SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỢI TỦN DỰ THI HỌC SINH GIỎI Q́C GIA LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/10/2010 (Đáp án có 03 trang) MƠN: TỐN Lưu ý: Đây chỉ là một trong những cách giải, nếu thí sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu1: (4đ ) Điều kiện 1x ≥ . Với điều kiện trên, pt tương đương 2 3 ( 6 2) ( 1 1) 4 0x x x+ − + − − + − = 2 3 3 ( 6) 8 ( 1) 1 ( 2)( 2) 0 1 1 ( 6) 2 6 4 x x x x x x x + − − − ⇔ + + − + = − + + + + + 2 3 3 1 1 ( 2) ( 2) 0 1 1 ( 6) 2 6 4 x x x x x   ⇔ − + + + =   − +   + + + +   ( ) 2 3 3 2 0 1 1 2 0 1 1 1 ( 6) 2 6 4 x x x x x − =   ⇔  + + + =  − + + + + +  Ta có ( ) ( ) 1 0, 1 1VT x> ∀ ≥ Do đó pt (1) vơ nghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2. 0,5 0,5 1,0 0,5 1,0 0,5 Câu 2 (4đ) Ta có: ( ) 2 2 2 2 2 2 1 a a ab b a b b b a ab b b b - + - + + = + - +³ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 b b bc c b c c c b bc c c c - + - + + = + - +³ ( ) 2 2 2 2 2 2 3 c c ca a c a a a c ca a a a - + - + + = + - +³ Cộng (1), (2), (3) vế theo vế, ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a b c a b c a ab b b bc c c ac a b c a + + + + + - + + - + + - +³ Chứng minh được: 2 2 2 a b c a b c b c a + + + +³ . (5) (ta có 2 2 2 2 , 2 , 2 a b c b a c b a c b c a + + +³ ³ ³ ) . Cộng (4) và (5) vế theo vế rồi chia hai vế cho 2, ta có điều cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a b c= = . 0,5 0,5 0,5 0,5 1,5 0,5 Cho 0x y= = ta có ( ) ( ) ( ) 2 0 0f f = , suy ra ( ) 0 0f = hoặc ( ) 0 1f = TH1. Xét ( ) 0 0f = Cho x y= ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 2 .x x f x f x f x x= − + = − Suy ra ( ) f x x= 0,5 0,5 0,5 Trang 1/1 Câu 3 (4 đ) Thử lại thấy thỏa mãn. TH2. Xét ( ) 0 1f = . Cho 0y = ta có ( ) 2 2 1f x x= + , do đó ( ) 1f x x= + với mọi 0x ≥ . Cho 0x = ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2f y y f y = − + Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1f y f y y y y y= + = + + = + Do đó ( ) 1f y y= + hoặc ( ) 1f y y= − − Cho x y= ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 .x x f x f x f x x = − + = − Suy ra ( ) 1f x x− = hoặc ( ) 1f x x− = − Do đó ( ) 1f x x= + , thử lại thấy thỏa mãn. Vậy có hai hàm số thỏa yêu cầu bài toán là: ( ) 1f x x= + và ( ) f x x= 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (5 đ) I J K F C G A E B D 1. Ta có · · 0 90CIE CJE= = , suy ra CIEJ nội tiếp, nên · · ( ) 1CJI CEI= Ta có BCED nội tiếp, suy ra · · BDE ECI= , suy ra EKD∆ đồng dạng EIC∆ . Từ đó ta có · · ( ) 2CEI DEK= Mà EDKJ nội tiếp, nên · · ( ) 3DEK DJK= Từ ( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 3 , suy ra · · CJI DJK= , do vậy , ,K I J thẳng hàng. 2.Chứng minh : + Tam giác FCG cân tại C. suy ra CE là phân giác của góc · FCG , nên EI EJ = . + suy ra CIJ ∆ cân , nên ( )IJ FG IJ dP P . + Ta có: · · · · BDC ECI ECI EBD= = = , suy ra BED∆ cân tại E . + suy ra K là trung điểm BD , suy ra K là trung điểm ( ) . 1AC + Mà , ,K I J thẳng hàng (chứng minh trên) ( ) 2 + Từ ( ) ( ) 1 , 2 , suy ra I là trung điểm CG và J là trung điểm CF . 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 J Vậy E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FCG . Câu 5 (3 đ) Đặt y x d= + , với d ∈¢ Phương trình trở thành ( ) 3 3 ( ) ( ) 8 1x x d x x d− + = + + 3 3 2 2 3 2 ( 3 3 ) 8x x x d xd d x xd⇔ = + + + + + + 2 2 3 (1 3 ) ( 3 ) 8 0d x d d x d⇔ + + + + + = Ta có 2 2 3 (1 3 ) 4(1 3 )( 8)d d d d∆ = + − + + 2 3 2 3 (1 3 ) (1 3 ) 4( 8) (1 3 ) 32) 0d d d d d d d     = + + − + = + − − ≥     Suy ra 2 3 1 3 0 32 0 d d d + ≥   − − ≥  hoặc 2 3 1 3 0 32 0 d d d + ≤   − − ≤  Ta có + 2 3 2 2 3 1 1 3 0 0 3 32 0 (1 ) 32 32 d d d d d d d d d  + ≥ ≥ ≥ −    ⇒ ⇒    − − ≥ − ≥    ≥ +  vô nghiệm. + 3 2 3 2 3 1 1 3 0 32 3 3 32 0 32 d d d d d d d d  + ≤ ≤ −   ⇒ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ −   − − ≤   ≤ +  Suy ra 3 1d− ≤ ≤ − Với d = -3, suy ra ( ) 2 1 8 24 19 0x x⇔ − + − = (loại) Với d = -2, suy ra ( ) 2 1 5 10 0 2; 0x x x x⇔ − + = ⇔ = = 2 0; 0 2x y x y= ⇒ = = ⇒ = − Với d = -1, suy ra ( ) 2 1 8 24 19 0x x⇔ − + − = (loại) Vậy phương trình có hai nghiệm (2 ; 0) và (0 ; -2). 0,5 0,5 0,5 0,5 1,0 -----------------------Hết----------------------- . HỌC SINH GIỎI Q́C GIA LÂM ĐỒNG NĂM HỌC 2010 - 2011 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC Ngày thi: 14/10/2010 (Đáp án có 03 trang) MƠN: TỐN Lưu ý: Đây chỉ là một trong. ( ) 1f x x= + , thử lại thấy thỏa mãn. Vậy có hai hàm số thỏa yêu cầu bài toán là: ( ) 1f x x= + và ( ) f x x= 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu 4 (5 đ) I J K F