Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy bằng a và góc tại ñỉnh của mỗi mặt bên bằng 2 α. a) Xác ñịnh tâm và tính bán kính, diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM ðỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN LỚP 12
Học kì I (năm học 2010 - 2011) ðề số 1:
Bài 1: Cho hàm số y = x4 + mx2 – m – có đồ thị (Cm) (m tham số)
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số với m = - Từ ñó biện luận theo tham số k, số nghiệm phương trình 4x2(1 - x2) = k
b) Chứng minh (Cm) ln qua hai điểm A, B cố định m thay đổi Tìm m để tiếp
tuyến (Cm) A B song song với ñường thẳng
(d): y = 2x Bài 2:
a) Với giá trị m phương trình sau có nghiệm phân biệt:
3
2
5 − +
x x
= m4 – m2
+
b) Giải phương trình: log3 - 2x(2x2 – 9x + 9) + log3 –x (4x2 – 12x + 9) – =
Bài 3:
a) Tìm giới hạn:
x x
x e e Lim
x x
x 2 sin
0 −
− − −
→
b) Tìm giá trị nhỏ hàm số:
y = (2+ 3) (2x + 2− 3)2x −8.(2+ 3) (x + 2− 3)x
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy a góc ñỉnh mặt bên 2α
a) Xác ñịnh tâm tính bán kính, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD theo a vàα
b) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD theo a vàα Tính thể tích khối cầu nội tiếp S.ABCD
c) Tính α để tâm mặt cầu ngoại tiếp nội tiếp hình chóp S.ABCD trùng Bài 5: Cho a + b + c = CMR: a b c
3
1
1
+
+ ≥
+ + b c a
c b a
3 3
ðề số 2:
Bài 1: Cho hàm số y =
m x
x m mx
3
2 ) (
2
+
− −
+ (1) với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm giá trị m ñể góc ñường tiệm cận ñồ thị hàm số (1) 45o c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu yCð.yCT >
(2)a) Giải biện luận phương trình: 2 2
5
5x + mx+ − x + mx+m+ = x2 +2mx + m b) Giải phương trình: log ( ).log ( )
2 2
2
2+ x + −x − x + +x =log ( )
2
2 x + −x
Bài 3:
a) Tìm giá trị lớn nhỏ của: y = cos2x.cos2xtrên ñoạn[ ]0;π
b) Cho hàm số y = x
e− sinx Hãy tìm x thỏa mãn: y” + 2y’ + 2y + ln(x - 1) > 2
Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác ñều cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc α (0o <α< 90o)
a) Tính theo a α bán kính R, r mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp S.ABC
b) CMR:
R r
≤
Bài 5: Cho n≥0 CMR: log2(1+2n)>log3(3n + 2n) ðề số 3: Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 3mx2 + m + (Cm)
a) Với m = 1:
1) Khảo sát biến thiên (C1)
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C1) biết qua ñiểm A(-1; -2)
3) Tìm a ñể phương trình: x3 – 3x2 – a = có nghiệm phân biệt, có nghiệm lớn
b) Tìm m để (Cm) nghịch biến khoảng (1; 2)
c) Chứng minh (Cm) ln có cực ñại cực tiểu với m≠0
Bài 2: Giải phương trình:
a) 3.8x +4.12x −18x −2.27x= b) lg(10 )
4 x -6lgx= 3lg(100x2)
Bài 3:
a) Chứng minh: 2 1 2 4
2
4 log+ cos10 −log sin10 +log sin 40 =log
b) Tính giới hạn: 2
2
0
1 cos lim
2
x x e x
x
− →
Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o
a) Tính thể tích hình chóp
b) Gọi E trung ñiểm cạnh SC, mặt phẳng qua AB điểm E chia khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích phần
(3)Bài 5: Cho hàm số: y = log2x2−1(7−2x2)+log7−2x2(2x2−1) a) Tìm miền xác định y
b) Tìm giá trị nhỏ y Tìm tất giá trị x để y ñạt giá trị nhỏ ñó ðề số 4:
Bài 1:
a) Khảo sát hàm số: y = f(x) = − + x x
(H)
b) Lập phương trình tiếp tuyến ñồ thị (H) biết hệ tọa ñộ ðềcác vng góc chúng vng góc với đường thẳng x – y = 1000
c) Biện luận theo k số nghiệm phương trình: |f(x)| = k Bài 2:
a) Tính đạo hàm bậc n hàm số sau: y = ln(x2 – 5x + 6)
b) Tìm giá trị nhỏ hàm số y = sin2x – x ñoạn − ;
π π
Bài 3:
a) Giải bất phương trình: 252x−x2+1+92x−x2+1≥34.152x−x2 b) Giải hệ phương trình:
+ −
= −
= +
) )( log (log
16
2
3
xy x
y y
x y x
Bài 4: Cho tứ diện S.ABC có đường cap SH, I trung ñiểm SH
a) CMR: ñiểm I, trọng tâm T tam giác ABC tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện I.ABC thẳng hàng
b) Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện I.ABC theo cạnh a tứ diện ñều S.ABC c) CMR đường thẳng AI, BI, CI đơi vng góc với
Bài 5: Chứng minh bất đằng thức sau ln đúng∀x∈[0; 1] a) – x ≤e−x ≤1 – x +
2
2
x
b) –x <
x e x
+ −
2
≤ – x +
) (
4
x x
+
ðề số 5: Bài 1: Cho hàm số: y =
1
2
− + − x
x x
a) Khảo sát hàm số vẽ đồ thị (C) b) Tìm ñiểm (C) có tọa ñộ nguyên
c) CMR: tiếp tuyến với (C) điểm (C) tạo với tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
1
2
− + − x
x x
(4)Bài 2:
a) Cho hàm số y = ln(sinx) Giải phương trình: y’ + y”.sinx = b) Cho a, b, c >1 CMR:
a c c c b b b a
a c a
b + + + + + 2 log log log ≥ c b a+ +
9 Bài 3: Giải phương trình bất phương trình sau:
a) 9cotx +3cotx −2= b) log5(5x −1).log25(5x+1−5)= c) (log2x)4 -
2
2
8 log
x
+
2 32 log
x <
2
2
log
x
Bài 4: Cho tam diện ba mặt vuông Oxyz Lấy Ox, Oy, Oz ñiểm P, Q, R khác O Gọi A, B, C theo thứ tự trung ñiểm PQ, QR, RP
a) CMR mặt khối tứ diện O.ABC tam giác b) Cho OP = a, OQ = b, OR = c Tính thể tích tứ diện O.ABC
c) Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC
d) CMR tồn mặt cầu tiếp xúc với mặt tứ diện O.ABC Tìm tâm mặt cầu
Bài 5: Cho hàm số y =
1 5 5 5 + + − + + + − + − − x x x x x x Tính giá trị lớn nhỏ hàm số ñoạn [-1; 1]
ðề số 6: Bài 1: Cho hàm số y = (2m – 1)x4 – 3mx2 + m +
a) Khảo sát vẽ ñồ thị (C) hàm số ứng với m =
b) Dựa vào ñồ thị (C) phép biến đổi đồ thị, tìm tất giá trị k để phương trình: |x4 – 3x2 + 2| = k có nghiệm phân biệt
c) Tìm tất giá trị m để hàm số có cực trị Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau khoảng xác ñịnh chúng: a) y = ex.ln(sinx) b) y = ln(x+ x2 +1)
c) y =
+ + + − tan tan tan
logtan3x x π x x π
Bài 3: Giải phương trình bất phương trình: a) 51 + x – 51 - x + 24 ≥
b) log2(4x + 1) = x + log2(2x + – 6)
c) logx2 log2x2 log24x >
Bài 4: Cho tam giác AIB có IA = IB = 2a, ∠AIB = 120o Trên đường thẳng ∆ vng góc với mp (AIB) I, lấy ñiểm C D cho ABC tam giác vng, ABD tam giác
(5)P = x
+ yz x
2 + y
+ zx y
2 + z
+ xy z
2 , với x, y, z số dương ðề số 7:
Bài 1: Cho hàm số: y = x3 – 3x
a) Khảo sát ñồ thị (C) hàm số
b) CMR m thay đổi, họ đường thẳng (d) có phương trình: y = mx + m + ln cắt (C) điểm A cố định
c) Tìm m ñể (d) cắt (C) ñiểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến (C) B C vng góc với
Bài 2:
a) Giải phương trình: log2[(x2 – x)(x + 1)2] = log2(x2 – x).log2(x + 1)2 +
b) Giải bất phương trình: 4x2 + x.2x2+1+ 3.2x > x2.2x2+ 8x +12 Bài 3: Cho phương trình: m.4|x + 1| + 8.9|x + 1| = 35.6|x + 1|
a) Giải phương trình với m = 27
b) Xác định m để phương trình có nghiệm
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O AB = a, BC = 2a, SO⊥(ABCD) góc SB với (ABCD) 60o
a) Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính khoảng cách AB (SCD)
c) Tính tan góc SA (SCD) Bài :
a) Cho hàm số y = x2 + lnx + cos2x Tính y’, y’’, y(n)
b) Cho y = eax+b Tính y(n) c) Cho y = ln(ax + b) Tính y(n)
ðề số 8: Bài 1: Cho hàm số: y =
m x
m m mx x
m
−
+ + − −
+1) 2
(
(Cm)
a) Với m = khảo sát hàm số vẽ đồ thị (C1)
b) Tìm điểm trục hồnh mà từ kẻ tiếp tuyến với (C1)
c) Tìm m để (Cm) đạt cực ñại cực tiểu khoảng (0; 2) Viết phương trình đường
thẳng qua điểm cực trị
