Đang tải... (xem toàn văn)
Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC.[r]
(1)§Ị thi häc sinh giái cÊp hun Môn: Toán lớp
Thời gian: 150 phút Câu 1: (4điểm) Giải phơng trình sau:
a 4
x
x + x2 25 10x
=
b x2 x + x x =
Câu 2: (3điểm)
a Cho hm số: y = (m-2)x + Vẽ đồ thị hàm số m =
b Với giá trị m hàm số đồng biến? nghịch biến? Đồ thị hàm số song song với trục hoành
c Chứng minh rằng: Đờng thẳng y = (m-2)x + luôn qua điểm cố định với giá trị m
C©u 3: (6điểm)
a Tìm giá trị lớn A = x + 2 x
b Cho: x 1 y2
+ y 1 x2 =
Chøng minh r»ng: x2 + y2 = 1.
c Chøng minh r»ng víi sè a, b, c dơng thoả mÃn điều kiện a + b + c = ta lu«n cã :
8 ) 1 )( 1 )( 1
(
c b
a
Câu 4: (5điểm)
Cho tam giỏc u ABC Gi M trung điểm BC Lấy P cạnh AB Q cạnh AC cho PMQ = 600.
a Chứng minh rằng: MBP QCM Từ suy PB CQ có giá trị khơng
đổi
b KỴ MH PQ Chøng minh r»ng MBP QMP vµ QCM QMP
c Chứng minh rằng: Độ dài MH không đổi PQ chạy AB, AC nhng góc PMQ = 600.
C©u 5: (2®iĨm)
Hình chóp SABC có mặt đáy mặt bên tam giác cạnh 10cm Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp
Đáp án biểu chấm:
Câu 1: (4điểm)
a Biến đổi đa phơng trình dạng:
2
x + x = (0,75điểm).
Giải phơng trình trờng hợp (0,75điểm).
(Mỗi trờng hợp cho 0,25điểm)
(2)b Điều kiện: x (0,5điểm).
Bình phơng hai vế biến đổi dạng:
x
2 = – x (0,5®iĨm).
Tìm đợc: x (0,5điểm).
Kết hợp đợc điều kiện: 1 x (0,5im).
Câu 2: (3điểm)
a Xỏc nh đợc giao với hai trục toạ độ (0,5điểm).
Vẽ đợc đồ thị (0,5điểm).
b m > (đồng biến), m < (nghịch biến), m = (1điểm).
c Giả sử đờng thẳng qua điểm M cố định M(x0; y0) với m là:
y0 = (m – 2)x + víi mäi m (0,5®iĨm).
M(0; 2) (0,5điểm).
Câu 4: (5điểm)
a Vẽ hình cân đối, ghi giả thiết, kết luận (0,5điểm).
ChØ ra: CMQ = BPM = 1200 – BPM (0,5®iĨm).
MBP QCM BM.CQ = BM.CM
(0,5®iĨm).
MB = MC =
2
BC
BM.CM =
4
2
BC
không đổi (0,5điểm).
b MBP QCM CMBP QMMP
CM = BM MPBP MQMB (0,5®iĨm).
MBP QMP
(0,25®iĨm).
MBP QCM vµ MBP QMP
(0,5®iĨm).
QCM QMP (0,25®iĨm).
c Từ câu b BPM = QPM Câu 3: (6điểm)
a Đặt x = y (y 0) y2 = – x (0,5®iĨm)
A = – y2 + y = -(y -
2
)2 +
4
(3)Max A =
4
t¹i y =
2
x =
4
(0,5®iĨm)
b Tõ gi¶ thiÕt x 1 y2
= - y 1 x2 (0,5điểm) Bình phơng vế biến đổi dạng:
x2 = – 2y 1 x2
+ y2 (1®iĨm)
(y -
1 x ) = (0,25®iĨm)
y = 1 x2
x2 + y2 = (0,25®iĨm) c Tõ a+ b + c = b + c = - a
a + c = – b
a + b = – c (0,5®iĨm)
Biến đổi: (1 1)(11)(1 1)
c b
a =
c b c a b c b a a c a b
(1®iĨm)
áp dụng bất đẳng thức Cối cho số dơng ta có:
c b c a b c b a a c a b
22 22 22
c b a
c b
a = 8
Điều phải chứng minh (0,5điểm).
Câu 5: (2điểm)
Gọi H trung điểm cạnh AB
SH AB ; BH = 5cm (0,25®iĨm).
SH = 75 cm (0,25®iĨm).
SABC = 75 cm2 (0,25điểm). Stoàn phần = 20 75 cm2 (0,25®iĨm).
Gọi SO đờng cao hình chóp SO =
3
200 (cm) (0,25®iĨm).
V =
(4)