Vấn đề TỈ LỆ Họ Tên: Trần Quốc Đại Email: quocdai1987@gmail.com Câu Facebook: https://www.facebook.com/tqd1671987 � Cho  ABC có AB  ; AC  Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến BM I AD AI AD  A AI Tính B AD 10  AI C AD 29  AI 20 D AD  AI Lời giải Chọn B uuur uur uuu r uuur * Phân tích AD, AI theo vectơ AB, AC Ta có: uuur uuuu r uur uur uuur r IB AB   � IB  3IM  � AB  AM  AI  1 IM AM uuur uuur r DB AB   � DB  3DC  DC AC uuu r uuur uuur � AB  AC  AD   Câu uuur uuuu r uuur uur uuur uur r Lấy     1 � suy ra: AC  AM  AD  10 AI � AD  10 AI  � AD  10 AI AD 10 �  AI [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần ] Cho  ABC gọi điểm D nằm cạnh BC cho BD  BC , E trung điểm AD Một đường thẳng qua E AB AC 2 AM AN AB AC 2  B AM AN AB AC 29 2  D AM AN cắt cạnh AB; AC M , N Tình tỉ số AB AC 2  AM AN AB AC 28 2  C AM AN A Lời giải Chọn A uuu r uuuu r Do M nằm cạnh AB nên ta có AB  k AM (k  1) uuur uuur Do N nằm cạnh AC nên ta có AC  l AN  l  1 uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur Ta có DB  2 DC � AB  AD  2 AC  AD � AB  AC  AD uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy k AM  2l AN  AE � k AE  ME  2l AE  EN  AE      uuur uuuu r uuur Suy  k  2l   AE  k EM  2l EN uuuu r uuur Do hai vecto AE MN không phương nên suy AB AC k  2l   � k  2l  � 2 6 AM AN  Họ tên tác giả : Đỗ Văn Đức Tên FB: Đỗ Văn Đức Câu Email: hoctoancunganhduc@gmail.com Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD  DB Trên cạnh AC lấy điểm E cho CE  3EA Gọi M trung điểm DE Tia AM cắt BC N Tỉ số giá trị là: A B C D Lời giải Chọn B uuu r uuur uuur AB  x AC r uuu x uuur Giả sử N chia BC theo tỉ số x Ta có: AN   AB  AC (1) 1 x 1 x x 1 uuuu r uuur uuur �2 uuu r uuur � uuu r uuur Lại có: AM  AD  AE  � AB  AC � AB  AC (2) 2 �3 �3   BN có CN uuur uuuu r Vì AM AN vectơ phương nên 8x  � x  x x 1 uuur uuur NB  Do NB   NC � NC Câu (Bài toán tổng quát toán 1) Cho tam giác ABC Gọi I điểm chia BC theo tỉ số k Trên tia AB AC lấy điểm M , N AI cắt MN P Đặt AI có giá trị AP b  kc A 1 k B b  kc 1 k C c  kb 1 k AB AC b,  c Tỷ số AM AN D c  kb 1 k Lời giải Chọn B uuu r uuur uuuu r uuur uuu r AM  x AN AB x AC Giả sử P chia MN theo tỉ số x Ta có AP    1 x 1 x b x 1 c uuu r uuur uuu r uur AB  k AC AB k uuur Lại có: AI    AC (1) 1 k  k k 1 x  k  1 1 k uuur uur x c  �  � xk Vì AP AI đồng phương nên b   x  kc  x  1 b kc b uuu r Do AP  r uuu k uuur AB  AC (2) b  kc b  kc Từ (1) (2) , ta có Câu AI b  kc  AP  k (Hệ hay dùng toán 2) Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC Trên tia AB AC lấy điểm M , N AI cắt MN P Đặt AB AC AI b,  c Tỷ số có AM AN AP giá trị A bc B bc C b2  c2 D 2bc bc Lời giải Chọn B I trung điểm BC nên I chia BC theo tỷ số k  1 Áp dụng kết 2, ta có: AI b   1 c b  