Đang tải... (xem toàn văn)
Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD, tâm O. Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD và BC lần lượt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK = DM. Tìm quỹ tích của điểm H. Vậy Điểm H n[r]
(1)E 2 2 1 1 1 1 F O D N M C B A y 1 F 1 1 1 x G O E D C B A
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỨ GIÁC NỘI TIẾP
( HAY LỢI ÍCH CỦA VIỆC CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN ) Ta biết tứ giác nội tiếp tứ giác có đỉnh nằm đường tròn Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo góc đối 1800 Biết tứ giác nội tiếp suy góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với nó, ngồi cịn vận dụng định lý góc nội tiếp để tìm góc Dưới dây số lợi ích việc chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
1 Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc đường tròn
Nếu ta phải chứng minh điểm A , B , C , M , N thuộc đường trịn , ta Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp, tứ giác ABVN nội tiếp từ suy điểm A, B , C , M điểm A, B , C , N nằm đường tròn Hai đường trịn có ba điểm chung nên chúng trùng nhau, từ suy điểm A, B, C, M , N thuộc đường trịn
Ví dụ 1: Cho góc vng xAy Trên tia Ax lấy điểm B cố định,trên tia Ay lấy điểm C di động Vẽ đường tròn (O) nội tiếp ABC, tiếp xúc với cạnh BC , CA , AB D , E , F Hai đường thẳng DE OA cắt G
a) Chứng minh điểm O , D , G , B , F thuộc đường tròn b) Đường thẳng DE qua điểm cố định
Giải :
a) OFG = OEG (c-c-c)
Þ $F1 = Eµ 1 mà Dµ 1 = Eµ 1 nờn $F1 = Dà 1
ị t giỏc ODGF nội tiếp
Þ O , D , G , F thuộc đường tròn (1) mặt khác, tứ giác ODBF nội tiếp
suy O, D , B , F thuộc đường trịn (2) từ (1) (2) Þ điểm O, D , G , B , F thuộc đường trịn, đường trịn (ODF)
b) Ta có OGB ODB 0 ; A 0 1
90 45
Vậy GAB vng cân G Vì AB cố định nên G cố định Đường thẳng DE qua điểm cố định điểm G
2 Chứng minh đường tròn qua điểm cố định.
Để Chứng minh đường tròn (ABC) qua điểm cố định, ta xét thêm điểm D cố định nào đó Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn, từ suy điều phải chứng minh
Ví dụ 2: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB , AC với đường tròn
Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đường thẳng vng góc với OD cắt AB , AC E F, cắt đường tròn M N
a) Chứng minh ME = NF
b) Khi điểm D di động BC, Chứng minh đường trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A
Giải : a) Tứ giác OBED có Bµ +Dµ = 1800
nên tứ giác nội tip ng trũn ị Eà 1 = Bà tứ giác ODCF có ODF OCF 900
nên tứ giác nội tiếp đường tròn ị $F1 = Cà , m Bà = Cµ nên Eµ = $F1 ; suy OEF cân O Vì ODEF nên DE=DF (tính chất tam giác cân) DM=DN (đ/ kính vng góc với dây cung)
Từ (1) (2) Þ ME = NF
b) Tứ giác OBED nội tip ị Eà = Dà T giỏc ODCF nội tiếp Þ OFD D 2,
(2)O M 2 2 1 1 H K N D C B A M 2 2 1 1 1 1 x H E M D C B A 3 Chứng minh hai góc bù nhau
Ta Chứng minh tứ giác nội tiếp đường trịn suy hai góc đối bù hai góc nội tiếp chắn cung
Ví dụ 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên đường tròn lấy điểm O Gọi D , E , F hình chiếu điểm M đường thẳng BC , CA , AB
a) Chứng minh điểm D , E , F nằm đường thẳng b) Gọi H hình chiếu điểm M tiếp tuyến Ax đường tròn Chứng minh MH MD = ME MF
Giải :
* Trường hợp điểm M trùng với đỉnh đỉnh tam giác , toán hiển nhiên
* Trường hợp điểm M khơng trùng với đình tam giác , giả sử M BC không chứa A
( M BCchứa A , Chứng minh tương tự ) a) Tứ giác MDBF nội tiếp ị Dà = Mà
T giỏc MDEC ni tip ị Dà = Mà
Tứ giác AFME nội tiếp Þ EMF BMC ( bù với FAC )
Þ Mµ 1 = Mµ 2 , Dµ 1 = Dµ 2 dẫn tới D , E , F thẳng hàng
b) Tứ giác HFMA MDEC nội tiếp nên : HMF HAF ACB EMD ;
MHF MAF MCD MED VẬY MHF = MED ( g-g)
Þ MH ME
ME MD suy MH MD = ME MF
4 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để tìm quỹ tích điểm.
Ví dụ 4: Cho hình vng ABCD, tâm O Một đường thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD BC M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy
Tìm quỹ tích điểm H Giải :
* Phần thuận :
Vì CN = AM ( tình chất đồi xứng ) Vì DK = DM nên CK = CN
Tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường trịn
nên Hµ = Mµ = 450 ; Hµ 2=Nµ = 450 , DHC 900 Vậy Điểm H nằm đường tròn đường kính CD Giới hạn : Điểm H nằm nửa đường trịn đường kính CD nằm hình vng
* Phần đảo :
Lấy điểm H nửa đường tròn đường kính CD
Vẽ đường thẳng HO cắt cạnh AD BC M N Lấy điểm K CD cho DK = DM , ta phải chứng minh H hình chiếu k MN
Thật , Vì DHC 900 ; DOC 900
nên tứ giác HOCD nội tiếp Þ DHM DCO 450 Mặt khác DKM 450
nên DHM DKM Þ tứ giác HKDM nội tiếp Þ KHM 900Þ KH MN
Þ H hình chiếu K MN
Kết luận : Vậy quỹ tích điểm H nửa đường trịn đường kính CD , nửa đường trịn nằm tron hình vng
Nhận xét phương pháp giải :
Trong phần thuận nhờ chứng minh tứ giác MHKD , NHKC nội tiếp đường trịn mà ta tính
DHC 900
, tứ xác định điểm H nằm đường trịn đường kính BC
Trong phần đảo, nhờ Chứng minh tứ giác nội tiếp BOCD , HKDM nội tiếp mà ta tính
KHM 900
(3) O
M F
E
C B
A 5 Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn để dựng hình.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE AB , DF AC Xác định vị trí điểm D để :
a) EF có độ dài nhỏ nhất, b) EF có độ dài lớn Giải :
Tứ giác AFDE có Eµ + $F = 1800
nên tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AD Gọi O tâm đường trịn này, Vẽ OM EF ME = MF Đặt BAC MOE .
Xét tam giác vng MOE có EM = EO Sin
Þ EF = BO Sin Þ EF = AD Sin (*) a) Do không đổ nên từ (*) suy
EF nhỏ ASD nhò AD BC D hình chiếu A BC
b) AD £AC ( quan hệ đường xiên AD AC với hình chiếu chúng đường thẳng BC ) Từ (*) Þ EF lớn AD lớn D trùng với C ( Vì AC > AB )
Nhận xét :
+ Về phương pháp giải: Mấu chột cách giải chứng minh tứ giác AFDE nội tiếp đường tròn EF dây đường trịn Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực trị điều kiện tương đương AD đạt cực trị trả lời câu hỏi đề
(4)phương pháp Chứng minh tứ giác nội tiếp Posted on August 23, 2008 by goldhung
Để chứng minh tứ giác tứ giác nội tiếp ta có cách sau:
Cách 1: Chứng minh tổng hai góc đối
Cách 2: Chứng minh góc ngồi góc đỉnh đối
Cách 3: Chứng minh hai đỉnh kể nhìn cạnh hai góc
Cách 4: Chứng minh đỉnh cách điểm
Các cách chủ yếu cách chứng minh dựa vào chứng minh góc Ngồi cách có vài điều kiện đủ khác để tứ giác tứ giác nội tiếp Chúng ta xét toán sau:
Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo I giao điểm hai cạnh bên AD BC Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp OA.OC = OB.OD b) Tứ giác ABCD nội tiếp IA ID = IB IC
Việc chứng minh tốn khơng có khó khăn, việc chứng minh tam đồng dạng suy kết Nhưng qua toán cho ta ý tưởng chứng minh tứ giác nội tiếp chứng minh đẳng thức cạnh
Hãy dùng ý tưởng để giải tốn sau:
Bài 1: Cho đườn trịn (O), A điểm nằm ngồi đường trịn Một cát tuyến qua A cắt (O) B C Vẽ tiếp tuyến QP với (O) (P tiếp điểm), gọi H hình chiếu P OA Chứng minh điểm O, H, B, C thuộc đường tròn
Hướng dẫn giải:
Chúng ta thấy BC OH cắt A, để chứng minh tứ giác OHBC nội tiếp ta nghĩ đến việc chứng minh AH.AO = AB.AC
Thật ta có:
(hệ thức lượng tam giác vuông APO) (tam giác APB ACP đồng dạng)
Từ ta có , theo ta có điều cần chứng minh
Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Đường tròn tâm O tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi H giao điểm OA BC Vẽ dây cung DE (O) qua H Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp
Hướng dẫn giải
Tam giác OCA vuông C, CH đường cao nên ta có: Dây cung BC DE (O) cắt H nên ta có
Từ ta có , chứng minh tương tự ta có tứ giác ADOE nội tiếp
Bài 3: Cho đườn tròn (O; R) điểm I nằm đường tròn Hai dây cung AB CD qua I Tiếp tuyến A B cắt P, tiếp tuyến C D cắt Q Gọi M giao điểm OQ CD, N giao điểm OQ AB Chứng minh:
a) Tứ giác MNPQ nội tiếp b) OI vng góc với PQ
Bài 4: Cho hình thang vuông ABCD ( AB//CD) Gọi O trung điểm AD Đường thẳng qua A vng góc với OB cắt đường thẳng qua D vng góc với OC K Chứng minh OK vng góc với BC
(5)Posted on August 23, 2008 by goldhung
Bài tốn 1:
Cho đường trịn (O; R) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M kẻ hai đường thẳng Đường thẳng thứ cắt (O) A B, đường thẳng thứ hai cắt (O) C D Chứng minh MA.MB = MC.MD
Chứng minh tốn khơng khó cách xét hai trường hợp M nằm ngồi nằm đường tròn (O) Trong trường hợp chứng minh tam giác MAC tamg giác MCD đồng dạng, từ ta suy kết cần chứng minh
Qua tốn ta chứng minh toán sau:
Bài toán 2:
Nếu M khơng nằm đường trịn (O; R), đường thẳng thay đổi qua M cắt (O) A B Khi tích MA MB khơng đổi
Chứng minh toán cần vẽ đường thẳng qua M O cắt (O) C, D Sau chứng minh tương tự tốn ta kết
Bài toán cho ta ý tưởng để giải toán họ đường tròn qua điểm cố định Ta xét toán sau:
Bài toán 3 ( Năng Khiếu 2004 – 2005 Chuyên toán) Cho đường tròn (O) điểm A khác O nằm đường tròn Một đường thẳng thay đổi qua A không qua O cắt (O) M N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định khác O
Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN tia đối tia AO Ta có
khơng đổi A (O) cố định Hơn P thuộc tia đối tia AO cố định nên P điểm cố định
Bài toán 4: (NK 2006 – 2007 Chun tốn) Cho đường trịn (O), AB dây cung cố định E trung điểm AB Một đường thẳng thay đổi qua A cắt đường trịn tâm O bán kính OE P Q Chứng minh tích AP AQ khơng đổi đường trịn ngoại tiếp tam giác BPQ ln qua điểm cố định
Vì E trung điểm AB nên OE vng góc với AB, suy AB tiếp tuyến (O; OE) Ta chứng
minh không đổi
Gọi I giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ AB Khi ta có: khơng đổi Suy I điểm cố định
(6)Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC AO Tương tự hai ta chứng minh E điểm cố định Từ suy tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OBC thuộc đường trung trực OE
Bài tập
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường thẳng d không cắt (O) M điểm thay đổi d, từ M vẽ hai tiếp tuyến MA MB đến (O) (A, B hai tiếp điểm) Chứng minh AB qua điểm cố định
Bài 2:
Cho đường tròn (O) điểm S cố định nằm ngồi đường trịn AB đường kính thay đổi SA, SB cắt (O) C D
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB qua điểm cố định b) Chứng minh CD qua điểm cố định
Bài 3: Cho điểm C, A, B thẳng hàng xếp theo thứ tự Một đường trịn (O) thay đổi ln qua A B CP, CQ tiếp tuyến (O) (P, Q tiếp điểm) Chứng minh rằng:
a) P, Q ln thuộc đường trịn cố định
b) Trung điểm M PQ thuộc đường tròn cố định
Email:huynhvumt@gmail.com
http://huynhvumt.violet.vn