khao sat 2012chuyen de do xung

LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG. A.[r]

CHUYÊN ĐỀ ĐỐI XỨNG

TÂM ĐỐI XỨNG- TRỤC ĐỐI XỨNG- ĐỒ THỊ ĐỐI XỨNG VÀ CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤC

A KIẾN THỨC CƠ BẢN :

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C)

1.Nếu f(x) hàm số chẵn : Đồ thị có đối xứng qua trục Oy - Có nghĩa ,trục Oy trục đối xứng

2 Nếu f(x) hàm số lẻ : Đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

3 Cho hai điểm A x y 1; 1 ;B x y2; 2và đường thẳng d : mx+ny+p=0 Nếu A B đối xứng

nhau qua đường thẳng d phải thỏa mãn hệ sau :

2 AB

2

; i:k êm I d

AB d

k k y y

vo

Trungdi x x

 

  

  



4 Cho điểm I(x y0; )0 Nếu chuyển hệ tọa độ Oxy dọc theo phương véc tơ OI công thức chuyển trục :

0

x x X

y y y

 



   

Khi phương trình đồ thị (C) hệ : Y=F(X;y0;x0)

B GHI NHỚ :

- Đối với đồ thị hàm phân thức , giao hai tiệm cận tâm đối xứng - Đối với hàm số bậc ba tọa độđiểm uốn tọa độ tâm đối xứng

- Đối với hàm số trùng phương trục Oy trục đối xứng đồ thị hàm số C CÁC BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP

I.CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG CÁCH GIẢI

Có hai cách * Cách

- Giả sử trục đối xứng có phương trình : xx0 Gọi điểm I x 0;0

- Chuyển    

Oxy OI IXY x x X

y Y

 



  

 



- Viết phương trình đường cong (C) tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*)

- Buộc cho (*) hàm số chẵn : ( Cho hệ số ẩn bậc lẻ ) - Giải hệ ẩn số bậc lẻ ta suy kết cần tìm

* Cách Nếu với xx0 trục đối xứng : f(xx0) f x x với x , ta

cũng thu kết

Ví dụ Cho hàm số 4 7 6 4 

yx  x  x  x C Chứng minh đường thẳng x=1

trục đối xứng đồ thị (C)

( Hoặc : Chứng minh đồ thị hàm số có trục đối xứng ; tìm phương trình trục đối xứng ? )

- Giả sửđường thẳng x=x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I(x0;0)

- Chuyển :    

Oxy OI IXY x x X

y Y

 



  

 



- Phương trình (C) hệ tọa độ :

       

       

4

0 0

4 2

0 0 0 0 0

4

4 5 7

Y x x x x x x x x

Y X x X x x X x x x X x x x x

        

              

- Để hàm số chẵn hệ số ẩn bậc lẻ số hạng tự không :

0

0 0

4

0 0

4

4

4 x

x x x x

x x x x

  



      

     



Chứng tỏđồ thị hàm số có trục đối xứng , phương trình trục đối xứng : x=1 Ví dụ Tìm tham số m đểđồ thị hàm số : 4  

m

yx  x mx C có trục đối xứng song

song với trục Oy

GIẢI

- Giả sửđường thẳng x=x0 trục đối xứng đồ thị (C) Gọi I(x0;0) - Chuyển : Oxy OI IXY x x0 X

y Y

 



  

 



- Phương trình (C) hệ tọa độ :

     

4 2

0 0 0 0 0

4 12

Y  X  x  X  x  x m X  x  x  mx X x  x mx - Để hàm số chẵn :  

3

0 0

4 1

4 12

x x

m

x mx

     

 

  

   



II Chứng minh đồ thị (C) có tâm đối xứng

CÁCH GIẢI Ta có hai cách giải

Cách

- Giả sửđồ thị (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0

- Chuyển :     0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

 



  

 





