Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn D·y c¸c sè viÕt theo qui luËt Bµi 1: TÝnh: A = 1.2+2.3+3.4+ .+99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ .+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ .+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bµi 2: TÝnh: A = 1.3+2.4+3.5+ .+99.101 HD: A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ .+99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ .+99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+(1+2+3+ .+99) Bµi 3: TÝnh: A = 1.4+2.5+3.6+ .+99.102 HD: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ .+99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ .+99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+2(1+2+3+ .+99) Bµi 4: TÝnh: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100 HD: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ .+98.99.100.(101-97) 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ .+98.99.100.101- 97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 Bµi 5: TÝnh: A = 1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 HD: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ .+99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ .+98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ .+99.100)+(1+2+3+ .+99+100) Bµi 6: TÝnh: A = 2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 HD: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + .+49 2 +50 2 ) Bµi 7: TÝnh: A = 1 2 +3 2 +5 2 + .+97 2 +99 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + .+49 2 +50 2 ) Bµi 8: TÝnh: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + .+99 2 -100 2 HD: A = (1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 ) B ụn HSG toỏn 6 GV : Anh Tun Su tm v biờn son Bài 9: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + .+98.99 2 HD: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ .+98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ .+98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ .+98.99) Dãy các số viết theo qui luật Bài 1: Tính: A = 1.2+2.3+3.4+ .+99.100 HD: 3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ .+99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ .+99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 Bài 2: Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ .+99.101 Bài 3: Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ .+99.102 HD: Bài 4: Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ .+98.99.100 Bài 5: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + .+99 2 +100 2 Bài 6: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + .+98 2 +100 2 Bài 7: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + .+97 2 +99 2 Bài 8: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + .+99 2 -100 2 Bài 9: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + .+98.99 2 CHUYÊN Đề ƯC - BC Bài toán mẫu : Trong mt s trng hp, cú th s dng mi quan h c bit gia CLN, BCNN v tớch ca hai s nguyờn dng a, b, ú l : ab = (a, b).[a, b], trong ú (a, b) l CLN v [a, b] l BCNN ca a v b. Vic chng minh h thc ny khụng khú : Theo nh ngha CLN, gi d = (a, b) => a = md ; b = nd vi m, n thuc Z + ; (m, n) = 1 (*) T (*) => ab = mnd 2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd 2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) c gi no cú cỏch CM tt hn xin chia s cựng tụi ( ST : 016355335520) Bi toỏn 2 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit ab = 216 v (a, b) = 6. Bi toỏn 4 : Tỡm hai s nguyờn dng a, b bit a/b = 2,6 v (a, b) = 5. Bi toỏn 5 : Tỡm a, b bit a/b = 4/5 v [a, b] = 140. Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) D¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; . ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu Bài 1 : Tính tổng : Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược. Bài 2 : Tìm x thuộc N biết : Hơn nữa ta có : ta có bài toán Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : không phải là số nguyên. Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a 1 ; a 2 ; . ; a 44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a 1 ; a 2 ; a 3 ; . ; a 43 ; a 44 sao cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a 1 ; a 2 ; . ; a 44 thỏa mãn Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a 1 ; a 2 ; a 3 ; . ; a 44 ; a 45 thỏa mãn a 1 < a 2 a 3 < . < a 44 < a 45 và Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? D¹ng 2: so s¸nh Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + . + 1/17 < 2 Lời giải : Có khá nhiều cách chứng minh nhờ “đánh giá” vế trái bởi các kiểu khác nhau. Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A. Cách 1 : Tacó : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cách 2 : Tacó : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + . + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + . + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 Cách 4 : 1/6 + 1/7 + .+ 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + . + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO 1. Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó: a) Tập hợp A các số tự nhiên có hai chữ số trong đó chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3. Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn b) Tập hợp B các số tự nhiên có ba chữ số mà tổng các chữ số bằng 5. 2. * Ghi số nhỏ nhất có: a) chín chữ số b) n chữ số (n∈ N*) c) mười chữ số khác nhau ** Ghi số lớn nhất có: a) chín chữ số b) n chữ số (n∈ N*) c) mười chữ số khác nhau 3. Người ta viết liên tiếp các số tự nhiên thành dãy số sau: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 .Hỏi: a) Chữ số hàng đơn vị của số 52 đứng ở hàng thứ mấy? b) Chữ số đứng ở hàng thứ 873 là chữ số gì? Chữ số đó của số tự nhiên nào? 4. Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông: a) 2  {1; 2; 6} e) ∅  {a} b) 3  {1; 2; 6} f) 0  {0} c) {1}  {1; 2; 6} g) {3; 4}  N d) {2;1; 6}  {1; 2; 6} h) 0  N* 5. Trong đợt thi đua "Bông hoa điểm 10" mừng ngày Nhà giáo Việt Nam - Lớp 6A1 có 45 bạn đạt từ 1 điểm 10 trở lên, 38 bạn đạt từ 2 điểm 10 trở lên, 15 bạn đạt từ 3 điểm 10 trở lên, 9 bạn đạt 4 điểm 10, không có ai đạt trên 4 điểm 10. Hỏi trong đợt thi đua đó, lớp 6A1 có tất cả bao nhiêu điểm 10? 6. Trong đợt dự thi "Hội khoẻ Phù Đổng", kết quả điều tra ở một lớp cho thấy; có 25 học sinh thích bóng đá, 22 học sinh thích điền kinh, 24 học sinh thích cầu lông, 14 học sinh thích bóng đá và điền kinh, 16 học sinh thích bóng đá và cầu lông, 15 học sinh thích cầu lông và điền kinh, 9 học sinh thích cả 3 môn, còn lại là 6 học sinh thích cờ vua. Hỏi lớp đó có bao nhiêu học sinh? 7. Muốn viết tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 1000 phải dùng bao nhiêu chữ số 5? 8. Điền các chữ số thích hợp vào ô trống để tổng ba chữ số liền nhau bằng 23: 6 8 Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn 9. Tìm số có hai chữ số sao cho số đó lớn hơn 6 lần tổng các chữ số của nó là 2 đơn vị. 10. Tìm số bị chia và số chia nhỏ nhất để thương của phép chia là 15 và số dư là 36. 11. Em hãy đặt các dấu (+) và dấu (-) vào giữa các chữ số của số 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (có thể ghép chúng lại với nhau) để kết quả của phép tính bằng 200. 12. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó là 11 và nếu đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau ta được số mới hơn số cũ 63 đơn vị. 13. Một phép chia có tổng của số bị chia và số chia là 97. Biết rằng thương là 4 và số dư là 7. Tìm số bị chia và số chia. 14. So sánh: 2 1000 và 5 400 15. Tìm n ∈ N, biết: a) 2 n . 8 = 512 b) (2n + 1) 3 = 729 16. Tính giá trị của biểu thức: a) 3 9 : 3 7 + 5 . 2 2 b) 2 3 . 3 2 - 5 16 : 5 14 17. Tìm x, y ∈ N, biết rằng: 2 x + 242 = 3 y 18. Tìm x ∈ N, biết: a) 1440 : [41 - (2x - 5)] = 2 4 . 3 b) 5.[225 - (x - 10)] -125 = 0 19. Tính giá trị của các biểu thức sau: a) [545 - (45 + 4.25)] : 50 - 2000 : 250 + 2 15 : 2 13 b) [504 - (25.8 + 70)] : 9 - 15 + 19 0 c) 5 . {26 - [3.(5 + 2.5) + 15] : 15} d) [1104 - (25.8 + 40)] : 9 + 3 16 : 3 12 c) 4 7 . 3 4 . 9 6 6 13 d) 2 16 + 2 8 2 13 + 2 5 Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn 20. Tìm x biết: a) (x - 15) : 5 + 22 = 24 b) 42 - (2x + 32) + 12 : 2 = 6 c) 134 - 2{156 - 6.[54 - 2.(9 + 6)]}. x = 86 21. Xét xem: a) 2002 2003 + 2003 2004 có chia hết cho 2 không? b) 3 4n - 6 có chia hết cho 5 không? (n ∈ N*) c) 2001 2002 - 1 có chia hết cho 10 không? 22. Tìm x, y để số xy30 chia hết cho cả 2 và 3, và chia cho 5 dư 2. 23. Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số, tận cùng bằng 6 và chia hết cho 9. NÂNG CAO Bài toán 6 : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 và (a, b) 3 D¹ng 1 : TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG .3 Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + . + 1/17 < 2 .4 ĐỀ SỐ HỌC 6 NÂNG CAO 4 Bài 1 Cho số M = (1/16)2002. Tính tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của số M khi viết dưới dạng số thập phân. Bài giải : Vì 1/16 < 1/10 nên M = (1/16)2002 < (1/10)2002 = (0,1)2002 = 0, 00 .01 ( 2001 chữ số 0). Do đó M phải có ít nhất là 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy. Từ đó ta có tổng của 2002 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy khi viết M dưới dạng số thập phân là 0. Nhận xét : + Nhiều bạn nêu ra mấy trường hợp : 1/16 = 0,0625 ; (1/16)2 = 0,00390625 ; (1/16)3 = 0,000244140625 Và từ đó => (1/16)2002. có 2002 chữ số 0 ngay sau dấu phẩy khi viết M ở dạng số thập phân. Từ mấy trường hợp riêng mà => trường hợp chung thì điều đó chỉ là dự đoán (cần phi chứng minh). Trong toán học, người ta gọi phép suy diễn đó là phép qui nạp không hoàn toàn. + Bạn Hoàng Minh Hiếu, 7C, THCS Lê Quý Đôn, Bỉm Sơn, Thanh Hóa đánh giá : M = (1/16)2002 = (1/2)8008 = (1/2)8.