Định lí Rolle và ứng dụng Định lí Rolle và ứng dụng Ths. Nguyễn Bá Thủy I. Đặt vấn đề Công tác bồi dỡng học sinh khá và giỏi là nhiệm vụ rất quan trọng đợc tiến hành thờng xuyên và liên tục trong suốt quá trình dạy học nói chung và dạy học toán nói riêng. Với đối tợng học sinh khá và giỏi, ngời thầy giáo ngoài việc dạy cho học sinh cách giải bài toán còn cần phải hớng dẫn học sinh cách tìm tòi, định hớng phơng pháp giải, sáng tạo bài toán mới và đi tìm những lời giải đẹp cho các bài toán. Từ đó tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong học tập toán. Với suy nghĩ trên, trong quá trình bồi dỡng học sinh khá và giỏi toán lớp 12 phần phơng trình, chúng tôi đã hớng dẫn học sinh tìm những phơng pháp, những lời giải hay và độc đáo cho các bài toán, đặc biệt là các bài toán khó. Quá trình đó đã đa chúng tôi đến với định lí Rôn (Rolle) Một định lí rất đẹp, một công cụ rất mạnh để giải các bài toán về phơng trình. Đề tài này của chúng tôi sẽ tìm hiểu các ứng dụng của Định lí Rolle trong việc nghiên cứu các phơng trình. Trớc hết chúng ta hãy làm quen với định lí này: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra f(a) = f(b) thì tồn tại c (a; b) sao cho f (c) = 0 . Chứng minh: Theo định lí Lagrange vì f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) nên tồn tại c(a; b) sao cho: ab afbf cf = )()( )(' , nhng vì f(a) = f(b) nên ta có f(c) = 0. (Định lí này có thể đợc chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng định lí Lagrange) Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí Rôn nh sau: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), ngoài ra nếu phơng trình f (x) =0 có n nghiệm trên (a; b) thì ph ơng trình f(x) = 0 có không quá (n+1) nghiệm trong khoảng đó. Thật vậy, nếu phơng trình f(x) = 0 có nhiều hơn (n+1) nghiệm trên khoảng (a; b). Chẳng hạn là n+2 nghiệm, đợc kí hiệu bởi: x 1 < x 2 < .< x n+2 , nh vậy ta có )( .)()( 221 + === n xfxfxf do đó trong mỗi khoảng (x i ; x i+1 ) phơng trình f(x) = 0 sẽ có một nghiệm trong khoảng (a; b) phơng trình f(x) = 0 sẽ có n+1 nghiệm. (Vì n+2 số x 1 , .x n+2 sẽ xác định n+1 khoảng). Chính nhờ cách hiểu này mà định lí Rôn trở thành một công cụ rất mạnh để giải toán. Đặc biệt là trong việc giải phơng trình và chứng minh phơng trình có n nghiệm trong một khoảng nào đó. Vận dụng định lí Rolle nghiên cứu phơng trình. Phơng pháp chung: Ta biến đổi ph ơng trình cần giải về dạng: f(x) = 0. Xét hàm số y = f(x), Tìm số nghiệm của phơng trình y = 0. Giả sử phơng trình y = 0 có n nghiệm. Khi đó theo định lí Rôn ph ơng trình f(x) = 0 có không quá n +1 nghiệm. Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành 1 Định lí Rolle và ứng dụng Chỉ ra các nghiệm của phơng trình. Phơng pháp này rất có tác dụng đối với các phơng trình mũ, lôgarít hoặc ph- ơng trình lợng giác chỉ có hữu hạn nghiệm (nhất là có nghiệm nguyên). Ta xét các thí dụ sau: Ví dụ 1. Giải phơng trình: ( ) ( ) xcosxcos 4.342xcos1 =++ (T6/267 TH&TT) Giải. Đặt cosx = y, điều kiện -1 y 1, ta có phơng trình ( ) ( ) 01y 42 4.3 )y(f 4.342y1 y y yy = + = =++ Có: ( ) ,1 42 4.4ln.6 )y('f 2 y y + = Đây là phơng trình bậc 2 đối với ẩn 4 y nên có không quá 2 nghiệm. Do đó theo định lí Rôn phơng trình f(y) = 0 có không quá 3 nghiệm. Mặt khác nhận thấy 1; 2 1 ;0 === yyy là 3 nghiệm của phơng trình f(y) = 0. Suy ra phơng trình đã cho có các nghiệm tơng ứng là: ,2k 3 x;k 2 x;2kx + =+ == (kZ) Ví dụ 2. Giải phơng trình ( ) x21logx13 3 x +++= (1) (T7/298 TH&TT) Giải. Điều kiện 2 1 021 >>+ xx . (1) ( ) xxx x 21log213 3 +++=+ ( ) 0t,t )x21(f)3(f x21logx213log3 x 3 x 3 x >+= += +++=+ 3 logtf(t) với Với t > 0 ta có f(t) là hàm số đồng