Đề thi học sinh Giỏi Tỉnh Casio Hà Tĩnh năm 2009 - 2010 Bài 1: Tính giá tr ca biu thc(chỉ ghi kết quả với 4 chữ số thập phân): 2 3 4 4 2 3 1,25 15,37 :3,75 A 1 3 2 5 2 4 7 5 7 3 ì = + ữ ữ ; 3+ 5 - 3- 5 + 2009- 13,3 B= 3+2 2+3 7 - 2-3 5 4 7+ Sơ lợc cách giải Đáp số Tính riêng từng biểu thức 516,9043; 5,5464A B Bài 2: Cho đa thức P(x) = 6 5 4 3 2 x ax bx cx dx ex f+ + + + + + có giá trị là 3; 0; 3; 12; 27; 48 khi x nhận các giá trị tơng ứng 1; 2; 3; 4; 5; 6. a) Tìm a, b, c, d, e, f b) Tìm giá trị của P(x) khi x nhận các giá trị 11; 12; 13; 14 Sơ lợc cách giải Đáp số a) Xét đa thức Q(x) =P(x) ( ) 2 3 12 12x x + . Rõ ràng Q(x) là đa thức bậc 6 với hệ số cao nhất là 1 và Q(1) =Q(2) =Q(3) =Q(4 ) = Q(5) =Q(6) =0. Vậy Q(x) =(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6) Do đó P(x) = Q(x) + 2 3 12 12x x + =(x -1)(x-2)(x- 3)(x -4)(x-5)(x -6) + 2 3 12 12x x + Nhân ra và khi triển ta đợc P(x) = x 6 21x 5 +175x 4 -735x 3 +1627x 2 -1776x +732 Vậy a =-21; b=175; c =-735; d =1627; e =-1776; f =732 b) Viết ra biểu thức dùng phím CALC máy 570 MS ta đợc P(11) =151 443; P(12) =332 940; P(13) =665 643; P(14) =1235 952 Bài 3: a) Tìm các chữ số a, b sao cho P= 17712 81ab là số chính phơng và a+b =13 b) Tìm các chữ số c, d sao cho 1 399025E cd= là số chính phơng và chia hết cho 9 c) Tìm các chữ số m, n, p sao cho K = 2009mnp đồng thời chia hết cho các số 5;7 và 9 Sơ lợc cách giải Đáp số a) Đặt P = x 2 với x là số nguyên dơng: Ta có: 177120081 177129981 177120081 177129981 13308,64685 13309,0187 P x x Do x là số nguyên dơng nên x = 13 309 thử lại ta thấy x 2 =177129481 khi đó a =9; b=4 và a+b = 13 thoả mãn điều kiện bài toán. b) Vì E chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số của E chia hết cho 9 suy ra c+ d + 29 M 9 => c+ d + 2 M 9 suy ra c+ d = 7; 16 + Nếu c+d = 7 do c, d là các chữ số nên ta có các trờng hợp sau: c 0 7 1 6 2 5 3 4 d 7 0 6 1 5 2 4 3 Thử trên máy ta đợc số thoả mãn là: 152399025; + Nếu c+d = 16 vì c, d là các chữ số ta có các trờng hợp sau: (c; d) =(7; 9); (9; 7); (8; 8); Thử trên máy không có số nào thoả mãn. Vậy c=5; d = 2 c) Ta có K=2009000+ mnp =315.6377+ 245 + mnp . Ta thấy các số 5;7; 9 là ba số đôi một nguyên tố cùng nhau nên K chia hết cho 5.7.9=315. từ đó suy ra 245 + mnp M 315 => 245 + mnp =315.t (với t là số tự nhiên) Ta có 245 245 245 999 1244mnp + + = => 245 315. 1244 1 3t t Thử với t=1 suy ra mnp =70 tức là m=0; n=7; p = 0; Với t = 2; mnp =385 tức là m=3; n=8; p = 5; Với t =3 ; mnp =700 tức là m=7; n=0; p = 0; Bài 4: Tìm đa thức bậc 3 f(x) biết rằng f(x) chia cho x -10; x- 20; x- 30 đều đợc số d là 6 và f(-11) = -133449 Sơ lợc cách giải Đáp số Đặt g(x) = f(x) 6 suy ra g(x) là đa thức bậc 3 theo bài ra ta có g(10) =g(20)=g(30)= 0 Nên g(x) = a(x-10)(x-20)(x-30) với a là hệ số của x 3 khác 0 Mà f(-11) = -133449 nên g(-11) =f(-11) 6 =-133449 - 6 a.(-11-10)(-11-20)(-11-30) = -133455 => a =5. Vậy f(x) = g(x) + 6= 5(x-10)(x-20)(x-30) + 6 =5x 3 -300x 2 +5500x - 29994 Bài 5: Cho hình thang vuông ABCD có à à 0 A D 90= = , góc nhọn à C = BC =m, CD = n a) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD theo m, n, b) Tính diện tích và chu vi và đờng chéo của ABCD biết m= 4,25 cm; n= 7,56 cm; 0 54 30' = (lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy) Sơ lợc cách giải Đáp số a) Hạ BH vuông góc với DC. Tính đợcAD = BH =BC.sin =m.sin ; CH = m.cos => AB = DH =n CH =n - m.cos Vậy ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . .cos . .sin 2 .cos . .sin 2 2 2 cos sin 2 (1 sin cos ) sin ; ( cos ) sin ABCD ABCD AB CD BH n m n m n m m S C AB BC CD DA n m m n m n m AC CD DA n m BD AB AD n m m + + = = = = + + + = + + + = + + = + = + = + = + 2 2 2 cosm n mn = + b) Thay số ta đợc: S =21,8879 cm 2 ; P = 20,3620 cm; AC =8, 6727 cm; BD =6,1563 cm Bài 6 Tam giác ABC có BC = a; CA = b và ã 0 90BAC = > . a) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC theo a, b và b) Tính diện tích, chu vi và đờng cao AH của tam giác ABC khi a = 2010 cm; b= 2009 cm và 0 123 30' = (lấy chính xác 4 chữ số phân sau dấu phẩy) C A B D H m n Sơ lợc cách giải Đáp số a) Vẽ CK vuông góc với AB; AK =b.cos(180 0 - ); CK =b.sin(180 0 - ); BK = 2 2 2 2 2 0 sin (180 )BC CK a b = ; AB=BK AK = 2 2 2 0 sin (180 )a b -b.cos(180 0 - ); Vậy: ( ) 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 1 sin (180 ) b.cos(180 ) . sin(180 ) 2 sin (180 ) b.cos(180 ) ABC ABC S a b b C a b a b = = + + b) ( ) 2 2 2 0 0 0 sin (180 ) b.cos(180 ) . sin(180 ) 2 a b b S AH BC a = = Bài 7:a) Cho số A = 9999 3 . Tìm 2 chữ số cuối của A b) Phân tích số 2010 2009 thành tổng các số nguyên dơng. Tìm d củaphép chia của tổng các lập ph- ơng của các số đó cho 6: Sơ lợc cách giải Đáp số a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 495 4 495 4 495 9999 99 20 20 19 20 3 3 . 3 3 .3 . 3 01 .67. 01 67= = (mod 100) Vậy 2 chữ số tận cùng của A là 67. b) Ta có ( ) ( ) 3 1 1 6x x x x x = + M với mọi số nguyên x. Giả sử 1 2 3 ; ; ; ; n a a a aL là các số nguyên dơng có tổng bằng 2010 2009 . Suy ra d của phép chia 3 3 3 3 1 2 3 n a a a a+ + + +L cho 6 cũng là d của 1 2 3 n a a a a+ + + +L cho 6 mà 2010 1 2 3 2009 n a a a a+ + + + =L ( ) ( ) 2010 2010 2010 2010 2009 2010 1 335.6 1 ( 1) 1= = = (mod 6) Vậy 3 3 3 3 1 2 3 n a a a a+ + + +L chia 6 d 1 Bài 8: Tìm cặp số nguyên dơng (x; y) vỡi nhỏ nhất thoả mãn phơng trình : a) 3 2 2 2 156 807 144 20 52 59x x y x+ + = + + : b) Cho 2 dãy số 2 2 1 2 1 2 1 1 1; 1; 2 ; n n n n n n n n a a a a a b a a a a + + = = = = + + 1) Tính n a theo n 2) Tính 33 a Sơ lợc cách giải: Từ giả thiết suy ra: 3 2 2 156 807 144 52 59 20 x x x y + + = Nhập 0 SHIFT STO A 1 + ALPHA A SHIFT STO A ( ( SHIFT 3 ( 156 ALPHA A X 2 + 807 ) + 144 ALPHA A X 2 - 52 ALPHA A Đáp số A B C K H 0 180 b a - 59 ) ab c 20 ) = SHIFT COPY = = Quan sát màn hình cho đến khi giá trị y nguyên ta đợc (x; y) = (11; 29) Sơ lợc cách giải: b) 1 : Ta có 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 k k k k k k k n k k b a a a a b a a a a + + + + + + + + + = + + (*) Thay 2 1 2 k k k a a a + + = vào tử số ta đợc: 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2( ) 2 k k k k k k k k k k k n k k k k k k b a a a a a a a a b a a a a a a a a + + + + + + + + + + + + + + + = = = + + + + Tơng tự ta có 1 2 1 2 1 2 k k k k b b b b b b = = =L . Vậy 1 1 2 . k k a b + = . Mà từ giả thiết suy ra b 1 = 2 Suy ra 1 1 2 k k a + + = . Vậy 2 n n a = với mọi số nguyên dơng n. 2: Thay số ta đợc 33 33 2 8 589 934 592a = = Đáp số Lời giải đáp án: Lê Bá Hoàng CV Phòng GD - ĐT Hồng Lĩnh . cho 6: Sơ lợc cách giải Đáp số a) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 495 4 495 4 495 99 99 99 20 20 19 20 3 3 . 3 3 .3 . 3 01 .67. 01 67= = (mod 100) Vậy 2 chữ. 1771 299 81 177120081 1771 299 81 13308,64685 133 09, 0187 P x x Do x là số nguyên dơng nên x = 13 3 09 thử lại ta thấy x 2 =1771 294 81 khi đó a =9; b=4