DANG THUC LG

[r]

(1)

Bài Tính a/

sin15

cos15 b/

sin18

cos18 c/

sin 36

cos 36

d/

tg e/tg37 30 '0 Bài Tính

a/ 

0 0

0

cot 44 226 cos 406

cot 72 cot 18 cos316

g tg

g g





b/  

 

0

cos 288 cot 72

18 162 sin108 g tg tg   

c/  

0

0 0

2sin 2550 cos 188

368 2cos 638 cos98 tg

 

 d/

2 2

2

cos 197 cos 287 sin 323 sin 217 cos 37



 

Bài Tính giá trị biểu thức sau

a/ tg200tg400tg600tg800 d/ 2

12 12 12

tg  tg  tg 

b/ 0

1

2sin 70

2sin10  e/

0 0

9 27 63 81

tg  tg  tg tg c/sin4 sin43 sin4 sin4

16 16 16 16

   

   f/ cos6 cos63 cos65 cos6

16 16 16 16

   

  

Bài Rút gọn

a/ sin sinx 3x cos cosx 3x

 b/  

2 cos cos sin sin x x x x            c/ 2cos sin cos x x x 

 d/

1 sin sin sin sin

x x x x      Bài 5

a/ Cho sinxcosx a Tính

sin cosx x sinx cosx

3 3 sin cos sin cos x x x x        4 4 sin cos sin cos x x x x        5 5 sin cos sin cos x x x x        b/ Cho tgxcotgx a .Tính

cot

tgx gx

2

cot cot tg x g x tg x g x

       3 3 cot cot tg x g x tg x g x

       6 6 cot cot tg x g x tg x g x

       Bài

a/ Cho tgx2.Tính

4 2

3sin 5sin cos 11sin cos 4sin cos 2cos 5sin 3sin cos 2sin cos 10sin cos 3cos

x x x x x x x x

A

x x x x x x x x

   



    

b/Cho tgx=4 Tính

5 4

4

7 cos 4cos sin 2cos sin 5cos sin 6sin 8sin cos 2sin cos

x x x x x x x x

B

x x x x

   



(2)

Bài Chứng minh đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến số a/2 sin 4x cos4x sin2 xcos2x 2 sin8x cos8x

   

b/ sin4x 4 cos2x cos4x 4sin2x

  

c/

4

6

sin cos sin cos

x x

 

  d/    

2

1

1 cot

tg x

tg x g x

tgx

  

  

 

 

Bài Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x

a/   cos2 cos2 cos2 cos2 2sin2

3 3

f x    x  x    x   x x

       

b/   cos2 cos2 cos2

3

f x  x   x    x

   

c/   sin2 sin2 sin2

3

f x  x   x    x

   

d/cos2x a cos2x 2 cos cos cosa x a x

   

e/  

3

cos cos3 sin sin

cos sin

m x x m x x

f x

x x

 

 

2 x k

 

 

 

 

Bài 9

a/Cho asin sinx y b cos cosx y0.Tính 2 2 2 2

sin cos sin cos

S

a x b x a y b y

 

 

b/Cho hệ

2 2

1

cos cos

sin cos m tg x n tg y

m x n

m x n y

  



 



 



.Tìm hệ thức liên hệ m n khơng phụ thuộc x,y

c/Tìm m để biểu thức sau không phụ thuộc x: Ssin6xcos6x m sin4 xcos4x Bài 10

a/Cho

4

sin x cos x

m  n m n Chứng minh  

10 10

4

sin x cos x m  n  m n b/Cho 2tg x tg y tg z tg x tg y tg y tg z tg z tg x2 . . 2 . 2 . 2 . 1

    Chứng minh

2 2

sin xsin ysin z1

c/Cho

3

.cos cos sin sin cos sin

a x a x x m

a x a x x n

  

 

 

 

.Chứng minh 3m n 2 3m n 2 23 a2

d/Cho

1

2

3

sin cos sin cos cos a

a a



 

  

 

 



.Chứng minh a12a22a32 1

Bài 11 Gọi  , giá trị khác x thỏa mãn hệ thức acosx b sinx c Biết

2 0; 2

a b     k  a/.Tính sin2 .sin2

2

(3)

b/Chứng minh

2

2 cos

2

c a b   





b tg

a  

 Bài 12 Tính

a/A cos 200 cos 409 cos1600 cos1800

    

b/B tg200 tg400 tg1600 tg1800

    

c/C sin 50 sin100 sin 3600

   

Bài 13 Chứng minh

a/tg a tg a tg a tg atg atg a6   

b/ tg a b   tga tgb tg a b tgatgb    

c/sin2a b sin2a sin2b 2sin sin cosa b a b

    

d/ sin 

cos cos cos a b c

tga tgb tgc tga tgb tgc

a b c

 

   

e/cos sina b c cos sinb c a cos sinc a b 0

f/sin sina b c sin sinb c a sin sinc a b  0 g/sin  sin  sin 

cos cos cos cos cos cos

a b b c c a

a b b c c a

  

  

