Đang tải... (xem toàn văn)
Lµ b×nh ph¬ng cña mét sè tù nhiªn.. TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c ADM.[r]
(1)phòng giáo dục và
o to tam nông môn: hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi cấp huyệngiải tốn máy tính casio lớp 9 năm học: 2008 - 2009
(Híng dÉn giải máy tính fx 570 MS, điểm tối đa 50 điểm)
Bài1:
a Tìm số d phÐp chia
2 ,
1 , , ,
2
x
x x x
x x
b TÝnh 2,5% cña
7
85 83 :
30 18
0,04
8,0®
a) (5,0®)
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) đa thức, r số d Cho x = a ta đợc
r = P(x), Do tốn tìm số d phép chia đa thc cho n thc tr thnh bi
toán tìm P(a) cđa biĨu thøc P(x)
1,25®
TÝnh P(2,2): 2,2 1,7 1,25® 2,5 4,8 1,25®
1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
1,25®
b) (3,0®)
Ên: 85 30 83 18 1,5®
2 0,04 2,5 100 Kq: 0,458333333.
1,5đ
Bài 2:
a.Tính giá trị biểu thức: A =
2
3
1 :
1 a
a a
víi a = 2
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biÓu thøc B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chøng minh r»ng biÓu thức B không phụ thuộc vào x
8,0đ
a) (4,0®)
Ta cã: A = a
a a a
a a
a
1
1
1 :
1
3
2 2
1,0®
Víi a =
2
A = 2(2 3)
3
2
2
1
1,0®
Ên:
2 1,0®
Kq: 0,73. 1,0®
b) (4,0®)
B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x
= 3sin6x + cos4x.sin2x - sin4x cos2x - 3cos6x + 4cos6x - 8sin6x + 6sin4x 1,0®
= cos4x.sin2x - sin4x cos2x + cos6x - 5sin6x + 6sin4x
= cos4x.sin2x - sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x(1 - sin2x) + sin6x 1,0®
= cos4x.sin2x - sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x.cos2x + sin6x
= cos4x.sin2x + sin4x cos2x + cos6x + sin6x 1,0®
= cos2x.sin2x(cos2x + sin2x) + (cos2x + sin2x)3 - sin2x cos2x(sin2x + cos2x) = 1
Vậy B = không phụ thuộc vào x 1,0đ
1
SHIFT STO ^ x - ALPHA
^ +
^
-=
ab/c
- :
x =
MODE MODE MODE MODE MODE
A
A ^ ALPHA A ALPHA A
+ ALPHA A
-ab/c ab/c ab/c =
ab/c ab/c = : = :
(2)Bài 3:
a) (4,0đ)
b) (2,0đ)
c) (2,0đ)
Bài 3: Dân số nớc 80 triệu, mức tăng dân số năm bình quân 1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dõn số nớc sau n năm (nZ+) vợt 100 triệu Tìm số n bé nhất.
8,0®
Gäi số dân ban đầu a mức tăng dân số hàng năm m%
Sau năm tổng số dân là: a + a.m = a(1 + m) 1,0đ
Sau năm tổng số dân lµ: a(1 + m) + a(1 + m).m = a.(1 + m)2.
1,0đ Sau năm tổng số dân sÏ lµ: a.(1 + m)2 + a.(1 + m)2.m = a.(1 + m)3.
1,0đ Vậy sau n năm tổng số dân là: a.(1 + m)n.
1,0đ b ¸p dơng b»ng sè víi a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta cã:
80.000.000 0,012 20
Kq: 101 554 749 ngêi. 2,0® c Ta cã: a.(1 + m)n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời Với n = 18 ta tìm đợc số dân 99 160 615 ngời
1,0đ Vậy số n (nZ+) nhỏ để dân số vợt 100 triệu dân là: n = 19.
1,0đ Bài 4
4,0đ
1.0®
1.0®
Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích 17 số tự nhiên liên tiếp số 1) Hãy tìm ớc số lớn ca a, bit c s ú:
a Là bình phơng số tự nhiên b Là lập phơng số tự nhiên
6,0đ
Số a = 1.2.3…17 chøa c¸c l thõa cđa 2: x 22 x x 23 x x 22 x x 24 = 215.
