Đang tải... (xem toàn văn)
Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Lê Thị Hồng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10 1.3. Hàm cực trị tương đối. 15 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19 1.5. Toán tử Monge-Ampe 21 1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21 Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI 24 2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24 2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33 2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40 2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán bao gồm các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin, A.Yger, A.Zeriahi, . Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến phức cho các lớp khác nhau của hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux: - Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong ncũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu Euclid trong n. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2 - Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong n suy ra bất đẳng thức so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển trong n. - Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.) 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày: - Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối. - Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. - Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. 3. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra. Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3–vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư-ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của n và [ ):,u là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và nb , hàm ()u a bll+a là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp { }:abll . Trong trường hợp này, ta viết ()u PSH. ( ở đây ()WPSH là lớp hàm đa điều hoà dưới trong W). 1.1.2. Định lý. Cho [ ):,u là một hàm nửa liên tục trên và không trùng trên bất kỳ thành phần liên thông của n . Khi đó ()u PSH khi và chỉ khi với mỗi a và nb sao cho { }: , 1abl l l , ta có ( ) ( ; , )u a l u a b, trong đó 201( ; , ) ( )2itl u a b u a e b dtpp=+. Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5 Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới. 1.1.3. Định lý. Cho W là một tập con mở của n và ()u PSH. Nếu 0e > sao cho e , thì ()uCeel PSH Hơn nữa, uel* đơn điệu giảm khi e giảm, và 0lim ( ) ( )u z u zeel*= với mỗi z . Phép chứng minh giống như chứng minh của định lý xấp xỉ chính cho các hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần bổ đề sau: 1.1.4. Bổ đề. Cho n là một tập mở và 1()locuL. Giả thiết rằng a , nb , và { }: , 1abl l l . Khi đó ( ( ;., ) )( ) ( ; , )l u b a l u a beecl* = *. Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng 201( ) ( ) ( )2nitu a e b dt dpew c w l wp+-. Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên. Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý. Chứng minh. Do [7], Mệnh đề 2.5.2 tr44 ()i, ()uCeel . Định lý 1.2.2 kết hợp với bổ đề trên, suy ra ()ueel PSH. Sử dụng lập luận đó như trong [7], bổ đề 2.5.3 tr 46, đối với mỗi biến riêng, chúng ta có thể chứng minh (bằng qui nạp theo j) ước lượng sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6 111 1 1 1 1 1( , , , , ., ) ( , ., , , , )nj j n j j nCu I del w w w w l w w w w-- + - +, trongđó 1 1 1( , , , , ., )j j nI w w w w-+= 1 2 1 2 1 1 1 1( , ., , , ., ) ( ) ( )j j j j n n jCu z z z z de w e w e w e w c w l w+++ + + +, 210 ee và 11( , ., )nz z ze . Từ đó 12( )( ) ( )( ) ( )u z u z u zeell . Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [7], Định lý 2.5.5 tr47. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính. 1.1.5. Hệ quả. Cho W và W là những tập mở trong n và k, tương ứng. Nếu ()u PSH và :f là một ánh xạ chỉnh hình, thì ufo là đa điều hoà dưới trong W. Chứng minh. Nếu u và u- là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3), 2()uC. Bởi vậy ( ) , 0Lu a b b = với mọi ,ab thích hợp, và như vậy ()u PH. Điều ngược lại là tầm thường. Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác: 1.1.6. Hệ quả. Nếu , ( )uvPSH và uv= hầu khắp nơi trong W, thì uv. 1.1.7. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của n và ()u PSH, thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z . [...]... Khi ú hm chớnh qui na liờn tc trờn u * l a jđ Ơ zẻ W iu ho di trong W 1.1.11 nh lý Cho dóy { j }j ẻ Ơ é P SH (W b chn u a phng trong u ) Wé Ê n Gi s lim sup u j (z ) Ê M jđ Ơ vi mi z ẻ W v mt hng s M no ú Khi ú vi mi e > 0 v mi tp compact K é W tn ti mt s t nhiờn j 0 sao cho, vi j j 0 , sup u j (z ) Ê M + e zẻ K 1.1.12 nh lý Cho W l mt tp con m ca Ê n v F = { ẻ W: v(z ) = - Ơ } z l mt tp con úng ca... f (z ) c gi l hm Perron Bremermann i vi W v f ; hm ny c Bremermann (1959) nghiờn cu v nú l mt hm Perron c in c s dng trong lý thuyt th v (thc) ( Hayman v Kennedy 1976) Bõy gi ta s chng minh rng y W, f (z ) nghim ca bi toỏn Dirichlet suy rng khi W l mt hỡnh cu Euclid 1.2.3 nh lý Cho f ẻ C (ả B ) , trong ú B = B (a, r ) l mt hỡnh cu m trong Ê n Khi ú hm y xỏc nh bi ớ y B , f (z ) (z ẻ B ) ù y (z )... in i vi B v f Vỡ hm a iu ho di l iu ho di, nờn suy ra y B , f Ê h trong B theo nguyờn lý cc i i vi nhng hm iu ho di Do h liờn tc trong B , nờn ta cú ( y B , f )* Ê h trong B c bit, iu ú cú ngha l ( y B , f )* ẻ U (B , f ) v nh vy ( y B , f )* y trong B ị y ẻ P SH (B ) hon thnh chng minh kt lun th nht ca nh lý, ta ch cn chng minh ( y B , f )* f trờn ả B Ta s chng minh mt tớnh cht mnh hn: S húa... http://www.Lrc-tnu.edu.vn u - e Ê v Ê u trong W Tht vy, ly e ẻ (0,1) ị tn ti h > 0 sao cho \ h u - e < r trong W W v K é W , trong ú h W = { ẻ W: dist (z , ả W > h} z ) h Theo nh lý xp x chớnh i vi cỏc hm a iu ho di v nh lý Dini (Royden 1963), cú th tỡm c s > 0 sao cho u * c d - e < r trờn ả W v u * c d - e < - 1 trờn K t ớ r trong ù ù ve = ỡ ù max { * c d - e, r } trong u ù ù ợ W\ W h W h Khi ú... http://www.Lrc-tnu.edu.vn Chng 2 NGUYấN Lí CC TIU I VI CC HM A IU HềA DI Ni dung chớnh ca chng ny l trỡnh by vic tng quỏt húa nguyờn lý mụ un cc tiu c in i vi cỏc hm chnh hỡnh mt bin s phc cho cỏc lp khỏc nhau ca hm a iu hũa di, da vo b ni ting ca Cartan-Boutroux, ó trỡnh by chng 1 2.1 Nguyờn lý cc tiu i vi th v logarit Lp Lelong trờn Ê n , c nh ngha nh sau: { L (Ê n ) := v ẻ P SH ( Ê n ); v (z ) Ê log+ z + O... m B ,  tõm ti a v cha trong W , v mt hm g ẻ O (B ) sao cho g / 0 v f (A ) ầ B = g- 1(0) ;  (iii ) cỏc th ca f , ú l cỏc tp hp f - 1( w) trong ú w ẻ W , l hu hn Chỳ ý rng (ii ) l trng hp c bit ca nh lý ỏnh x riờng ca Remmert  1.1.14 Mnh Cho f : Wđ W l mt ton ỏnh chnh hỡnh riờng gia hai tp m trong Ê n Nu u ẻ P SH (W , thỡ cụng thc )  v(z ) = max { ( w) : w ẻ f - 1(z )} (z ẻ W) u xỏc nh mt hm a... mt tp con m ca Ê n v u ẻ M P SH (W Nu ) B l mt hỡnh cu m sao cho B W thỡ u B l gii hn ca mt dóy gim nhng hm a iu ho di cc i liờn tc trong B Chng minh Cho G l tp con m compact tng i ca W cha B Do nh lý 1.2.3, cú th tỡm c mt dóy gim { j }j ẻ Ơ é C Ơ (G ) ầ P SH(G ) u hi t ti u t ớ y ù (z ẻ B ) ù B ,u j ả B ( z ) ù v j (z ) = ỡ ù u (z ) (z ẻ G \ B ) ù j ù ợ ( Khi ú v j B ) ẻ M P SH (B ) vi mi j ,... http://www.Lrc-tnu.edu.vn lim sup u (z ) Ê - 1 vi mi w ẻ ả E ầ W zđ w zẻ W E \ Khi ú hm ớ - 1 zẻ E ù ù v (z ) = ỡ ù max { 1, u } z ẻ W\ E ù ợ õm v na liờn tc trờn trong W Hn na, nú l hm a iu ho di trong W do nh lý 1.2.2 ([7]) Nh vy u Ê v Ê uE ,W trong W\ E T ú y W\ E ,- c E Ê u E ,W trong W\ E Bt ng thc ngc li l hin nhiờn Bõy gi chỳng ta s trỡnh by mt vi tớnh cht c bn ca cỏc hm cc tr tng i 1.3.2 Mnh Nu E 1... iu ho di  Chng minh Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi thit rng W l liờn thụng  Nu G l mt tp con m compact tng i trong W , thỡ tp m f 1(G) l compact tng i trong W, vỡ f l ỏnh x riờng Bi vy, theo nh lý xp x chớnh, ch cn chng minh mnh l ỳng i vi cỏc hm a iu ho di liờn tc Gi s rng u ẻ Ê (W ầ P SH (W Nu a v b l cỏc s thc sao cho ) ) a < b , thỡ v - 1((a, b)) = f (u - 1((a, Ơ ))) \ f (u - 1([ , Ơ )))... ,W , nờn ta cú j0 u K ,Wj0 (z 0 ) - e Ê u K ,W(z 0 ) Do ú ta cú u K ,W (z 0 ) - e Ê u K ,W(z 0 ) Ê u K ,W (z 0 ) vi mi j j 0 v j j e nh tu ý, suy ra iu phi chng minh 1.4 B Cartan Boutroux v nguyờn lý cc tiu u tiờn chỳng ta nhc li b ni ting ca Cartan-Boutroux: Cho p (z ) l a thc ca mt bin phc cú bc d 1 Vi bt k e > 0 , xột a thc e -lemniscate ca P c xỏc nh bi: { } E (P , e) := z ẻ Ê ; P (z ) Ê . Lelong. - Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. . Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới.