Đại số Boolean và cổng luận lý Bộ môn Kỹ thuật máy tính Bùi Văn Hiếu bvhieu@cse.hcmut.edu.vn Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 2 Đại số Boolean Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean (Boolean algebra) George Boole giới thiệu vào năm 1854 Tương tự các hệ đại số khác, được xây dựng thông qua việc xác định nghĩa những vấn đề cơ bản sau: Miền (domain), là tập hợp (set) các phần tử (element) mà trên đó định nghĩa nên hệ đại số Các phép toán (operation) thực hiện được trên miền Các định đề (postulate), hay tiên đề (axiom) được công nhận không qua chứng minh Tập các hệ quả (set of consequences) được suy ra từ định đề, định lý (theorem), định luật (law) hay luật(rule) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 3 Định đề Huntington 1. Tính đóng (closure): tồn tại miền B với ít nhất 2 phần tử phân biệt và 2 phép toán (+) và (•) sao cho: Nếu x và y là các phần tử thuộc B thì (x + y), (x•y) cũng là 1 phần tử thuộc B Phép toán (+) được gọi là phép cộng luận lý (logical addition) Phép toán (• ) được gọi là phép nhân luận lý (logical multiplication) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 4 Định đề Huntington (tt) 2. Phần tử đồng nhất (identity elements) Nếu x là một phần tử thuộc miền B thì Tồn tại một phần tử 0 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (+ ), thỏa mãn tính chất x + 0 = x Tồn tại một phần tử 1 thuộc B, gọi là phần tử đồng nhất với phép toán (•), thỏa mãn tính chất x • 1 = x Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính Định đề Huntington (tt) 3. Tính giao hoán (commutative law) x + y = y + x x • y = y • x 4. Tính phân phối (distributive law) x • (y + z) = (x • y) + (x • z) x + (y • z) = (x + y) • (x + z) 5. Bù (complementation) Nếu x là 1 phần tử trong miền B, tồn tại một phần tử khác gọi là x’, là phần tử bù của x thỏa mãn: x + x’ = 1A và x • x’ = 0 5 Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 6 Tính đối ngẫu (duality) Quan sát các định đề Hungtinton, ta thấy chúng mang tính đối xứng (symmetry) tức là các định đề xuất hiện theo cặp Mỗi định đề trong 1 cặp có thể được xây dựng từ định đề còn lại bằng cách Hoán đổi các phép toán 2 ngôi Hoán đổi các phần tử đồng nhất Như vậy đại số Boolean mang tính đối ngẫu Phép toán (+) và (•) đối ngẫu Phần tử đồng nhất 0 và 1 đối ngẫu Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 7 Các định lý cơ bản (fundamental theorems) Các định lý được chứng minh từ các định đề Huntington và các định đề đối ngẫu theo 2 phương pháp Phương pháp phản chứng (contradiction) Giả sử kết quả đối ngược là đúng Chứng minh mâu thuẫn với sự thật Phương pháp quy nạp (induction) Chứng minh định luật đúng với trường hợp k = 1 Giả sử định luật đúng vơí trương hợp k = n Chứng minh định luật đúng với k = n +1 Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính Các định lý cơ bản (tt) Định lý 1. (Null Law) x + 1 = 1 x • 0 = 0 Định lý 2. (Involution) (x’ )’ = x Định lý 3. (Idempotency) x + x = x x • x = x Định lý 4. (Absorption) x + (x • y) = x x • (x + y) = x 8 Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 9 Các định lý cơ bản (tt) Định lý 5. (Simplification) x + x’• y = x + y và x• (x’ + y) = x•y Định lý 6. (Associative Law) x + (y + z) = (x + y) + z = x + y + z x • (y • z) = (x • y) • z = x • y • z Định lý 7. (Consensus) (x • y) + (x’ • z) + (y • z) = (x • y) + (x’ • z) (x + y) • (x’ + z) • (y + z) = (x + y) • (x’ + z) Định lý 8. (De Morgan’s Law) (x + y)’ = x’ • y’ (x • y)’ = x’ + y’ Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 10 Đại số chuyển mạch (switching algebra) Đối với đại số Boolean, miền không bị giới hạn (không giới hạn số lượng phần tử trong miền) Ta chỉ khảo sát đại số Boolean giới hạn 2 phần tử [...]... switching circuit) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 26 Biểu tượng của các cổng luận lý NOT OR AND NOR NAND XOR XNOR Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 27 Một số dạng tương đương Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 28 Một số dạng tương đương Kết luận về chuyển đổi cổng AND và cổng OR ? Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ... variable) hay tín hiệu (signal) Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 11 Các phép toán chuyển mạch Đại số chuyển mạch sử dụng các phép toán trong luận lý mệnh đề với tên gọi khác Phép toán AND: tương đương với phép nhân luận lý Phép toán OR: tương đương với phép cộng luận lý Phép toán NOT: tương đương với phép bù luận lý Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy... A’BC(A+D)’ Mạch luận lý C 1 1 x 1 29 Luận lý dương, âm & hỗn tạp Giá trị luận lý 0, 1 được biểu diễn trong thế giới thật bởi các tín hiệu vật lý (thường là mức điện áp) Tùy theo hệ thống, giá trị cụ thể của các mức điện áp có thể khác nhau, nhưng luôn tồn tại 1 mức điện áp cao hơn mức còn lại High (H) và Low (L) Hai cách thể hiện mối tương quan giữa giá trị luận lý và mức điện áp Luận lý dương (positive... Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 25 Cổng luận lý Để đại số chuyển mạch có thể thực hiện các công việc trong đời thật, cần phải có: Thiết bị vật lý thực hiệc các phép toán chuyển mạch Tín hiệu vật lý (điện áp, …) thay thế cho các biến chuyển mạch Cổng (gate) là tên chung dùng để gọi các thiết bị vật lý thực hiện các phép toán chuyển mạch với độ chính xác (accuracy) và thời gian.. .Đại số chuyển mạch (tt) Năm 1937, Claude Shannon hiện thực đại số Boolean 2 phần tử bằng mạch các chuyển mạch (circuit of switches) Chuyển mạch là thiết bị có 2 vị trí: tắt (off) hay mở (on) 2 vị trí này biểu diễn cho 0 hay 1 Đại số Boolean 2 phần tử được gọi là đại số chuyển mạch Các phần tử đồng nhất được gọi là các hằng chuyển mạch... (delay) chấp nhận được Mỗi cổng được biểu diễn bởi 1 biểu tượng (schematic symbol) cùng với 1 số chân (pin, terminal) tượng trưng cho các biến chuyển mạch Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 26 Cổng luận lý Để đại số chuyển mạch có thể thực hiện các công việc trong đời thật, cần phải có: Thiết bị vật lý thực hiệc các phép toán chuyển mạch Tín hiệu vật lý (điện áp, …) thay thế... chuyển mạch Cổng (gate) là tên chung dùng để gọi các thiết bị vật lý Một biểu thức chuyển mạch bất kỳ chính xác luôn có thực hiện các phép toán chuyển mạch với độ thể đượcvà thời gian trễtrong đời thật bằng (accuracy) hiện thực (delay) chấp nhận được cách kết nối biểu diễn bởilạibiểu tượng (schematic Mỗi cổng được các cổng 1 với nhau (mạch symbol) - logic 1 số chân (pin, mạch tượng trưng luận lý cùng với... chuyển mạch (switching function) là một phép gán xác định và duy nhất của những giá trị 0 và 1 cho tất cả các tổ hợp giá trị của các biến thành phần Số lượng hàm chuyển mạch của n biến là BT: SV liệt kê các 16 hàm chuyển mạch với 2 biến Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 20 Hàm chuyển mạch (tt) Sự khác nhau giữa hàm và biểu thức chuyển mạch ? Nếu mọi giá trị của biểu thức... luận lý A B C x D Bảng sự thật ? Mạch tương đương ? Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 29 Thí dụ D Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 Mạch tương đương ? 0 1 Bảng sự thật ? 0 1 D 0 0 x A 1 A B C B 0 Biểu thức chuyển mạch x = A’BC(A+D)’ Mạch luận. .. chuyển mạch (switching function) là một phép gán xác định và duy nhất của những giá trị 0 và 1 cho tất cả các tổ hợp giá trị của các biến thành phần Số lượng hàm chuyển mạch của n biến là BT: SV liệt kê các 16 hàm chuyển mạch với 2 biến Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính - Bộ môn kỹ thuật máy tính 20 Hàm chuyển mạch 2 biểu thức (x + x’ y’) và (x + y’) có tương đương ? x y x’ y’ x’ y’ x + x’ y’ x + . tính 2 Đại số Boolean Cơ sở toán học cho các hệ thống số là đại số Boolean (Boolean algebra) George Boole giới thiệu vào năm 1854 Tương tự các hệ đại số khác,. Đại số Boolean và cổng luận lý Bộ môn Kỹ thuật máy tính Bùi Văn Hiếu bvhieu@cse.hcmut.edu.vn Khoa Khoa học và Kỹ thuật máy tính -