SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m sáng kiến kinh nghiệm Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm sốphân thức hữu tỉ I . ý nghĩa của đề tài 1. ý nghĩa thực tiễn Trong thời gian qua, để hoàn thành nhiệm vụ mà Đảng và nhà nớc giao, các trờng PT đã có nhiều cố gắng để nâng cao chất lợng đào tạo, qua việc dạy học tốt các bộ môn văn hóa cơ bản trong đó có bộ môn toỏn hc Tuy nhiên, thực tiễn dạy học môn toán học ở trờng PT hiện nay còn nhiều hạn chế. Yêu câu đặt ra để năng cao chất lợng dạy học bộ môn trên cơ sở phù hợp với đối tợng học sinh. Cung cấp thêm Chính vì thế, tôi chọn đề tài Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ 2. ý nghĩa về mặt xã hội - Làm thay đổi quan niệm và cách nhìn của xã hội về môn toán, góp phần nâng cao nhận thức của học sinh về bộ môn. Qua đó thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của nhà nớc là đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài, xây dựng đất nớc giàu đep. II. Thực trạng dạy và học bộ môn trớc khi đa Phơng pháp tính nhânh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ 1. Đối với giáo viên Tuy không gặp khó khăn trong truyền thụ kiến thức cơ bản của bộ môn, song đối với học sinh của trờng THPT Lang Chánh việc truyền thụ kiến thức cho học sinh yếu kém và học sinh khá giỏi gặp đôi chút khó khăn 2. Đối với học sinh Đa số học sinh cha chăm học nên việc tiếp thu gặp nhiều khó khăn.Cha có cái nhìn tổng quan về môn toán. III. Những điều kiện cụ thể khi thực hiện đề tài 1. Nhiệm vụ đặt ra Để nâng cao chất lợng dạy học bộ môn và gây đợc hứng thú đối với học sinh trong các giờ học toán nhiệm vụ đặt ra là giáo viên phải tìm ra những phơng pháp truyền thụ và giảng dạy có hiệu quả phù hợp với đặc trng bộ môn và đặc điểm tâm sinh lí của đối tợng đợc nghiên cứu. Để cung cấp cho học sinh những kiến thức tinh gọn nhất và thiết thực nhất với nhận thức của học sinh trong quá trình tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ mà đa số hiọc sinh dễ nhớ dễ làm nhất 2. Điều kiện địa phơng, trờng lớp Xuất phát từ tình hình thực tế của địa phơng là một huyện miền núi điều kiện kinh tế-xã hội còn khó khăn. Tỉ lệ học sinh đi học ở bậc THPT còn thấp, đầu vào tuyển sinh thấp hơn nhiều so với các địa phơng khác trong tỉnh. Đây thực sự là khó khăn cho giáo viên trực tiếp giảng dạy bởi những lỗ hổng kiến thức bộ môn là quá lớn. IV. Phần nội dung 1 SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m Phơng pháp tính nhAnh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ A. Cơ sở lí luận - Dựa vào nền tảng là bảng đạo hàm và các công thức đạo hàm trong SKG, qua quá trình dạng dạy và nghiên cứu của bản thân B. Cơ sở thực tin. Qua quá trình giảng dạy chơng V Đại số và giải tích 11 nâng cao, chơng I Giải tích 12 nâng cao. Tôi nhận thấy đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ. Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm cấp cao của hàm số phân thức hữu tỉ và các bài toán tìm cực trị,xét tính đơn điệu , tiệm cận, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vì vậy tôi đa ra Phơng pháp tính nhanh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ. Đây là một tài liệu để học sinh học tốt hơn phần kiến thức tính đạo hàm cảu hàm phân thức hữu tỉ và là tài liệu tham khoả cho học sinh khá giỏi I. Đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất 1. Đạo hàm của hàm số dạng dcx bax y + + = với 0 bcad Dựa trên qui tắc đạo hàm của hàm thơng ta tính đợc áp dụng: Nếu hàm số là dạng trên thì ta làm theo các bớc sau: Bớc 1: Sắp xếp tử thức và mẫu thức theo đúng thứ tự dạng toán VD: x x y + + = 2 1 đợc sắp lại thành 2 1 + + = x x y VD: x x y + = 2 1 đợc sắp lại thành 2 1 + + = x x y VD: x x y = 2 1 đợc sắp lại thành 2 1 + + = x x y Bớc 2: Xác định a, b, c, d Bớc 3: Tính giá trị: ad-bc theo qui tắc chéo chính trừ chéo phụ Bớc 4: Ghi kết quả 2 )( ' dx cbad y + = 2. Các ví dụ: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a, x x y + + = 2 1 ; b, x x y + = 2 1 ; c, x x y = 2 1 ; d, x x y + = 2 31 ; e, 52 31 + = x x y ; f, 2 3 + = x x y ; g, x x y + = 43 ; h, x y + = 2 1 BG: a/ Ta có x x y + + = 2 1 = 2 1 + + x x do đó 22 )2( 1 )2( 1.11.2 ' + = + = xx y ở đây a = 1, b = 1, c = 1, d = 2 2 a b c d 2 )( ' dcx cbad y + = SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m b/ Ta có x x y + = 2 1 = 2 1 + + x x do đó 22 )2( 3 )2( )1.(11.2 ' + = + = xx y ở đây a = 1, b = 1, c = -1, d = 2 c/ Ta có x x y = 2 1 = 2 1 + + x x do đó 22 )2( 1 )2( 1).1(2.1 ' + = + = xx y ở đây a = -1, b = 1, c = -1, d = 2. d/ a = -3, b = 1, c = 1, d = 2 e/ a = -3, b = 1, c = 2, d = 5 f/ a = 3, b = 0, c = 1, d = 2 g/ a = -3, b = 4, c = -1, d = 0 h/ a = 0, b = 1, c = 1, d = 2 Nhận xét nếu a=0 thì hàm số trở thành dcx b y + = khi đó 2 )( ' dcx cb y + = = 2 )( dcx c b + VD: Đạo hàm của hàm số x y + = 2 1 bằng 2 )2( 1 + x (ở đây b = 1, c = 1, d = 2) VD: Đạo hàm của hàm số 23 3 + = x y bằng 2 )23( 9 + x (ở đây b = 3, c = 3, d = 2) VD: Đạo hàm của hàm số 13 2 = x y bằng 2 )13( 6 x (ở đây b = -2, c = 1, d = -1) VD: Đạo hàm của hàm số x y 52 2 = bằng 2 )25( 10 + x (ở đây b = 2, c = -5, d = 2) 3.Bài tập tơng tự . Tính đạo hàm của các hàm số sau a/ x x y + = 2 52 b/ x x y 32 52 + = c/ 54 52 + = x x y d/ x x y 31 2 + = e/ x x y = 1 f/ x x y 31 2 = g/ x x y 3 12 = h/ x x y = 112 i/ x x y 1 = j/ x y 2 1 = k/ 23 1 + = x y l/ 2 1 + = x y 4. ứmg dụng. - Xét tính đơn điệu của hàm số - Tính đạo hàm của hàm số dạng dcx bax y + + = với 0 bcad II. Tính đạo hàm cấp n của hàm số dạng bax y + = 1 với 0 a 1. Bài toán : Tính đạo hàm cấp n của hàm số bax y + = 1 với 0 a Bg: Đặt b a c = 3 SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m Ta có ( ) ( ) 2 11111 ' cx a a b x abax y + = + = + = ( ) ( ) 3 2 !2.1 . 1 )''('' cx a yy + == Bằng qui nạp ta chứng minh đợc ( ) ( ) ( ) 1 !.1 . 1 + + = n n n cx n a y 2. Công thức tính Chú ý: 3. Các ví dụ: VD1: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 2009 của hàm số 2 1 + = x y Bg: Ta có a = 1, b = 2 nên ( ) ( ) ( ) 33 2 2 2 2 !2.1 . 1 1 + = + = xx y Tơng tự : ( ) ( ) ( ) 44 3 2 6 2 !3.1 . 1 1 + = + = xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) 55 4 4 2 24 2 !4.1 . 1 1 + = + = xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) 66 5 5 2 120 2 !5.1 . 1 1 + = + = xx y .và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20102010 2009 2009 2 !2009.1 2 !2009.1 . 1 1 + = + = xx y VD2: Tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, 2009 của hàm số 32 1 + = x y Bg: Ta có a = 2, b = 3 , c = 3/2 nên ( ) ( ) ( ) 33 2 2/3 1 2/3 !2.1 . 2 1 + = + = xx y Tơng tự : ( ) ( ) ( ) 44 3 2/3 3 2/3 !3.1 . 2 1 + = + = xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) 55 4 4 2/3 12 2/3 !4.1 . 2 1 + = + = xx y , 4 Vậy đạo hàm cấp n của hàm số bax y + = 1 với 0 a là ( ) ( ) 1 !.1 . 1 + + = n n n a b x n a y Nếu bax k y + = với 0. ka thì ( ) ( ) ( ) 1 !.1 . + + = n n n cx n a k y với b a c = Nếu dcx bax y + + = với 0 bcad thì 2 )( ' dcx cbad y + = và ( ) ( ) ( ) 1 1 !.1 . + + + = n n n ex n a bcad y với c d e = SÁNG KIẾN KINH NGIỆM NĂM 2009 Giáo viên: Nguyễn Tất Đảm .vµ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 20102010 2009 2009 2/3 !2009.1 . 2 1 2/3 !2009.1 . 2 1 + − = + − = xx y VD3: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, 4, n cña hµm sè 13 1 +− = x y Bg: Ta cã a = -3, b = 1 , c = -1/3 nªn ( ) ( ) ( ) 33 2 3/1 2 . 3 1 3/1 !2.1 . 3 1 − − = − − − = ′′ xx y T¬ng tù : ( ) ( ) ( ) 44 3 3/1 6 . 3 1 3/1 !3.1 . 3 1 − − = − − − = ′′′ xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) 55 4 4 3/1 24 . 3 1 3/1 !4.1 . 3 1 − − = − − − = xx y , .vµ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n x n x n y 3/1 !.1 . 3 1 3/1 !.1 . 3 1 − −− = − − − = VD4: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, 4, n cña hµm sè 1 32 − + = x x y Bg: Ta cã a = 2, b = 3 , c = 1, d = -1 nªn ( ) ( ) 33 3 )1( !2)1( ).5( 1 !2.1 . 1 1.3)1.(2 − − −= − −−− = ′′ x x y T¬ng tù : 4 )1( !3 ).5( − −= ′′′ x y , ( ) ( ) 5 4 )1( !41 ).5( − − −= x y , .vµ ( ) ( ) 1 1 )1( !1 ).5( + + − − −= n n n x n y VD5: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, n cña hµm sè 23 1 2 +− = xx y Bg: Ta cã ( ) ( ) 2 1 1 1 2.1 1 23 1 2 − − − = −− = +− = xxxx xx y do ®ã ( ) ( )       − − − = ′′ 33 2 1 1 1 !2 xx y T¬ng tù : ( ) ( )       − − − − − = ′′′ 44 2 1 1 1 !3 xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       − − − − − = ++ 11 2 1 1 1 ! n n n n n xx ny VD6: TÝnh ®¹o hµm cÊp 2, 3, n cña hµm sè 23 32 2 +− + = xx x y Bg: Ta cã ( ) ( ) 212.1 32 23 32 2 − + − = −− + = +− + = x B x A xx x xx x y (*) §ång nhÊt hai vÕ cña (*) ta ®îc : 2x+3 =(A+B)x+ (-2A-B) mäi x 5 SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m = = =+ = 7 5 2 32 B A BA BA do đó 2 7 1 5 + = xx y Nên ( ) ( ) ( ) + = 33 2 1.7 1 1.5 !2 xx y Tơng tự : ( ) ( ) ( ) + = 44 2 )1.(7 1 )1.(5 !3 xx y , ( ) ( ) ( ) ( ) + = ++ 11 2 )1.(7 1 )1.(5 ! n n n n n xx ny 4.Bài tập áp dụng: Tính đạo hàm cấp 1,2,3,4,n của các hàm số sau 1, a/ 2 1 = x y b/ x y 32 1 + = c/ 1 1 + = x y d/ x y 52 1 = e/ x y 1 = f/ x y = 1 2. a/ 2 1 = x y b/ x y 32 2 + = c/ 1 2 + = x y d/ x y 52 3 = e/ x y 1 = f/ x y = 2 3. a/ 65 1 2 ++ = xx y b/ 4 1 2 = x y c/ 65 12 2 ++ = xx x y d/ 65 1 2 + = xx x y 4. a/ 2 3 = x x y b/ x x y 32 2 + + = c/ 1 2 + + = x x y d/ x x y 52 32 + = e/ x x y 1 + = f/ x x y = 12 III. Đạo hàm của hàm số dạng '' 2 bxa cbxax y + ++ = với 0'. aa 1. Bài toán : Chứng minh rằng đạo hàm của hàm số '' 2 bxa cbxax y + ++ = với 0'. aa bằng 2 )''( ' ' '. ' bxa a b ga a a + Bg: Đặt ( ) cbxaxxg ++= 2 Ta có '' ' ' ' ' ' '' ''' 2 2 2 bxa c a b b a b a a abba x a a bxa cbxax y + + + + += + ++ = = '' ' ' ' '' ' 2 bxa a b g a abba x a a + + + 6 SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m Do đó 2 )''( ' ' '. ' ' bxa a b ga a a y + = 2. Phơng pháp: Bớc 1: Xác định 'a a Bớc 2: Tính ' ' a b g (Chú ý: -b'/a' là nghiệm của mẫu thức) Bớc3: Tính 2 )''( ' ' '. ' ' bxa a b ga a a y + = 3. Các ví dụ: VD1: Tính đạo hàm của hàm số sau: 2 53 2 + ++ = x xx y Ta có a = a' = 1 g(-2)= 3 Vậy 2 )2( 3 1' + = x y VD2: Tính đạo hàm của hàm số sau: 2 532 2 ++ = x xx y Ta có a = 2, a' = 1, g(2) = 19, do đó 2 )2( 19 2' = x y VD3: Tính đ ạo hàm cảu hàm số sau: 1 532 2 ++ = x xx y Ta có a = -2, a' = 1, g(1) = 6, do đó 2 )1( 6 2' = x y VD4: Tính đ ạo hàm cảu hàm số sau: 1 532 2 ++ = x xx y Ta có a = 2, a' = -1, g(-1) = 4, do đó 22 )1( 4 2 )1( 4).1( 2' + += = xx y VD5: Tính đạo hàm của hàm số sau: 22 53 2 + ++ = x xx y Ta có a = 1, a' = 2 g(-1)= 3 Vậy 22 )22( 6 2 1 )22( 3.2 2 1 ' + = + = xx y 7 Vậy hàm số '' 2 bxa cbxax y + ++ = có dạo hàm 2 )''( ' ' '. ' ' bxa a b ga a a y + = SNG KIN KINH NGIM NM 2009 Giỏo viờn: Nguyn Tt m VD6: Tính đạo hàm của hàm số sau: 12 533 2 ++ = x xx y Ta có a = 3, a' = 2 4 29 2 1 = g Vậy 22 )22.(2 29 2 3 )12( 4 29 .2 2 3 ' + = = xx y 4. Bài tập áp dụng 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau a/ 1 53 2 ++ = x xx y b/ 1 53 2 + ++ = x xx y c/ 1 22 2 + ++ = x xx y d/ 2 532 2 ++ = x xx y e/ 1 532 2 ++ = x xx y f/ 2 533 2 ++ = x xx y g/ 12 533 2 ++ = x xx y h/ 23 534 2 + = x xx y Nhận xét: Với việc tìm đạo hàm của hàm số bậc hai trên bậc nhất nói trên -Học sinh dễ dàng tính đợc cực trị của hàm số (nếu có) -Học sinh có thể tìm đợc tiệm cận xiên dễ dàng từ công thức '' ' ' ' ' ' '' ''' 2 2 2 bxa c a b b a b a a abba x a a bxa cbxax y + + + + += + ++ = V. Kt lun: Sỏng kin ny giỳp hc sinh nm bt c d dng bi toỏn tớnh o hm ca hm s phõn thc hu t hay gp, giỳp hc sinh cú c cỏch nhỡn mi v mụn toỏn. Vi sỏng kin ny tụi ó thc hin v cú hiu qu tt cỏc lp ang dy v ụn thi i hc. Nú khụng ch phc v vic tỡm do hm m cũn giỳp hc sinh xột c tớnh n iu cu hm s phõn thc hu t c d dng cng nh giỳp hc sinh gii quyt tt bi toỏn tỡm tim cn xiờn ca th hm s phõn thc bc hai trờn bc nht 8 . trong việc tính đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ. Đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm cấp cao của hàm số phân thức hữu tỉ và các bài toán. Nguyn Tt m Phơng pháp tính nhAnh đạo hàm của hàm số phân thức hữu tỉ A. Cơ sở lí luận - Dựa vào nền tảng là bảng đạo hàm và các công thức đạo hàm trong SKG,