- Viết phương trình (C) hệ tọa độ : Y=F(X;x0;y0) (*) - Buộc cho (*) hàm số lẻ : ( Cho hệ số ẩn bậc chẵn ) - Giải hệ ( với hệ số ẩn bậc chẵn ) ta suy kết Cách 2

Nếu đồ thị (C) nhận điểm I làm tâm đối xứng :

0 0

( ) ( )

VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 ( ĐH-QG-98) Cho (C) :

1 x y

x

 

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Chứng minh (C) có tâm đối xứng , tìm tọa độ tâm đối xứng

GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)

b Giả sử (C) có tâm đối xứng II x y 0; 0

- Phương trình (C) viết lại thành dạng : 1 y x

x

   

- Chuyển :     0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

 



  

 





- Phương trình (C) hệ :

   

   

0

0

0

0

1

1 1

1

Y y x X

x X

Y X x y

X x

    

 

     

 

- Để hàm số lẻ : 0  

0

1

1;

1

x y x

I

x y

   

 

 

    

 

Chứng tỏ đồ thị hàm số có tâm đối xứng I(1;2)

Ví dụ 2 (ĐH-NNI-99) Cho hàm số   x

y C

x

 

a Khảo sát vẽ đồ thị (C)

b Chứng minh giao hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị (C)

GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)

b Hàm số viết lại : 1 y

x

  

- Giả sử (C) có tâm đối xứng I x y 0; 0

- Chuyển :     0

Oxy OI IXY x x X

y y Y

 



  

 





- Phương trình (C) hệ :  

 

0

0

0

1

1 1

1 Y y

x X

Y y

X x

  

 

    

- Để hàm số lẻ : 0  

0

1

1;1

1

y x

I

x y

   

 

  

    

 

Nhận xét : Giao hai tiệm cận (-1;1) trùng với I Chứng tỏ giao hai tiệm cận tâm đối xứng (C)

III Tìm tham số m để (Cm): y=f(x;m) nhận điểm I(x y0; )0 tâm đối xứng

CÁCH GIẢI Nếu f(x;m) hàm số phân thức hữu tỷ :

- Tìm tọa độ giao hai tiệm cận Giả sử giao hai tiệm cận J(a;b) - Để I tâm đối xứng buộc J trùng với I ta suy hệ :

0 a x

m b y

 

   

2 Nếu f(x;m) hàm số bậc ba

- Tìm tọa độ điểm uốn : ''( ; )  ; ( ; )

y x m x a

J a b y f x m y b

 

 

  

 

 

- Tương tự , đẻ I tâm đối xứng , ta cho J trùng vố I ta suy hệ : 0 a x

m b y

 

  



Vídụ 3 Tìm m đểđồ thị hàm số 3 2  ; 0

m x

y mx C m

m

     nhận điểm I(1;0) tâm đối xứng

GIẢI Ta có : y' 3x2 6mx y'' 6x 6m

m m

       Cho y''=0 6 0;

u x

m x m x

m

      

- Tính  ;  3 2 2 2  2; 2 2

u u

m

y y x m m m m U m m

m

        

- Để I tâm đối xứng : cho U trùng với I : 5

5

1

1

2 m m

m m

m

 

  



    

  

 



- Vậy với m=-1 m=1 I(1;0) tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 4 (ĐH-Luật -99)

Cho hàm số 2  4  

2 m

x m x m

y C

x

   





Tìm m đểđồ thị hàm số nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng GIẢI

- Ta viết lại hàm số ; 2

y x m

x

  

 Chứng tỏ với m đồ thị ln có tiệm cận xiên

- Để I làm tâm đối xứng ta buộc J trùng với I , nghĩa ta có hệ : 2 m m

 

     



- Vậy với m=-3 I tâm đối xứng đồ thị Ví dụ 5.( ĐH-CĐ-2000)

Cho hàm số 3 3 3 4  

m

yx  x  mx m C

Tìm m để  Cm nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng GIẢI - Tìm tọa độđiểm uốn :

Ta có : ' 3 6 3 ; '' 6 6 '' 0 6 6 ; 1

u y  x  x m  y  x y   x  x x Tính yu  y 1   1 3m3m 4 6m 2; U1;6m2

- Để I tâm đối xứng : 1 6m 2 m

 

 

  



- Vậy với m=0 , I tâm đối xứng đồ thị

IV TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ

Bài toán : Cho đồ thị (C) : y=f(x) , tìm đồ thị cặp điểm M,N đối xứng qua điểm A đường thẳng d: Ax+By+C=0 ( cho sẵn )

CÁCH GIẢI - Giả sử M x y 0; 0( )C y0  f x   0

- Tìm tọa độđiểm N theo x y0, 0 cho N điểm đối xứng M qua A ( qua d ) Nên ta có : yN  f x   N

- Từ (1) (2) ta tìm tọa độ điểm M,N Ví dụ 6 ( ĐH-GTVT-97)

Cho hàm số 9 4

yx mx  x Xác định m để đồ thị hàm số có cặp điểm đối xứng qua gốc tọa độ O

GIẢI

Giả sử M x y 0; 0 và N -x ; 0 y0 cặp điểm đối xứng qua O, nên ta có :

   

3

0 0

3

0 0

9

y x mx x

y x mx x

    

 

     



Lấy (1) cộng với (2)vế với vế ,ta có :   mx  

Để (3) có nghiệm m<0 Khi : x0 m

 

Ví dụ 7 ( ĐH GQTPHCM-97) Cho hàm số 2   x x y C x    

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm tất cặp điểm đối xứng qua điểm I(0;5/2) GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị

b Giả sử M x y 1; 1 ;N x y2; 2 thuộc (C) I trung điểm M N Ta có :

 

1 2

1

1 2

2

;5

2 5

I I

x x x x x

N x y

y y y y y

    

 

   

      

 

M N thuộc (C) nên ta có hệ :

    1 1 1 1 1 x x y x x x y x                 

; Lấy (1) cộng với (2) ta : 12 12

1

2

5

1

x x x x

x x

   

 

 

       

1 1 1 1

2

5 1 2

9

x x x x x x x

x x

         

    

- Với

   

   

1

2

3 2; 3; , 3; 7; 3;7 , 3;

x y M N

x y M N

       

    

Ví dụ 8 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số   x y C x  

a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm hai điểm A,B nằm (C) đối xứng qua đường thẳng d : y= x-1 GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b Ta có hai cách giải * Cách

- Viết lại phương trình (C) 1 y x

x

  

 Gọi A x y 1; 1 ,B x y2; 2   C Nên ta có

-  

     

2

2 1 2

2

1

1 1

AB

x x y y

k

x x x x x x x x

 

 

     

        ; kd 1

- Nếu A,B đối xứng qua d :

 

           2

1

1 2

1 :1 1; 1 1; (*)

1

AB d k k

x x x x x x

x x I d                      

Nếu I trung điểm AB :

1

1 2 2 ; 2 I I

x x x

I d y y x x

y y y

 



      

 

    

1 2

1

1

1

1

1

1

2

1

4

1 (**)

x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

       

 

 

       

 

  

Từ (*) (**) ta có hệ : 2

1

6

; n :

x x

x x l pt X X

x x

 



   

 



Vậy : 1 5, 2 1 5

X   X     Y  



Chú ý : Ta cịn có cách giải khác

- Gọi d' đường thẳng vng góc với d suy d': y=-x+m ( m tham số ) - Do A,B thuuộc d' đồng thời thuộc (C) , tọa độ A,B nghiệm hệ :

2

1 x

x m x

y x m



   

 

    

( có hai nghiệm khác 1)

 

2

( ; ) (1)

g x m x m x m

      ( có nghiệm khác 1) Điều kiện :  

2

2

1

6 2 2(*) (1; ) 1

m m

m m m m

g m m m

    

          



      

