Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . II. NỘI DUNG BIỆN LUẬN SỐ ĐIỂM CHUNG CỦA CÁC ĐỒ THỊ BẰNG PHƯƠNG TRÌNH I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thò (C) và hàm số y = g(x) có đồ thò là (C’) 1. Toạ độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:    = = g(x)y f(x)y 2. Hoành độ giao điểm của (C) và (C’) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Phương trình f(x) = g(x) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’) Do đó số điểm chung của (C) và (C’) là số nghiệm của phương trình (1). Ta có: a. pt (1) vô nghiệm ⇔ (C) và (C’) không có điểm chung. b. pt (1) có n - nghiệm ⇔ (C) và (C’) có n - điểm chung. c. pt (1) có nghiệm kép x 0 ⇔ (C) và (C’) có chung tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ). II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để biện luận số điểm chung của (C) và (C’) ta thực hiện: - Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C)và (C’) - Biện luận số nghiệm của pthđgđ. III. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài1: Cho hàm số y = x 3 – 6x 2 + 9x có đồ thò (C). a. Khảo sát và vẽ (C). b. Tìm tất cả các đường thẳng qua điểm M(4; 4) và cắt (C) tại ba điểm phân biệt. Bài2: Cho hàm số y = f(x) = x 3 – 4x 2 + 4x, có đồ thò (C). a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò C) của hàm số. b. Tiếp tuyến của (C) tại gốc toạ độ lại cắt (C) tại một điểm A. Tính hoành độ của A. c. Biện luận theo k vò trí tương đối của (C) với đường thẳng y = kx. Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = (4 – x)(x – 1) 2 . a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Gọi I là giao điểm của (C) với trục Oy, d là đường thẳng qua I có hệ số góc m. Đònh m để d cắt (C) tại ba điểmphân biệt. Bài 4: Cho hàm số y = - x 4 + 2mx 2 -2m + 1. có đồ thò là (C m ). 2 curi307@yahoo.com.vn Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . a. Biện luận theo m số cực trò của hàm số. b. Khảo sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m = 5. c. Xác đònh m sao cho (C m ) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Bài 5: Cho hàm số y = 0m, mx m1)x(m ≠ − +− có đồ thò (H m ) . a. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đồ thò (H m ) luôn tiếp xúc nhau tại một điểm cố đònh b. Khảo sát và vẽ đồ thò (H 2 ) khi m = 2. c. CMR: với mọi b đường thẳng ∆ : y = x +b luôn cắt (H 2 ) tại hai điểm thuộc hai nhánh phân biệt Bài 6: Cho hàm số y = x1 33xx 2 − +− , có đồ thò (C) a. Tìm trên (C) các điểm cách đều các trục toạ độ. b. Biện luận theo m vò trí tương đối của (C) và đường thẳng d:y = 3x + m. Khi d tiếp xúc với (C). Hãy xác đònh các tiếp điểm. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thò lần lượt là (C) và (C'). Số điểm chung của (C) và (C') là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). Do đó nhiều khi muốn biện luận số nghiệm của phương trình F(x; m) = 0 theo tham số m ta thường biến đổi phương trình F(x; m) = 0 ⇔ f(x) = g(x; m). Trong đó: - y = f(x) là một hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thò đồ thò (C). - y = g(x;m) thường là phương trình của đường thẳng. Lúc đó dựa vào đồ thò (C) và vò trí của đường thẳng y = g(x; m) với (C) để kết luận số nghiện của p.trình. II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. Đường thẳng ∆ cùng phương với đường thẳng cho trước. Chú ý các vò trí mà ∆ là tiếp tuyến với đồ thò của y = f(x). 1. Cho hàm số y = x 3 -3x + 1, có đồ thò (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Dựa vào đồ thò (C) biện theo m số nghiệâm của phương trình: -x 3 + +3x + m = 0. 2. Cho hàm số y = x 3 -3x + 2, có đồ thò (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò (C') của hàm số y = 23xx 3 +− c. Dựa vào đồ thò (C'). Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 3 curi307@yahoo.com.vn Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . 23xx 3 +− - m 1m 2 + = 0. 3. Cho hàm số y = 1x 2xx 2 − +− , có đồ thò là (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Từ đồ thò (C) suy ra đồ thò (C') của hàm số y = 1x 2xx 2 − +− c. Dựa vào đồ thò (C') biện luận theo m số nghiệm của phương trình: mlog 1x 2xx 2 2 = − +− 4. Cho hàm số y = 12x x3 − − , (C). a. Khảo sát và vẽ đồ (C) của hàm số. b. Lập phương trình t. tuyến với (C). Biết t. tuyến song song với phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ. c. Dựa vào đồ thò (C) biêïn luận theo k số nghiệm của phương trình: 12x x3 − − = -x + k. 5. Cho hàm số y = 1x 1x − + , (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Viết phương trình t. tuyến với đồ thò (C) của hàm số. Biết t.tuyến vuông góc với ĐThẳng d: x -2y+1= 0. c. Dùng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2x 2 -(m+1)x+1+m = 0. 6. Cho hàm số y = x 3 - 2x 2 + x . a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Dựa và đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của pt: x 3 - 2x 2 + x - m = 0 và xét dấu các nghiệm đó. 7. Cho hàm số y = x 1xx 2 ++ , (C). a. Khảo sát hàm số. b. Xác đònh m sao cho phươn trình: ( ) ( ) 01t1m3tt1mt 234 =+−−+−− có nghiệm. 8. a. Khảo sát hàm số: 1x 33xx y 2 − +− = . b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: ( ) 21mlogxmlog1x 33 2 =++−+ 9. Cho hàm số: 9x6xxy 23 +−= a. Khảo sát hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 0mx96xx 2 3 =++− 10. Khảo sát hàm số: 45xxy 24 −+−= . Từ đồ thò biện luận theo m số nghiệm 4 curi307@yahoo.com.vn Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . phương trình: 03mm5xx 224 =+−− 11. Cho hàm số: 3xxy 3 −= a. Khảo sát hàm số. Gọi đồ thò là (C). b. CMR khi m thay đổi đường thẳng 02mymx:Δ =++− luôn cắt (C) tại một điểm cố đònh. c. 2. Đường thẳng ∆ qua một điểm cố đònh ( ∆ quay quanh một điểm cố đònh). Trường hợp này cần chú ý các giá trò của hệ số góc của ∆ khi ∆ là tiếp tuyến với đồ thò của hàm số y = f(x). 1. Cho hàm số y = 1x x 2 − , có đồ thò (C). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. b. Bằng đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x +1 + 1x 1 − = mx - m + 2. 2. Cho hàm số y = 3x 4 − , có đồ thò (H). a. Khảo sát và vẽ đồ thò (H) của hàm số. b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò của hàm số. Biết tiếp tuyến qua điểmA(1; 0). c. Dựa vào đồ thò (H) của hàm số biện luận theo k số nghiệm của phương trình: (x-1)(x-3)k = 4. 3. a. Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số y = (x - 2) 3 . b. Gọi d là đường thẳng qua điểm A (2; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để d là tiếp tuyến với (C). c. Dựa vào đồ thò (C) biện luận theo k số nghiệm phương trình: x 3 - 6x 2 + (12 - k)x - 10 + 2k = 0 4. a. Khảo sát hàm số y = x 3 + 3x 2 + 1. Đồ thò (C) b. Xác đònh k để đường thẳng y = kx là tiếp tuyến với (C) c. Biện luận theo k số nghiệm phương trình x 3 + 3x 2 - kx + 1 = 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y= 3 1 x 3 – x + m có đồ thò là (C m ). 1. Khảo sát và vẽ (C) khi m = 3 2 . 2. Tìm m để đồ thò (C m ) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 2: Cho hàm số y = 2x xx 2 − + có đồ thò (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2. Đường thẳng d qua điểm B(0; b) song song với tiếp tuyến của (C) tại 5 curi307@yahoo.com.vn Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . O(0; 0). Xác đònh m để đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N. Chứng minh trung điểm I của đoạn MN nằm trên một đường thẳng cố đònh khi b thay đổi. Bài 3: Cho hàm số y = 2x 92xx 2 − +− có đồ thò là (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2. Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = m(x –5) +10 cắt (C) tại hai điểm phân biệt nhận điểm A(5; 10) làm trung điểm. Bài 4: Cho hàm số y = 2mx m)x(62x 2 + −+ 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 2. Khảo sát hàm số khi m = 1. Gọi đồ thò là (C). 3. Chứng minh tại mọi điểm của đồ thò (C) tiếp tuyến luôn cắt hai tiệm cận tạo thành một tam giác códiện tích không đổi Bài 5: Cho hàm số y = x 4 - (m 2 + 10)x 2 + 9. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số khi m = 0. 2. Chứng minh rằng với mọi m ≠ 0, đồ thò của hàm số luôn cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt và trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3; 3). Bài 6: Cho hàm số y = x 3 - 2 3 mx 2 + 2 1 m 3 với m là tham số 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) khi m = 1. 2. Xác đònh m để đồ thò hàm số có cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. 3. Xác đònh m để đường thẳng y = x cắt đồ thò tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho AB =BC Bài 7: Cho hàm số y = ax 31)x(a2x 2 + −++ , (C). 1. Khảo sát và vẽ (C) với m = 2. 2. Xác đònh a để tiệm cận xiên của (C) tiếp xúc với Parabol: y = x 2 + 5. 3. Tìm quỹ tích giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (C) khi a thay đổi. Bài 8: Cho hàm số y = 1x 22xx 2 + ++ , có đồ thò (C). 1. Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2. Dùng đồ thò (C) giải thích tại sao phương trình : 1x 22xx 2 + ++ = m(x+1) với m > 1 có hai nghiệm phân biệt và tổng của chúng không đổi. 3. Chứng minh có hai tiếp tuyến của (C) qua điểm A(1; 0) và hai tiếp tuyến vuông góc. Bài 9: Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 +2. 6 curi307@yahoo.com.vn Nếu bạn là học sinh trường THPT Nguyễn Văn Trổi -Lộc Hà Hà Tónh hãy gửi thư qua mail cho tui . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đ qua điểm A-1; -2). 3. Tìm tất cả các giá trò của tham số a để phương trình: x 3 – 3x 2 – a = 0 có ba nghiệm phân biệt trong đó có đúng hai nghiêïm lớn hơn 1. Bài 10: Cho hàm số y = x 3 – (2m + 1)x 2 + (6m – 5)x – 3, có đồ thò (C m) . 1. Chứng minh rằng đồ thò (C m ) luôn đi qua hai điểm cố đònh với mọi m. 2. Xác đònh m để (C m ) tiếp xúc với trục hoành. 3. Khảo và vẽ (C 2 ) với m = 2. 4. Biện luận theo a số nghiệm phương trình: (|x| - 3)(|x| - 1) 2 = 3a. 7 curi307@yahoo.com.vn . thò (C) của hàm số. b. Dựa và đồ thò (C) biện luận theo m số nghiệm của pt: x 3 - 2x 2 + x - m = 0 và xét dấu các nghiệm đó. 7. Cho hàm số y = x 1xx 2 ++. hàm số: 9x6xxy 23 +−= a. Khảo sát hàm số. b. Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 0mx96xx 2 3 =++− 10. Khảo sát hàm số: 45xxy 24 −+−= . Từ đồ thò biện