(1/2)8000 < ((1/2)10)8000 < (1/1024)800 < (1/1000)800 = (1/10)2400 = 0,00 .01 (2399 chữ số 0). Từ đó có thể thấy tổng của 2400 chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy của M viết dưới dạng số thập phân cũng bằng 0. + Bạn Phạm Huy Hoàng, 9B, trường THPTNK Trần Phú, Hi Phòng nhận xét : “Nếu M = (1/16)k với k N A D Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn thì M = (1/16)k = (0,625/10 )k . Từ đó tổng của k chữ số đầu tiên ngay sau dấu phẩy ở dạng viết thập phân của M sẽ bằng 0. Bài 4: Em hãy thay mật chữ cái bởi mật chữ số để phép tính dưới đây đúng (chữ cáI khác nhau thì thay chữ số khác nhau) TIME + TIME = MONEY Đẳng thức trên còn có ý nghĩa gì nữa không? BàI giải: Từ MONEY = TIME + TIME ≤ 9999 + 9999 = 19998. => M = 1, do đó E = 2 và Y = 4. Lại vì : MONEY ≥ 10000 nên TIME ≥ 5000 => T ≥ 5 . 1) Nếu I = 0 thì N = 0 (loại vì I ≠ N ). 2) Nếu I = 3 thì N = 6. a) Với T = 5 thì có O = 0 ,vậy nghiệm bài toán là TIME = 5312 và MONEY = 10624 (1). b) Với T = 7 có O = 4 (loại vì O = Y). c) Với T = 8 có O = 6 (loại vì O = N). d) Với T = 9 thì có O = 8 ta có nghiệm thứ hai của bài toán : TIME = 9312 , MONEY = 18624 (2). 3) Nếu I = 5, thì N = 0. a) Với T = 6, có O = 3, nghiệm thứ ba của bài toán là TIME = 6512 và MONEY = 13024 (3). b) Với T = 7 => O = 5 (loại vì O = I), còn với T = 9 thì O = 9 ( loại) c) Với T = 8 có O = 7, nghiệm thứ tư của bài ra là : TIME = 8512 và MONEY = 17024 (4). 4) Nếu I = 6 thì N = 2 (loại vì N = E) 5) Nếu I = 7 thì n = 4 (loại vì N = Y) 6) Nếu I = 8 thì N = 6, ta thấy các khả năng T = 5 và t = 9 không thoả mãn điều kiện bài toán. Với T = 7 thì O = 5, ta có nghiệm thư năm của bài toán là : TIME = 7812 và MONEY = 15624 (5). 7) Nếu I = 9 thì N = 8, dễ thấy trường hợp T = 5 bị loại. Với T = 6 thì O = 3, còn với T = 7 có O = 5. Nghiệm thứ sáu và thứ bẩy của bài toán là : TIME = 6912 và MONEY = 13824 (6) TIME = 7912 và MONEY = 15824 (7) Vậy bái toán có bẩy nghiệm như đã khẳng định ở trên. Đẳng thức TIME + TIME = MONEY còn có ý nghĩa là : Chúng ta phải qíy trọng thời gianvì rằng " Thời gian là vàng bạc" TỪ MỘT BÀI TOÁN TÍNH TỔNG Chúng ta cùng bắt đầu từ bài toán tính tổng rất quen thuộc sau : Bài toán A : Tính tổng : Lời giải : Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Vì 1 . 2 = 2 ; 2 . 3 = 6 ; . ; 43 . 44 = 1892 ; 44 . 45 = 1980 ta có bài toán khó hơn chút xíu. Bài 1 : Tính tổng : Và tất nhiên ta cũng nghĩ đến bài toán ngược. Bài 2 : Tìm x thuộc N biết : Hơn nữa ta có : ta có bài toán Bài 3 : Chứng minh rằng : Do vậy, cho ta bài toán “tưởng như khó” Bài 4 : Chứng tỏ rằng tổng : không phải là số nguyên. Chúng ta cũng nhận ra rằng nếu a 1 ; a 2 ; . ; a 44 là các số tự nhiên lớn hơn 1 và khác nhau thì Giúp ta đến với bài toán Hay và Khó sau : Bài 5 : Tìm các số tự nhiên khác nhau a 1 ; a 2 ; a 3 ; . ; a 43 ; a 44 sao cho Ta còn có các bài toán “gần gũi” với bài toán 5 như sau : Bài 6 : Cho 44 số tự nhiên a 1 ; a 2 ; . ; a 44 thỏa mãn Chứng minh rằng, trong 44 số này, tồn tại hai số bằng nhau. Bài 7 : Tìm các số tự nhiên a 1 ; a 2 ; a 3 ; . ; a 44 ; a 45 thỏa mãn a 1 < a 2 a 3 < . < a 44 < a 45 và Các bạn còn phát hiện được điều gì thú vị nữa rồi chăng ? Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Bài 1 : Chứng minh rằng : 1/5 + 1/6 + 1/7 + . + 1/17 < 2 Lời giải : Có khá nhiều cách chứng minh nhờ “đánh giá” vế trái bởi các kiểu khác nhau. Ta gọi vế trái của bất đẳng thức là A. Cách 1 : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 < 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 6/5 (1) 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 + 1/17 < 1/11 + 1/11 + 1/11 + 1/11 +1/11 + 1/11 + 1/11 = 7/11 (2) Từ (1) và (2) => : A < 6/5 + 7/11 = 101/55 < 110/55 = 2 Cách 2 : Ta có : 1/5 + 1/6 + 1/7 < 1/5 + 1/5 + 1/5 = 3/5 (3) 1/8 + 1/9 + 1/10 + . + 1/17 < 10.1/8 = 5/4 (4) Từ (3), (4) => : A < 3/5 + 5/4 = 37/20 < 2 Cách 3 :1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (5) 1/10 + 1/11 + . + 1/17 < 8.1/8 = 1 (6) Từ (5), (6) => : A < 1 + 1 = 2 Cách 4 : 1/6 + 1/7 + .+ 1/11 < 6.1/6 = 1 (7) 1/12 + 1/13 + . + 1/17 < 6.1/12 = 1/2 (8) Từ (7), (8) => : A < 1/5 + 1 + 1/2 = 17/10 < 2 Cách 5 : 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 < 5.1/5 = 1 (9) 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14< 5.1/10 = 1/2 (10) 1/15 + 1/16 + 1/17 < 3.1/15 = 1/5 (11) Từ (9), (10), (11) => : A < 1 + 1/2 + 1/5 = 17/10 < 2. Bài 2 : Tìm tổng các chữ số của 99999999998 2 . Lời giải : Ta có : A = 99999999998 2 = (99999999998 + 2)(99999999998 - 2) + 4 = 100 000 000 000 x 99999999996 + 4 = 99999999996000000000004 Từ đó ta có tổng các chữ số của A là 9 x 10 + 6 + 4 = 100. Nhận xét : 1) Các bạn có một số cách khác để tính A. Chẳng hạn : A = (10 11 - 2) 2 = 10 22 - 4.10 11 + 4. Tuy nhiên một số bạn chỉ tính 98 2 ; 998 2 ; 9998 2 rồi => A mà không hề chứng minh. Bài 2(1) : Cho A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + . a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A. b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n. Lời giải : a) Ta có A = 1 - 7 + 13 - 19 + 25 - 31 + . [...]... ≤ 6 => 3 ≤ z ≤ 6 => z thuộc {3 ; 4 ; 5 ; 6} * Với z = 3, ta có : 1/x + 1/y + 1/3 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/3 = 1 /6 => 6x + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36 => (x - 6) (y - 6) = 36 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn * Với z = 4, ta có : 1/x + 1/y + 1/4 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1/4 = 1/4 => : 4x + 4y = xy => => (x - 4)(y - 4) = 16. .. kiện đề bài +) Nếu a = 6 thì : 244 < < 265 (p = 4 hoặc p = 6) Chỉ có một số thỏa mãn trường hợp này là : 2 264 = 69 6 96 +) Nếu a = 9 thì : 300 < < 317 (p = 3 hoặc p = 7) Trường hợp này cũng chỉ có một số thỏa mãn 2 là : 307 = 94249 Tóm lại có 7 số thỏa mãn điều kiện bài ra : 10201, 12321, 40804, 1 464 1, 44844, Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn 69 6 96, 94249 Nhận xét : - Nếu bài toán. . .Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn = (1 -7) + (13 - 19) + (25 - 31) + = ( -6) + ( -6) + ( -6) + Vì A có 40 số hạng nên sẽ có 20 cặp số có giá trị bằng -6 Do đó A = ( -6) 20 = -120 b) Ta xét 2 trường hợp : Trường hợp 1 : Với n chẵn Tương tự câu a, vì A có n số hạng nên sẽ có cặp số n/2 cặp số Do đó A = ( -6) .n/2 = - 3n Trường hợp 2 : Với n lẻ,... (- 19 + 25) + = 1 + 6 + 6 + Vì A có (n - 1)/2 cặp số có giá trị bằng 6 nên A = 1 + 6 (n - 1)/2 = 1 + 3(n - 1) = 3n - 2 Vậy A = -3n (với n chẵn) ; A = 3n - 2 (với n lẻ) Bài 4(1) : Cho 6 số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5, a6 thoả mãn : 2003 = a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 1) Nếu tính tổng hai số bất kì thì được bao nhiêu tổng? 2) Biết rằng tất cả các tổng trên là khác nhau Chứng minh a6 ≥ 2012 Lời giải :... a5, a1 + a6, a2 + a3, a2 + a4, a2 + a5, a2 + a6, a3 + a4, a3 + a5, a3 + a6, a4 + a5, a4 + a6, a5 + a6 Vậy có tất cả : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 tổng 2) Phản chứng a6 ≤ 2011, => a5 ≤ 2010 Tổng nhỏ nhất là : a1 + a2 ≥ 2003 + 2004 = 4007 Tổng lớn nhất là : a5 + a6 ≤ 2010 + 2011 = 4021 Nhưng ta chú ý rằng có tất cả 15 số tự nhiên ≥ 4007 và ≤ 4021 Do 15 tổng trên khác nhau, => a1 + a2 = 4007 và a5 + a6 = 4021,... 2004, a6 = 2011, a1 = 2010 Nhưng khi đó ta lại có a1 + a6 = a2 + a5 = 2014 Mâu thuẫn với giả thi t Vậy a6 ≥ 2012 Nhận xét : 1) Rất nhiều bạn nhận xét sai rằng : Chỉ có 14 số tự nhiên ≥ 4007 và ≤ 4021 ! 2) Một số ít bạn chứng minh được khẳng định mạnh hơn a6 > 2012 Thật ra chúng ta có thể chứng minh a6 ≥ 2015, và không có kết quả tốt hơn, ví dụ a1 = 2003, a2 = 2004, a3 = 2005, a4 = 2007, a5 = 2010, a6 =... số là một dấu *) để phép toán đúng Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Lời giải : Để thuận lợi, chúng ta đặt lại phép tính ở bài ra như sau : Từ phép tính trên dễ nhận thấy b2 = b3 = 0 Vì nhân với 2 được nhân với b1 được => b1 = 1 (do a1 ≥ 5) Do đó Mặt khác (số có 7 chữ số) đúng sau khi đã khôi phục những chữ số bị xóa đi là : nên a1 ≥ 5 Lại vì Vậy phép toán Bài 1(2) : Tìm tất... Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Với z = 6, ta có : 1/x + 1/y + 1 /6 = 1/2 => 1/x + 1/y = 1/2 - 1 /6 = 1/3 => : 3x + 3y = xy => => (x - 3)(y - 3) = 9 Do x, y thuộc Z+, x ≥ y ≥ z, ta có bảng : * Vậy phương trình (1) có các nghiệm là : (42 ; 7 ; 3), (24 ; 8 ; 3), (18 ; 9 ; 3), (15 ; 10 ; 3), (12 ; 12 ; 3), (20 ; 5 ; 4), (12 ; 6 ; 4), (8 ; 8 ; 4), (10 ; 5 ; 5), (6 ; 6 ; 6) , cùng các hoán vị Từ đây, dễ dàng... là S = a + (a + 2) + + (a + 40 06) = [ a + (a + 40 06) ] : 2 x 2004 = (a + 2003) x 2004 Do đó S = 8030028 tương đương với (a + 2003) x 2004 = 8030028 hay a = 2004 Vậy 8030028 = 2004 + 20 06 + 2008 + + 60 10 Nhận xét : Hầu hết các bạn giải đúng Một số bạn tính S hơi khác một chút : S = 2004a + (2 + 4 + + 40 06) Bài 2(11) : Tìm số nguyên a lớn nhất sao cho số T = 427 + 410 16 + 4a là số chính phương Lời giải... là số chính phương Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn Chú ý : 1 + 21978 + (2a - 27)2 > (2a - 27)2 => 1 + 21978 + (2a - 27)2 ≥ (2a - 27 + 1)2 27 Tức là ta có 21978 ≥ 2.2a => 1978 ≥ a - 26 => 2004 ≥ a Với a = 2004 thì T = (227)2 (21977 + 1)2 là số chính phương Vậy số nguyên a lớn nhất cần tìm là a = 2004 Nhận xét : Hầu hết các bạn gửi lời giải cho tòa soạn đều nhìn thấy số cần . + 6y = xy => xy - 6x - 6y + 36 = 36 => (x - 6) (y - 6) = 36. Do x, y thuộc Z + , x ≥ y ≥ z, ta có bảng : Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu. 10201, 12321, 40804, 1 464 1, 44844, Bộ đề ôn HSG toán 6 GV : Anh Tuấn – Sưu tầm và biên soạn 69 6 96, 94249. Nhận xét : - Nếu bài toán có thêm điều kiện