Với điều kiện (*) (1) có hai nghiệm khác , hồnh độ A B

- Gọi I trung điểm AB tọa độ I :

1

1

1

2 4

2

4

2

I I I

I I

I

x x m m

x x x

x x m m m

y m y

y

  

     

  

  

       

       

 

  



- Để A B đối xứng qua d I thuộc d : 1

1 1; 2;

4 I I

m m

y x   m m

            Với m=-1 , thỏa mãn (*)

- Khi m=-1 (1) trở thành :

1

2

2

1 1

1

1 2 2 2

1

2

2

1 1

1

2 1 2

2

y x

x

x y

      



     

 

 

    

      

  

  



Ví dụ 9.( ĐH-ThủyLợi -99) Cho hàm số 2  

x x

y C

x

 





a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm số (C)

b Tìm m đểđường thẳng d : y=-x+m cắt (C) hai điểm A,B cho A,B đối xứng qua đường thẳng d': y= x+3

b Đường thẳng d cắt (C) hai điểm A,B có hồnh độ nghiệm phương trình :

     

2

2

2

1 ( ; ) 2

x x

x m g x m x m x m

x

           

 ( có hai nghiệm khác 1)

 2  

2

3

2 ; 10 10(*) (1; )

m m

m m o m m

g m m m

     



          

       

- Gọi I trung diểm AB :

1

2

3 3 4 I

I I

x x m

x

m m

y x m m

 

  



  

      



- Để A,B đối xứng qua d I phải thuộc d : 3

3 3; 18;

4 I I

m m

y x   m m

         

- Với m=9 (2) trở thành : 1

2

6 14 14 12 14

2 2

2 12 11

6 14 14 12 14

2 2

x y

x x

x y

   

     

 

    

   

     

 

Ví dụ 10. ( ĐH-Huế -2001) Cho hàm số 3  

2 m

yx  mx  m C

a Tìm tham số m để đồ thị Cmcó CĐ, CT đồng thời điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : y=x

b Tìm m để Cmcắt trục OX ba điểm A,B,C cho : AB=BC GIẢI

a Ta có : ' 3 3 3   0 x

y x mx x x m

x m

 

      

 

- Để tồn cực đại , cực tiểu : m0(*)

- Gọi A(0;

2m ) B(m; 0) hai điểm cực trị

- Tính :

3

2

1

0 1

2 ; 1

0 A B

AB d

A B

m y y

k m k

x x m

 

    

 

- Gọi I trung điểm AB : 3

3

0

2 2

1

0 1

2

2 2 4

A B I I

A B I

I

m m

x x x

x

y y m

y

y m

 

  

  

 

  



  

 

 

 

- Để A,B đối xứng qua d :

2

3

1

1

;

2 1

4 AB d

I I

m

k k m

m m

I d y x m

 



    

     

   



   

b Nếu Cmcắt Ox ba điểm phân biệt A,B,C :  

3 3 0 1

2

x  mx  m  , có ba nghiệm Khi A,B,C lập thành cấp số cộng ( AB=BC) ,thì gọi hoành độ A,B,C theo thứ tự :

1, ,2

x x x Áp dụng vi ét cho phương trình (1)

 

 

 

1

1 2 2

2 3

1 2 3 2

1

3

3 2 1 3

1 3

1

2

3 3

1

2 2

2

2

4

1 .

2 1

2

2 2

b

x x x m

x x x m x m x m

a c

x x x x x x x x x x x

x x x m x

a

d x x x m

x x x m

m m m

a

x x x

x x x x

                                                                     x m m           

Nhưng m=0 ,thì đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm Cho nên , không tồn giá trị m để hàm số cắt Ox ba điểm lập thành cấp số cộng

Ví dụ 11 ((HVKTQS-2001) Cho hàm số  2  

1 m

x m x m

y C

x

   





a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) m=2

b Tìm m để Cmcó hai điểm A,B cho : 5xAyA 3 0;5xB yB 3 Tìm m để A,B đối xứng qua đường thẳng x+5y+9=0

GIẢI a Học sinh tự vẽđồ thị (C)

b Từ giả thiết ta thấy tọa độ A,B thỏa mãn phương trình : 5x-y+9=0 Có nghĩa A,B nằm đường thẳng d' : y=5x+9 Nhưng A,B lại nằm Cm, A,B giao d'

với Cm

     

2

2

2 ( ; ) 4 10 2 0 1

5

5

x m x m

g x m x m x m

x x y x y x                          

2 4 68 0

( 1; ) 10 2

m m

m R

g m m m

    

   

        



- Gọi I trung điểm AB :

1 10

2

10 26

5

8

I

I I

x x m

x m m y x                      

- Nếu A,B đối xứng qua d : x+5y+9=0 , I phải thuộc d ( Thỏa mãn tính chất d' vng góc với d )

 

5 26

10 34

9 0;

8 13

m m m        

Ví dụ 12.( CĐSPHN-2001) Cho hàm số 2  

2 m

x mx m

y C

x

  





b Chứng minh với điểm M tùy ý thuộc (C), tiếp tuyến M cắt (C) hai điểm A,B tạo với I ( giao hai tiệm cận ) tam giác có diện tích khơng đổi ,khơng phụ thuộc vào vị trí M

c Chứng minh hàm số ln có cực đại ,cực tiểu với m Tìm m để hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua đường thẳng d : x+2y+8=0

GIẢI a Khi m=3 (C) : 3 1

2

x x

y x

x x

 

   

  ( Học sinh tự vẽ đồ thị (C) )

b Ta có :

 2

1 '

2 y

x

 

 Gọi  0 0

1

; ( ) (*)

2

M x y C y x

x

    



Tiếp tuyến với (C) M

 2  0

0

1

: 1

2

y x x x

x x

 

       

 

 

 

- Nếu    x điểm A ,

 2  0 0

0

0

1

1

2

2 A

x

y x x

x x

x

 

         

 



 

 

0

2;

2

x A

x

 

   



 

- Tiếp tuyến cắt tiện cận xiện y=x+1 điểm B

 2  0 0

0

1

1 1; 2

2

2 xB x x x xB xB x yB xB x x

 

                

 

 

 

2 2; 3

B x x

  

- Nếu I giao hai tiệm cận , I có tọa độ I(-2;-1)

- Gọi H hình chiếu vng góc B tiệm cận đứng : x=-2 suy H(-2;2x03)

- Diện tích tam giác AIB

0

1 1

2

2 A I B H 2

x

S AI BH y y x x x

x

        



 

0

1

.2 2 dvdt

2

S x

x

   



Chứng tỏ S số , không phụ thuộc vào vị trí điểm M

c.Ta có :     

   

2 2

2

2 2

'

3

2

x m x x mx m x x x

y

x

x x

          

    

 

  

Chứng tỏ y' không phụ thuộc vào m , hay với m hàm số ln có hai điểm cực trị - Gọi hai điểm cực trị :M1;m2 ; N 3;m6

- Tính :  6  2 2;

3

MN d

m m

k      k  

 

Gọi J trung điểm MN ,

1 2

2

4

J

J x

m m

y m

 

   



    

   

- Để M,N đối xứng qua d :

 

1

2

2

2

MN d

k k

m J d

m

     

   

      

     



Vậy m=1 hai điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua d

V LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG

A BÀI TOÁN :

Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) điểm M x y 0; 0 (cho sẵn)

1.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua điểm M Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với đường cong (C) qua đừng thẳng d: y=kx+m

B.CÁCH GIẢI Gọi N(x;y) thuộc (C) : y=f(x) điểm

- Gọi N' điểm đối xứng với N qua M :      

 

0

' ' '; ' '

' 2

x x x

N x y C

y y y

 



  

 



- Từ (1) (2) ta có : 0

2 '

2 '

x x x

y y y

 



  