V× tÝch a = 1.2.317 có mặt số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 1,0đ Số a chứa luü thõa cña 3: x x 32 x x = 36 (vì a chứa số: 3, 6, 9,
12, 15) 1,0®
Sè a chøa c¸c l thõa cđa 5: x x = 53 (vì a chứa số: 5, 10, 15).
1,0đ
Số a chứa luỹ thõa cđa 7: x = 72 (v× a chứa số: 7, 14).
1,0đ
a ớc số lớn a bình phơng số tự nhiên là: 214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x x 7)2 = 1209602 = 14 631321 600
(Nếu thí sinh để kết 1209602 cho điểm tối đa)
1,0®
b íc sè lín nhÊt cđa a lập phơng số tự nhiên là: 215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 985 984 000
Kq: a 631 321 600; b 985 984 000. 1,0đ
Bài 5
Bi 5: Cho tam giỏc ABC vng A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm AM, AD thứ tự đờng trung tuyến phân giác tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD CD (Chính xác đến 0,0001) b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
11®
a)
(6,0®)
a b
D M C
B
A
0,75 ®
2
(
( +
) ^ =
(3)a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago) Theo tính chất đờng phân giác ta có:
AC AB AB CD BD BD AC AB CD BD 0,75 ® b a a BC BD
BD =
b a b a a b a BC a 2 0,75 đ
Và CD = BC - BD =
b a b a b b a b a a b a 2 2 2 0,75 ® TÝnh BD:
14,25 14,25 23,5 0,75®
14,25 23,5
1 Kq: 10,3744 cm.
0,75 ®
TÝnh CD:
23,5 14,25 23,5 0,75®
14,25 23,5
1 Kq: 17,1086 cm.
0,75 ®
b) (5,0®)
Gäi x diện tích tam giác ADM, S diện tích tamgiác AMC (và diện tích tam giác AMB), ta cã:
b a AC AB CD BD S S ACD ABD 0,75 ®
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; VËy
b a x S x S 0,75 đ
Mà S =
2
SABC = b a b a x ab x ab b a x ab x ab 4 : 4 4 0,75 ® b a x ab x ab 4 bx ax b a ab ax b a bx
ab2 4 2 4
0,75®
) ( ) ( ) ( ) ( b a a b ab x a b ab b a x
0,75®
Ên: 14,25 23,5 23,5 14,25 0,5®
4 14,25 23,5
1 4
Kq: 20,5139. 0,75
đ
Bài 6 Bài 6: Tìm nghiệm nguyên phơng trình
yz xz xy
x y z 5,0®
(5,0đ) Điều kiện: x, y, z từ phơng trình cho ta có:
y2z2 + z2x2 + x2y2 = 3xyz xyz > 0. 1,5 ®
áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: y2z2 + z2x2 + x2y2
33 x4y4z4 Từ ta có: 3xyz 33 x4y4z4 hay xyz
Do xyz > , xyz Z,
nªn xyz =
2,0 ®
3
x ( - ) :
+ =
x
( ( )
MODE MODE MODE MODE MODE
x
MODE
x ( x2 + x2 ) :
( + = MODE MODE MODE MODE
x ( x2 + x2 ) :
MODE
(4)Từ ta có nghiệm: (1, 1, 1); (1, -1, -1); (-1, -1, 1); (-1, 1, -1) 1,5 đ
Bµi 7
Bµi 7: Chøng minh số D dới số phơng: D = 11 1 x 100 05 +
2009 sè 2008 sè
4,0 đ
Đặt 11 = a, ta có 100 05 = 9a + 2009 sè 2008 sè
2,0 ®
Suy D = a(9a + 6) + = (3a + 1)2 = (33 34)2 2008 sè
Vậy D số phơng
2,0 đ
Ghi chú: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm phần tơng ứng theo hớng dẫn chấm.