c   AP   1 Tên: Nam PhươngTên FB: Nam Phương Email:nguyentrietphuong@gmail.com Câu uuur uuur uuur uuur Cho tam giác ABC Gọi D, E các điểm thỏa mãn BD  BC , AE  AC AD AK AD  D AK Điểm K đoạn thẳng AD cho ba điểm B, K , E thẳng hàng Tìm tỉ số A AD  AK B AD 3 AK C AD  AK Lời giải Chọn B uuur uuur uuu r uuur uuu r Vì AE  AC nên BE  BC  BA 4 uuur uuur uuur uuur uuu r �AK  x AD � BK  xBD  (1  x) BA uuur uuu r x uuur � � BK  BC  (1  x) BA Giả sử �uuur uuur �BD  BC � � �m x  0 m � uuur uuu r � �4 � �� Do B, K , E thẳng hàng ta có: mBK  BE � � 3m � �x  1 x  0 � � Vậy Câu AD 3 AK Email: haivanxinh99@gmail.com Face Hải Vân uuur uuu r uuur uuu r Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O thỏa mãn OC  3OA, OD  4OB Qua trung điểm M AB dựng đường thẳng MO cắt CD N Tính tỉ số A B C Lời giải Chọn A D CN ND uuur uuu r uuur uuu r Ta có OC  3OA, OD  4OB Đặt uuur uuur uuur uuur uuur uuur CN  k , k  , ta có CN  k ND � CO  ON  k NO  OD ND   uuur uuur r 4k uuu r 1 uuur k uuur uuu � ON  CO  OD � ON   OA  OB 1 k k 1 1 k k 1 uuur uuuu r uuur k uuu r uuu r uuuu r uuur Vì OM , ON phương nên có số thực k cho ON  kOM � ON  OA  OB   � k 8k  �� �k  Suy  � k  1 k  k  k  1 k  1 � Câu (Email): hatoanlgm@gmail.com uur uur uur r Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn 23IA  8IB  2018IC  Đường thẳng AI cắt đường thẳng BC J Giá trị tỉ số A 23 B JB là: JC 2018 23 C 2018 D 23 Lời giải Chọn C (Họ tên tác giả : Ngô Ngọc Hà, Tên FB: Ngô Ngọc Hà) uur uuu r uuu r r uuu k uuur AB  AC Giả sử JB  k JC  k �1 � AJ  1 k 1 k Từ giả thiết suy ra: uur uuur uur uuur uur r uur 23 AI  AB  AI  2018 AC  AI  � AI      uur uuu r Do A, I , J thẳng hàng nên AI , AJ phương r 2018 uuur uuu AB  AC 2049 2049 k  2018 � 1 k  1 k � k   2018 2049 2049 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu Cho tam giác ABC Điểm K chia trung tuyến AD theo tỷ số :1 kể từ đỉnh Đường thẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số k  A k  B k  C k  S ABF , giá trị k bằng? S BCF D k  Lời giải Đáp án D A F K B D C uuur uuur uuur Do D trung điểm BC thiết: AD  ( AB  AC ) Gọi F giao điểm BK AC uuur uuur Mà A; F ; C thẳng hàng : AF  mAC uuur uuur uuu r AK  n AF    n  AB  3  2 B; K ; F thẳng hàng : uuur uuur KD  � AK  AD KA uuur uuuu r uuu r Từ   ;  3 suy : AK  n.m AC    n  AB  4 A; K ; D thẳng hàng uuur uuur uuur Từ  1 ;   suy : AK  AC  AB 8  1  5  6 � � m.n  n � � uuu r uuur � � 8 �� Do hai véctơ AB; AC không phương nên từ   ;   ta có: � � �m  1 n  � � uuur uuur FA �  Do đó: AF  AC FC S ABF FA   Vậy k  S BCF FC (Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Họ tên: Tăng Lâm Tường Vinh Email: tanglamtuongvinh@gmail.com Facebook: tanglamtuong.vinh uuur uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC với K trung điểm BC Lấy điểm M , N thỏa mãn AM  AB , uuur uuu r uur uuur uur uuur x AN  AC Gọi I giao điểm MN AK Đặt MI  xMN , AI  y AK Hỏi y A B C D Lời giải Chọn A uuur uuur uuur uuu r uuu r MN  AN  AM  AC  AB Ta có uur uuur uur uuur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uuur uuu r uuu r AC  AB �� AI  x AC  3x AB  AM  x AC  3 3x AB MI  xMN � AI  AM  x � � � � 4 �3 u u u r u u u r uur uuur r y uuu r � � y uuu AI  y AK  y �AC  AB � AB  AC � � �3 3x y �x  � 2 � 13 uuu r uuu r � � �� �x3 Mà AC , AB vector khơng phương nên ta có � y �x y �y   � � 13 �3 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu 11 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh BC lấy E, F cho AD  ; DB BE BF Đường thẳng KD  ;   k Giá trị k bằng? AE chia đoạn DF theo tỷ số EC FC KF A k  11 B k  11 C k  14 D k  11 14 Lời giải Đáp án A r uuu r uuur AD uuur uuur BE uuu  � AD  AB  1  � AE  AB  AC DB EC 4 BF uuur uuur uuur  � AF  AB  AC  3 FC 5 uuur uuur Mà A; K ; E thẳng hàng : AK  mAE   D; K ; F thẳng hàng : uuur uuur uuur AK  n AF    n  AD  5 Theo giả thiết: uuur uuu r uuur Từ   ;   suy : AK  m AB  m AC 4  6  2 uuur r uuur uuur � uuu Từ  1 ;  3 ;   suy : AK  n � AB  AC   n AB   � � 5 � � uuur �3 2n �uuu r 4n uuur � AK  �  �AB  AC  7 �5 � �3m 2n   � uuur uuur �4 5 Do hai véctơ AB; AC không phương nên từ   ;   ta có: � � m  4n � 2n 4n �   �n 15 14 uuur uuur 11 uuur KD � k  Vậy AK  AB  AC 14 14 KF 11 (Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Họ tên: Hoàng Ngọc Lâm Email: hoangngoclammath1112@gmail.com Facebook: Hoàng Ngọc Lâm Câu 12 Cho tam giác ABC Kéo dài AB đoạn BE  AB , gọi F trung điểm AC Vẽ hình bình hành EAFG Đường thẳng AG cắt BC K Tính tỉ số A B C KB ? KC D Lời giải Chọn A A uuur uuurF uuu r Để xác định giao điểm K AG BC , ta tính AG theo AB AC uuur uuur uuur uuu r uuur Ta có: AG  AE  AF  AB  AC B E D C uuur uuur r AG cắt BC điểm K mà KB  KC  KB  KC Câu 13 Cho tam giác ABC có AB  , AC  Phân giác AD góc BAC cắt trung tuyến Suy BM I Tính tỉ số A 13 AD AI B 11 C 10 D 10 Lời giải (Họ tên tác giả : Nguyễn Thị Phương Thảo, Tên FB: Nguyễn Thị Phương Thảo) Chọn C Theo tính chất đường phân giác ta có uur uuur r IB AB   � IB  3IM  IM AM uuur uuur r DB AB   � DB  3DC  DC AC uur uuur r uuu r uuuu r uur uuu r uuuu r uur � � � IB  3IM  AB  AM  AI AB  AM  10 AI � � � r uuur uuur � �uuu r uuur uuur Vậy ta có �uuur uuur r � �uuu DB  3DC  AB  AC  AD AB  AC  AD � � � Và uuur uuuu r uuur uur uuur uur r AD 10  Suy AC  AM  AD  10 AI � AD  10 AI  � AI Hoặc ta giải sau: uuur uuur BD AB 3   � BD  DC   BC  BD  � BD  BC � BD  BC DC AC 4 4 uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur r uuur uuu Ta lại có AD  AB  BD  AB  BC  AB  AC  AB  AB  AC 7 7 uur uuur uur uuur BI AB   � BI  IM � BI  3IM Theo tính chất phân giác, ta lại có IM AM 2 uuu r uur uu r uuuu r uur uuu r uuuu r uuu r uuur � BA  AI  IA  AM � AI  AB  AM  AB  AC Ta có       uur uuu r uuur �4 uuu r uuur � uuur � AI  AB  AC  � AB  AC � AD 10 10 �7 � 10 Vậy AD 10  AI Họ tên tác giả : Nguyễn Văn Toản Tên FB: Dấu Vết Hát Email: nguyenvantoannbk@gmail.com Nhờ thầy góp ý! Câu 14 Cho hình bình hành ABCD , O điểm đoạn AC , đường thẳng BO cắt cạnh CD E đường thẳng AD F cho EF  BO Tỷ số A 1 B C  Lời giải Chọn C AF AD D uuur uuur Đặt: AF  x AD  x  1 Theo định lý talet: uuur uuur AO  y AC   y  1 uuur x  uuur DE DF DE DF x   �� �   �� � DE  AB CE BC DC AF x x uuur uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur x  uuu r AB Ta có: BO  BA  y AC   y  1 AB  y AD ; EF  DF  DE   x  1 AD  x �x   �x   y uuur uuur � � �� �� �� Theo đề bài: EF  BO �� 1 x  y    y  � � �x � Họ Tên : Nguyễn Văn Mạnh FB : Nguyễn Văn Mạnh Email : manhluonghl4@gmail.com Câu 15 Cho hai tam giác ABC A1B1C ; gọi A2, B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC Gọi G,G1,G2 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C , A2B2C Tính tỉ số A GG1 ta kết : GG2 B C D Lời giải Chọn C uuuu r uuur uuur uuuu r Vì G , G1 trọng tâm tam giác ABC , A1B1C suy 3GG1 = GA1 +GB1 +GC uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur � 3GG1 = GA +GB +GC + AA1 + BB1 +CC � 3GG1 = AA1 + BB1 +CC uuuu r uuur uuur uuuu r Tương tự G , G2 trọng tâm tam giác ABC , A2B2C suy 3GG2 = GA2 +GB2 +GC uuuu r uuur uuuu r uuuu r � 3GG2 = AA2 + BB2 +CC uuur uuuu r uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuur uuuur Mặt khác AA2 + BB2 +CC = AA1 + BB1 +CC + A1A2 + B1B2 +C 1C ( ) ( ) Mà A2, B2,C trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC uuuu r uuuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur Suy A1A2 + B1B2 +C 1C = A1B + AC + B1C + B1A +C 1A +C 1B ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uur uuur uuu r = A1A + AB + A1A + AC + B1B + BC + B1B + BA +C 1C +CA +C 1C +CB uuur uuur uuur = - 2( AA1 + BB1 +CC ) uuur uuuu r uuuu r - uuur uuur uuur uuur uuur uuur AA1 + BB1 +CC + AA1 + BB1 +CC Do AA2 + BB2 +CC = uuuu r uuuu r GG1 uuur uuur uuur = = ( AA1 + BB1 +CC ) Vậy GG2 = GG1 � GG2 ( ) ... véctơ AB; AC không phương nên từ   ;   ta có: � � m  4n � 2n 4n �   �n 15 14 uuur uuur 11 uuur KD � k  Vậy AK  AB  AC 14 14 KF 11 (Họ tên : Phạm Văn Bình, tên FB: Phạm văn Bình) Họ... Do A, I , J thẳng hàng nên AI , AJ phương r 2018 uuur uuu AB  AC 2 049 2 049 k  2018 � 1 k  1 k � k   2018 2 049 2 049 Gmail: Binh.thpthauloc2@gmail.com Câu Cho tam giác ABC Điểm K chia... theo tỷ số EC FC KF A k  11 B k  11 C k  14 D k  11 14 Lời giải Đáp án A r uuu r uuur AD uuur uuur BE uuu  � AD  AB  1  � AE  AB  AC DB EC 4 BF uuur uuur uuur  � AF  AB  AC  3 FC