biến nên xxff x 213 )21()3( x +=+= . Xét hàm số 2 1 -x với213)( >= xxg x , có 23ln3)(' = x xg là hàm số đồng biến, nên phơng trình g(x) = 0 có không quá 1 nghiệm. Theo định lí Rôn ta suy ra phơng trình g(x) = 0 có không quá 2 nghiệm. Rõ ràng ta có g(0) = g(1) = 0. Vậy phơng trình g(x) = 0 có đúng 2 nghiệm là x = 0 và x = 1. Hay phơng trình (1) có đúng 2 nghiệm là x = 0 và x=1. Trong 2 ví dụ trên chúng ta đã vận dụng định lí Rôn để chứng minh phơng trình có nhiều nhất là n nghiệm rồi chỉ ra các giá trị nghiệm đó bằng cách dự đoán. Và việc vận dụng định lí Rôn không đợc đặt ra từ đầu mà chỉ xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán trung gian. Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ cho việc vận dụng định lí Rôn ở mức độ phức tạp hơn: Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành 2 Định lí Rolle và ứng dụng Ví dụ 3. Hỏi phơng trình xsin2 100x = có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [2; 3]? (T7/305 TH&TT) Giải. Với x > 0 ta có xxxx xx sinlg10100 sinsin2 === Xét hàm số xxxf sinlg)( = với 32 x Có ,xcos 10lnx 1 )x('f = 110ln.xcosx0)x('f,xcos 10lnx 1 )x('f === Xét hàm số: = 32 vớicos)( xxxxg . Có xxxxg sincos)(' = Phơng trình g(x) = 0 có nghiệm duy nhất x 0 (2; 3) và ta có 2 5 2 0 << x (Vì )0) 2 5 ().2( < gg . Hàm số g(x) đồng biến trên (2; x 0 ) và nghịch biến trong (x 0 ; 3). Hơn nữa g(2) = 2> ; 10ln 1 g(3) = -3 < 0 nên phơng trình f(x) =0 có đúng một nghiệm trên (2; 3). Theo định lí Rôn ta có phơng trình f(x) có không quá 2 nghiệm trên (2; 3). Mặt khác, ,0)2lg()2(f >= f (2 ) lg(2 ) 0, = > 5 5 f ( ) lg( ) 1 0 2 2 = < , 0)3lg()3(f >= Phơng trình f(x) = 0 có đúng 2 nghiệm trên [2; 3]. Ví dụ 4: Tồn tại hay không các số thực a, b, c để phơng trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: xxx2x3 e. 4 1 e.ce.be.a 6 5 x ++=+ (OLP 30/4 2003) Giải. Đặt x et = mỗi giá trị t > 0 cho một nghiệm x = -lnt. Ta có phơng trình: 0ctbtat 6 5 t 4 1 tln.t 2343 =+++ Xét hàm số: 2343 6 5 4 1 ln.)( ctbtatttttf +++= liên tục trong (0; +) )t1t(ln6)t('"f ,c2t3tln.t6)t("f ;ct2bt 2 3 ttln.t3)t('f 2 232 += += ++= )1 1 (6)( )4( = t tf , với t > 1, f (4) (t) > 0 f(t) đồng biến trên (1; +). với t< 1, f (4) (t) < 0 f(t) nghịch biến trên (0; 1) Suy ra f(t) > f(1) =0 x(0; +) Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành 3 Định lí Rolle và ứng dụng f(t) nghịch biến trong (0: +). Do đó f(t) chỉ có thể có nhiều nhất là một nghiệm t > 0. Theo định lí Rôn ta có f(t) có nhiều nhất là 2 nghiệm t>0 và do đó f(t) chỉ có thể có nhiều nhất là 3 nghiệm t > 0. Vậy f(t) không thể có 4 nghiệm dơng phân biệt hay không tồn tại a, b, c để phơng trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt. Trên đây là một vài thí dụ thể hiện u thế của việc sử dụng Định lí Rôn để giải các bài toán về phơng trình. Hy vọng rằng các bạn có thể tìm thấy những điều bổ ích qua bài viết này. Để luyện tập xin mời các bạn giải các phơng trình sau: 1) xx cos2)1(coslog 2 =+ (OLP 30/4 2003) 2) xx = ]1)13(log3[log 22 3) 1)56(log67 7 1 += x x 4) 12)15(log36 6 +++= xx x 5) 2400620052003 +=+ x xx (Đề thi HSG tỉnh lớp 12 năm học 04-05) Tài liệu tham khảo: 1.Tạp chí TH&TT. NXB Giáo dục 2.Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 lần thứ 9. NXB GD - 2003. 3. PP giải toán Mũ Lôgarit. Lê Hồng Đức (cb). NXB Hà Nội - 2003 Ths. Nguyễn Bá Thủy THPT Bắc Yên Thành 4 . Định lí Rolle và ứng dụng Định lí Rolle và ứng dụng Ths. Nguyễn Bá Thủy I. Đặt vấn đề Công tác bồi dỡng học sinh khá và giỏi là nhiệm. có f(c) = 0. (Định lí này có thể đợc chứng minh trực tiếp mà không cần sử dụng định lí Lagrange) Để ứng dụng giải toán ta có thể hiểu định lí Rôn nh sau: