Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng phương pháp hàm Lyapunov dạng Razumikhin để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân và hệ phương trình có xung.
LỜI CẢM ƠNLời đầu tiên của Luận văn, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ngườithầy hướng dẫn khoa học của mình: PGS. TS. Đặng Đình Châu - người đã đưa rađề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tác giả cũngchân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệuvà thủ tục hành chính để hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơnđến bạn bè, đặc biệt là các bạn trong nhóm Giải Tích lớp Cao học 2008 - 2010 đãđộng viên giúp đỡ tác giả về tài liệu tham khảo và kỹ thuật biên soạn Latex.Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự góp ý tận tình của các thầy, côvà bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn!Hà nội, tháng 12 năm 2010Học viênNgô Quý Đăng.1 Mục lụcLỜI NÓI ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Bảng ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân . . . . . . . . . 71.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất và công thức biến thiênhằng số Lagrăng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phân . . . . . . . . . . . 101.2. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm . . . . 131.2.1. Khái niệm ổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . 151.2.2. Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov. . . . . . . . . . . . . . 16Chương 2. Phương trình vi phân có xung và ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . 232.1. Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.1. Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung. . . . . . . . . . . . . . 232.1.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . 262.2. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thườngcó xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1. Các định lý so sánh nghiệm của hệ phương trình vi phân thường . . . . . . 292.2.2. Các định lý so sánh nghiệm của phương trình vi phân có xung . . . . . . . . 302.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . 342.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phâncó xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.4. Sử dụng phương pháp Razumikhin nghiên cứu tính ổn định nghiệmcủa phương trình vi phân hàm có xung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.4.1. Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân hàm với xung . . . 382.4.2. Các định lý kiểu Razumikhin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 2.5. Áp dụng cho mô hình quần thể. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 LỜI NÓI ĐẦUPhương trình vi phân có xung được phát hiện từ các ứng dụng: xác định quỹ đạocủa vệ tinh, điều khiển máy móc, lấy mẫu dữ liệu, quản lý hệ sinh thái, .Trong thực tế, những quá trình vật lý khác nhau tạo ra những thay đổi đột ngộtcủa trạng thái tại thời điểm nhất định của thời gian giữa khoảng tiến hóa liên tục.Thời gian của những thay đổi này thường không đáng kể so với của toàn quá trìnhtiến hóa và do đó những thay đổi đột ngột có thể được xấp xỉ tốt về tức thời thay đổicủa trạng thái tức là xung.Ví dụ: Mô hình tăng trưởng dân số có thể được mô tả bằng một phương trình viphân có xung. Các