Đang tải... (xem toàn văn)
Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.. 1..[r]
(1)NGUYÊN HÀM I) Định nghóa nguyên hàm :
Cho hàm số F(x) f(x) xác định tập D
F(x) gọi nguyên hàm f(x) F’(x) = f(x), xD
II) Định nghóa tích phân không xác định :
Ta biết hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm Những nguyên hàm sai khác số Tập hợp nguyên hàm lại với gọi tích phân khơng xác định hàm f(x)
Ký hiệu : f x dx F x C (Họ nguyên hàm)
III) Bảng nguyên hàm : dx x C
1 x
x dx C
1
dx ln x C
x
x x
e dx e C
x
x a
a dx C
lna
cosxdx sin x C
sin xdx cosx C
dx tan x C
cos x
dx cotx C
sin x
kdx kx C
1 ax b
ax b dx C; 1,a
a
ax b adx ln ax b C; a
ax b ax b
e dx e C
a
cos ax b dx sin ax b C
a
sin ax b dx cos ax b C
a
dx 1 tan ax b C
a cos ax b
dx 1 cot ax b C
a sin ax b
TÍCH PHÂN
I) Định nghóa tích phân xác định :
Giả sử hàm số f(x) liên tục tập K; a,b phần tử thuộc tập K F(x) nguyên hàm f(x) K
Hiệu số F(b) – F(a) gọi tích phân xác định f(x) [a;b] Ký hiệu :
b
a
f x dx
Ta coù :
b
b a a
f x dxF x F b F a
Biểu thức f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân, f(x) hàm số dấu tích phân, f(x)dx gọi vi phân nguyên hàm f(x)
a cận trên, b cận dưới, x biến số lấy tích phân
II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục K; a,b K
1)
a
a
f x dx 0
2)
b a
a b
f x dx f x dx
(2)3)
b b
a a
kf x dx k f x dx
4)
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5)
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a;b
6)
b
a
f x 0, x a;b f x dx 0
7)
b b
a a
f x g x , x a;b f x dxg x dx
8)
b
a
m f x M, x a;b m b a f x dx M b a
9)
t
a
t biến thiên đoạn a;b G t f x dx nguyên hàm f t G a 0
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
1) Diện tích hình phẳng :
Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong: y1 = f1(x), y2 = f2(x) đường thẳng x = a, x = b, y1, y2 hàm số liên tục [a;b] tính cơng thức sau :
b
1
a
Sf x f x dx
2) Thể tích vật thể tròn xoay :
Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục [a;b] có đồ thị (C) Gọi (H) hình phẳng giới hạn (C), Ox, x = a, x = b Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay vòng quanh Ox ta vật thể trịn xoay có
thể tích :
2
b b
2 Ox
a a
V y dx f x dx
Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục [a;b] có đồ thị (C) Gọi (H) hình phẳng giới hạn (C), Ox, y = a, y = b Cho hình phẳng (H) quay trịn xoay vòng quanh Oy ta vật thể trịn xoay có
thể tích :
2
b b
2 Oy
a a
(3)Chủ đề III : BAØI TẬP NGUN HÀM
I Tìm ngun hàm định nghĩa tính chất 1/ Tìm nguyên hàm hàm số.
1 f(x) = 42
x x
ĐS F(x) = C x x
3
2 f(x) = 2
2 1) (
x x
ĐS F(x) = C x x x
3
3 f(x) = 32
x
x ĐS F(x) = x x C
3
3
4 f(x) =
2 sin 2 x
ĐS F(x) = x – sinx + C f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C 14 f(x) =
x x
x 2 .cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos5x cosxC
5 f(x) = ex(2 + )
cos2 x ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
9 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C a
ax x
3 ln
3 ln
10 f(x) 2
1 x =
- 11/
5 f(x)
x 3x
=
- + ; 12/f(x)=sin7x cos5x cosx 13/
2 17x f(x)
10x 13x
=
+
-2/ Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ?
