PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CAO LỘC KỲ THI CẤP HUYỆN HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 05/01/2011 Quy ước: Khi tính gần đúng chỉ lấy kết quả với 4 chữ số thập phân, riêng số đo góc lấy đến số nguyên giây. Bài 1 (5 điểm): Tính giá trị của biểu thức: a) A 4 5. 3 5. 48 10. 7 4 3= + + − + b) 2 3 2 B 2 3 2 2 3 2 6 2 3 + = + + − + Sơ lược cách giải Điểm a) Tính trực tiếp: ghi ra màn hình √(4+√(5×√3+5×√(48 - 10×√(7 + 4×√3)))) A=3 1,5 đ 1 b) Ghi ra màn hình: (√(2+√3)÷2)÷((√(2+√3)÷2)-(2÷√6)+(√(2 + √3)÷(2×√3))) B≈1,3660 1,5 đ 1 đ Bài 2 (5 điểm): a) Tính số đo của góc α tạo bởi đường thẳng 4 2 3 y x + 1 2 + = với trục Ox. b) Cho sinα = 0,5 (0 0 < α < 90 0 ). Tính A = cos 2 3 2sin sin α α α − − . Sơ lược cách giải Điểm a) Góc α tạo bởi đường thẳng 4 2 3 y x + 1 2 + = với trục Ox được tính bởi công thức: 4 2 3 3 1 tg 2 2 + + α = = Tính góc α bằng cách ấn phím Shift tan -1 ((√3+1) ÷2 ) = ., ,, Kết quả: α≈ 53 0 47'38" b) Tính góc α bằng cách ấn phím Shift sin -1 0.5 = - Kết quả α = 30, gán 30 cho A bằng cách tiếp tục ấn phím: shift sto A - Ghi ra màn hình: (cosA) 2 -2×sinA-(sinA) 3 rồi ấn phím = Kết quả: A = -0,375 0,75 đ 0,75 đ 1 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,75 đ Bài 3 (5 điểm): Cho đa thức g(x) = 8x 3 – 18x 2 + x + 6. a) Tìm các nghiệm của đa thức g(x). b) Tìm các hệ số a, b, c của đa thức bậc ba f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, biết rằng khi chia đa thức f(x) cho đa thức g(x) thì được đa thức dư là r(x) = 8x 2 + 4x + 5. c) Tính chính xác giá trị f(2011). Sơ lược cách giải Điểm a) 1 1 x 2 = − , 2 x 2= ; 3 3 x 4 = b) Theo trên ta có: g(x) (2x 1)(x 2)(4x 3)= + − − Theo giả thiết ta có: f(x) = q.g(x) + 8x 2 + 4x + 5 (q là thương) Do vậy ta có: 1 1 1 1 1 f r 5 a b c 5 2a 4b 8c 41 2 2 4 2 8 f (2) r(2) 45 4a 2b c 45 8 4a 2b c 37 9 3 25 27 36a 48b 64c 773 3 3 25 a b c f r 16 4 2 64 4 4 2       − = − = − + = +  ÷  ÷   − + =          = = ⇔ + + = − ⇔ + + =       + + =        + + = − = =  ÷  ÷        Vào EQN chọn giải hệ 3 phương trình 3 ẩn ta được: 23 a 4 = , 33 b 8 = , 23 c 4 = c) Ghi vào màn hình biểu thức: X 3 + (23÷4)×X 2 + (33÷8)×X + (23÷4) Bấm phím CALC và nhập số 2011 = ta được số hiện ra màn hình là: 8155989328. Sau đó ta ấn tiếp phím - rồi nhập 815989328 = được -0.125. Do vậy giá trị chính xác của f(2011) = 8155989327.875 1 đ 1 đ 0,5 đ 1 đ 1 đ 0,5 đ Bài 4 (5 điểm): Giải phương trình: x x 4 1 1 1 4 1 1 2 3 1 1 3 2 4 2 + = + + + + + + Sơ lược cách giải Điểm Đặt 1 A 1 1 1 2 1 3 4 = + + + , rồi tính A được 30 43 , gán 30 43 cho biến A. 1 B 1 4 1 3 1 2 2 = + + + , rồi tính B được 17 73 , gán 17 73 cho biến B. Phương trình có dạng: 4 + Ax = Bx ⇒ 4 x B A = − Ghi ra màn hình: 4÷(B-A) ấn phím = rồi chuyển về dạng phân số được kết quả là 12556 x=- 1459 1 đ 1 đ 1 đ 1 đ 1 đ Bài 5 (5 điểm): Dãy số (U n ) được xác định như sau: U 0 = 1; U 1 = 1; U n+1 = 2U n – U n-1 + 2; với n= 1; 2; 3; … a) Hãy lập một quy trình bấm phím để tính U n ? b) Tính giá trị của U n khi n = 1; 2 ; 3 ;….; 20 ? Sơ lược cách giải Điểm a) Quy trình bấm phím tính U n là : Lưu: 1 vào biến nhớ A ( Bấm 1 shift sto A) 1 vào biến nhớ B ( Bấm 1 shift sto B) 1 vào biến nhớ C ( Bấm 1 shift sto C) Ghi vào màn hình: A= A + 1: B = 2×C – B + 2: A = A + 1: C = 2×B–C + 2 và bấm = = … b) Bảng giá trị của U n ; n = 1;…; 20 U 1 =1 U 2 = 3 U 3 = 7 U 4 = 13 U 5 = 21 U 6 =31 U 7 = 43 U 8 = 57 U 9 = 73 U 10 = 91 U 11 = 111 U 12 = 133 U 13 = 157 U 14 = 183 U 15 =211 U 16 = 241 U 17 = 273 U 18 = 307 U 19 = 343 U 20 = 381 1 đ 2 đ (mỗi kết quả đúng được 0,1 đ) 2 đ Bài 6 (5 điểm): Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiệm theo lãi kép (sau mỗi tháng tiền lãi được cộng thành vốn). Sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155 đồng. Tính lãi suất mỗi tháng? Sơ lược cách giải Điểm Gọi a là số tiền tiết kiệm ban đầu ; r là lãi suất tiết kiệm . Sau một tháng tổng số tiền cả gốc lẫn lãi là: a + ar = a(1 + r) Sau hai tháng tổng số tiền sẽ là : a(1 + r) + a(1 + r).r = a(1 + r) 2 Sau n tháng tổng số tiền là : A = a(1 + r) n . Suy ra: = −1 n A r a thay số n= 25; A = 84155; a = 58000 được r ≈ 0,015 Vậy : lãi suất mỗi tháng là : 0,0 15 x 100% ≈ 1,5 %/tháng 2,5 đ 1,5 đ 1 đ Bài 7 (5 điểm): a) Tìm số dư khi 759487564:49367 b) Tìm xy để số 1234xy345 chia hết cho 12345 Sơ lược cách giải Điểm a) Cơ sở của thuật toán a r a q r q .b b b b   = + ⇒ = −  ÷   - Lưu 49367 vào biến nhớ B. - Lấy 759487564:B máy tính hiện kết quả 15384.51929 Ta nhớ phần nguyên q là 15384. - Lấy kết quả của phép chia trên trừ đi phần nguyên 15384 rồi nhân với B ta được số dư là 25636 Vậy r = 25636 2 đ 0,5 đ b) Có 0 ≤ xy ≤ 99. Gọi thương của 1234xy345 cho 12345 là k ta có: 123400345123 ≤ 12345.k ≤ 123499345 9995.969 ≤ k ≤ 10003.99 Xét 9996 ≤ k ≤ 10003 có k = 10001 cho kết quả 123462345 (thoả mãn) Vậy xy = 62 (123462345) 1 đ 1 đ 0,5 đ Bài 8 (5 điểm): Cho dãy số 1 1 x 2 = ; 3 1 1 3 n n x x + + = . a) Hãy lập quy trình bấm phím tính x n + 1 b) Tính x 2 ; x 3 ; x 4 Sơ lược cách giải Điểm a) 0.5 = (Ans 3 +1)÷3 cho kết quả x 2 =0,375 b) Bấm liên tiếp 2 lần phím = thì lần lượt cho các kết quả x 3 và x 4 là: 3 đ x 2 = 0,375; x 3 =0,3509; x 4 =0,3477 2 đ Bài 9 (5 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A có BC = 3 10 và AB = 7 15 AC. Tính AB, · ABC (kết quả về góc làm tròn đến phút). Sơ lược cách giải Điểm a) Đặt AB = x (x>0) ⇒ AC= 15 x 7 theo định lý pitago ta có: AB 2 + AC 2 = BC 2 ⇔ 2 2 2 15 x x (3 10) 7   + =  ÷   ⇒ 4410 x 274 = x ≈ 4,0118 (lưu vào biến nhớ B) Vậy AB≈4,0118 b) Ta có: AB CosB BC = Tính góc B bằng cách ấn phím: Shift cos -1 (B÷(3×√10)) .,, được kết quả µ 0 B 64 59'≈ 2 đ 0,5 đ 1 đ 1 đ 0,5 đ Bài 10 (5 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm khác phía đối với AB). Một đường thẳng đi qua điểm A cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm M và N. Tính độ dài lớn nhất của đoạn thẳng MN nếu cho biết AB = 16 cm, bán kính của đường tròn tâm O và O’ lần lượt là 15 2 cm và 10 2 cm. Sơ lược cách giải Điểm Gọi I = OO'∩AB. Ta có: 16 IA 8 2 = = ; AB⊥OO' 2 2 OI (15 2) 8 19,6469= − ≈ lưu vào biến nhớ A 2 2 IO' (10 2) 8 11,6619= − ≈ lưu vào biến nhớ B ⇒ OO' = OI + IO' Ghi vào màn hình A+B, rồi ấn phím = được kết quả OO'≈31,3088 lưu vào biến nhớ C. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của MA, AN. Ta có: OH⊥MA; OK⊥AN (qh đk và dc) ⇒ OHKO' là hình thang vuông ⇒ HK ≤ OO' ⇒ HK lớn nhất ⇔ HK = OO' ⇔ MN = 2HK Tính MN bằng cách ghi vào màn hình 2×C rồi ấn phím = được kết quả MN=62,6176 cm 0,5 đ 0,5 đ 1 đ 0,5 đ 0,5 đ 1 đ 1 đ Chú ý: 1. Trong từng câu: + Học sinh giải cách khác hợp lý, kết quả đúng cho điểm tương ứng. + Các bước tính, hoặc chứng minh độc lập cho điểm độc lập, các bước liên quan với nhau đúng đến đâu cho điểm đến đó, từ chỗ sai trở đi không chấm tiếp. 2. Tổng điểm được làm tròn theo qui định. A C B I K H N B A O O' M . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CAO LỘC KỲ THI CẤP HUYỆN HSG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2010 - 2011 HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI MÔN TOÁN LỚP 9 THCS. tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B (O và O’ nằm khác phía đối với AB). Một đường thẳng đi qua điểm A cắt (O) và (O’) lần lượt tại hai điểm M và N. Tính