xung mô tả một số yếu tố bất ngờ như nhập cư, di cư, bệnh dịch.Trong ứng dụng thông tin liên lạc, phương trình vi phân có xung sử dụng để mô tảlỗi khi thời gian gây ra lỗi bởi truyền tải và xung được sử dụng để ổn định.Phương trình vi phân có xung thường bao gồm ba yếu tố: Hệ phương trình viphân; hệ phương trình sai phân; tiêu chí để xác định khi các không gian pha của hệđược thiết lập lại. Do đó nghiệm của của hệ phương trình vi phân có xung thườngliên tục từng mảnh, nên gây ra một số khó khăn: Ví dụ: nếu x(t) là liên tục từngmảnh, thì x(t) có thể là hàm không liên tục khắp nơi theo t. Khi đó tính tồn tại, ổnđịnh và bị chặn của nghiệm có thể bị thay đổi do xung.Phương trình vi phân thường có xung xuất hiện không lâu được viết vào năm1960 bởi A.Myshkis và V.Mill’man (xem [12]). Kể từ đó một số kết quả cổ điểnphương trình vi phân thường đã được mở rộng cho phương trình vi phân có xung.Phương trình vi phân trễ có xung ứng dụng rộng rãi nhưng nghiên cứu về phươngtrình vi phân trễ có xung mới xuất hiện. Bài viết đầu tiên về chủ đề này vào năm1986 bởi A.Anokhin (xem [4]).Trong những năm gần đây, nghiên cứu tính ổn định nghiệm và ứng dụng củaphương trình vi phân có xung được phát triển rất mạnh bởi các ứng dụng thực tếcủa chúng. Các công cụ nghiên cứu ổn định thường là phương pháp hàm Lyapunov,kỹ thuật Razumikhin. Ổn định là một trong những vấn đề quan trọng của phươngtrình vi phân trễ có xung, nó có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như mạng thần kinh,các mô hình tăng trưởng dân số, điều khiển máy móc Bố cục của luận vặn gồm:Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về: phương trình sai phân, tính ổnđịnh nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tínhổn định nghiệm của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]).Chương 2: Trình bày khái niệm về phương trình vi phân có xung, tính tồn tại,duy nhất, tiêu chuẩn so sánh, mối liên hệ gữa hệ phương trình vi phân có xung vàphương trình vi phân có xung (xem [6],[10],[11]).Trình bày phương trình vi phân hàm có xung và các định lý ổn định kiểu Razu-mikhin và một số ứng dụng vào giải các bài toán thực tế (xem [13],[14]).4 Để làm sáng tỏ vấn đề trên công việc của người viết chủ yếu là đọc hiểu kháiniệm ổn định nghiệm, phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình sai phân. Tiêuchuẩn so sánh nghiệm cho phương trình vi phân thường. Khái niệm tính ổn địnhnghiệm, phương pháp hàm Lyapunov, các định lý dạng Razumikhin cho phươngtrình vi phân hàm. Sau đó mở rộng các khái niệm cho đó cho phương trình vi phâncó xung và phương trình vi phân hàm có xung. Nghiên cứu vấn đề này người viết đãcố gắng khai thác triệt để, xong thời gian và trình độ còn hạn chế chắc chắn khôngtránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được sự đóng góp của các thầy, cô và cácbạn.5 Bảng ký hiệuN Tập hợp các số nguyên không âm.N(a) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a (a ∈ N).N(a,b) Tập hợp các số nguyên lớn hơn hoặc bằng a, nhỏ hơn hoặc bằng b(a, b ∈ N).¯N Là một trong ba tập N, N(a), N(a, b).R Tập các số thực.R+Tập hợp các số thực dương.RnKhông gian n chiều.Rn+Không gian mã mỗi phần tử có n thành phần toạ độ thực dương.limsupn→∞Giới hạn trên.liminfn→∞Giới hạn dưới.6 Chương 1Kiến thức chuẩn bị1.1. Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trìnhsai phân1.1.1. Hệ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhấtXét hệ phương trình sai phân thuần nhất (xem [5]):u(n + 1) = A(n).u(n), n n0, (1.1)trong đó u(n) = (u1(n),u2(n), .,um(n))T∈ Rm, A(n) = (ai j(n))mmlà ma trận khôngsuy biến.Bài toán Cô-si: Xét hệ phương trình sai phân:u(n + 1) = A(n).u(n), n n0,u(n0) = u0.(1.2)Bằng phương pháp truy hồi, bài toán Cô-si luôn có nghiệm và nghiệm được xácđịnh:u(n) = A(n− 1)A(n− 2) .A(n0+ 1)A(n0)u0,n n0.* Toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận không suy biếnĐịnh nghĩa 1.1.1. Với mỗi s n0, ký hiệu:W(n, s) =A(n− 1)A(n− 2) .A(s + 1)A(s), n > s,I n = s.(1.3)Khi đó, họ {W(n, s)}nsn0được gọi là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trận khôngsuy biến A(n).7 * Ma trận nghiệm cơ bản chuẩn tắc ( ma trận Cô-si)Định nghĩa 1.1.2. Giả sử {W(n, s)}nsn0là họ toán tử tiến hoá sinh bởi ma trậnhàm không suy biến A(n). Khi đó W (n, n0) được gọi là ma trận nghiệm cơ bảnchuẩn tắc (hay ma trận Cô-si) của hệ (1.2).Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa của ma trận Cô-si và họ toán tử tiến hoá ta thấy, vớimỗi s n0thìW(n, s) = W (n,k).W(k, s),n k s.Đặc biệt W(n, n0) = W(n, k).W (k, n0), n k n0, khi đó ta có:W(n, k) = W(n, n0).W−1(k, n0),n k n0.Nhận xét 1.1.4. Khi A(n) = A là ma trận hằng, ta có:W(n, n0) = An−n0,∀n n0.Nhận xét 1.1.5. Nghiệm u(n) = u(n, n0,u0) của bài toán Cô-si (1.2) có thể viếtdưới dạng u(n) = W (n,n0).u0với mọi n n0, hoặc u(n) = W (n,s).u(s) với mọin s n0.1.1.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất vàcông thức biến thiên hằng số LagrăngXét hệ phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (xem [5]):v(n + 1) = A(n)v(n) + b(n), n n0,v(n0) = v0,(1.4)trong đó b(n) ∈ Rm.Định lý 1.1.6. Nghiệm v(n) = v(n, n0,v0) của hệ (1.4) được xác định bởi công thứcv(n) = W(n, n0)v0+n∑k=n0+1W(n, k)b(k− 1). (1.5)Chứng minh. Ta tìm nghiệm v(n) của 1.4 dưới dạngv(n) = W(n, n0).C(n) sao cho v(n0) = v0, (1.6)bằng phương pháp biến thiên hằng số.Vì v(n0) = W(n0,n0)C(n0) = C(n0) nên C(n0) = v0.Từv(n) = W(n, n0)C(n),8 suy rav(n + 1) = W(n + 1, n0)C(n + 1). (1.7)Màv(n + 1) = A(n)v(n) + b(n) = A(n)W(n, n0)C(n) + b(n),ta có:v(n + 1) = W(n + 1, n0)C(n) + b(n). (1.8)Kết hợp (1.7) và (1.8) ta đượcW(n + 1, n0)C(n + 1) = W(n + 1, n0)C(n) + b(n),suy raW(n + 1, n0)∆C(n) = b(n),hay∆C(n) = W−1(n + 1, n0)b(n).Do đón−1∑k=no∆C(k) =n−1∑k=noW−1(k + 1, n0)b(k), (1.9)và ta đượcC(n)−C(n0) =n−1∑k=noW−1(k + 1, n0)b(k). (1.10)Thay (1.10) vào (1.6) ta nhận được kết quả (1.5).Hệ quả 1.1.7. Nếu A(n) = A là ma trận hằng thìv(n) = An−no.vo+n∑k=no+1An−kb(k− 1), (1.11)với mọi n > n0.1.1.3. Hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyếnXét hệ phương trình sai phân tuyến tính có nhiễu phi tuyến:z(n + 1) = A(n)z(n) + g(n,z(n)), n n0,z(n0) = z0,(1.12)trong đó g : N(n0)× Rm→ Rm.Định lý 1.1.8. Nghiệm z(n) = z(n, n0,z0) của(1.12)được cho bởi công thứcz(n) = W(n, n0)z0+n∑n0+1W(n, k)g(k− 1, z(k− 1)). (1.13)Chứng minh. Từ công thức (1.5) lấy b(n) = g(n, z(n)), ta có (1.13).9 1.1.4. Khái niệm ổn định của hệ phương trình sai phânVới phương trình vi phân, phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng từ năm1892, trong khi phương trình sai phân mới sử dụng gần đây (xem [5]).Xét hệ phương trình sai phân:u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈¯N, (1.14)trong đó u và f là các vectơ (1× n) với các thành phần uivà fi, 1 i n. Giả sửf (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) vậy hệ (1.14) có nghiệm tầm thường.Định nghĩa 1.1.9. Nghiệm tầm thường của (1.14) được gọi là:(i) Ổn định, nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(a, ε) > 0 sao cho, với mọi nghiệmu(k) = u(k, a,u0) của (1.14) thỏa mãn ||u0|| < δ , thì ||u(k, a,u0)|| < ε,∀k ∈ N(a).(ii) Ổn định đều, nếu δ trong (i) không phụ thuộc vào a.(iii) Ổn định tiệm cận, nếu nó ổn định và tồn tại δ = δ (a) > 0 với mọi nghiệmu(k) = u(k, a,u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ thì ||u(k, a,u0)|| → 0 khi k → ∞.(iv) Ổn định tiệm cận đều, nếu ổn định đều và tồn tại δ > 0 không phụ thuộcvào a và với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (1.14), thỏa mãn ||u0|| < δ , thì||u(k, a, u0)|| → 0 khi k → ∞.(v) Ổn định tiệm cận mũ, nếu tồn tại số λ > 0 và với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε)sao cho: với mọi nghiệm u(k) = u(k, a, u0) của (1.14) thỏa mãn ||u(k1)|| < δ vớik1∈ N(a), thì ||u(k, a, u0)|| < ε exp(−λ(k− k1)), với mọi k ∈ N(k1).1.1.5. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình sai phânTrong phần này, chúng ta sẽ mở rộng phương pháp hàm Lyapunov để nghiêncứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình sai phân.(xem [5])Xét hệ phương trình sai phân (1.14):u(k + 1) = f (k, u(k), k ∈¯N,Giả sử Sρ={u ∈ Rn:u ρ}, và u(k) = u(k, a, u0) là một nghiệm bất kỳ của(1.14) sao cho u(k) < ρ,∀k ∈ N(a).Cho Ω là tập mở trong Rnvà chứa gốc tọa độ. Giả sử V(k,u) là hàm liên tục vôhướng xác định trên Ω,V ∈ C[Ω, R] và V (k, 0) = 0.Định nghĩa 1.1.10. Hàm φ (r) được gọi là thuộc vào lớp K, nếu và chỉ nếu φ ∈C([0,ρ), R+),φ(0) = 0, và φ(r) là tăng chặt theo r.Định nghĩa 1.1.11. Hàm vô hướng V(k, u) xác định trên N(a)× Sρđược gọi làxác định dương nếu và chỉ nếu V (k, 0) = 0 với mọi k ∈ N(a) và tồn tại một hàmφ(r) ∈ K sao cho φ(r) V(k, u),u = r,(k, u)∈ N(a)× Sρ.Và là xác định âm nếuV (k, u) −φ(r).10 [...]... phương trình (2.8) có nghiệm duy nhất trong PC([0, T ], Rn ) 28 2.2 Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân thường có xung Để thuận tiện, cho vi c trình bày những kết quả cơ bản về tính ổn định của phương trình vi phân có xung, trước hết chúng tôi xin nhắc lại một số kết quả về phương pháp so sánh nghiệm của phương trình vi phân thường (xem [10], [11]) 2.2.1 Các định lý so sánh nghiệm. .. hệ (2.29) ổn định, m(t) < 0 thì hệ (2.29) ổn định tiệm cận Theo Vậy với m(t) ≤ 0 hệ (2.28) ổn định, với m(t) < 0 thì hệ (2.28) ổn định tiệm cận 35 2.3 Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phân có xung Ổn định bộ phận nghiệm của phương trình vi phân thường được V.V Rumianxev xây dựng Sau đây chúng tôi xây dựng cho phương trình vi phân có xung Giả sử f : R+ × Ω × Rm → Rn , và. .. đó ˙ V (x(t)) ≤ −(1 − qk)δ x2 (t) Vậy theo định lý ổn định tiệm cận đều dạng Razumikhin nghiệm tầm thường của hệ là ổn định tiệm cận đều 22 Chương 2 Phương trình vi phân có xung và ứng dụng 2.1 Khái niệm về hệ phương trình vi phân có xung 2.1.1 Định nghĩa và ví dụ về hệ phương trình vi phân có xung Xét phương trình vi phân có xung (xem[6],[10],[11]): x = f (t, x), t = tk , ˙ − ∆x(tk ) = Ik (x(tk )),... thường là ổn định đều 2 ∃∆ > 0(∆ không phụ thuộc vào t0 ), ∀ϕ ∈ C, ϕ < ∆ ⇒ lim x(t0 , ϕ) = 0 t→+∞ 1.2.2 Một số định lý cơ bản theo phương pháp hàm Lyapunov Trong phần này, tôi giới thiệu một số điều kiện đủ về sự ổn định và không ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.18) Đây là kết quả mở rộng của phương pháp thứ hai của Lyapunov cho phương trình vi hàm Định nghĩa 1.2.9 (Phiếm hàm Lyapunov) ... đường cong tích phân và hàm định nghĩa đường cong tích phân là nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung Nghiệm của hệ phương trình vi phân với xung là một hàm: *Liên tục nếu đường cong không có điểm thuộc tập M(t), hoặc các điểm chung của chúng là các điểm bất động của toán tử A(t) *Liên tục từng mảnh với hữu hạn các điểm tại đó gián đoạn loại 1 nếu đường cong tích phân giao với M(t) tại các điểm không... lim tk = ∞ k→∞ Mô hình sinh học (2.7) biểu thị hệ động lực vật dữ-con mồi với hiệu ứng xung tại các thời điểm nhất định. Với cách xây dựng này ta thấy rằng phương trình vi phân có xung có thể mô tả được sự thay đổi tại thời điểm nào đó có tác động bên ngoài 2.1.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân có xung Xét hệ phương trình vi phân có xung với điều kiện ban đầu: x(t) = f (t, x(t)),... Xét phương trình vi phân có xung: x = 0, t = k, ˙ 1 ∆x(k) = , k = 1, 2, , −) − 1 x(k (2.2) với thời điểm ban đầu là (t0 , x0 ) = (0, 1), nghiệm của phương trình vi phân có xung 1 trên đoạn [0, 1) là x = 1 Với t > 1, thì ∆x(1) = không xác định vì x(1− ) = −) − 1 x(1 1 Tuy nhiên, nghiệm của phương trình vi phân x = 0 là x(t) = 0 xác đinh và liên ˙ tục với mọi t 23 2 Xét phương trình vi phân có xung: ... trong định nghĩa (1.2.5) không phụ thuộc vào t0 Định nghĩa 1.2.7 Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận theo Lyapunov khi t → +∞ nếu: 1 Nghiệm tầm thường là ổn định, 2 ∃∆ = ∆(t0 ) > 0, ∀ϕ ∈ C, ϕ < ∆ ⇒ lim x(t0 , ϕ) = 0 t→+∞ Định nghĩa 1.2.8 Nghiệm tầm thường của phương trình vi phân (1.18) được gọi là ổn định tiệm cận đều theo Lyapunov khi t → +∞ nếu 1 Nghiệm. .. = 0 thì nghiệm tầm thường của hệ là không ổn định 1.2 Phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân hàm Trong phần này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của phương trình vi phân hàm (xem [7],[9]) Với x ∈ Rn , ký hiệu |x| là chuẩn của x Với τ > 0 cho trước ký hiệu C là không gian các hàm liên tục trên đoạn [−τ, 0] nhận giá trị trong Rn và với ϕ ∈ C, ϕ = sup |ϕ(θ )|, −τ≤θ ≤0 là chuẩn của ϕ trong... Lyapunov V (t) = V (t, ϕ) xác định trên miền Ω = R+ × C Để nghiên cứu tính ổn định đều và ổn định tiệm cận đều của phương trình vi phân hàm (1.18), ta luôn giả thiết f (t, ϕ) là hoàn toàn liên tục trên Ω và f (t, 0) = 0 Ký hiệu: K = {a | a : R+ → R+ , a liên tục không giảm và a(0) = 0, a(s) > 0 với s > 0} Định lý 1.2.10 (Định lý ổn định) Giả sử tồn tại phiếm hàm liên tục (Lyapunov) thoả mãn điều kiện: . 302.2.3. Các định lý về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có xung . 342.3. Nghiên cứu tính ổn định bộ phận của nghiệm của phương trình vi phâncó xung. về: phương trình sai phân, tính ổn ịnh nghiệm của phương trình sai phân (xem [5]), phương trình vi phân hàm, tính n định nghiệm của phương trình vi phân hàm
