Tài liệu Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

6 807 6
Tài liệu Mot so phuong phap chung minh bat dang thuc

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Một số chuyên đề toán THCS Phơng pháp chứng minh bất đẳng thức i/ dùng định nghĩa và tính chất 1/ Định nghĩa: Khi hai biểu thức A và B nối với nhau bởi một trong các quan hệ >; ; <; thì ta bảo có một bất đẳng thức: A>B, BA , A<B, BA Khi đó ta viết: A>B A-B >0 (đọc là A lớn hơn B) A và B là hai vế của bất đẳng thức. 0 BABA (đọc là A lớn hơn hay bằng B) Ghi nhớ:Một BĐT có thể đúng, có thể sai nhng khi phải cm một BĐT mà không rõ gì hơn, thì ta hiểu rằng đó là một BĐT đúng. 2/ Các tính chất của bất đẳng thức: 1 Tính phản xạ: aaRa : 2 Tính bắc cầu: baRcba :,, và cacb 3 Cộng, trừ hai vế của một BĐT với cùng một số thực mbmabaRmba ::,, . Hệ quả: Chuyển vế đổi dấu: bcacba + Cộng hai BĐT cùng chiều: dbca dc ba ++ Ghi nhớ:Không đợc trừ hai BĐT cho nhau 4 Nhân, chia hai vế của một BĐT với cùng một số thực 0 m < > 0; 0; :, mbmam mbmam baRba < > + 0; 0; :, m m b m a m m b m a Rba 5 Nếu a>b>0 hay 0>a>b ba ba 11 (a và b cùng dấu) 6 Nhân hai vế của hai BĐT cùng chiều + bdac dc ba Rdcba :,,, Ghi nhớ: Không đợc chia hai BĐT cho nhau. Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 1 Một số chuyên đề toán THCS Hệ quả: * ;0 > n ba ba ba nn nn 3/ Ví dụ áp dụng: Cho x,y,z là 3 số tùy ý. Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) xyzxzzyyxa 6111/ 222222 +++++ ( ) ( ) zxyzxyzyxb ++++ 3/ 2 Giải: a/ Ta luôn có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 320 220 120 222 2 222 2 222 2 xyzyxzxyz xyzxzyzxy xyzzyxyzx + + + Cộng (1),(2),(3) theo vế và nhóm các đơn thức có nhân tử chung cho ta điều phải chứng minh: b/ Ta có: ( ) ( ) zxyzxyzyxzyx +++++=++ 2 222 2 Ngoài ra ta luôn có: ( ) ( ) ( ) zxxzxz yzzyzy xyyxyx 20 20 20 22 2 22 2 22 2 + + + Cộng vế theo vế và rút gọn cho ta: ( ) zxyzxyzyx ++++ 222 Do đó: ( ) ( ) zxyzxyzxyzxyzyx +++++++ 2 2 Vậy: ( ) ( ) zxyzxyzyx ++++ 3 2 4/ Bài tập tự giải: Bài 1: Cho hai số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng: 2 1 , 22 + yxa 8 1 , 44 + yxb Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng 2 44 + yx Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì 3 1 222 ++ zyx Bài 4: Cho ba số x,y,z tùy ý. Chứng minh rằng: 2 222 33 ++ ++ zyxzyx Bài 5: Cho ba số dơng x,y,z và x+y+z=4. Chứng minh rằng: xyzyx + Bài 6: Cho hai số dơng x,y và yxyx =+ 33 . Chứng minh rằng: 1 22 <+ yx Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 2 Một số chuyên đề toán THCS Bài 7: Cho ba số dơng x,y,z thỏa mãn điều kiện 3 5 222 =++ zyx . Chứng minh rằng: xyzzyx 1111 <+ ii/ dùng phép biến đổi tơng đơng: 1/ Đ ờng lối chung: Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 3 Một số chuyên đề toán THCS Để chứng minh đẳng thức BA là đúng bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng ta biến đổi: BA (1) 11 BA . BnAn (2) Theo giả thiết hay theo tính chất cơ bản đã biết ta có (2) cuối cùng hiển nhiên đúng. Do đó kết luận (1) luôn đúng. 2/ Ví dụ áp dụng: Cho hai số x, y sao cho 0 xy . Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 1 4 2 22 yxyx Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh, ta lần lợt có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 001 4224 2 22 + yxyxyxyxyx ( ) ( ) ( ) [ ] 0 222 + yxyxyx ( ) ( )( ) [ ] 0 2 ++++ yxyxyxyxyx ( ) ( )( ) [ ] ( ) ( ) 204022 22 yxxyyxyx Do 0 xy nên bất đẳng thức (2) hiển nhiên đúng. Vậy (1) luôn đúng. 3/ Các bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y ta có bất đẳng thức: yxxyyxa ++++ 1/ 22 yxxyyxb 3344 / + Bài 2: Cho hai số dơng x,y. Chứng minh rằng: 3 33 22 + + yxyx Bài 3: Cho bốn số a,b,c,d, bất kỳ. Chứng minh rằng: ( )( ) 2222 dcbabdac ++ Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho 0 ++ cba Chứng minh rằng: abccba 3 333 ++ Bài 5: Chứng minh rằng với năm số c,b.c,d,e bất kỳ, bao giờ ta cũng có: ( ) edcbaedcba +++++++ 22222 Bài 6: Chứng minh rằng nếu a>0, b>0 thì ta có: cbabaaccb ++ > + + + + + 3111 Bài 7: Cho .1 ab Chứng minh rằng: ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 22 Iii/ dùng BĐT trung gian: 1/ Ph ơng pháp chung: Dùng BĐT Côsi với hai số không âm: Cho hai số 0,0 yx ta có BĐT Côsi sau: xy yx + 2 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=y. Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 4 Một số chuyên đề toán THCS Ta có thể cm nh sau: Vì 0,0 yx nên: ( ) xy yx xyyxyx + ++ 2 020 2 Dấu = xảy ra yxyx == 0 2/ Ví dụ áp dụng: Cho ba số x, y, z không âm. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx ++++ Giải: Vì 0,0,0 zyx nên áp dụng BĐT Côsi với hai số không âm cho ta: zx xz yz zy xy yx + + + 2 , 2 , 2 Do đó cộng vế theo vế ba BĐT cùng chiều cho ta zxyzxy xzzyyx ++ + + + + + 222 Vậy: zxyzxyzyx ++++ 3/ Các bài tập tự giải: Bài 1: Cho bốn số a,b,c,d không âm. Chứng minh rằng: ( )( )( )( ) abcdaddccbba 16 ++++ Bài 2: Với 0,0 yx . Chứng minh đẳng thức: ( ) ( ) xyyxyx ++ 22 2 Bài 3:Cho ,1 x và 1 y . Chứng minh rằng: xyxyyx + 11 iV/ dùng BĐT về ba cạnh của một tam giác: 1/ Ph ơng pháp chung: Với a,b,c là ba độ dài cạnh của một tam giác ( ) ( ) ( ) +< +< +< 3 2 1 bac acb cba Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 5 Một số chuyên đề toán THCS Từ ba BĐT về tổng hai cạnh của một tam giác ta suy ra đợc ba bất đẳng thức về hiệu hai cạnh: ( ) ( ) ( ) 6 5 4 bacbac acbacb cbacba <+< <+< <+< 2/ Ví dụ áp dụng: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác thì ta có: ( ) cabcabcba ++<++ 2 222 Giải: áp dụng BĐT về ba cạnh a,b,c của một tam giác cho ta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 2 2 2 bacbac acbacb cbacba << << << Cộng ba vế của BĐT cùng chiều (1), (2), (3) vế theo vế cho ta: ( ) ( ) ( ) 222 222 abcaccbba ++<+ ( ) ( ) cabcabcba cabcabcba cbaacaccbcbbaba ++<++ <++++ ++<+++++ 2 02 222 222 222 222222222 Vậy BĐT đã đợc chứng minh. 3/ Bài tập tự giải: Bài 1: Chứng minh rằng nếu a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: ( )( )( ) abcbacacbcba +++ Nguyễn Thị Tuyết Thanh -Trờng THCS Nguyễn Khắc Viện- Hơng Sơn-Hà Tĩnh 6 . số x và y mà x+y=1. Chứng minh rằng: 2 1 , 22 + yxa 8 1 , 44 + yxb Bài 2: Cho x+y=2. Chứng minh rằng 2 44 + yx Bài 3: Chứng minh rằng nếu x+y+z=1 thì 3. a,b,c,d, bất kỳ. Chứng minh rằng: ( )( ) 2222 dcbabdac ++ Bài 4: Cho ba số a,b,c sao cho 0 ++ cba Chứng minh rằng: abccba 3 333 ++ Bài 5: Chứng minh rằng với năm

Ngày đăng: 04/12/2013, 04:12

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan