HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Huỳnh Duy Khánh Trường THPT Châu Văn Liêm §1 . CÁC CÔNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH a) DIỆN TÍCH ĐA GIÁC. • Hình vuông cạnh a có diện tích • Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích • Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích . • Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao a a a b a b a hA b a a hA • Hình thoi biết hai đường chéo a,b • Hình bình hành biết cạnh a và đường cao h A . • Một số công thức khác tính diện tích tam giác Định lý Cosin . Định lý sin Hệ thức lượng trong tam giác vuông Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang40 Chuyên đề 6 : HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT b) THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN c) TỶ SỐ THỂ TÍCH. ĐỊNH LÝ 1 ĐỊNH LÝ 2 d) THỂTÍCH KHỐI TRÒN XOAY. Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang41 Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao. Thể tích khối lăng trụ bằng tích số diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ đó. Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT § 2. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Bài 1 Tính thể tích tứ diện đều ABCD có các cạnh đều bằng a. Lời giải: (Mục đích: HS nắm vững bài tập cơ bản HHKG) Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD) ⇒AH là đường cao tứ diện, do tứ diện đều nên AB=AC=AD suy ra HB=HC=HD hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và H là trọng tâm của tam giác BCD. Kẻ BH cắt CD tại M ta có . Tam giác AHB vuông tại H nên ta được: . vậy thể tích của tứ diện ABCD là . Bài 2 Tính thể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a góc giữa cạnh bên và cạnh đáy kề nhau bằng 45o. Lời giải: (Nội dung câu hỏi thay đổi nhưng giả thiết cho khác đi) Gọi H là hình chiếu của S lên mp(SBC) ⇒SH là đường cao tứ diện, do khối chóp đều nên SA=SB=SC suy ra HA=HB=HC hay H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trọng tâm của tam giác ABC. Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang42 Dạng 1: Tính thể tích của khối chóp đều Cách giải: Xác định đường cao của khối chóp và tính độ dài đường cao. Tính diện tích đáy của khối chóp Chú ý: Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy. B C D A M H A B C S H HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Nối AH cắt BC tại M ta có M là trung điểm của BC và . Tam giác SBC cân có hai góc 45o nên tam giác vuông Tam giác SHM vuông tại H . Bài 3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Lời giải:(Mục đích cho học sinh nắm vững bài tập cơ bản) Giả sử có hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABCD do SA=SB=SC=SD suy ra HA=HB=HC=HD suy ra H là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD hay H là giao điểm của hai đường chéo. ; Tam giác SHA vuông tại H nên Vậy . (Mở rộng bài toán ta có thể cho độ dài cạnh đáy và góc hợp bởi hai cạnh bên…) • Để tính thể tích của khối chóp tam giác ta cần chọn đỉnh của khối chóp sao cho tính độ dài đường cao dể nhất. Dựa vào tính chất của khoảng cách ta có ∗ Hai tam giác có cùng cạnh đáy và chiều cao bằng nhau thì diện tích bằng nhau. ∗ Hai khối chóp có cùng mặt đáy và chiều cao bằng nhau thì thể tích chúng bằng nhau. ∗ Nếu M là trung điểm của AB thì Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang43 M P A B H A B C D S S ABC =S A'BC A B C A' HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài tập sau đây minh họa điều trên. Bài 4 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD . a) Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD theo a. b) Tính thể tích tứ diện AMNP. Lời giải: (Mục đích HS phải chọn đỉnh và đáy khối chóp thích hợp) a) Do hình chóp tứ giác đều nên đáy ABCD là hình vuông vậy SAC là tam giác đều cạnh nên chiều cao của khối chóp có độ dài . b) Do CD//(SAB) mặt khác M là trung điểm SA nên sử dụng tỉ số thể tích cho hai khối chóp SMND và SABD ta được . Bài 4 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều biết a) Cạnh bên bằng a và góc giữa hai cạnh bên kề nhau bằng 2 α . b) Cạnh đáy bằng a góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng α . Bài 5 Tính thể tích của khối chóp lục giác đều có cạnh đáy a và cạnh bên 2a. Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang44 P M N H S D C B A HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) đáy ABC là tam giác vuông tại B. Gọi H,K là hình chiếu của A lên SB,SC cho SA=AB=BC=a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC. b) Chứng minh rằng SC ⊥ AH. c) Tính thể tích khối chóp S.AHK Lời giải (Mục đích học sinh hiểu rõ bài tập cơ bản của HHKG) a) b) Ta có BC ⊥ AB, BC ⊥ SA suy ra BC ⊥ (SAB)⇒ BC⊥ AH Mặt khác AH ⊥ SB suy ra AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC. c) Ta tính thể tích khối chóp S.AHK theo trên ta có tam giác AHK vuông tại H ∗ Tam giác SAB vuông cân có AH là đường cao ∗ Tam giác SAK vuông tại A có AK là đường cao . Vậy diện tích đáy của khối chóp S.AHK là Chiều cao khối chóp Thể tích khối chóp S.AHK là (Ta có thể giải bài trên bằng tỉ số thể tích) Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang45 Dạng 2 Tính thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Cách giải Đường cao của khối chóp là cạnh bên vuông với đáy Tìm cách tính được diện tích đáy và chiều cao. S A C B K H S A C B K H HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài 2 Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC) đáy ABC là tam giác cân tại A cho SA=AB=a góc ABC= α . Gọi H, K là hình chiếu của A lên SB và SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và α . b) Tính thể tích khối chóp A.BCKH. Lời giải: (Mục đích mở rộng bài toán 1) a) Vì tam giác ABC cân tại A nên b) Tam giác SAB và SAC vuông cân tại A nên H,K lần lượt là trung điểm của SB,SC sử dụng tỉ số thể tích ta được Vậy . Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SC ⊥ (ABCD) cho SC= . Gọi H là hình chiếu của C lên SB, K là trung điểm của SD. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh rằng tam giác CHK đều. c) Tính thể tích khối chóp C.BDKH. Lời giải: a) Tam giác SAC vuông tại C ⇒ b) Tam giác SCB vuông cân tại C nên CH là đường cao và là đường trung tuyến, mặt khác tam giác SCB bằng tam giác SCD nên CH=CK= Vì H,K là trung điểm của SB,SD nên HK là đường trung bình của tam giác SBD ⇒ HK= BD= vậy tam giác CHK đều. c) Ta sử dụng tỉ số thể tích của khối chóp S.CBD và khối chóp S.CHK Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang46 S D A B C K H HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Vậy . Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , AB=BC=a,AD = 2a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Chứng minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo a. Lời giải: a) b) M,N là trung điểm SA,SD ⇒ MN//AD MN=1/2 ADvậy MN//BC và MN=BC hay BCMN là hình bình hành Mặt khác BC⊥AB,BC⊥SA ⇒BC⊥(SAB)⇒BC⊥BM Vậy BCMN là hình chữ nhật. với SH là chiều cao của khối chóp Vì M là trung điểm SA nên với AH’ là chiều cao của tam giác vuông cân ABM Vậy Chú ý: có thể giải bài toán trên bằng tỉ số thể tích. Bài 5 Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC). a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC. b) CMR . c) CMR . d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện. Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang47 M A C B O H N M S D C B A HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Lời giải (Mục đích học sinh nắm các tính chất của tứ diện có ba cạnh vuông góc đôi một ) a) Ta chứng minh AH⊥BC thật vậy: BC⊥OA (do OA⊥(OBC)) BC⊥OH (do H là hình chiếu của O) ⇒BC⊥(AOH) hay BC⊥AH. Tương tự ta chứng minh được BH⊥AC hay H là trực tâm của tam giác ABC. b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác OAB;OBC;OAC là các tam giác vuông. Theo trên BC⊥(AOH) nên BC⊥OM Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên Vậy c) . . . Vậy . d) . . ) . Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang48 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân có hai đáy AD và BC. Mặt phẳng SAD vuông góc với mặt đáy của hình chóp cho AB=BC=CD=a, SA=SD=AD=2a. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b) Tính thể tích khối chóp S.ABC. Lời giải a) Kẻ SH vuông góc AD do (SAD)⊥(ABCD) nên SH⊥(ABCD) vậy SH là đường cao của khối chóp. Mặt khác SA=SD=AD nên H là trung điểm của AD và SH= . Nối HB,HC tứ giác ABCH là hình bình hành do AH song song và bằng BC ta lại có AB=BC nên AHBC là hình thoi vậy AB=HC=a hay tam giác HCD đều Vậy ABCD là nữa lục giác đều. . b) Khối chóp S.ABC có chiều cao SH và diện tích tam giác ABC bằng với diện tích tam giác ABH và bằng Vậy . Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 45o ,SA=SB Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD. Lời giải: Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang49 Dạng 3 Tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy. Cách giải Đường cao của khối chóp nằm trên giao tuyến của mặt bên và mặt đáy nó vuông góc Tìm cách tính được chiều cao và diện tích đáy A B C D H S [...]... cầu ngoại tiếp lăng trụ Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang62 C HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT CÁC BÀI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN TRONG ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABCcó cạnh đáy bằng a khoảng cách giữa cạnh bên và cạnh đáy đối diện bằng m tính thể tích khối chóp theo a và m Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc... S.ABC (TN THPT 2007) Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng 1 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang63 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT 2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD (TN- THPT 2006) Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình. .. sao cho góc giữa (P) và đáy hình nón bằng 60o a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của khối nón b) Tính diện tích thi t diện Lời giải: Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang54 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT a) Giả sử ta có hình nón đỉnh S trục SO mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thi t diện là tam giác SAB gọi M là trung điểm AB S Góc ở đỉnh của hình nón bằng 90o nên OSA=45o... S.ABCD theo a (TN- THPT2 010) Bài 3 Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết tính thể tích khối chóp S.ABC theo a (TN- THPT2 009) Bài 4 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC 1) Chứng minh SA vuông góc với BC 2) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a (TN- THPT 2008) Bài 5 Cho hình chóp... B' tâm và bán kính mặt cầu đó.( hãy thay giả thi t cạnh bên bằng bằng giả thi t cạnh bên có độ dài a) Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm C' H C B Trang59 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Lời giải: (Mục đích: Tâm mặt cầu nằm trên trục đường tròn từ đó suy đoán tâm mặt cầu ở vị trí đặc biệt H) Gọi H là tâm của hình vuông ABBCD do hình chóp đều nên SH ⊥(ABCD) ⇒SH là trục đường tròn của... công thức diện tích đa giác chiếu) Kẽ AH ⊥ BC do lăng trụ đều nên AA’⊥(ABC) suy ra A’H⊥BC hay Tam giác ABC đều cạnh a nên Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang52 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Tam giác AA’H vuông tại A nên C' A' B' C Vậy thể tích lăng trụ A M Bài 3: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a B hình chiếu của A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm... tích lớn nhất khi AM= Bài 5 : Khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp khối nón tính thể tích khối nón Dạng toán2: Tính thể tích, diện tích của khối trụ Cách giải: Xác định đường cao bán kính của khối trụ Áp dụng công thức phù hợp Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang56 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài 1: Thi t diện qua trục của hình trụ là một hình vuông cạnh 2a a) Tính thể tích và... thể tích lăng trụ lớn nhất bằng Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang53 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài tập 5 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a AC’=2a Tính thể tích khối lăng trụ Bài tập 6 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’ Biết O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) , cho cạnh bên của... giác OA’M vuông tại M A C' Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang57 B O C A HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Vậy khoảng cách trục hình trụ và AB là Bài 3: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cạnh a chiều cao bằng 2a a) Tính thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Lời giải : a) Tam giác ABC đều cạnh a nên có đường cao bán kính đường... khối trụ là AA’=c Thể tích khối trụ Như vậy thể tích khối trụ là Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm A' C' O' D' C B O A D Trang58 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Dạng 3: Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Tìm một điểm cách đều các đỉnh hình chóp Tìm một đoạn mà các đỉnh nhìn đoạn đó dưới một góc vuông Tìm giao của . tam giác vuông Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang40 Chuyên đề 6 : HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT b) THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN c). Huỳnh Duy Khánh THPT Châu Văn Liêm Trang48 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập TN THPT Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân