UBND HUYỆN H KHÊ PHÒNG GD&ĐT H KHÊ ĐỀ ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI)) Bài 1: (4 điểm) a. Thực hiện trục căn ở mẫu biểu thức A = 6432 32 +++ + b. Thực hiện tính giá trị của biểu thức B = x x x x 242 22 242 22 −− − + ++ + với x = 2 3 c. Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: x x 1 m+ − = Bài 2: (6.0 điểm) Giải các phương trình, hệ phương trình sau: a.    =−− =−−+ 01 0144 22 yx xyyx b. xx xx 1 1 1 −+−= c.    =+ =+ 11 1 55 yx yx d.        −=+ −=+ −=+ 14 14 14 yxz xzy zyx Bài 3:(6 điểm) Cho tam giác nhọn ABC. Lấy điểm M thuộc cạnh AB, điểm N thuộc cạnh AC và điểm H thuộc cạnh BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MBH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NCH tại P (P ≠ H). a. Chứng minh tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn. b. Đường thẳng HP cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMPN tại điểm thứ hai Q. Chứng minh AQ song song với BC. c. Khi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, AH là đường cao của tam giác ABC. HP cắt MN tại I. Chứng minh I là trung điểm của MN. Bài 4:(2.0 điểm) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh: a. p 2 - 1 chia hết cho 6. b. p 4 - 1 chia hết cho 48. Bài 5:(2.0 điểm) Chøng minh r»ng:         + b a 1 .21 +         + a b 1 .3 ≥ 80 víi ∀a ≥ 3, ∀b ≥ 3. DÊu b»ng x¶y ra khi nµo ? UBND HUYỆN H KHÊ PHÒNG GD&ĐT H KHÊ ĐÁP ÁN ÔN THI SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2010 - 2011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (LÀM BÀI)) ĐÁP ÁN Bài 1: 21 1 )21)(32( 32 )32(232 32 + = ++ + = +++ + 12 )21)(21( 21 −= −+ − = Thay x vào ta được B = 342 32 342 32 −− − + ++ + - Nhân với lượng liên hợp: 3 )342)(32( 3 )342)(32( −+− + − +−+ Thực hiện nhân và rút gọn: 3 343323424343323424 −−−−++++−++− 3 3432 3 3432 34344 − + + +−+++−= = 4) 3 32 1(1328 −++ . Bài 2:    =−− =−−+ 01 0144 22 yx xyyx ⇔    =−− =−− 01 01)2( 2 yx xy ⇔    =−− =+−−− 01 0)12)(12( yx xyxy Được:    =−− =−− 01 012 yx xy hoặc    =−− =−− 01 012( yx xy Giải hệ:    =−− =−− 01 012 yx xy Giải hệ:    =−− =+− 01 012( yx xy ⇔ x x x x 11 1 −=−− ⇔ x x x x x x 11 12 1 1 2 −=−−−+ ⇔ 021 22 =−−+− xxxx ⇔ ( xx − 2 -1) 2 = 0 ⇔ xx − 2 -1=0. ⇔ x 2 - x - 1 = 0. Giải phương trình được x Điều kiện và đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm. Có: x 5 + y 5 = (x+y)(x 4 -x 3 y + x 2 y 2 - xy 3 + y 4 ) = (x+y)( x 4 + y 4 -xy(x 2 +y 2 ) +x 2 y 2 ) = (x+y)( (x 2 + y 2 ) 2 - 2x 2 y 2 - xy((x+y) 2 -2xy) + x 2 y 2 ) = (x+y)(((x +y) 2 -2xy) 2 - 2x 2 y 2 - xy((x+y) 2 -2xy) + x 2 y 2 ) Thay x + y = 1 được : x 5 + y 5 = (1-2xy) 2 -2x 2 y 2 - xy(1-2xy) + x 2 y 2 = 1 - 4xy + 4x 2 y 2 - 2x 2 y 2 - xy + 2x 2 y 2 + x 2 y 2 = 1 - 5xy + 5x 2 y 2 Đặt t = xy ta được phương trình : 5t 2 - 5t + 1 = 11 ⇔ t 2 - t - 2 = 0 Giải phương trình được : t 1 = -1; t 2 = 2 Giải các hệ:    −= =+ 1 1 xy yx và    −= =+ 2 1 xy yx được nghiệm :         −+ 2 51 ; 2 51 ;         +− 2 51 ; 2 51 §iÒu kiÖn cña Èn : x, y, z ≥ 1/4. Nh©n vÕ-vÕ c¶ ba ph¬ng tr×nh víi 2 råi céng l¹i, ta ®îc ph¬ng tr×nh: 4x + 4y + 4z = 2 14 − x + 2 14 − y + 2 14 − z (*) BiÕn ®æi (*) <=> ( 14 − x -1) 2 + ( 14 − y -1) 2 + ( 14 − z -1) 2 = 0 <=> 14 − x = 14 − y = 14 − z = 1 <=> x = y = z = 1/2 tháa m·n ®/kiÖn Bài 4: - Tứ giác MBHP nội tiếp ⇒ ∠MPH + ∠MBH = 180 0 - Tứ giác NCHP nội tiếp ⇒ ∠NPH + ∠NCH = 180 0 - Cộng được ∠MPH +∠ NPH + ∠MBH + ∠NCH = 360 0 . - Thay ∠MPH + ∠NPH = 360 0 - ∠MPN và ∠MBH + ∠NCH = 180 0 - ∠MAN vào được: 360 0 - MPN + 180 0 - A = 360 - ⇒ ∠MPN + ∠MAN = 180 0 ⇒ tứ giác AMPN nội tiếp trong một đường tròn - ∠MPH + ∠MBH = 180 0 và ∠MPH + ∠MPQ = 180 0 ⇒ ∠MBH = ∠MPQ. - ∠MPQ + ∠MAQ = 180 0 nên ∠MBH + ∠MAQ = 180 0 ⇒ BC // AQ. (Có thể chứng minh ∠CHN = ∠NPQ = ∠NAQ) - MN là đường trung bình của ∆ABC ⇒ MN//BC ⇒ MN// AQ - ⇒ MAQN là hình thang cân ⇒ AM = QN và AN = QM. - MA = MH (MN đi qua trung điểm AH và vuông góc với AH) - ⇒ MH = MA = QN. - Tương tự: NH = NA = QM. - ⇒ MHNQ là hình bình hành ⇒ I là trung điểm của MN Bài 4: A B C H M N P Q I - p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ ⇒ p 2 lẻ ⇒ p 2 - 1 chẵn ⇒ p 2 - 1 chia hết cho 2. - p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3 ⇒ p = 3k± 1 - p 2 - 1 = 9k 2 . ± 6k = 3(3k 2 ± 2k) ⇒p 2 - 1 chia hết cho 3. - Do (2,3) = 1 nên p 2 -1 chia hết cho 6. - p 4 - 1= (p 2 -1)(p 2 + 1) - p là số lẻ ⇒ p 2 lẻ ⇒ p 2 + 1 chẵn ⇒ p 2 + 1 chia hết cho 2. - p là số lẻ. Đặt p = 2k+1 ⇒ p 2 - 1 = 4k 2 + 4k = 4k(k+1).Do k(k+1) chia hết cho 2 nên p 2 - 1 = 4k(k+1) chia hết cho 8. - Do (3,8) = 1 nên p 2 - 1 chia hết cho 24 ⇒ (p 2 -1)(p 2 + 1) chia hết cho 48. Bài 5: Ta cã: 21a+(3/a) =(3/a) + a/3 + 62a/3 ≥ 2 3 . 3 a a + (62.3/3) = 64 (1) ∀a≥ 3 DÊu b»ng x¶y ra <=> (3/a) = a/3 vµ a = 3 <=> a = 3. L¹i cã: (21/b) + 3b =(21/b) + 7b/3 + 2b/3 ≥ 2 3 7 . 21 b b + (2.3/3) = 16 (2) ∀b≥ 3. DÊu b»ng x¶y ra <=> (21/b) = 7b/3 vµ b = 3 <=> b = 3. Tõ (1) vµ (2) suy ra B§T cÇn chøng minh ! DÊu b»ng x¶y ra <=> a = b = 3. . NĂM HỌC 2 010 - 2 011 Môn: Toán Thời gian làm bài: 15 0 phút (LÀM BÀI)) ĐÁP ÁN Bài 1: 21 1 ) 21) (32( 32 )32(232 32 + = ++ + = +++ + 12 ) 21) ( 21( 21 −= −+ −. =−− 01 012 ( yx xy Giải hệ:    =−− =−− 01 012 yx xy Giải hệ:    =−− =+− 01 012 ( yx xy ⇔ x x x x 11 1 −=−− ⇔ x x x x x x 11 12 1 1 2 −=−−−+ ⇔ 0 21 22