Bài 14 a/ Cho

   

cos cos cos sin sin sin

cos sin

x y z x y z

m

x y z x y z

   

 

    Chứng minh

     

cos x y cos y z cos z x m

b/Cho ,   

 

2

3sin 2sin 3sin 2sin

 

  



 



.Chứng minh 2     c/Cho ,

2   

  sin2 sin2 sin.Chứng minh

2    d/ Cho

   

cos cos

a b

 

   

 

  

   

 

 k.Chứng minh với x ta có

   

cos cos

a  x b x 

e/ Cho mcosa b  cosa b  với a b  k k, ;m 1.Chứng minh

1

1 msin 2a1 msin 2b 1 m Bài 15 Chứng minh đẳng thức sau a/

2

2 2sin

1

2cot cos

4

x

g  x  x





   

 

   

   

b/ cos 2 cos cos3 2cos 2cos cos

x x x

x

x x

  



  c/sin4 cos4 1cos 4

4

(4)

d/sin6 cos6 3cos 4 8

x x  x

e/sin8 cos8 7cos8 1cos6

8

x x x x

f/ 3

3

tgx tg x   tg x    tg x

   

g/ 2

3 3

tgxtg x  tg x  tg x   tg x  tgx

       

Bài 16 Tính

a/ cos cos4 cos5

7 7

A   

b/ B sin sin15 sin 75 sin 850 0



c/ C cos cos cos cos 2x x x nx 

d/ cos cos cos cos

2 2

n D

n n n n

   



   

Bài 17

a/ Đặt S cosx2 cos 2x ncosnx.Chứng minh

 

2

sin 2sin 2 sin 2 2sin 2

x n nx

n x

S

x

 

 với x k 2

b/Chứng minh sin 1 2 2 2n

n





           

c/CMR cos 2 2n



    ( n-1 dấu căn) d/CMR sin 2

2n 

     ( n-1 dấu căn)

e/

 

1

2

4

1 cos 2 sin sin

2

i n

n

i n

i





 

 

   

  

 



a/ 4sin sin sin sin

3

x   x  x x

   

b/ 4cos cos cos cos

3

x   x  x x

   

c/

3

tgxtg  x tg  xtg x

   

d/ 3

3

tgx tg x   tg x    tg x

   

e/ 2 23

3

tg x tg  xtg   x tg x

(5)

Bài 19 (Áp dụng 18)Tính:

a/ 0

sin 20 sin 40 sin 80

A

b/ 0

cos10 cos 20 cos80

B

c/ 0 0 0 0

sin sin18 sin 22 sin 38 sin 42 sin 58 sin 62 sin 78 sin 82

C

d/ 0 0 0 0 0

3 17 23 37 43 57 63 77 83 243

D tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg

e/ 10 11 13

27 27 27 27 27 27 27 27 27

E tg  tg tg tg tg tg tg tg  tg  f/ F tg10 tg50 tg90 tg1770

    

g/ G tg2 05 tg2100 tg2800 tg2850

    

Bài 20 Giải hệ ( ẩn x,y,z)

a/ Cho sin sin sin  0 cos ,cos , cos   đôi khác sin sin sin sin

sin sin sin sin sin sin sin sin

x y z

   

   

   

  

 

  



   



b/Cho cos cos cos  0 cos ,cos , cos   đôi khác cos cos cos3 cos

cos cos cos3 cos cos cos cos3 cos

x y z

   

   

   

  

 

  



   



Bài 21 Rút gọn biểu thức sau a/ sin sin13 sin18

cos8 cos13 cos18

x x x

A

x x x

 



 

b/B sin2a 2b cos2a cos 22 b

   

c/C sin2a 2b sin 22 a sin2b

   

d/  

 

2 2

sin sin sin

sin cos cos

a b a b

D

a b a b

  



  

a/sin 4 4sin 3 6sin 2 4sin 16sin sin4 x

x x x x x

b/cos 1cos3 1cos5 8sin2 cos3

2

x x x x x

c/cos 270 cos 630 

 

d/sin 242 sin 62



 

e/ 300 400 500 600 3cos 200

tg tg tg tg 

f/tg90 tg150 tg270 cot 27g cot 15g cot 9g 8

     

g/cos120 cos180 4cos15 cos 21 cos 240 0  1

 

(6)

Bài 22

a/ Cho  

 

sin cos

;

sin cos

x a x A

x b x B

 

 

 

 

  Chứng minh cos 

aA bB

aB bA  



 

 b/  

1

1 cos

2

n k k

k n 

 

 





c/cos8 cos12 cos18 1cos 7sin

35 35 35 5

    

   

a/sina b sina b sinb c sinb c sinc a sinc a 0

b/cosa b sina b cosb c sinb c cosc a sinc a 0

c/sin sina b c sin sinb c a sin sinc a b  0 Bài 24 Tính

a/ cos2 cos4 cos6

7 7

A     

b/ cos cos2 cos3

7 7

B     

c/ sin sin5 sin7 sin11

24 24 24 24

C    

d/ sin sin7 sin13 sin19 sin25

30 30 30 30 30

D     

Bài 25 Tính a/

2

sin sin sin cos cos cos

A a a na

   

 

   

 b/

2 2

1

2 2

2

B a a na

    

 

   

 

c/C tga 2 2tg a 2ntg a2n 2n1cot 2g n1a

    

d/ 2

1

2 2

2 2 2

n n

n n n

a a a a a a

D tg tga tg tg  tg tg tg



    

e/

2 2n 2n

a a

E tga  tg   tg

f/ 2 2

1 1

4cos cos cos

2

n

F

a a a

   

Bài 26 (sử dụng dãy tỉ số nhau) a/Cho

2

1 cos

r r y r

r x r r

  



   Chứng minh

2

x y r

tg tg

r 

 

 



(7)

b/Cho a,b,c đôi khác góc   , , , thỏa

     

a b c

tg   tg  tg   Chứng minh

     

2 2

sin sin sin

a b b c c a

a b   b c   c a  

  

     

  

Bài 27 a/Cho

1

cosx cos 2x cos3x

a  a  a Chứng minh

2

2 sin

2

a a a x

a   

b/Cho

1

sinx sin 3x sin 5x

a  a  a Chứng minh

1

3

a a a a

a a

 

 Bài 28

a/Cho , ,

2 k 

     ( k nguyên) Giả sử sin2 ,sin2 ,sin2

   lập thành cấp số cộng,

sin 0 tg tg 1.Chứng minh tg tg, ,tg lập thành cấp số nhân b/Cho 0 ,

2

tg tg có nghĩa.Chứng minh sin ,sin ,sin   lập thành cấp số cộng

2

tg tg  c/Cho  , , thỏa hệ

0

   

  

    



  



   



Chứng mini   , , lập thành cấp số cộng với công sai d  d/Cho 0   , , khác ,

2

k k .Chứng minh ta có , , cos ,cos ,cos

2 2

cot cot , cot sin ,sin ,sin

2 2

tg tg tg

g g g

  



  

  

  

 

Các tốn có liên quan với định lí Vi-et

Bài Tính giá trị biểu thức sau a/

1 1

3

cos cos cos

7 7

A

  

  

b/ 2

1 1

2

sin sin sin

7 7

B

  

(8)

c/ 4

1 1

2

cos cos cos

7 7

C

  

  

d/ cos cos9 cos9 cos17 cos17 cos

12 12 12 12 12 12

D        

e/

4 4

2 2

3

cos cos cos

14 14 14

3

4cos cos cos

14 14 14

E

  

 



f/ 3cos2 3cos4 cos8

7 7

F      

Bài Tính

a/ 2

18 18 18

A tg  tg  tg 

b/ 6 67

18 18 18

B tg  tg  tg 

c/ 62 68

18 18 18

C tg  tg  tg 

d/

5 5

D tg tg   tg  tg  Bài

a/Giả sử tg1,tg2,tg3 ba nghiệm phương tình x3ax2bx c 0 1, 2,

tg tg tg ba nghiệm phương trình x3 cx2 bx a 0

    Chứng minh

1 3 k

        b/Chứng minh

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

7 41 53 79 41 53 79 41 53 41 53 79

53 79 79 41

tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg tg g tg tg

tg tg tg tg tg tg

     

 

Sử dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức đại số Trước tiên ta chứng minh số bổ đề quan trọng sau 1/ Cho x,y,z khác ,

2 k k 



   Chứng minh

,

tgx tgy tgz tgxtgytgz    x y z n n     

2/ Cho x,y,z khác , k k 



  .Chứng minh

,

2

tgx tgy tgy tgz tgz tgx    x y z   n n   3/ Cho x,y,z khác ,

2 k k 



  .Chứng minh

,

tgx tgy tgz tgxtgytgz tgztgy tgytgz tgztgx x y z  n n

      

      

(9)

2 2

cos cos cos 2cos cos cos

cos cos cos cos

2 2

x y z x y z

x y z x y z y z x z x y

    

       

 Ứng dụng

Bài Cho ab1,bc1,ca1.Chứng minh

1 1 1

a b b c c a a b b c c a

ab bc ca ab bc ca

     

  

     

Bài Cho

1 xyz

xy yz zx   

  

 Chứng minh

 1  1  1  1  1  1

4

x y y z z x

xy yz zx

     

  

Bài Giải hệ sau

1 1

3

1

x y z

xy yz zx

      

    

      

   

  

   



Bài 4Cho xyz0 x+y+z-xyz=1-xy-yz-zx Chứng minh

2 2 2

1 1 1 1

4

x y z x y z

     

  

Bài Cho x+y+z=xyz Chứng minh a/x y 1 z214xyz

b/

3 3

2 2

3 3

1 3 3 x x x x y y z z

x x y z

   



   

 (x y z, , 

c/    

2 2

1 1

0

x y x y

xy

     





Bài Cho x,y,z>0 x2 y2 z2 2xyz 1

    Chứng minh  2  2

1xyzx 1 y 1 z