Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức Dựa vào chương trình SGK để biên soạn Chương trình Cơ bản + Nâng cao 1. Hàm số ( ) 3 2 y ax bx cx d a 0= + + + ≠ 1) Tập xác định: D = ¡ 2) Sự biến thiên a) Giới hạn tại vô cực: x lim y ? →−∞ = và x lim y ? →+∞ = (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) b) Chiều biến thiên: + y' ?= = ⇔ =y' 0 x ? + BBT x - ∞ ? + ∞ y' ? y ? + Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. + Kết luận về cực trị của hàm số. (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị a) Điểm uốn Lưu ý: CT CHUẨN: Không yêu cầu phải có CT NÂNG CAO: Nên có phần này y'' ?= 0 y'' 0 x x ?= ⇔ = Do y'' đổi dấu khi x đi qua 0 x Kết luận tọa độ điểm uốn ( ) 0 0 U x ;y b) Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ = + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0 x ?= ⇔ = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn ( ) U ?;? làm tâm đối xứng. 2. Hàm số ( ) 4 2 y ax bx c a 0= + + ≠ 1) Tập xác định: D = ¡ 2) Sự biến thiên a) Giới hạn tại vô cực x lim y ? →−∞ = và x lim y ? →+∞ = (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) b) Chiều biến thiên + y' ?= y' 0 x?= ⇔ + BBT x - ∞ ? + ∞ y' ? y ? + Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. + Kết luận về cực trị của hàm số. (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị a) Điểm uốn: Lưu ý: CT CHUẨN: Không yêu cầu phải có CT NÂNG CAO: Nên có phần này + y'' ?= 1,2 y'' 0 x x ?= ⇔ = Do y'' đổi dấu khi x qua mỗi điểm 1,2 x Kết luận tọa độ điểm uốn ( ) 1,2 1,2 U x ;? b) Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ: + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ = + Giao điểm với Ox (nếu có): y 0 x ?= ⇔ = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. Sơ đồ chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỷ Dựa vào chương trình SGK để biên soạn Chương trình Cơ bản + Nâng cao 3. Hàm số ( ) + = ≠ − ≠ + ax b y c 0, ad bc 0 cx d 1) Tập xác định: d D \ c   = −     ¡ 2) Sự biến thiên a) Giới hạn + − +     → − → −  ÷  ÷     = = ⇒ = − d d x x c c d lim y ? vaø lim y ? x c là tiệm cận đứng + →−∞ →+∞ = = ⇒ = x x a a a lim y vaø lim y y c c c là tiệm cận ngang (Chỉ nêu kết quả không cần giải thích chi tiết) b) Chiều biến thiên + ( ) 2 ad bc y' cx d − = + + Kết luận y' 0< hoặc y' 0> với mọi d x c ≠ − + BBT x - ∞ d c − + ∞ y' ? ? y ? ? + Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. + Hàm số không có cực trị. (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ = + Giao điểm với Ox: y 0 x ?= ⇔ = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm ( ) I ?;? của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Chỉ dành cho chưong trình Nâng cao 3. Hàm số ( ) + + = = + + ≠ ≠ + + 2 ax bx c C y Ax B a 0, a' 0 a'x b' a'x b' (nên biến đổi hàm số về dạng đã nêu) 1) Tập xác định: b' D \ a'   = −     ¡ 2) Sự biến thiên a) Giới hạn + x lim y ? →−∞ = và x lim y ? →+∞ = + − +   → −  ÷     → −  ÷    =   ⇒ = −  =    b' x a' b' x a' lim y ? b' x lim y ? a' là tiệm cận đứng + ( ) ( ) x x lim y Ax B 0 y Ax B lim y Ax B 0 →−∞ →+∞    − + =    ⇒ = +    − + =     là tiệm cận xiên b) Chiều biến thiên + ( ) 2 2 aa'x 2ab'x bb' ca' y' a'x b' + + − = + = ⇔ =y' 0 x ? + BBT x - ∞ b' a' − + ∞ y' ? ? y ? ? + Kết luận về chiều biến thiên của hàm số. + Kết luận về cực trị của hàm số. (Bảng biến thiên phải đầy đủ mọi chi tiết) 3) Đồ thị Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: x 0 y ?= ⇒ = + Giao điểm với Ox: y 0 x ?= ⇔ = -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 x y Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm ( ) I ?;? của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. Sơ đồ chi tiết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm đa thức 1. Hàm bậc ba : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) a. TXĐ : D = R b. Sự biến thiên : +. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = A x 2 + Bx + C ( Tính ∆ ) , Sau đây là các khả năng có thể xẩy ra : TH1:    < <∆ 0A 0 ⇒ y’ < 0 với mọi x ∈ R ⇒ HS nghòch biến trên R (1) TH2:    > <∆ 0A 0 ⇒ y’ > 0 với mọi x ∈ R ⇒ HS đồng biến trên R (2) TH3:    < =∆ 0A 0 ⇒ y’ ≤ 0 với mọi x ∈ R ⇒ HS nghòch biến trên R (3) TH4:    > =∆ 0A 0 ⇒ y’ ≥ 0 với mọi x ∈ R ⇒ HS đồng biến trên R (4) TH5, 6: ∆ > 0 . Cho y’= 0 ⇔    =⇒= =⇒= )x(fyxx )x(fyxx 22 11 (5) và (6) Căn cứ vào BBT để kết luận các khoảng mà hàm số tăng hoặc giảm +. Cực trò : * Các TH1, TH2, TH3, TH4 : Kết luận không có cực trò * TH5: Hàm số đạt cực đại tại x = x 1 và y CĐ = f(x 1 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 2 và y CT = f(x 2 ) * TH6: Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 1 và y CT = f(x 1 ) Hàm số đạt cực đại tại x = x 2 và y CĐ = f(x 2 ) +. Giới hạn: a > 0 : = ∞−→ Limy x -∞ , = ∞+→ Limy x + ∞ ; a < 0 : = ∞−→ Limy x +∞ , = ∞+→ Limy x - ∞ +. Bảng biến thiên : (Ứng với các trường hợp đạo hàm phía trên ) c. Đồ thò : +. Điểm đặc biệt : Tìm gđ của đồ thò (C) với Ox và Oy; điểm CT ; lấy thêm vài điểm khác +. Vẽ đồ thò : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; Lấy điểm đặc biệt ; Vẽ đồ thò . (Các dạng đồ thò ) )x(f 1 ∞+ ∞− CT CĐ )x(f 2 ∞− ∞+ CĐ CT )x(f 1 )x(f 2 _ ∞+ ∞− + ∞+ ∞− x 'y y )1( ∞+ ∞− − ∞+ ∞− x 'y y )2( A2 B − ∞+ ∞− + ∞+ ∞− x 'y y )3( + 0 A2 B − _ ∞+ ∞− ∞+ ∞− x 'y y )4( 0 −− ∞+ ∞− + x 'y y )5( + 0 0 − 1 x 2 x ∞+ ∞− + x 'y y )6( + 0 0 − 1 x 2 x )1( )2( )3( )4( )5( )6( 2. Hàm trùng phương : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0 ) a. TXĐ : D = R b. Sự biến thiên: +. Chiều biến thiên: Đạo hàm y’ = 4ax 3 + 2bx = x (4ax 2 + 2b). Có thể xẩy ra 1 trong 4 trường hợp sau: TH1: Nếu a < 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) . Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (1) TH2: Nếu a > 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = f(0) . Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (2) TH3: Nếu a < 0 và b > 0 thì y’= 0 ⇔      =⇒= =⇒= =⇒= )x(fyxx )0(fy0x )x(fyxx 22 11 . Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (3) TH4: Nếu a > 0 và b < 0 thì y’= 0 ⇔      =⇒= =⇒= =⇒= )x(fyxx )0(fy0x )x(fyxx 22 11 . Xem BBT để kết luận khoảng tăng , giảm (4) +. Cực trò : TH 1: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = f(0) TH 2: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và y CT = f(0) TH 3: Xem BBT để kết luận TH 4: Xem BBT để kết luận +. Giới hạn: a> 0 : = ∞−→ Limy x +∞ và = ∞+→ Limy x + ∞ ; a< 0 : = ∞−→ Limy x -∞ và = ∞+→ Limy x - ∞ +. Bảng biến thiên : c. Đồ thò : * Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba * Vẽ đồ thò : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba. Các dạng đồ thò của hàm trùng phương ứng với các trường hợp như sau : y’ x y + 0 ∞− 0 _ ∞− ∞− CĐ f(0 ) (1) y’ x y ∞+ + 0 ∞− 0 _ ∞+ ∞+ CT f(0) (2) y’ x y ∞+ + ∞− 0 _ ∞− ∞− (3) x 1 0 0 0 x 2 + _ CT f(0) 0 y’ x y ∞+ + 0 _ ∞+ ∞+ CĐ f(0) (4) x 1 0 0 0 x 2 + _ 0 ∞− )x(f CD 1 )x(f CD 2 )x(f CT 1 )x(f CT 2 )1( )2( )3( )4( c a ∞− ∞+ _ ∞+ ∞− + x 'y y )1( + ∞− ∞+ _ ∞+ ∞− x 'y y )2( − − c a c a c a c d − c d − 3. Hàm nhất biến : y = ax b cx d + + ( c ≠ 0 ; ad –bc ≠ 0 ) a. TXĐ : D = R \       − c d b. Sự biến thiên: +. Chiều biến thiên: Đạo hàm : y’ = 2 )dcx( bcad + − . Có thể xẩy ra 1 trong 2 trường hợp sau : TH1: ad - bc > 0 ⇒ y’> 0 với mọi x∈D⇒ HS tăng trên 2 khoảng: (-∞, c d − );( c d − ,+∞ ) (1) TH2: ad - bc < 0 ⇒ y’< 0 với mọi x∈D⇒ HS giảm trên 2 khoảng: (-∞, c d − );( c d − ,+∞ ) (2) +. Cực trò: Không có +. Tiệm cận : ( có TCĐ và TCN ) * y’ > 0 : +∞= −       −→ ylim c d x và −∞= +       −→ ylim c d x ⇒ đường thẳng x = c d − là TCĐ y’ < 0 : −∞= −       −→ ylim c d x va +∞= +       −→ ylim c d x ⇒ đường thẳng x = c d − là TCĐ * c a ylim x = ±∞→ ⇒ đường thẳng y = c a là TCN +. Bảng biến thiên : c. Đồ thò : * Điểm đặc biệt : Tìm giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ ; lấy thêm vài điểm khác * Vẽ đồ thò : Gồm các bước : Vẽ hệ trục ; vẽ hai đường tiệm cận ; lấy điểm đặc biệt , từ đó vẽ đồ thò. Các dạng đồ thò ứng với 2 trường hợp trên như sau: LUYỆN TẬP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) = − − + 3 2 3 9 35y x x x b) = − + 3 2 6 1y x x c) = − 3 3 3y x x Bài 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) = − − + − 3 2 1 3 4 3 y x x x b) = − + − 3 2 3 4y x x c) = − + 3 3y x x Bài 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) = − + − 3 2 3 4 2y x x x b) = − − − + 3 2 1 1 5 3 3 y x x x Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) = − + − 3 2 1 2 3 y x x x b) = − + − + 3 2 6 12 4y x x x Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) = − + 4 2 2 2 4 x y x b) = − + − 4 2 6 5y x x c) = + + 4 2 4 1y x x (1) (2) TCÑ TCN TCÑ TCN Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a) − = + 2 4 1 x y x b) + = − 3 1 x y x c) − = − 2 1 1 x y x d) − = + 1 2 x y x Bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số (dành cho CTNC) a) + + = + 2 5 5 1 x x y x b) − + = − 2 4 3 2 x x y x c) + + = + 2 2 2 1 x x y x d) − − = − 2 2 3 2 x x y x --------------------------Hết------------------------------ . +. Bảng biến thiên : c. Đồ thò : * Điểm đặc biệt : Tương tự như HS bậc ba * Vẽ đồ thò : Thứ tự các bước vẽ như HS bậc ba. Các dạng đồ thò của hàm trùng phương. điểm đặc biệt , từ đó vẽ đồ thò. Các dạng đồ thò ứng với 2 trường hợp trên như sau: LUYỆN TẬP Bài 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số a)