PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi : 06 tháng 1 năm 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1 : (1,5đ) ) Rút gọn biểu thức A = 2 2 3 8 11 3 17 22 x x x x + − + + Câu 2 : (1,5đ) Chứng minh tích 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 . Câu 3 : (1,5đ) Cho ΔABC có µ 0 A 120= Chứng minh rằng: 2 2 2 BC = AB +AC + AB.AC . Câu 4 : (1,5đ) Cho hình chữ nhật ABCD có AB =3AD .Trên cạnh AB lầy các điểm M, N sao cho AM=MN=NB. Chứng minh rằng : · · MDN=CDB . Câu 5 : (1,5đ) Cho x+ y = a ; x 2 + y 2 =b ; x 3 + y 3 = c . Chứng minh rằng : a 3 – 3ab + 2c = 0 Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Chứng minh rằng : 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + Câu 7 : (2đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. ( ( ) ( ) B O ,C O'∈ ∈ ).Tính độ dài BC. Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số 5 7 7 10 n n + + tối giản. ( n N ∈ ). Câu 9 : (1,5đ) Tính giá trị biểu thức P = 10 3 11 10 3 11− − + . Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương. Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABC có 3 góc nhọn .H là trực tâm. Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E. Chứng minh rằng BD = BE. Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. ----------- HẾT ---------- HỌ VÀ TÊN THÍ SINH : .Số báo danh Chữ ký giám thị 1 : . Chữ ký giám thị 2 . PHềNG GIO DC O TO THNH PH LT K THI HC SINH GII THNH PH NM HC 2009-2010 Ngy thi : 03 thỏng 2 nm 2010 HNG DN CHM CHNH THC Mụn : TON Cõu 1 : (1,5) ) Rỳt gn biu thc A = 2 2 3 8 11 3 17 22 x x x x + + + Bin i A= ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 11 3 11 3 11 6 22 x x x x x x + + + + + 0,5 A = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 . 3 11 2 . 3 11 x x x x + + + 0,5 A = ( ) ( ) 1 2 x x + 0,5 Cõu 2 : (1,5) Chng minh tớch 2 s chn liờn tip chia ht cho 8 . Hai s chn liờn tip cú dng 2n v 2n+2 (n Z ), tớch ca chỳng l 2n.(2n+2)=4n(n+1) 0,5 n v n+1 l 2 s nguyờn liờn tip nờn cú 1 s chia ht cho 2 n(n+1) chia ht cho 2 0,5 4n(n+1) chia ht cho 8 0,5 Cõu 3 : (1,5) Cho ABC cú à 0 A 120= Chng minh rng: 2 2 2 BC = AB +AC +AB.AC . V CH vuụng gúc vi ng thng BA ã ( ) 0 1 3 CAH=60 AH= AC;CH= AC 1 2 2 0,5 ( ) 2 2 2 BHC vuụng BC BH CH 2 = + T (1), (2) ( ) 2 2 2 BC AB+AH CH = + 2 2 2 1 3 BC AB+ AC + AC 2 2 = ữ ữ ữ 0,5 0,5 Cõu 4 : (2 ) Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB =3AD .Trờn cnh AB ly cỏc im M, N sao cho AM = MN = NB. Chng minh rng : ã ã MDN=CDB . Chng minh 2 MB MD BD MD MN DN = = = 1 MBD ủong daùng MDN (c-c-c) ã ã MBD MDN = 0,5 Cú ã ã ( ) MBD BDC slt= ã ã MDN=CDB 0,5 Cõu 5 :(1,5) Cho x+ y = a ; x 2 + y 2 =b ; x 3 + y 3 = c . Chng minh rng : a 3 3ab + 2c = 0 2 2 2 2 2 2 1 3 BC =AB +AB.AC+ AC + AC = AB +AB.AC+AC 4 4 C D B M A N 120 H C A B ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 3 a 3 2 x+y - 3 x+y x +y +2 x +yab c− + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 [ 3 3 2 ]x y x y x y x xy y= + + − − + − + 0,75đ 0,75đ Câu 6 : (2đ) Cho x+ y = a + b ; x 2 + y 2 = a 2 + b 2 Chứng minh rằng : 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + x 2 + y 2 = a 2 + b 2 ⇔ x 2 – a 2 = b 2 - y 2 ⇔ (x – a)(x + a) = (b – y)(y + b).(1) 0,5đ mặt khác x + y = a + b ⇔ x – a = b – y. (2) Từ (1),(2)=> (x – a)(x + a) =(x – a)(y + b) ⇔ (x – a) (x + a) - (x – a)(y + b) = 0 0,5đ ⇔ (x – a)[x + a –(y + b)] = 0 Từ đó suy ra hoặc x – a = 0 thì b – y = 0 nên x = a và y = b, 0,5đ hoặc x + a – (y + b) = 0 thì x + a = y + b mà x – a = b – y, nên 2x = 2b, do đó x = b, suy ra y = a. Vậy 2011 2011 2011 2011 x y a b+ = + 0,5đ Câu 7 : (1,5đ) Cho (O;8cm) và (O’;4,5cm) ,tiếp xúc ngoài tại A.Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. ( ( ) ( ) B O ,C O'∈ ∈ ).Tính độ dài BC. Vẽ O’D//BC =>BCO’D là hình chữ nhật ⇒ BC = O’D 0,5đ 2 2 O'D= OO' -OD⇒ ⇒ 2 2 BC= OO' - OD 0,5đ ⇒ ( ) ( ) 2 2 BC= 8 + 4,5 - 8 - 4,5 ⇒ ( ) 2 2 BC= 12,5 3,5 =12 cm− 0,5đ Câu 8 : (1,5đ) Chứng minh rằng phân số 5 7 7 10 n n + + tối giản. ( n N ∈ ) Gọi d là ước chung lớn nhất của 5n + 7 và 7n + 10 ; d N∈ ⇒ (5n 7) d (35n 49) d (7n 10) d (35n 50) d + +   ⇒   + +   M M M M 0,5đ 0,5đ ⇒ phân số 5 7 7 10 n n + + tối giản. ( n N ∈ ) 0,5đ Câu 9 : (1,5đ)) Tính giá trị biểu thức P = 10 3 11 10 3 11− − + . P 2 = ( ) 2. 10 3 11 10 3 11− − + = 20 6 11 20 6 11− − + 0,5đ = ( ) ( ) 2 2 11 3 11 3− − + 0,5đ = 11 3 11 3− − + = ( ) ( ) 11 3 11 3− − + = –6 Suy ra P = –3 2 0,5đ Câu 10 : (2đ) Giả sử N = 1.3.5.7…2011. ( ) ( ) 35 50 35 49 1 1n n d d d ⇒ + − + ⇒ ⇔ = M M C B D O O' A ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2x y x xy y x y x xy y = + + + − − + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 .0 0x y x y x y xy xy x y = + + − − + − = + = Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương. * 2N-1 = 2.1.3.5.7…2011 – 1 Có 2N M 3 ⇒ 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k ∈ N) ⇒ 2N-1 không là số chính phương. 0,75đ * 2N = 2.1.3.5.7…2011 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N M 2 nhưng 2N không chia hết cho 4. (2 là số nguyên tố) ⇒ 2N không là số chính phương. 0,5đ * 2N+1 = 2.1.3.5.7…2011 + 1 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N+1 không là số chính phương. 0,75đ Câu 11 : (2đ ) Cho ΔABC có 3 góc nhọn .H là trực tâm. Vẽ đường tròn đường kính AB cắt CH tại D, Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AH tại E. Chứng minh rằng BD = BE. Vẽ các đường cao AI , CK Cm ΔADB vuông tại D 2 BD =BK.BA (1)⇒ 0,5đ Cm ΔBEC vuông tại E 2 BE =BI.BC (2)⇒ 0,5đ Cm ΔBIA đồng dạng ΔBKC BI BA = BI.BC=BK.BA (3) BK BC ⇒ ⇔ 0,5đ Từ (1),(2), (3) ⇒ 2 2 BD =BE BD=BE⇔ 0,5đ Câu 12 : (1,5đ) Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. ab (a + b ) = a 3 + b 3 ⇔ 10a + b = a 2 – ab + b 2 = ( a + b ) 2 – 3ab ⇔ 9a + 3ab =( a + b ) 2 –(a+b) ⇔ 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) 0,5đ a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a a + b – 1 = 3 + b a + b = 3 + b 0,5đ ⇒ a = 4 , b = 8 hoặc a = 3 , b = 7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37. 0,5đ ----------- HẾT ---------- Chú ý: Nếu HS giải đúng bằng cách khác thì giám khảo phân bước tương ứng để cho điểm. E D H I K B C A . THÀNH PHỐ ĐÀ LẠT ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 1 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2010-2011 Ngày thi : 06 tháng 1 năm 2011 Môn thi : TOÁN Thời gian. . PHềNG GIO DC O TO THNH PH LT K THI HC SINH GII THNH PH NM HC 2009-2010 Ngy thi : 03 thỏng 2 nm 2010 HNG DN CHM CHNH THC Mụn : TON