TRẦN AN HẢI          TUẦN 10    Ứng dụng: Đồ họa máy tính và Phim hoạt hình Một hình trên mặt phẳng có thể lưu trữ trong máy tính như một tập các đỉnh. Sau đó những đỉnh có thể đánh dấu và nối lại bằng các đường để tạo ra hình. Nếu có n đỉnh, chúng được lưu trữ trong một ma trận 2×n. Tọa độ x và y của đỉnh lần lượt được lưu trữ trong hàng thứ nhất và trong hàng thứ hai. Mỗi cặp điểm liền kề được nối với nhau bởi một đường thẳng. Chẳng hạn để tạo một tam giác với các đỉnh (0, 0), (1, 1), (1, -1) ta lưu trữ chúng như những cột của một ma trận G =       − 0 0 1 1 1 1 0 0 Bản sao lại của đỉnh (0, 0) được lưu trữ trong cột cuối cùng của G để điểm (1, -1) được nối vòng lại (0,0) (Xem hình (a)) (a) Tam giác xác định bởi T (b) Phép dãn 1.5 lần (c) Phép lấy đối xứng qua trục Oy (d) Phép quay một góc 60 0 Ta có thể biến đổi một hình bằng cách thay đổi vị trí của các đỉnh và sau đó vẽ lại hình. Nếu phép biến đổi là tuyến tính nó có thể thực hiện như một phép nhân ma trận. Nhìn một dãy những hình vẽ như thế ta sẽ có cảm giác về sự di động trong phim hoạt hình. Bốn phép biến đổi hình học đơn giản mà được sử dụng trong đồ họa máy tính là: 1. Phép co dãn. Một phép biến đổi tuyến tính có dạng T(v) = cv là một phép dãn nếu c>1 và là một phép co nếu 0< c <1. Phép biến đổi T được biểu diễn bởi ma trận cI, trong đó I là ma trận đơn vị 2×2. Một phép dãn làm tăng kích thước của hình lên c lần, còn một phép co làm rút hình lại c lần. Hình (b) thể hiện phép dãn 1.5 lần tam giác lưu trữ trong ma trận G. 2. Phép đối xứng trục. Nếu T x là phép lấy đối xứng vectơ v qua trục Ox, thì T x là một phép biến đổi tuyến tính và do đó nó có thể biểu diễn bởi một ma trận A cỡ 2×2. Từ T x (e 1 ) = e 1 và T x (e 2 ) = -e 2 suy ra rằng A =       −10 01 Tương tự, nếu T y là phép biến đổi tuyến tính mà lấy đối xứng một vectơ qua trục Oy, thì T y được biểu diễn bởi ma trận       − 10 01 Hình (c) cho thấy ảnh của tam giác G sau khi lấy đối xứng qua trục Oy. 3. Phép quay. Cho T là một phép biến đổi mà quay một vectơ xung quanh gốc tọa độ một góc θ theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Ta đã thấy trong Ví dụ 2 rằng T là một phép biến đổi tuyến tính và T(v) = Av, trong đó A =       − θθ θθ cossin sincos Hình (d) cho thấy kết quả của phép quay tam giác một góc 60 0 theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. 4. Phép tịnh tiến. Một phép tịnh tiến theo vectơ a là một phép biến đổi có dạng T(v) = v + a Nếu a ≠ 0, thì T không phải là phép biến đổi tuyến tính và do đó T không biểu diễn được bởi một ma trận 2×2. Tuy nhiên, trong đồ họa máy tính đòi hỏi thể hiện tất cả những phép biến đổi bằng phép nhân với ma trận. Người ta xử lý vấn đề này như sau: Đồng nhất mỗi vectơ (x 1 , x 2 ) trong R 2 với một vectơ (x 1 , x 2 , 1) trong R 3 . Khi muốn đánh dấu một điểm được biểu diễn bởi vectơ (x 1 , x 2 , 1) ta chỉ việc bỏ tọa độ thứ ba và đánh dấu cặp số (x 1 , x 2 ). Bằng phép đồng nhất này ta có thể tìm được một ma trận biểu diễn phép tịnh tiến theo vectơ a trong R 2 . Chẳng hạn, phép tịnh tiến theo vectơ a = (6, 2) đạt được bằng phép nhân với ma trận Ax =           100 210 601           1 2 1 x x =           + + 1 2 6 2 1 x x . Hình (A) thể hiện một hình người được tạo từ một ma trận S cỡ 3×81. Khi ta nhân ma trận A với S, đồ họa của AS là hình được tịnh tiến, cho bởi (B). . (A) Đồ họa của ma trận S (B) Đồ họa của hình tịnh tiến AS Ma trận của ánh xạ đồng nhất và Phép chuyển cơ sở Nhắc lại, khi V là một không gian vectơ, thì ánh xạ I xác định bởi I (v) = v đối với mọi v∈V, được gọi là ánh xạ đồng nhất. Bây giờ ta tìm hiểu xem ma trận của I như thế nào. Giả sử không gian V có hai cơ sở E = {v 1 , v 2 , . , v n } và F = {w 1 , w 2 , . , w m }. Nếu E là cơ sở trong không gian nguồn, còn F là cơ sở trong không gian đích, thì theo Định lý 7.2.1 I có ma trận A theo các cơ sở E và F với cột thứ j là a j = [ I (v j )] F = [v j ] F j = 1, 2, . , n Ví dụ 6 Cho hai cơ sở của R 2 là E = {e 1 , e 2 } và F ={w 1 = (3, 7), w 2 = (2, 5)}. Tìm ma trận của I : R 2 → R 2 a) theo các cơ sở E và F. b) theo các cơ sở F và E. Giải a) (1, 0) = 5(3, 7) - 7(2, 5) và (0, 1) = -2(3, 7) + 3(2, 5), nên [e 1 ] F = (5, -7), [e 2 ] F = (-2, 3). Như vậy ma trận của I là       − − 37 25 . b) w 1 = 3(1, 0) + 7(0, 1) và w 2 = 2(1, 0) + 5(0, 1), nên [w 1 ] E = (3, 7) = w 1 , [w 2 ] E = (2, 5) = w 2 . Như vậy ma trận của I là       57 23 = [w 1 w 2 ]. ☺ Chú ý 1) Nếu R n có hai cơ sở E = {e 1 , e 2 , . , e n } (cơ sở chính tắc) và F = {w 1 , w 2 , . , w m }. Do [w j ] E = w j nên ma trận của ánh xạ đồng nhất theo cơ sở F và E là [w 1 w 2 . w m ] (xem Ví dụ 6b)). 2) Nếu E trùng F, thì do a j = [v j ] F = e j nên ma trận của I theo cơ sở E và F là ma trận đơn vị cỡ n×n. Giả sử không gian V có hai cơ sở E và F. Gọi A là ma trận của ánh xạ đồng nhất I : V → V theo các cơ sở E và F. Cho vectơ v thuộc V có tọa độ theo cơ sở E và F lần lượt là [v] E và [v] F . Theo Định lý 7.2.1 [v] F = A[v] E Đây chính là công thức liên hệ tọa độ của cùng một vectơ u theo hai cơ sở E và F. Vì vậy A còn được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ F sang E. Chú ý Ma trận chuyển cơ sở A từ F sang E là ma trận khả nghịch và A -1 là ma trận chuyển cơ sở từ E sang F (Xem Ví dụ 6). Ví dụ 7 Cho hai cơ sở của R 2 là E = {e 1 , e 2 } và F ={w 1 = (3, 7), w 2 = (2, 5)}. Biết u∈R 2 có tọa độ theo cơ sở F là (1, -1). Tìm tọa độ của u theo cơ sở E. Giải Theo Ví dụ 6b), ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là       57 23 . Do công thức liên hệ tọa độ, ta có tọa độ của u theo cơ sở E bằng       57 23       −1 1 =       2 1 . ☺ Ma trận của phép biến biến đổi tuyến tính hợp Cho các phép biến đổi tuyến tính S : U → V, T : V → W. Ta xác định phép biến đổi mới từ U vào W, ký hiệu là TS, bằng cách thực hiện liên tiếp hai ánh xạ S và T, tức là TS xác định bởi (TS)(u) = T(S(u)). TS là phép biến đổi tuyến tính. Thật vậy, với mọi vectơ a và b thuộc U, với mọi vô hướng x và y, ta có (TS)(xa + yb) = T(S(xa + yb)) = T(xS(a) + yS(b)) = xT(S(a)) + yT(S(b)) = x(TS)(a) + y(TS)(b). TS được gọi là phép biến đổi tuyến tính hợp của S với T. Ví dụ 8 Các phép biến đổi tuyến tính S : R 2 → R 3 , T : R 3 → R 1 cho bởi S((x 1 , x 2 )) = (x 1 -x 2 , x 1 -x 2 , 2x 1 ) T((x 1 ,x 2 , x 3 )) = x 1 + x 2 - x 3 . Ta có (TS)((x 1 , x 2 )) = T(S((x 1 , x 2 ))) = T((x 1 -x 2 , x 1 -x 2 , 2x 1 )) = x 1 -x 2 + x 1 -x 2 - 2x 1 = - 2x 2 . Định nghĩa Phép biến đổi tuyến tính T : V → W được gọi là phép biến đổi tuyến tính khả nghịch nếu tồn tại một phép biến đổi tuyến tính L : W → V thỏa điều kiện (TL)(w) = w và (LT)(v) = v với mọi w ∈W và với mọi v ∈V . (Tức là TL và LT là những ánh xạ đồng nhất). Ta gọi L là phép biến đổi nghịch đảo của T, ký hiệu là T -1 . Với hai phép biến đổi tuyến tính T và S cho trước mà có phép biến đổi hợp TS, câu hỏi đặt ra là ma trận của TS liên hệ với ma trận của T và S như thế nào? Ngoài ra, nếu T khả nghịch, thì ma trận của phép biến đổi T -1 và ma trận của T liên hệ với nhau thế nào? Định lý dưới đây trả lời cho các câu hỏi này. Định lý 7.2.2 Cho H, E, F lần lượt là cơ sở của các không gian vectơ U, V, W. Giả sử A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính S : U → V theo các cơ sở H và E, B là ma trận của phép biến đổi tuyến tính T : V → W theo các cơ sở E và F. Ta có ma trận của TS theo các cơ sở H và F là BA. Ví dụ 9 Các phép biến đổi tuyến tính S : R 2 → R 3 , T : R 3 → R 1 cho bởi S((x 1 , x 2 )) = (x 1 -x 2 , x 1 -x 2 , 2x 1 ) T((x 1 ,x 2 , x 3 )) = x 1 + x 2 - x 3 . Tìm ma trận chính tắc của TS. Giải Cách 1: Theo Ví dụ 8 (TS)((x 1 , x 2 )) = - 2x 2 = [ ] 20 −       2 1 x x nên ma trận chính tắc của TS là [0 -2]. Cách 2: S((x 1 , x 2 )) = (x 1 -x 2 , x 1 -x 2 , 2x 1 ) =           − − 0 1 1 2 1 1       2 1 x x T((x 1 ,x 2 , x 3 )) = x 1 + x 2 - x 3 = [1 1 -1]           3 2 1 x x x nên ma trận chính tắc của S và T tương ứng là A =           − − 0 1 1 2 1 1 và B = [1 1 -1]. Ma trận chính tắc của TS là BA = [0 -2]. ☺ Hệ quả 7.2.3 Cho E, F lần lượt là cơ sở của các không gian vectơ V, W. Giả sử A là ma trận của phép biến đổi tuyến tính T : V → W theo các cơ sở E và F. Khi ấy, T khả nghịch nếu và chỉ nếu A khả nghịch. Ngoài ra T -1 : W → V có ma trận theo các cơ sở F và E là A -1 . Chứng minh Giả sử T khả nghịch và B là ma trận của T -1 : W → V theo các cơ sở F và E. Theo Định lý 7.2.2 T -1 T có ma trận theo cơ sở E là BA. Mặt khác, T -1 T là ánh xạ đồng nhất và nó có ma trận theo cơ sở E là I. Như vậy, BA = I. Suy ra A khả nghịch và B = A -1 . Ngược lại, giả sử A khả nghịch. Ta xác định L : W → V là phép biến đổi có ma trận là A -1 theo cơ sở F. Theo Định lý 7.2.2 LT có ma trận theo cơ sở E là A -1 A = I. Vì vậy, với mọi v∈V [LT(v)] E = I[v] E = [v] E . Suy ra, LT(v) = v với mọi v∈V. Chứng minh tương tự, ta có (TL)(w) = w với mọi w∈W. Do đó, T là phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. ☺ Các ma trận đồng dạng Nếu T là một phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ n- chiều V vào chính nó, ma trận biểu diễn T sẽ phụ thuộc vào cơ sở được chọn của V. Nếu cơ sở thay đổi thì ma trận biểu diễn T cũng thay đổi. Bây giờ ta tìm hiểu mối quan hệ giữa các ma trận này. Định lý 7.2.4 Cho E và F là hai cơ sở của không gian vectơ V và T : V → V là phép biến đổi tuyến tính. Cho M là ma trận chuyển cơ sở từ E sang F. Nếu A là ma trận của T theo cơ sở E và B là ma trận của T theo cơ sở F, thì B = M -1 AM. Chứng minh Với mọi v∈V ta có [T(v)] E = A[v] E nên M -1 [T(v)] E = M -1 A[v] E . Do [v] E = M[v] F và [T(v)] F = M -1 [T(v)] E nên [T(v)] F = M -1 AM[v] F . Mặt khác, [T(v)] F = B[v] F , nên B = M -1 AM. ☺ Ví dụ 10 Cho phép biến đổi tuyến tính T : R 2 → R 2 xác định bởi T(v) = (2x 1 , x 1 + x 2 ). với mọi v = (x 1 ,x 2 ). Tìm ma trận của T theo cơ sở F = {w 1 = (1, 1), w 2 = (-1, 1)}. Giải Ma trận chính tắc của T (chính là ma trận theo cơ sở chính tắc E = {e 1 , e 2 }) là A =       11 02 . Ma trận chuyển cơ sở từ E sang F là M = [w 1 w 2 ] =       − 11 11 . Như vậy, ma trận của T theo cơ sở F là M -1 AM = 2 1       − 11 11       11 02       − 11 11 =       − 10 12 . ☺ Định nghĩa Cho A và B là hai ma trận n×n. B được gọi là đồng dạng với A nếu tồn tại ma trận khả nghịch M sao cho B = M -1 AM. Chú ý 1) Nếu B đồng dạng với A, thì A = MBM -1 = (M -1 ) -1 BM -1 là đồng dạng với B. Vì vậy ta có thể nói A và B là các ma trận đồng dạng. 2) Một phép biến đổi tuyến tính từ không gian vectơ V vào chính nó có ma trận theo những cơ sở khác nhau đồng dạng. 3) Nếu A và B là các ma trận đồng dạng, thì đa thức đặc trưng của chúng trùng nhau.Thật vậy det(B - tI) = det(M -1 AM - t(M -1 IM)) = det(M -1 (A - tI)M) = det(A - tI). Như vậy, hai ma trận đồng dạng thì các giá trị riêng (kể cả bội) trùng nhau. NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 10 1. Ma trận của ánh xạ đồng nhất. Ma trận chuyển cơ sở. 2. Ma trận của phép biến đổi tuyến tính hợp. Ma trận của phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo. 3. Mối quan hệ giữa các ma trận của cùng một phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ vào chính nó.  NỘI DUNG ÔN TẬP TÍN CHỈ 2 I. Không gian vectơ * Tập sinh của một không gian vectơ. * Khái niệm độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. Phương pháp kiểm tra sự độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của một dãy vectơ trong R n . * Cơ sở và số chiều của một không gian vectơ. * Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính (Phần 1) về chiều và cơ sở của C(A), C(A T ), N(A), N(A T ). II. Giá trị riêng và Vectơ riêng * Định nghĩa giá trị riêng và vectơ riêng. * Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng. * Định nghĩa ma trận chéo hóa được, ma trận vectơ riêng, ma trận giá trị riêng. * Những điều kiện để một ma trận chéo hóa được. III. Tính trực giao * Tích vô hướng trong R n . Độ dài của vectơ. * Hai vectơ trực giao. Hai không gian con trực giao. Phần bù trực giao của một không gian con. Định lý cơ bản của ĐSTT (Phần 2). * Tổ hợp những cơ sở từ C(A T ) và N(A). Phân tích một vectơ thành x r + x n . * Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt. * Ma trận trực giao. Vectơ riêng, giá trị riêng của ma trận thực đối xứng. IV. Phép biến đổi tuyến tính * Khái niệm phép biến đổi tuyến tính. * Ảnh và hạt nhân của một phép biến đổi tuyến tính. * Ma trận biểu diễn một phép biến đổi tuyến tính. * Ma trận chuyển cơ sở và mối liên hệ về tọa độ của cùng một vectơ theo hai cơ sở. * Ma trận của phép biến đổi tuyến tính hợp. Ma trận của phép biến đổi tuyến tính nghịch đảo. * Mối quan hệ giữa các ma trận của cùng một phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vectơ vào chính nó. MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH ĐỂ CỦNG CỐ LÝ THUYẾT 1. Những tập nào sau đây là tập sinh của R 2 ? (a)                   1 0 , 0 1 (b)                         7 4 , 1 0 , 0 1 (c)             − −       1 1 , 1 1 2. Xác định xem các vectơ trong R 3 sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính v 1 =           3 2 1 , v 2 =           10 8 2 , v 3 =           13 10 3 . 3. Giả sử w 1 , w 2 , w 3 phụ thuộc tuyến tính, hãy chứng minh rằng v 1 = w 2 - w 3 , v 2 = w 1 - w 3 ,v 3 = w 1 - w 2 cũng phụ thuộc tuyến tính. Tìm một tổ hợp tuyến tính của ba vectơ v 1 , v 2 , v 3 mà cho vectơ-không 4. Xác định xem các vectơ trong P 2 sau đây phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính p 1 (x) = x 2 - 2x + 3 p 2 (x) = 2x 2 + x + 8 p 3 (x) = x 2 + 8x + 7 5. Chứng minh tập vectơ E = {(1, 2, 1), (2, 3, 3), (3, 2, 1)} là cơ sở của không gian R 3 ? 6. Tìm cơ sở và số chiều của 4 không gian con chủ yếu liên quan đến ma trận A =           250155 16162 5031 . Hãy phân tích vectơ bất kỳ v = (a, b, c, d)∈ R 4 thành x r + x n . 7. Tìm một cơ sở cho không gian con W sau đây của R 4 W = {(x, y, x + y, x - y) ∈R 4 | x và y ∈R}. 8. Tìm một cơ sở cho không gian con W sau đây của P 2 W = {ax 2 + bx + c ∈P 2 | a, b, c∈R, a - b + 2c = 0 }. 9. Tìm một cơ sở cho không gian con W sau đây của M(2×2, R) W =       ∈       Rcba cb ba ,, . 10. Cho một cơ sở của R 3 gồm các vectơ {v 1 = (1, -1, 0), v 2 = (2, 0, -2), v 3 = (3, -3, 3)}. Dùng phương pháp Gram- Schmidt, hãy xây dựng một cơ sở trực giao của R 3 từ cơ sở này. 11. Xét xem ma trận sau có chéo hóa được không A =       − − 11 11 . 12. Cho ma trận A =           − −− 110 123 031 Tìm một ma trận vuông S sao cho S -1 AS là ma trận đường chéo. Từ đó tính A 10 . 13. Cho ma trận A =       − − 82 25 . Tìm một ma trận vuông trực giao Q sao cho Q T AQ là ma trận đường chéo. 14. Cho E = {(1, 2), (2, 3)} và F = {(1, 1), (2, 1)}là hai cơ sở của không gian R 2 . Tìm các ma trận chuyển cơ sở từ E sang F và từ F sang E. Biết tọa độ của v theo cơ sở E là (1, -1), tìm tọa độ của v theo cơ sở F. 15. Cho F = {v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 0, 1), v 3 = (0, 1, 1)} và cho phép biến đổi tuyến tính T : R 2 → R 3 xác định bởi T(v) = x 1 v 1 + x 2 v 2 + (x 1 +x 2 )v 3 với v = (x 1 , x 2 ). 1) Tìm ma trận chính tắc của T. 2) Tìm ma trận của T theo cơ sở {e 1 , e 2 } và F. 3) Tìm hạt nhân của T. 16. Cho phép biến đổi tuyến tính T : R 2 → R 2 xác định bởi T(v) = (2x 1 , x 1 + x 2 ). với mọi v = (x 1 ,x 2 ). 1) Tìm ma trận chính tắc của T. 2) Chứng minh rằng T là phép biến đổi tuyến tính khả nghịch. Tìm ma trận chính tắc của T -1 . 3) Tìm ma trận của T theo cơ sở F = {w 1 = (1, 2), w 2 = (2, 3)}. 4) Cho phép biến đổi tuyến tính S((x 1 , x 2 )) = (x 1 -x 2 , x 1 -x 2 , 2x 1 ). Tìm ma trận của ST trong cơ sở F và {e 1 , e 2 , e 3 }. .       TUẦN 10    Ứng dụng: Đồ họa máy tính và Phim hoạt hình Một hình trên mặt phẳng có thể lưu trữ trong máy tính như một tập các đỉnh. Sau. động trong phim hoạt hình. Bốn phép biến đổi hình học đơn giản mà được sử dụng trong đồ họa máy tính là: 1. Phép co dãn. Một phép biến đổi tuyến tính có dạng