d) CMR: tiệm cận xiên (Cm) tiếp xúc với parabol:
y = -4
x2 +
x -4
Bài 2: Cho phương trình: 4.7
1
= − − − + +
−
m
x x
(1) a) Giải phương trình với m = -3
(6)Bài 3:
a) Tìm tiệm cận ngang tiệm cận xiên ñồ thị hàm số: y = x2 +2x+3- x b) Giải phương trình: log2x-1(2x2 + x – 1) + logx+1(2x – 1)2 =
Bài 4: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng cân A Biết AB = AC = a, AA’ = a Gọi M trung ñiểm AB (α) mặt phằng qua M, vng góc với CB’
a) CMR: mp(ABC’)⊥mp(ACC’A’)
b) Tính góc đường thẳng CB’ mặt phẳng (ACC’A’) c) Tính khoảng cách AA’ CB’
d) Xác định tính diện tích thiết diện lăng trụ (α) cắt tạo thành Bài 5: Giải biện luận bất phương trình sau theo a:
2 log
2
log2+ 3 x2− x+ + 2− 3 x− >log7+4 3(ax−5) ðề số 9: Bài 1: Cho hàm số y = x4 – mx2 + m – có ñồ thị (Cm)
a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số với m =
b) CMR m thay đổi đồ thị (Cm) ln qua điểm cố định M1, M2
c) Tìm m ñể tiếp tuyển với (Cm) M1, M2 vng góc với
Bài 2:
a) Giải phương trình: log3(9x + 1) = log3 (3x + – 25) + x
b) Giải bất phương trình: x x x
1 1
4 10 25
5 + ≥
Bài 3:
a) Cho hàm số y = e-sinx CMR: y’cosx – ysinx + y” =
b) Cho hàm số y = ln
x +
1
CMR: xy’ + = ey
Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, mặt bên SAB tam giác vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm AB
a) Xác định đường cao hình chóp CMR: (SBC)⊥(SAB) b) Xác định tâm tính bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp
c) (α) mặt phẳng qua AB vng góc với mp(SCD) Xác dịnh thiết diện hình chóp bị cắt mp(α) Tính tỉ số thể tích khối đa diện (α) cắt hình chóp tạo
Bài 5: CMR với x∈R ta có: x
x x
+
+
3 20
15
12
≥ 3x + 4x + 5x Khi ñẳng thức xảy ra?
ðề số 10: Bài 1: Cho hàm số y =
m x
m mx x
− − +
− 2
(7)a) Với m = khảo sát vẽ đồ thị (C1)
b) Tìm m để (Cm) có cực đại cực tiểu Viết phương trình đường thẳng ñi qua ñiểm cực
ñại cực tiểu (Cm)
c) Tìm điểm mặt phẳng tọa độ cho có đường họ (Cm) ñi qua
Bài 2: Giải bất phương trình:
a) 2
) (
)
(x +x+ x2− x+ ≥ x +x+
b) log2x.log32x + log3x.log23x≥
Bài 3:
a) Cho logax, logbx, logcx lập thành cấp số cộng CMR: c2 = (ac)logab
b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y =
x x
2
ln
với x∈[1; e3] c) Giải phương trình: 0
( os15 )c x+2( os75 )c x =3.2−x
Bài 4: Cho tam giác cân ABC có góc BAC = 120o ñường cao AH = a Trên đường thẳng∆vng góc với (ABC) A lấy ñiểm I J nằm phía ñiểm A cho IBC tam giác ñều JBC tam giác vng cân
a) Tính theo a ñộ dài cạnh tam giác ABC b) CMR: BIJ, CIJ tam giác vuông
c) Xác định tâm tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC d) Xác định tâm tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC
Bài 5: Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt:
x x
x
x−2+ −2+2 7− +2 7−
2
4 = m (m∈R)
ðỀ SỐ 11 Bài 1:
Gọi (Cm)là ñồ thị hàm số
x mx
y= +1 (∗) ( m tham số) a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số (∗)
4 = m
b) Tìm m để hàm số (∗) có cực trị khoảng cách từ ñiểm cực tiểu (C ) m ñến tiệm cận xiên
2
Bài 2:
a) Xác định tham số a để phương trình sau có nghiệm
3
3
log (x+ 5− +a) log (a− − =2 x) log
b) Giải phương trình: 4x2−3x+2+4x2+6x+5 =42x2+3x+7+1 Bài 3:
(8)Bài 4:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a chiều cao a
a) Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a b) Gọi E, K trung điểm cạnh AD BC Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện SEBK Bài 5:
Cho x, y, z số thực thoả mãn: 3−x +3−y +3−z =1 Chứng minh rằng:
4 3 3 3 3
9 x y z
y x z z x z y y z y x
x + +
≥ + + + + + + + + .
ðề số 12
Bài 1: Cho hàm số y =x4 +2(m−2)x2 +m2 −5m+5 (1) a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số (1) m =
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu tạo thành tam giác ñều
Bài 2:
a) Giải phương trình: log5(3+ 3x +1)=log4(3x +1) b) Giải hệ phương trình:
= + − + = + − + + + − − + − + − ) ( log ) ( log ) ( log ) 2 ( log 2 2 x y x x y x xy y x y x
Bài 3: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số:
a) 2
2 ) ( + = x x y
b)
1 2 + − + = x x x y Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung ñiểm AD SC, I giao ñiểm BM AC
a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) b) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) c) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 5:
a) Giải bất phương trình sau:
) ( log ) (
log9 x2+ x+ + > 3 x2+ x+
(9)Tìm giá trị lớn biểu thức A = 13
x +
1
y
ðề số 13 Bài 1: Chohàm số
2
2
+ − + =
x x x
y
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị (C) hàm số
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên Bài 2:
Giải phương trình sau:
a) (4x−5)log22x−(16x−17)log2x+12=0 b) 22x2+1−9.xx2+x +22x+2 =0
Bài 3:
Hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy AB = a; chiều cao SO =
6
a
Mặt phẳng (P qua ) A vng góc với SC cắt SB, SC, SD B',C',D'
a) Tính diên tích thiết diện tạo thành tìm tỷ số thể tích hai phần khối chóp bị cắt mặt phẳng (P )
b) Tính sin góc đường thẳng '
AC mặt phẳng (SAB) Bài 4:
Cho x≥0và y≥0thoả mãn x+y = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P =
2
1
x y
y+ +x+
Bài 5:
a)Giải bất phương trình:
4 ) 21 ( log
) ( log
2 )
3 (
) 21
(
≥ − +
− +
− +
x x
x
x x x
b) Cho số dương a,b,c thỏa mãn abc=10 Chứng minh : c b a c b a
c b a
4
1
1 ) lg lg lg (
3 + + ≤ + +
ðề số 14 Bài 1:
Cho hàm số y = 2x4+8x3+9x2+4x+12 có đồ thị (C) ñường thẳng ( ) :∆ y=2x+1
a) Chứng minh đường thẳng(∆)khơng cắt (C)
b) Tìm đồ thị (C) điểm A có khoảng cách đến (∆) nhỏ Bài 2:
(10)b) 2(8 15)− x−5 19x +2(8 15)+ x =0 Bài 3:
Cho tứ diện OABC với OA = a, OB = b, OC = c OA, OB, OC đơi vng góc với a) Tính diện tích tam giác ABC theo a, b, c
b) Gọi H hình chiếu O lên mp(ABC).Tính thể tích khối tứ diện AHOC theo a, b, c
c) Gọi α,β,γ góc OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: sin2α+sin2β +sin2γ =1 Bài 4:
Cho hàm số y =x3−(m+1)x2+(m−1)x+1
a) Khảo sát biến thiên vẽ ñồ thị hàm số ứng với m=1
b) Chứng tỏ với giá trị khác m , đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt A, B, C B, C có hồnh độ phụ thuộc tham số m Tìm giá trị m để tiếp tuyến B, C song song với
Bài 5:
Giải hệ phương trình:
+ = +
+ = +
5 log log
20 log
2 log log
5 log
5
5
2
2
y y
x x
x y
y x
ðề số 15 Bài 1:
Cho hàm số 3
3
2x mx m
y = − + ( m∈R) a) Khảo sát vẽ ñồ thị hàm số m=1
b) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực ñại cực tiểu ñối xứng qua ñường thẳng
x y= Bài 2:
Tam giác ABC có góc A, B, C thoả mãn:
+ = +
+ = +
C B
B A
C B B A
sin sin 2
sin sin 2
sin sin sin sin
Chứng minh tam giác ABC ñều Bài 3:
Trong nghiệm (x,y) hệ:
≤ + + +
− ≤ +
11 ) ( ) (
3
y y x
x y x
(11)Cho lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a; AA’=a Gọi M,N trung ñiểm cạnh AB A’C’ gọi (P) mặt phẳng qua MN vuông góc với (BCC’B’) Tính diện tích thiết diện (P) lăng trụ
Bài 5:
a) Chứng minh pt sau có nghiệm thực x5−x2−2x−1=0 b) Cho f(x)=(m-1)6
6
+ + − x m
x
1-Giải pt f(x) =
3 = m