Giải Phơng Trình chứa căn nh thế nào? Khi các bạn giải phơng trình (PT) dạng dcxbax +=+ , chúng ta đều biết bình phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT edxcxbax ++=+ 2 có giải đợc bằng ph- ơng pháp đó đợc nữa không? Xin trả lời trừ một số trờng hợp đặc biệt. Vậy thì có phơng pháp giải chung không ? Đây là câu hỏi mà nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví dụ khi giải PT sau: 32359 2 ++= xxx ,ta đặt 3 1 ,1359 += yyx , rồi khi giải PT: 20041603212004 2 =+ xxx , ta đặt 2 1 ,12160321 =+ ttx . Vậy bạn đã tự hỏi xem tại sao lại có đợc phép đặt nh vậy( Đã có một chuyên đề đ- ợc đăng trên Toán học và tuổi trẻ nói về phơng pháp giải). Đặc biệt với các bạn đã học về đạo hàm thì phơng pháp sau sẽ giải quyết bớc chọn đặt nhanh hơn rất nhiều. Sau đây là nội dung phơng pháp cụ thể: Dạng 1: )0(, 1 2 ++=+ adcxx a bax và thỏa mãn +=+ 2 1 2 2 cca adb (*). Xét hàm số dcxx a y ++= 2 1 => 2 0 2 )(' ac xcx a xf =<=>=+= , khi đó bằng phép đặt 2 ac ybax +=+ , ta sẽ đa PT dạng 1 về hệ đối xứng quen thuộc. Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn. Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó. Ví dụ: Giải PT sau: 36 6112 6 29 3 2 + =+ x xx Làm nháp: 6 29 3)( 2 += xxxf => 6 1 016)(' =<=>=+= xxxf . Giải: Đặt 6 1 36 6112 += + y x , 6 1 y <=> 36 1 3 1 36 6112 2 ++= + yy x <=> 12x+61 = 36y 2 +12y +1 <=> 3y 2 + y = x +5 (1) Mà theo cách đặt ta có: 6 1 6 29 3 2 +=+ yxx <=> 3x 2 + x = y +5 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ: +=+ +=+ 53 53 2 2 yxx xyy => 3(y 2 x 2 ) + ( y x) = x y <=> (x-y)(3y + 3x +2) = 0 <=> y = x hoặc 3 23 + = x y . * Với y = x => 3y 2 = 5 =>y = x = 3 5 ,( 6 1 y ). 1 * Với 3 23 + = x y => 3x 2 + x = 3 23 + x +5 <=> 9x 2 +6x - 13 = 0 => 9 1263 2,1 = x . Từ đây ta tìm đợc y và kết luận đợc nghiệm của PT đã cho. Dạng 2: ) 1 ,0,0(, 2 c acaedxcxbax ++=+ Xét f(x) = cx 2 + dx + e => f(x) = 2cx + d = 0 => c d x 2 = , khi đó bằng phép đặt dcybax +=+ 2 . Ví dụ1: Giải PT sau: 32359 2 ++= xxx Làm nháp: f(x) = 3x 2 + 2x + 3 =>f(x) = 6x + 2 = 0 =>x = - 1/3. Giải: Đặt 3 1 ,1359 += yyx => 9x 5 = 9y 2 +6y + 1 <=> 9y 2 + 6y = 9x 6 <=> 3y 2 + 2y = 3x 2 (1) Mặt khác ta có: 3x 2 + 2x + 3 = 3y +1 <=> 3x 2 + 2x = 3y 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ =+ =+ 2323 2323 2 2 yxx xyy đến đây xin dành cho bạn đọc tự giải nh ví dụ trên. Ví dụ 2: Giải PT sau: 20041603212004 2 =+ xxx (Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 2004). Làm nháp: Xét hàm số f(x) = x 2 x 2004 => f(x) = 2x 1 = 0 <=> x = 2 1 Do c a 1 , nên ta sử dụng phơng pháp đặt: Giải: Đặt 2 1 ,12160321 =+ ttx => t 2 t = 4008x, (1) Mặt khác do từ PT ta có: x 2 x 2004 = 2004( 2t 1) => x 2 x = 4008t,(2) Từ (1) và (2) ta có hệ PT sau: = = txx xtt 4008 4008 2 2 => (t 2 x 2 ) (t x) = 4008(x t) <=> (t x)[ t + x 1 + 4008] = 0 <=> t = x hoặc t = - x 4007. * Với t = x ta có: x 2 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009. Ta có x = 0 không thỏa mãn. * Với t = - x 4007=> x 2 x = 4008(- x- 4007) <=> x 2 +4007x 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm. KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009. 2 Dạng 3: ) 1 ,0,0(, 23 3 c acamexdxcxbax =+++=+ Xét hàm số f(x) = mexdxcx +++ 23 => f(x) = 3cx 2 + 2dx + e => f(x) = 6cx + 2d = 0 => c d x 3 = , Khi đó bằng phép đặt: c d ybax 3 3 +=+ Ví dụ: Giải PT sau: xx x x 4 9 2 3 38 63 3 2 3 3 += Làm nháp: Xét hàm số f(x) = xx x 4 9 2 3 3 2 3 + => f(x) = x 2 - 3x +9/4 => f(x) = 2x 3 = 0 <=> 2 3 = x . Giải: Đặt 2 3 8 63 3 3 = yx => 8 27 4 27 2 9 8 63 3 23 += yyyx <=> yyyx 4 27 2 9 2 9 3 23 += <=> 12x 18 = 4y 3 18y 2 + 27y, (1). Từ PT đã cho và theo cách đặt ta có: xx x y 4 9 2 3 32 3 2 3 += <=>12y 18 = 4x 3 18x 2 + 27x, (2). Từ (1) và (2) ta có hệ: += += xxxy yyyx 271841812 271841812 23 23 ( việc giải hệ này xin dành cho độc giả) Dạng 4: ) 1 ,0,0(, 23 3 c acamexdxcxbax +++=+ Xét hàm số f(x) = mexdxcx +++ 23 => f(x) = 3cx 2 + 2dx + e => f(x) = 6cx + 2d = 0 => c d x 3 = , Khi đó bằng phép đặt: dcybax +=+ 3 3 Ví dụ: ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau: 2 3 4 2881 23 3 += xxxx Làm nháp: Xét hàm số f(x) = 2 3 4 2 23 + xxx => f(x) = 3x 2 4x + 4/3 => f(x) = 6x 4 = 0 <=> 3 2 = x do c a 1 . Giải: Đặt 23881 3 = yx => 3x = y 3 2y 2 + y 3 4 ,( Biến đổi tơng tự ta có hệ) 3 += += yyyx xxxy 3 4 23 3 4 23 23 23 => (x y)( x 2 + xy +y 2 - 2x 2y + 3 13 ) = 0(*), Do x 2 + xy +y 2 - 2x 2y + 3 13 = 0 3 1 )2( 2 1 )2( 2 1 )( 2 1 222 >++++ yxyx , nên từ (*) ta có x = y => 3x = x 3 2x 2 + x 3 4 => x 1 = 0 ; x 2,3 = 3 623 Trên đây chỉ là một số ví dụ điển hình.Để thành thạo hơn các bạn luyện tập qua một số ví dụ dới đây. Hy vọng rằng phơng pháp trên đem lại cho bạn thành công khi giải phơng trình chứa căn. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong học tập ! Bài tập tự luyện: Giải các phơng trình sau: 1) 22 2 += xx 2) 534 2 += xxx 3) 3 3 2332 =+ xx 4) 513413 2 +=+ xxx 5) 541 2 ++=+ xxx 6) xx x 77 28 94 2 += + Phan Hoàng Ninh GV Trờng THPT Lục Ngạn số 1 Bắc Giang 4 . nào? Khi các bạn giải phơng trình (PT) dạng dcxbax +=+ , chúng ta đều biết bình phơng 2 vế để khử căn bậc hai, vậy với PT edxcxbax ++=+ 2 có giải đợc bằng. nhiều bạn đọc cha trả lời đợc, Ví dụ khi giải PT sau: 32359 2 ++= xxx ,ta đặt 3 1 ,1359 += yyx , rồi khi giải PT: 20041603212004 2 =+ xxx , ta đặt 2 1 ,12160321