Tài liệu "Hệ thống một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .."

16 1,028 3
  • Loading ...
1/16 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 03/12/2013, 15:11

Phần I. Mở đầu I. Lí do chọn đề tài. Bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm sốmột bài toán rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: tốt nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất quan trọng trong chơng trình toán phổ thông. Mặt khác do đối tợng học sinh đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong sách giáo khoa còn ít và cha đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động hơn và có hiệu quả hơn tôi viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà. Việc giải quyết bài toán xác định tính đồng biếnnghịch biến hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh: - Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng biếnnghịch biến của hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giải cho bài, học sinh thấy đợc mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn. - Thứ hai: Việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng sáng tạo. Khi giải bài toán này học sinh thờng xuyên phải sử dụng kiến thức liên quan nh: Giải phơng trình, biến đổi tơng đơng, các kiến thức về đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi . - Thứ ba: Thông qua việc giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác t duy nh: Phân tích, tổng hợp, có khả năng đặc biệt hoá, khái quát hoá bài toán. Mặt khác còn rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ nh: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng cao khả năng sáng tạo mỗi khi gặp một bài toán có thể suy nghĩ tìm tòi những lời giải khác nhau, chọn ra cách giải hay nhất. Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn nh lúng túng khi tìm đờng lối giải có khi vận dụng một cách máy móc dập khuôn. Vì những lí do trên, tài liệu này "Hệ thống một số phơng pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh hay mắc phảitrong quá trình giải bài toán". II. Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu. Nhằm đề xuất phơng pháp giúp việc dạy và học nội dung bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn. III. Phơng pháp nghiên cứu. Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn, phơng pháp giảng dạy ở trờng THPT. IV. Cấu trúc kinh nghiệm. Chơng I. Các kiến thức cơ bản. Chơng II. Các dạng bài toán về tính đơn điệu. 1 Phần II. Nội dung kinh nghiệm. Chơng I. Các kiến thức cơ bản. I. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. 1. Định nghĩa. Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu 21 ; xx (a;b) mà )()( 2121 xfxfxx << - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu 21 ; xx (a;b) mà )()( 2121 xfxfxx >< - Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó. 2. Điều kiện t ơng đ ơng với định nghĩa. Giả sử 21 ; xx (a;b), 21 xx ; 12 12 12 12 )()( xx xfxf xx yy = - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) 0 > x y trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) 0 < x y trên khoảng (a;b). Từ đó suy ra: - Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) f(x) = 0lim 0 x y x trên khoảng (a;b). - Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) f(x)= 0lim 0 x y x trên khoảng (a;b). II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số. 1. Định lí 1 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). a, Nếu f(x)>0 x (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó. b, Nếu f(x)<0 x (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó. 2. Định lí 2 Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Nếu f(x) 0 (hoặc f(x) 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó. 3. Điểm tới hạn Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và 0 x (a;b). Điểm 0 x đợc gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f(x) không xác định hoặc bằng 0. 4. Quy tắc tìm khoảng đơn điệu của hàm số Tìm khoảng đơn điệu của hàm số đợc thông qua bảng biến thiên. a, Tìm các khoảng giới hạn. b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn. c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng. III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng. 2 1. Hàm số bậc nhất y= ax+b (a 0) - Tập xác định: R y = a. a>0 y > 0 Hàm số luôn đồng biến. a<0 y < 0 Hàm số luôn nghịch biến. 2. Hàm số bậc hai y = cbxax ++ 2 (a 0) - Tập xác định: R y = 2ax + b. y = 0 a b x 2 = + Nếu a>0 + Nếu a<0 x a b 2 + x a b 2 + y - 0 + y - 0 + y + + a4 y a4 Hàm số đồng biến trên ( a b 2 ; + ) và nghịch biến trên ( ; a b 2 ). Hàm số nghịch biến trên ( a b 2 ; + ) và đồng biến trên ( ; a b 2 ). - Vẽ đồ thị: a>0 a<0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 - 4a - b 2a 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 - 4a - b 2a 3. Hàm số bậc ba y = dcxbxax +++ 23 (a 0) - Tập xác định: R y = cbxax ++ 23 2 (a 0) = a acb a b xa 3 3 3 3 2 2 + 3 = aa b xa 33 3 2 + * a, acb 3 2 = < 0 y cùng dấu với a. Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến. Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến. * Bảng biến thiên: a>0 a<0 x + x + y + y - y + y + * Đồ thị: a>0 a< 0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 * b, acb 3 2 = = 0 y cùng dấu với a với a b x 3 . Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng a b 3 ; và đồng biến trên khoảng + ; 3a b . Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến a b 3 ; và nghịch biến trên khoảng + ; 3a b . * Đồ thị: a>0 a< 0 4 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 * c, acb 3 2 = > 0 y = 0 có hai nghiệm phân biệt 21 ; xx ( 21 xx < ). a>0 x 1 x 2 x + y + 0 - 0 + y + f( 1 x ) f( 2 x ) a<0 x 1 x 2 x + y - 0 + 0 - y + f( 2 x ) f( 1 x ) * Đồ thị: a>0 a<0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 4. Hàm số trùng ph ơng y = cbxax ++ 24 (a 0) - Tập xác định: R y = bxax 24 3 + = ( ) baxx + 2 22 - Nếu b > 0 y = 0 có một nghiệm x = 0 a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) và nghịch biến trên khoảng ( 0 ; + ). a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) và đồng biến trên khoảng ( 0 ; + ) * Bảng biến thiên: 5 a>0 a<0 x ∞− 0 ∞+ x ∞− 0 ∞+ y’ - 0 + y’ + 0 - y ∞+ ∞+ f(0) y f(0) −∞ −∞ * §å thÞ : a>0 a<0 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 10 8 6 4 2 -2 -4 -6 -10 -5 5 10 - NÕu b ≤ 0 ⇒ y’ = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt x = 0 ; x = a b 2 ± * B¶ng biÕn thiªn: a>0 x ∞− a b 2 − 0 a b 2 ∞+ y’ - 0 + 0 - 0 + y ∞+ f(0) ∞+ f( a b 2 − ) f( a b 2 ) a<0 x ∞− a b 2 − 0 a b 2 ∞+ y’ - 0 + 0 - 0 + y f( a b 2 − ) f( a b 2 ) f(0) ∞− ∞− * §å thÞ: 6 a>0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 a<0 8 6 4 2 -2 -4 -6 -8 -10 -5 5 10 Chơng ii. Các dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1. Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. * Phơng pháp giải: - TXĐ. - Tìm điểm tới hạn. - Lập bảng biến thiên. - Suy ra chiều biến thiên của hàm số. * Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: a, y = 2 - x - 2 x . b, y = 43 3 + xx . c, y = 32 24 xx . d, y = x xx 23 2 ++ . e, y = 13 2 + x x . Giải: a, HS tự giải. b, y = 43 3 + xx . - TXĐ: R - y = 33 2 + x > 0 , Rx Hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; ) c, y = 32 24 xx . - TXĐ: R 7 - y = ( ) 1444 23 = xxxx Y = 0 = = = 1 1 0 x x x Bảng biến thiên: x -1 0 1 + y - 0 + 0 - 0 + y + + Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1; ) và (0;1) Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; + ) * Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: a, y = x e - x. b, y = x. lnx. Giải: a. TXĐ: R . y = x e - 1. y > 0 x e - 1 > 0 x e > 1 = 0 e x > 0. y < 0 x < 0. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; ) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ) b, y = x. lnx. TXĐ: * + R y = lnx + x. x 1 = lnx + 1 y > 0 lnx > 1 = 1 ln e x > 1 e = e 1 . y < 0 lnx < 1 = 1 ln e x < 1 e = e 1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng ( e 1 ;0 ) Hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; 1 e ) Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x). Có tập xác định R. Tìm điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến. * Phơng pháp giải: - Tính y. - Hàm số luôn đồng biến y 0, Rx Bài toán trở thành Tìm điều kiện để y 0, Rx . +) Giả sử y = f(x) = cbxax ++ 2 (a 0) Để hàm số đồng biến > 0 0a +) Giả sử y = f(x) = bax + (a 0) 8 Ta thấy: Hàm số có đạo hàmmột nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm đồng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến đợc. +) Giả sử y = f(x) = dcxbxax +++ 23 (a 0) y = 0 Luôn có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tơng ứng không thể đồng biến. * Chú ý: Dạng bài toán tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm tơng tự nh trên. * Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R. y = x + cosx. Giải: TXĐ: R y = 1 - sinx 0, Rx . Vì 1sin x Hàm số luôn đồng biến trên R. * Ví dụ 2: Cho hàm số y = ( ) ( ) 2512123 23 ++++ xmxmx . Tìm m để hàm số luôn đồng biến. Giải: y = ( ) ( ) 5121263 2 +++ mxmx . = ( ) ( ) 5123129 2 ++ mm = 153693636 2 ++ mmm = ( ) 166636 22 = mm Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có: y 0, Rx 0' ( ) 6 1 6 1 016 2 mm . Vậy các giá trị của m cần tìm là 6 1 6 1 m * Ví dụ 3: Cho hàm số y =(m - 3)x - (2m + 1 )cosx. Tìm m để hàm số luôn nghịch biến. Giải: y = (m - 3) + (2m + 1)sinx Để hàm số luôn đồng biến thì ta phải có: y 0, Rx ( ) ( ) 0sin123 ++ xmm , Rx . Đặt t = sinx với 11 t . Bài toán trở thành: Xác định m để: g(t) = (m - 3) + (2m + 1).t 0, [ ] 1;1 t ( ) ( ) 01 01 g g ( ) ( ) ( ) ( ) ++ + 0123 0123 mm mm 023 04 m m 3 2 4 m m 3 2 4 m Vậy giá trị của m cần tìm là: 3 2 4 m * Ví dụ 4: 9 Cho hàm số y = ( ) ( ) ( ) 12223212 223 +++ mmxmmxmx . Chứng minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến. Giải: y = ( ) ( ) 2321223 22 ++ mmxmx . = ( ) ( ) 23231 2 2 +++ mmm = 69612 22 ++++ mmmm = ( ) 17 2 + mm Vì ( ) mmmm >>+ ,0,01 2 . Do đó, y = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt, m . Suy ra đạo hàm không > 0 với mọi x. Vậy hàm số không luôn luôn đồng biến. * Bài toán 3 Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; ). * Phơng pháp giải: y = f(x;m). Hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; ) 0' y , > x . +) Giả sử y = g(x) = cbxax ++ 2 (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; ). > 0 0a hoặc ( ) > > > > 2 0 0 0 S g a +) Giả sử y = g(x) = bax + (a 0). Hoặc y luôn cùng dấu với g(x). Hàm số đồng biến trên khoảng ( + ; ). ( ) > 0 0 g a * Chú ý: Tơng tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( + ; ). * Ví dụ 1: Xác định m để hàm số: y = ( ) 1122 3 2 223 ++ xmmmxx đồng biến trong khoảng ( ) + ;1 . Giải: y = ( ) 1242 22 + mmmxx = ( ) 1224 22 mmm = ( ) 122 2 ++ mm = ( ) 012 2 + m -) Nếu m = -1 ( ) 012' 2 += xy . Hàm số luôn luôn đồng biến Hàm số đồng biến trong khoảng ( ) + ;1 . Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp. -) Nếu m -1 0' > , y có hai nghiệm phân biệt 21 ; xx . Giả sử 21 xx < . Ta có, y ( ) 21 ;,0 xxx . 10 [...]... kinh nghiệm Tài liệu này đã đạt đợc một số kết quả: - Hệ thống đợc các phơng pháp giải toán xác định tính đơn điệu của hàm số, mỗi phơng pháp đợc minh họa bằng một số ví dụ cụ thể 15 - Thông qua việc giải bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số giúp học sinh cùng cố, đào sâu kiến thức, thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ các kiến thức toán học - Việc giải bài toán xác định tính đơn điệu của hàm số không chỉ... dụ 2: Xác định m để hàm số: y= mx + 4 x+m ; nghịch biến trong khoảng ( 1) Giải: TXĐ: R\ { m} y = m2 4 ( x + m) 2 ; ; Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( 1) , thì y giảm trên khoảng ( 1) m2 4 < 0 2< m< 2 m ( ; 1) m 1 2 < m 1 * Bài toán 5: Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến. .. là tham số Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) * Phơng pháp giải: y = f(x;m) Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) y ' 0 , x < +) Giả sử y = g(x) = ax 2 + bx + c (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) 11 Hàm số đồng biến trên khoảng ( ; ) a> 0 0 a > 0 > 0 hoặc g ( ) > 0 < S 2 +) Giả sử y = g(x) = ax + b (a 0) Hoặc y luôn cùng dấu với g(x) Hàm số đồng biến trên... kiện để hàm số đồng biến trong khoảng ( 1;+ ) là: m 1 ' > 0 m 2 6m + 1 0 m 3 2 2 và m -1 y' (1) 0 S m< 1 0, x ( x1 ; x 2 ) Hàm số đồng biến trong khoảng (1;2 ) y ' > 0, (1;2 ) Điều kiện phải có là: x x1 = 0 < 1 ... 2m > 0 m> 2 12 + 4m 0 m 3 với g(x) = 3x 2 + 2mx 3 m3 Vậy m 3 * Ví dụ 2: Xác định a để hàm số: y= x3 + ( a 1) x 2 + ( a + 3) x đồng biến trong khoảng (0;3) 3 y = x 2 + 2( a 1) x + a + 3 Giải: ' = a 2 a + 4 > 0, a y có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 Giả sử x1 < x 2 Ta có, y > 0, x ( x1 ; x 2 ) Hàm số đồng biến trong khoảng (0;3) y ' > 0, ( 0;3) Điều kiện phải có là: x x1 0 < 3 x... mà còn phát huy đợc tính tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh Đây chính là vấn đề mấu chốt, là mục tiêu cơ bản của dạy học hiện đại Những két quả trên đây tuy còn nhỏ bé nhng cũng giúp cho việc giảng dạy và học tập đợc chủ động và đạt kết quả cao hơn Học sinh có tiến bộ và yêu thích môn toán hơn Tuy nhiên tài liệu vẫn còn sài, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp để tài liệu đợc đầy đủ và hoàn . Các dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số Bài toán 1. Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. * Phơng pháp giải: -. Việc giải quyết bài toán xác định tính đồng biến và nghịch biến hàm số có tác dụng to lớn đối với học sinh: - Thứ nhất: Thông qua bài toán xác định tính đồng
- Xem thêm -

Xem thêm: Tài liệu "Hệ thống một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ..", Tài liệu "Hệ thống một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ..", Tài liệu "Hệ thống một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số .."

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn