 < < 2a  m Vì nguyên nên khơng có giá trị Cách 2: ( ) ⇔ m = −4t + 2t + = g ( t ) Ta có bảng biến thiên g ( t) t ∈ ( 0;1] 80 Từ bảng biến thiên phương trình < t1 , t2 < 3< m< 13 Vì m ( 2) có nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn ngun nên khơng có giá trị Câu 162 Ta có: 2 2 cos3 x − cos 2 x = m sin x ⇔ cos x ( cos x − 1) = m sin x ⇔ sin x ( 2cos x + m ) = ⇔ cos 2 x + m = ⇔ cos x = − m − Có π π     x ∈  0; ÷ ⇒ x ∈  0; ÷ ⇒ − < cos x <  6    π x ∈  0; ÷  6 1 − < − m − < ⇔ −2 < m < − 2 Để phương trình có nghiệm m∈¢ m = −1 Do nên ( + cos x ) ( cos x − m cos x ) = m sin x ⇔ ( + cos x ) ( cos x − m cos x ) − m − cos2 x = Câu 163 Ta có: cos x = −1 ⇔ ⇔ ( + cos x ) cos x − m cos x − m ( − cos x )  = cos x = m cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ( k ∈ ¢ )  Xét phương trình  2π   0;  cos x = −1 Phương trình khơng có nghiệm đoạn  2π   8π  x ∈ 0;  ⇔ x ∈ 0;      cos 4x = m  Xét Ta có x ∈ [ 0; 2π ] \ { π } m ∈ ( −1;1] cos 4x = m Với phương trình có nghiệm 8π     x ∈  2π ;  m ∈  − ;1÷     cos 4x = m Với phương trình có nghiệm    2π  0; m ∈  − ;1 ÷     Vậy phương trình có nghiệm phân biệt thuộc cos x − cos x + m cos x = Câu 164 ( ) ⇔ cos3 x − 3cos x − ( 2cos x − 1) + m cos x = ⇔ cos3 x − cos x + ( m − 3) cos x = 81 Đặt t ∈ [ −1;1] cos x = t với Ta có t =  ⇔  4t − 2t + ( m − 3) = ( *) Với t=0 cos x = Với giá trị Với giá trị ⇔x= t ∈ ( 0; 1) t ∈ ( −1; 0] π + kπ , có nghiệm cos x = t phương trình phương trình π 3π ; 2 thuộc  π   − ; 2π ÷   có nghiệm thuộc cos x = t  π   − ; 2π ÷    π   − ; 2π ÷   có nghiệm thuộc  π   − ; 2π ÷   cos x = t t = −1 Với phương trình có nghiệm thuộc t1 t2 Để pt có nghiệm thỏa mãn phương trình (*) phải có nghiệm ; thỏa mãn điều kiện: −1 < t1 < < t2 < ( *) ⇔ m = −4t + 2t + Từ bảng biến thiên ta có m ∈ ( 1;3) Câu 165 Ta có phương trình tương đương Vậy m = { 2} sin x =   cos x − ( 2m + 1) cos x + m = sin x =  cos x = ⇔ sin x =   ⇔  ( cos x − 1) ( cos x − m ) = cos x = m Với x ∈ [ 0; 2π ] sin x = ⇔ x =  Ta có: π x ∈ [ 0; 2π ] x= nên π (thỏa mãn) 82  π  x=  π cos x = ⇔ cos x = cos ⇔   x = − π + 2π = 5π  3  Với −1 ≤ m ≤ , đặt Nhận xét: Với m = cos α α ∈ [ 0; π ] , x ∈ [ 0; 2π ] x ∈ [ 0; 2π ] nên π  x =   x = 5π  phương trình x = α cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔   x = −α + 2π ( *) Do đó, phương trình có nghiệm có Trường hợp 1: Trường hợp 3: Vậy nghiệm thực phân biệt phương trình nghiệm phân biệt nghiệm α = −α + 2π ⇔ α = π α= (thỏa mãn) π 3π ⇒ −α + 2π = 2 (thỏa khác π π 5π 3 , , m = cos (thỏa) Suy π có ) Suy π =0 ( *) m = cos π = −1 m ∈ { 0; −1} m nên có giá trị cos x = m − cos x + m + 6cos x Câu 166 Ta có ⇔ ( cos3 x − 3cos x ) − m + cos x = m + cos x ⇔ 8cos3 x + cos x = m + 6cos x + m + 6cos x t = m + cos x , u = cos x Đặt , phương trình viết lại 3 u + u = t + t ⇔ ( u − t ) ( u + ut + t + 1) = ⇔ u = t hay 3 m + 6cos x = cos x ⇔ m = 8cos x − 6cos x ⇔ m = cos x m −2 ≤ m ≤ Do để phương trình cho có nghiệm , có giá trị nguyên thỏa mãn  π π x x ∈ − ;  t = tan t ∈ [ −1;1]  2 Câu 167 Đặt , suy 83 4t 1− t2 + m = 1− m 1+ t2 1+ t2 m Phương trình trở thành tìm để phương trình [ −1;1] 4t 1− t2 + m = 1− m 1 ⇔ m = t − 2t + = f ( t ) 1+ t2 1+ t2 2 Ta có f ( −1) = f ( 1) = −1 t0 = Hoành độ đỉnh loại Ta có −1 ≤ f ( t ) ≤ Suy Vậy ta chọn đáp án A Câu 168 Chọn D có nghiệm thuộc đoạn Ta có ( cos x − 3sin x ) ≤5 ⇔ −5 ≤ cos x − 3sin x ≤ Để phương trình cho vô nghiệm Giải (m ( 1) ( m − m + ) x + m − >  ( m3 − 4m + 3) x + m − < −5  ( 1) ( 2) ta có − 4m + 3) x + m − > ⇔ ( m3 − 4m + 3) x + m − > ∀x ∈ ¡ m =   m − 4m + =  ⇔ ⇔   m = − ± 13 2 m − >   m > Giải ( 2) VN ta có 84 (m − m + ) x + m − < −5 ⇔ ( m3 − 4m + 3) x + m + < ∀x ∈ ¡  m = ( L )    m − 4m + = m = − + ⇔ ⇔ m + <  m = − −   m < −1 13 ( L) 13 ( t / m) 13 m=− − 2 Vậy có giá trị tham số để phương trình cho vơ nghiệm Câu 169 Chọn C cos x - cos x + m cos x - = Û cos x - 3cos x - cos x +1 + m cos x - = écos x = (1) Û cos x(4 cos x - cos x + m - 3) = Û ê ê4 cos x - cos x + m - = (2) ë (1) Û x = Gii p + kp ổp ự xẻ ỗ - ; 2pỳ ỗ ỗ ỳ ố ỷ Do nên é p êx = ê ê ê 3p êx = ê ë ỉp ù ì p 3p ỹ ỗ - ; 2pỳ\ ùớ ; ùý ỗ ỗ ỳ ố ỷ ùùợ 2 ùùỵ m Bài tốn quy tìm để phương trình có nghiệm thuộc t = cos x ( t £ 1) (2) 4t - 2t = - m (3) Phương trình đặt phương trình trở thành Từ ng ổp ự ùỡ p 3pùỹ ỗ - ; 2pỳ\ ; ý ỗ ỗ ùù ỳ ố (2) ỷ ùùợ 2 ỵ trũn lng lng giỏc để phương trình có nghiệm thuộc phương - < t1 < < t