 , Thay x,y tìm vào : y=f(x) ,ta suy y'=g(x';x0;y0)

Đó phương trình đường cong (C') Gọi A x y   ;  C  y f x B x y( );  '; '   C'

- Nếu (C) (C') đối xứng qua d A,B đối xứng qua d :

 

 

'

1

'

' '

2

2

AB d

y y k

k k x x

I d y y x x

k b

     

 



  

   

 

    

    

  



Ở (1) (2) k,b số biết Ta tìm cách khử x y (1) (2) đểđược phương trình có dạng y'=g(x') Đó phương trình (C') cần tìm

C MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Cho hàm số 1  

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(-1;1) GIẢI

b Gọi điểm ; 1   ; '; '  '

A x x C B x y C

x

    

  

 

- Khi A chạy (C) qua điểm I , B chạy (C'), (C') đối xứng với (C) qua I A B đối xứng qua I

2 ' ' 1

2 ' ' ; ' '

2 ' ' ' '

I I

x x x x x

y x y x

y y y y y x x

    

 

              

       



Vậy (C') có phương trình : y x  C' x

  

Ví dụ 2 Cho hàm số 3  

2

x

y  x  C a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua điểm I(0;2) GIẢI

a Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b Gọi    ; 3 5;  '; '  '

2

x

A x y  C  y  x  B x y  C

- Nếu (C') đối xứng với (C) tức A B đối xứng qua I

- Do :    

4 4

2 2

2.0 ' ' '

4 ' ' ' '

2.2 ' 2 2

x x x x

y x y x

y y

  

           

   

-Kết luận : phương trình (C') : 3

2

x

y   x  , đối xứng với (C) qua I Ví dụ Cho hàm số 3 1  

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b.Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d: x-2y-1=0 GIẢI

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Gọi A(x;y) thuộc (C) B(x';y') thuộc (C')

- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B đối xứng qua d

 

 

   

  

'

' 2 ' ' '

'

1 ' '

' 2 ' 1 0 ' ' 2

2

2

AB d

y y

y y x x

y y x x

k k x x

I d x x y y x x y y y y x x

     

   

  

     

  

     

   

             

       

  



2 ' ' ' ' ; ' ' ' '

y x y x y y x

y x x y x x y

      

 

 

      

 

Từ phương trình hàm số : 5 10 ' ' 4 ' ' 10

5 10 ' ' 10

y x x y y x

x y x

          

   

Ví dụ 4 (ĐHLâm Ngiệp -2001 ) Cho hàm số   x

y C

x

 



a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đừng thẳng d : x+y-3=0 GIẢI

a Học sinh tự vẽđồ thị (C)

b Gọi  ; ( );  '; '  ' ; 10

A x y C B x y C y

x

    



- Gọi I trung điểm AB

'

' I

I

x x x

y y y

   

 

  

; Và ';

'

AB d

y y

k k

x x



  



- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d :

 

'

1

' ' ' ' '

;

' ' ' ' ' '

3 2

AB d

y y

k k x x y y x x y x y x

x y x y y x y x

x x y y I d



   



       

    

   

        

 

  

    



' 10 10

' 3 '

' ' 3 '

y x

x y

x y y x

   

          

   

- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) : y 10 x



Ví dụ 5 (HVKTQS-99) Cho hàm số 2  

2

x x

y x C

x x

 

   

 

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua đường thẳng d : y=2 GIẢI

a Học sinh tự vẽđồ thị (C)

b Gọi :  ; ( );  ' ; '  ' ;

A x y C B x x y C y x

x

      



- Nếu (C') đối xứng với (C) qua d , A B phải đối xứng qua d : - Ta có : y'+y=2.2 Suy : y=4-y'

- Do A thuộc (C) , : ' ' ; ' '

' '

y x y x

x x

       

 

- Vậy phương trình (C') đối xứng với (C) qua d :

y x

x

   