1 f(x) = – x2 F(2) = 7/3 ĐS F(x) = 1
3
3 x
x
2 f(x) = x x F(4) = ĐS F(x) =
3 40
8
x x x
3 f (x) = 4x3 – 3x2 + F(-1) = ĐS F(x) = x4 – x3 + 2x + 3
4
1 x x
1 x x x ) x (
f 2
, F(1) 31 ÑS ?
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f[u(x)].u'(x)dx cách đặt U = u(x)
Đặt U = u(x) dU u x dx'( ) I = f u x u x dx[ ( )] '( ) f U dU( )
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
1 (2x2 1)7xdx; (x3 5)4x2dx; x2 1.xdx
;
dx x
x
2 ; 5a.
dx x x
3 2
3
; b
1
x
e dx
6.
)2
1
( x
x dx
; dx
x x
3 ln
; 8.xex21dx
; dx
x x cos
sin
; 10 cotgxdx ; 11
x tgxdx
2
cos ;12
sindxx ; 13
x dx
cos ; 14 x dx
e x
; 15
x x
e dx e
; 16 dx
x etgx
2
cos ; 17 x xdx
2
sin
cos ; 18 x x 1.dx
;
(4)2 Phương pháp lấy nguyên hàm phần.
Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục K
u(x).v'(x)dxu(x).v(x) v(x).u'(x)dx
Hay
udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm hàm số sau:
19.(x2 5)sinxdx ; 20 (x2 2x3)cosxdx ; 21.xsin2xdx ; 22.xcos2xdx; 23.x.exdx; 24
lnxdx
25x lnxdx; 26.ln2 xdx
; 27. x xdx ln
; 28. dx
x x
2
cos ; 29 sin x dx; 30 ln(x 1)dx
2
; 31
ex.cosxdx ; 32.x3ex2dx; 33.xln(1x2)dx; 34.2xxdx; 35.x lgxdx ; 36
2xln(1x)dx ; 37. dx
x x ) ln(
; 38.x2cos2xdx
TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG.
DẠNG : Tính tích phân định nghóa
PP : Biến đổi hàm số dấu tích phân dạng tổng hiếu hàm số có nguyên hàm
Bài : Tính tích phân : 1/ 1 x(x2 1)dx
0
; 2/ x x(x2 1)dx
16
1
; 3/x xx dx
8
1
2 5 3
; 4/ dx
x x x ) (
Bài : Tính tích phân :
1/ dx
x
2
1 3
; 2/ dx
x x
11 2
; 3/ dx
x x x 5
; 4/ dx
x x x
2 3 2
3
; 5/ dx
x x
5
4
2 3 2
1 6/ dx x x x
2 3 2
3
; 7/ dx
x x
5
4
2 6 9
3
; 8/ dx
x x x
2 6 9
1
; 9/ dx
x x 2
; 10/
dx x x
Bài : Tính tích phân : 1/ cos cos xdx
x ; 2/
2 sin sin xdx
x ; 3/
2 sin cos xdx
x ; 4/
2 cos sin xdx x 5/ cos
xdx ; 6/ 2 cos sin dx x
x ; 7/
3 2 cos sin cos dx x x x
; 8/ dx
x e e x x ) cos (
DẠNG : Phương pháp đổi biến dạng 2
* Aùp dụng cho tích phân có dạng
b a dx x u x u
f[ ( )] '( ) ( u(x) hàm số biến x)
*Phương pháp:
+ Đặt U = u(x) dU = u’(x)dx
+ Đổi cận : Khi x = a U = u(a), x = b U= u(b) + Thay :
Khi
b a dx x u x u
f[ ( )] '( ) =
( )
( ) ( )
u b
u a
f U dU
.
*Chú ý : Thường đặt u căn, mũ, mẫu,
(5)1/ dx x x
; 2/
0
8 15 1 x dx
x ; 3/
01 dx x x
; 4/
2 ln
0
1dx ex
; 5/
1 x 1 x2 dx ; 6/
1 x 1 x2 dx
Baøi : Tính tích phân :
1/ e x xdx
0
2
2
; 2/2e x cosxdx
0 sin
; 3/ eexexdx
1
0
; 4/
e x x dx e ln
; 5/ dx
x etgx 2 cos
; 6/
dx x etgx 2 cos
Baøi :Tính tích phân :
1/ dx
x x
2
01 2cos sin
; 2/ dx
x x e e ln
; 3/
1
0
sine dx ex x
; 4/
dx e e e x x x
; 5/
27
1 (1 ) dx x x
dx
; 6/
0
cos xdx 7/
ln x x e e dx
; 8/
2 sin cos x dx x x
; 9/
ln
2
ln ex dx
; 10/
3 cos sin sin dx x x
x ; 11/
3 3 cos sin cos x dx x x
DẠNG : Phương pháp tích phân phần
* p dụng cho tích phân có dạng
b a dx x v x
u( ) '( ) ( u(x), v’(x) những hàm số biến x)
*Phương pháp: + Đặt dx x v dv x u u ) (' ) ( ta coù ) ( ) (' x v v dx x u du
Khi
b a dx x v x
u( ) '( ) = b a
x v x
u( ) ( ) -
b a dx x v x
u'( ) ( )
*Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, …
- Sau đặt u, tồn phần cịn lại dv( cụ thể Thầy dạy phần lý thuyết)
Bài tập : Tính tích phân sau : 1/ cos xdx
ex ; 2/
sin dx x x
; 3/
cos sin dx x x x
; 4/
1
0
2)
ln( x dx
x ; 5/
e dx x )
(ln ; 6/
2
61 cos
sin dx x x x 7/ 2sin xdx
x ; 8/
e dx x ) ln
( ; 9/
e
e
dx x
ln ; 10/
sin xdx
ex ;11/
1
0
)
ln( x dx
x ; 12/
dx x x e e ln ln
DẠNG : Phương pháp đổi biến dạng 1
* p dụng cho tích phân có chứa biểu thức a 2 x2 ,
2
1 x
a mà
(6)*Phương pháp: + Đặt biến
-Dạng chứa a 2 x2 : Đặt x = asint, t
2 ;
- Dạng chứa 2 2
x
a : Đặt x = atant, t
2 ;
+ Các bước : đổi cận, thay tương tự phương pháp đổi biến dạng 2
Bài tập : Tính tích phân sau :
1/
a
dx x a x
2 2
( a > ) 2/ dx x
x
1
2
2
1
3/
e
x x
dx ln2
4/ x x dx
1
0
2 2 3
5/
0
1 dx
x 6/
1
1
2 2 5
dx x x
7/
1
dx x
x 8/
1
0
2 1 x dx
x 9/
1
dx x x
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
BÀI TỐN 1: Cho hàm số yf x liên tục a b; Khi diện tích hình phẳng (D) giới
hạn (Chỉ Thầy Trị ta ký hiệu thơi !!! )
- Đồ thị hàm số yf x
- Truïc Ox : ( y 0 )
- Hai đường thẳng x a x b ;
Được xác định công thức : SD ab f x dx
1) Tính S D ? , biết D giới hạn đồ thị: y x 2 2x, x1,x2 trục Ox.
2) Tính S D ?, bieát , 0, 1, 2
x
D y xe y x x
3) Tính S D ? với 4 , 1, 3 D yx x x x
4) Tính S D ?, với , 0, ,
3
Dy tgx x x y
5) Tính S D ?, ln
, 0, 1,
x
D y y x x
x
6) Tính S D ?, 1, , 0, ln
x
D x x e y y
x
7) Tính S D ?
2
3
, 0, 1,
1
x x
D y x x y
x
8) Tính S D ?,
2
sin cos , 0, 0,
2
Dy x x y x x
BÀI TỐN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi… : (Xem kỷ lại lý thuyết Thầy dạy)
+ C1 :yf x , C2:y g x
+ đường thẳng x a x b ,
Được xác định công thức: S ab f x g x dx
PP giaûi: B1: Giải phương trình : f x g x tìm nghiệm x x1, , ,2 xna b; x1 x2 xn
B2: Tính
1
1
1
, ,
n
n
x x b
a x x
x b
a x
S f x g x dx f x g x dx f x g x dx
f x g x dx f x g x dx
(7)1) Tính S D ?,
1 , x, 0,
D y x y e x x
2)Tính S D ? , 2
1
, , ,
sin cos
D y y x x
x x
3) Tính S D ?,
2
2 sin , cos , 0;
D y x y x x
4) Tìm bsao cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị
2 :
1
x
C y
x
đường thẳng
1, 0,
y x x b baèng
4
BÀI TỐN 3: Hình phẳng (D) giới hạn đồ thị: yf x y g x x a , ,
Khi diện tích x0
a
S f x g x dx với x0 nghiệm phương trình
f x g x .
1) Tính S H ? , với , , 1
x x
H y e y e x
2) Tính S H ?, H y x 1 x Ox x2, , 1
3) Tính S D ?
3
, ,
1
x
D y Ox Oy
x
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn : ;x ; y y x x
5) Tính S H ? , H x y x y, 0, y0
BÀI TỐN 4: Tính diện tích hình phẳng D giới hạn đồ thị hai hàm số:
;
yf x y g x
PP giaûi: B1 : Giải phương trình f x g x 0 có nghiệm x1x2 xn
B2: Ta có diện tích hình D :
n
x D x
S f x g x dx
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 2x
; yx24x
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y x2 2x
y3x
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y2 2y x 0
vaø x y 0
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y2 x 5 0
vaø x y 0
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y x2 4x 3
y x 3
6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn 4
x y vaø
2
x y
:ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH
BÀI TỐN I: “Tính thể tích vật thể trịn xoay quay miền D giới hạn
đường: yf x ; y 0; x a x b a b ; ; xung quanh trục Ox”.
PP giải: Ta áp dụng công thức VOx aby dx2 ab f x dx 2
Chú ý: “Tính thể tích vật thể trịn xoay quay miền D giới hạn đường:
xf y ; x 0; y a y b a b ; ; xung quanh truïc Oy”.
PP giải: Ta áp dụng công thức b b 2
Oy a a
V x dyf y dy
1) Cho hình phẳng D giới hạn : , 0, 0,
3
Dy tgx y x x
(8)b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh D quay quanh trục Ox
2) Cho hình phẳng D giới hạn P y: 8x đường thẳng x 2 Tính thể tích khối
trịn xoay quay hình phẳng D quanh trục Ox.
BÀI TỐN II: “Tính thể tích vật thể trịn xoay quay miền D giới hạn
đường: yf x ; y g x ; x a x b a b ; ; xung quanh trục Ox”.
PP giải: Ta áp dụng công thức b 2 2
Ox a
V f x g x dx
1) Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn đường:
2
1; 2; ;
x x y y
x x
2) Cho hình phẳng D giới hạn y 4 x y x2; 2
Quay D xung quanh Ox ta
vaät thể, tính thể tích vật thể này. BÀI TẬP
1) Tính VOx biết: D y x ln ,x y0,x1,x e
2) Cho D miền giới hạn đồ thị ; 0; 0;
y tg x y x x
a) Tính diện tích miền phẳng D
b) Cho D quay quanh Ox, tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành.
3) Tính VOx biết:
3
2 ,
x
Dy y x
4) Tính VOx bieát:
4
0; sin cos ; 0,
2
Dy y x x x x
5) Tính VOx biết:
2 5 0; 3 0
D x y x y
6) Tính VOx biết:
2
2 ;
D y x y x
7) Tính VOx biết:
2 4 6; 2 6
D y x x yx x
8) Tính VOx biết:
2;
D y x y x
CÁC BÀI TẬP DỄ VÀ HAY
1 y x ex , truïc Ox, x=1, x =
2 y = lnx , x =1 , x = trục Ox y = x3 + 1, Ox, Oy vaø x = 1. y = – x2 , y = 0.
5 y = cosx, y = 0, x = vaø x = y = tanx , y = 0, x = vaø x =
4
y2 = x3 , y = 0, x = 1
8 y = sin2x, y = 0, x = vaø x = .
9 y =
x
xe , y = 0, x = 0, x = 1
(9)(10)