Đang tải... (xem toàn văn)
Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Đỗ Thị Phương Quỳnh MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60. 46. 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. Nguyễn Thị Tuyết Mai Thái Nguyên – 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỤC LỤC Mở đầu 3 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình 6 1.2. Khoảng cách 7 1.3. Không gian Hyperbolic 12 1.4. Đa tạp phức 13 1.5. Miền giả lồi - giả lồi mạnh 14 1.6. Miền taut 17 Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1. Mặt cực hạn 21 2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. 31 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 MỞ ĐẦU Cho D là miền bị chặn trong n và f : D Dlà ánh xạ chỉnh hình. Khi đó định nghĩa dãy lặp nf của f như sau: 1n n 1fff f .f . Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy nfcó hội tụ đều trên các tập compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình nh : D hay không ? Vào năm 1926 Wolff và Denjoy đã giải quyết vấn đề trên khi D (là đĩa đơn vị trong ). Cụ thể họ đ ã chứng minh được định lí Denjoy – Wolff như sau: “ Cho :f là một hàm chỉnh hình từ đĩa đơn vị trong lên chính nó. Khi đó dãy lặp nf không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của có đúng một điểm cố định. Hơn nữa, giới hạn của nf, khi nó tồn tại, là hằng số x ”. Để chứng minh định lí này trong trường hợp f có một điểm cố định 0z thì Denjoy và Wolff đã sử dụng bổ đề Schwarz. Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một công cụ mới để thay thế. Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho :f là hàm chỉnh hình không có điểm cố định. Khi đó tồn tại x sao cho với mỗi R>0 có ,,f E x R E x R” được thay thế cho bổ đề Schwarz. Về bản chất, đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của tại x. Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một miền tổng quát hơn trong : “ Cho D là một miền hữu hạn liên thông Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 bị chặn bởi đường cong Jordan, và :f D D là một hàm chỉnh hình. Khi đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D. Hơn thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng xD”. Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với hình cầu đơn vị trong n bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển trong nB. Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một miền bất kì. Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong n và xét một ánh xạ chỉnh hình f : D D. Giả thiết f có một điểm cố định 0zD, và khả vi tại 0z. Theo định lí Cartan - Carathéodory, giá trị riêng của 0zdfthuộc vào . Sử dụng dạng chính tắc Jordan của 0zdf, dễ dàng kiểm tra được rằng 0nzdf hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong 1và khi đó cho ta một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong n, :f D D là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định 0zD. Khi đó dãy lặp nfhội tụ nếu và chỉ nếu 0zdfkhông có giá trị riêng 1 và 1”. Định lí này đã mô tả một cách rõ ràng giới hạn điểm của dãy lặp nf. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận văn gồm hai chương : Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan chặt chẽ với nội dung chính của luận văn như : ánh xạ chỉnh hình, các giả khoảng cách Kobayashi, giả khoảng cách Carathéodory, miền lồi, miền giả lồi mạnh, không gian hyperbolic, và miền taut. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình. Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai. Với tấm lòng thành kính tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô. Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN. Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1. Định nghĩa + Giả sử X là một tập mở trong n, hàm số f : X được gọi là khả vi phức tại 0xX nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính n: sao cho 00h0f x h f x hlim 0h . Trong đó nn21 2 n ii1h ,h h ,h , .,h , h h . + Hàm f được gọi là chỉnh hình tại 0xX nếu tồn tại một lân cận mở U của 0x sao cho f khả vi phức với 0xxU. + Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X. + Cho ánh xạ nmf :X ; có thể viết dưới dạng 1 2 mf f ,f , .,f. Trong đó iif f : X , i=1, .,m là các hàm toạ độ, và mi1 2 m i:f ,f , .,f f . Khi đó f được gọi là chỉnh hình trên X nếu if chỉnh hình trên X với mọi i=1, .,m. Chú ý : Ánh xạ nf :X f X được gọi là song chỉnh hình nếu f là song ánh, chỉnh hình và 1f cũng là ánh xạ chỉnh hình. 1.1.2. Tính chất Định lí : Giả sử U là tập con mở của n, với mỗi ánh xạ :fU các điều kiện sau đây là tương đương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 a. f là hàm chỉnh hình. b. f là liên tục c. f là liên tục và |UMf là chỉnh hình với nM, M là không gian con hữu hạn chiều. 1.2. Khoảng cách 1.2.1. Định nghĩa [1] Khoảng cách d trên tập X là một hàm d : X Xx, y d x, y . thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X. i) d x, y 0;d x, y 0 x y ; ii) d(x,y)=d(y,x); iii) d x, y d x,z d z,y; Nếu d chỉ thoả mãn ii) và iii) và d x, y 0 thì d được gọi là giả khoảng cách trên X. 1.2.2. Khoảng cách Bergman Poincaré [4] z :| z | 1 là đĩa đơn vị trên mặt phẳng phức . Trên , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi 1 | z |0,z log , z .1 | z | Lấy a,b, phép biến đổi z - bw=1 - bz là một tự đẳng cấu của mà biến b thành 0 và biến a thành ab1 ab. Vậy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 ab11 baa,b log .ab11 ba 1.2.3. Giả khoảng cách Kobayashi [1] 1.2.3.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tuỳ ý của X. Hol(D, X) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào X, được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm 0 1 kp x,p , .,p y của X, dãy các điểm 1 2 ka ,a , .,acủa D và dãy các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f , .,f trong Hol (D, X) thoả mãn i i 1 i i if 0 p ,f a p ; i 1, .,k . Tập hợp 0 k 1 2 k 1 2 kp , .,p ,a ,a , .,a ,f ,f , .,f thoả mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Ta định nghĩa kX D i x,yi1d x, y inf 0,a , , trong đó x,y là tập hợp tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó Xd : X X là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X. Tổng kDii10,a được gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình. 1.2.3.2. Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi + Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là XYd x, y d f x ,f y x, y X , Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình. Hơn nữa Xd là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ chỉnh hình f : D X là giảm khoảng cách. + Giả sử X là không gian phức. Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi Xd : X X là hàm liên tục. + Nếu D là đĩa đơn vị trong thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré. 1.2.4. Giả khoảng cách Carathéodory [10] 1.2.4.1. Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X,) là tập các ánh xạ chỉnh hình f: X. Giả khoảng cách Carathéodory xCtrong X được định nghĩa như sau xC p,q sup f p ,f q ; p,q X . Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ f Hol X,. Khi là đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con F f Hol X, D ;f p 0 1.2.4.2. Một số tính chất *Mệnh đề 1 Cho đa tạp phức X, ta có XXd p,q C p,q , p,q X. Chứng minh: Như trong định nghĩa của Xd p,q, chọn 0 1 kp p ,p , .,p q của X, và các điểm 1 2 k 1 ka ,a , .,a ,b , .,bcủa và các ánh xạ chỉnh hình 1 2 kf ,f , .,f trong Hol(,X) thoả mãn i i i 1 i i if a p ,f b p. Cho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào . Khi đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 kki i i i i ii 1 i 11 1 k ka ,b f f a ,f f bf f a ,f f bf p ,f q , Trong đó bất đẳng thức thứ nhất được suy ra từ bổ đề Schwarz và bất đẳng thức thứ hai là hệ quả của tiên đề tam giác. Do đó , kX i i Xi=1d p,q inf a ,b sup f p ,f q C p,q . * Mệnh đề 2: Nếu X và Y là không gian phức thì YxC f p ,f q C p,q f Hol X, Y ;p,q X thì f : X Y có tính giảm khoảng cách. *Mệnh đề 3: Cho là một đĩa mở trong , C. Chứng minh: Sử dụng bổ đề Schwarz đối với ánh xạ chỉnh hình f: ta thu được p,q C p,q , p,q . Từ định nghĩa của C, xét phép biến đổi đồng nhất của , ta thu được bất đẳng thức p,q C p,q , p,q . * Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức a) Nếu X là một giả khoảng cách như sau Xf p ,f q p,q f Hol X, ;p,q X thì XXC p,q p,q ; p,q X b) Nếu X là một giả khoảng cách thoả mãn [...]... về mặt cực hạn trong một miền tuỳ ý Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong (2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây 2.1 Mặt cực hạn [5] 2.1.1 Định nghĩa Cho D là một miền bị chặn của n , chọn z0 D,x D và R>0 Khi đó mặt cực hạn nhỏ E z0 x,R và mặt cực hạn. .. f id X Thì g là nghịch đảo của f id X Heins chỉ ra rằng “Cho D là một nhóm hữu hạn miền liên thông bị chặn bởi đường cong Jordan, và f : D D là hàm chỉnh hình thì dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là đẳng cấu của D Hơn nữa nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó là ánh xạ hằng x D ” Bây giờ cho D là miền bị chặn trong n và xét ánh xạ chỉnh hình f : D D nếu f có một điểm... miền giả lồi mạnh và bị chặn X với biên C2 là hyperbolic đầy Theo định lý Kiernan không gian hyperbolic đầy cũng là miền taut Suy ra miền giả lồi mạnh cũng là miền taut 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho f : là một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị... mặt cực hạn cổ điển 2.1.2 Mệnh đề 2.1 Cho B n là cầu đơn vị của n Cho bất kì z B n , kí hiệu z là tự đẳng cấu Mobius của Bn sao cho z z 0 thì ta có mệnh đề sau: 1 z, x 1 Cho x B và z B thì lim k Bn z, w k Bn 0, w log 2 2 w x 1 z 2 n n Chứng minh: Vì khoảng cách Kobayashi có tính giảm qua ánh xạ chỉnh hình và dấu bằng xảy ra khi ánh xạ là song chỉnh hình, ... K c1, , 2 2 và, cho thì ta thấy mâu thuẫn 30 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.3 Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình 2.3.1 Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10]) Cho X là không gian phức hyperbolic, x 0 là một điểm không kì dị của X Cho f : X X là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f( x 0 ) = x 0 , và df x0 : Tx0 X Tx0 X là vi phân của f tại x 0... một đường cực hạn tại x là tập có dạng 2 1 zx E x, R z | 2 R, 1 z mọi R>0 Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên tại x” 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong trường hợp f : D D mà D=Bn , hình cầu đơn vị của n , định nghĩa mặt cực hạn [5] là : “Cho x Bn và R>0, mặt cực hạn tâm x và bán kính... chính nó Cho V là tập con mở lớn nhất của X có tính chất vài dãy con của f hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g k i 1 của V Sự tồn tại của V V được chứng minh giống như sự tồn tại của W ở trên Từ tính lớn nhất của V ta thu được V=X cũng tương tự như cách lý luận trên Lấy một dãy con ta có thể giả sử rằng f hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của k i 1 X lên chính nó Thì f ... chính là mâu thuẫn lớn nhất của W, ta phải có W=X, thì mới chứng minh được khẳng định của ta Ta có thể giả sử rằng f ki hội tụ đến id X f và chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ đến k i 1 Bây giờ ta xét dãy ánh xạ nghịch đảo của f Cùng lý luận như trên, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng f hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình g k i 1 U x 0 ,r của U( x 0 ,r) lên chính... đó dãy lặp f không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của có đúng một điểm cố định Hơn thế nữa, giới hạn của f , khi nó tồn tại, là hằng số x ” n n + Nếu f có một điểm cố định z0 (và f id ) , xét f ' z0 : nếu f ' z 0 1 , theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của với đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ Mặt khác, nếu f ' z 0 1 thì f là ánh. .. C2 , compact tương đối trong n Khi đó tồn tại một lân cận D’ của D và một ánh xạ liên tục : D D D ' \ x, x, z | x D, z D ' sao cho : Với x, y D; x y , ánh xạ x,y x, y là ánh xạ chỉnh hình i) và x,y D ; Với x, y D; x y , ta có x , y x 1 và x , y y 1 ii) Từ kết quả của hai định lí trên ta có thể chứng minh định lí sau: 2.2.3 Định . 2 MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH 2.1. Mặt cực hạn 21 2.2. Mặt cực hạn trong miền giả lồi 25 2.3. Dãy lặp của ánh xạ chỉnh. ràng giới hạn điểm của dãy lặp nf. Mục đích của luận văn là nghiên cứu về mặt cực hạn và sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình, nội dung của luận