Ví dụ 6 Cho hàm số y (4x x)  C a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Lập phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) qua Ox Chứng minh (C) cắt (C') theo E-líp, viết phương trình E-Líp ?

b Gọi A(x;y) điểm thuộc (C) B(x';y') điểm thuộc (C') đồng thời đối xứng với A qua Ox Khi : x=x' y=-y'

- Do A thuộc (C) :   y' ' 4x  x'  y'  2 ' 4x  x'(*)

- Phương trình (*) phương trình (C') : y 2 4x x

- Nếu (C) cắt (C') phương trình hồnh dộ điểm chung :

 

   

 2 2

2 2

2

4

2 2

2 4 1(*)

4

2 x

y x x x y

y x x y x x

y x x

y x x

 

    



            

   

 

    

- Vậy (C) giao với (C') E-Líp :  

2 2

2

1

x y

 

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1.( Đề 27) Cho hàm số 4 2 12  

a

yx  ax  x  ax C

Tìm a đểđồ thị hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy Bài 2.( Đề 66) Cho hàm số  

2

x x

y C

x

 





a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A ,B đối xứng qua đường thẳng d : y=x Bài 3.(Đề 89) Cho hàm số 2  

1

x x

y H

x

 



 đường thẳng d' : y=-x+m ( m tham số )

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm m để d cắt (H) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x+3

Bài 4 ( Đề 142) Cho hàm số  3 2 1  

m

yx  m x  m x C

Tìm tham số m để hàm số có trục đối xứng song song với trục Oy ? Bài 5 ( ĐH-Hàng Hải -99) Cho hàm số  

1 x

y C

x

 

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm A,B cho A B đối xứng qua đường thẳng d : y=x-1 Bài 6 ( HVKTQS-99) Cho hàm số 1  

y x x  x C

a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình đường cong (C') đối xứng với (C) : 2 2 x y

x

  

 qua đường thẳng y=2

Bài 7 ( ĐH-Luật -99 ) Cho hàm số 2  4  

2 m

x m x m

y C

x

   



a Vẽ đồ thị (C) với m=-3 Hãy viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y=x+4

b Tìm tham số m để đồ thị (Cm) nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng Bài 8 ( ĐH-Thủy Lợi-99) Cho hàm số 3 3 1 1  

m yx  mx  m  x m C a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=2

b Tìm m đểđồ thị (Cm) chứa hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Bài 9 ( ĐH-QGA-2001) Cho hàm số 3  

m

yx  m xm C

a Khỏa sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=0

b Tìm m đểđồ thị hàm số có CĐ,CT đồng thời hai điểm CĐ,CT đối xứng qua đường thẳng d : x-2y-5=0

Bài 10.( ĐH-PCCC-2001) Cho hàm số 3 3   yx  x  C

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Viết phương trình đường thẳng d mà điểm cực đại , cực tiểu đối xứng qua Bài 11 (ĐH-Thủy sản-2000) Cho hàm số  

2 m

x mx m

y C

x

 





a Khảo sát biến thiên vẽ dồ thị (C) với m=1

b Tìm m để đồ thị  Cm có hai điểm đối xứng qua O Bài 12 ( CĐKS-2000) Cho hàm số 4 ax2 

a

yx  x  C

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với a=4

b Tìm a đểđồ thị  Ca có trục đối xứng song song với Oy.Viết phương trình trục đối xứng Bài 13.(ĐH-YHP-2000) Cho hàm số  

1 x

y C

x

 

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C)

b Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d : y=x+1

Bài 14.(ĐH-YHP-2001) Cho hàm số 3 1 3 2 1 4  

m

y  x m x  m x C

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=1

b.Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu đối xứng qua điểm I(0;4) Bài 15 ( VDDH-Mở-2001) Cho hàm số 3 2 1 2  

m

ymx  mx  m x C

a Khảo sát biến thiên vẽđồ thị (C) với m=1

b Tìm điểm cố định mà với m  Cm qua Chứng tỏ điểm cố dịnh