PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ UÔNG BÍ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9 NĂM HỌC 2010- 2011 MÔN: TOÁN Ngày thi: 12/01/2011 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 01 trang) Bài 1. (5,0 điểm). a) Cho hàm số ( ) ( ) 2011 3 f x x 6x 7= + - . Tính ( ) f a với 3 3 a 3 17 3 17= + + - . b) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy yz zx 1+ + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( ) ( ) y x z P 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z æ ö ÷ ç ÷ ç = + + + + + ÷ ç ÷ ÷ + + + ç è ø Bài 2. (5,0 điểm). a) Cho x 1> . Chứng minh bất đẳng thức x 2 x 1 ³ - . b) Với những giá trị của x thỏa mãn 1 x 2 ³ - , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( ) 2 f x 2x 5x 2 2 x 3 2x= + + + + - . Bài 3. (3,0 điểm). Giải phương trình: 2 2 4x 1 x 2x x 2x 1- + = - + + Bài 4. (4,0 điểm). Cho hình thang ABCD có: AB // CD, µ µ 0 A D 90= = , AB + CD = BC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính AD tiếp xúc với đường thẳng BC. Bài 5. (3,0 điểm). Chứng minh rằng một tam giác là vuông khi và chỉ khi các chiều cao a b c h ;h ;h của nó thỏa mãn điều kiện 2 2 a a b c h h 1 h h æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø -------------------- Hết ----------------------- Chữ kí giám thị 1 …………… . Chữ kí giám thị 2 …………… ĐỀ THI CHÍNH THỨC Họ và tên thí sinh: …………………………… Số báo danh: ………………. HNG DN CHN THI CHN HC SINH GII CP TH X LP 9 NM HC 2009-2010 MễN TON. BI LI GII S LC IM Bi 1 5 im a) 3 3 a 3 17 3 17= + + - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 3 3 a 3 17 3 17 3. 3 17 3 17 3 17 3 17 = + + - + + - + + - = 6 6a- 3 a 6a 7 1 + - =- Vy ( ) ( ) ( ) 2011 2011 3 f a a 6a 7 1 1= + - = - =- 1,5 1 b) T xy yz zx 1+ + = ( ) 2 1 x xy yz zx xị + = + + + ( ) ( ) x x y z x y= + + + ( ) ( ) x z x y= + + . Tng t ta cú : ( ) ( ) 1 y y x y z+ = + + ; ( ) ( ) 1 z z x z y+ = + + Thay vo P ta c: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 P x y y z z x . y x z x y x z y x y z z x z y = + + + ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + + ữ ỗ ữ ỗ ữ + + + + + + ữ ỗ ố ứ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z y x z z x y x y y z z x . x y y z z x + + + + + ộ ự + + + ờ ỳ ờ ỳ ở ỷ + + + ( ) 2 xy yz zx 2= + + = 1 1,5 Bi 2 5 im a) ( ) 2 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 2 x 1. 2 x 1 - + = = - + - - - - = - 1,5 1 b) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f x 2x 5x 2 2 x 3 2x 2x 1 x 2 4 x 3 2x= + + + + - = + + + + - ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) 2x 1 x 2 3x 3 2x 1 x 2 2 2 + + + + + + Ê = du bng khi 2x 1 x 2 x 1+ = + = ( ) ( ) 4 x 3 7 x 4 x 3 2 2 + + + + Ê = du bng khi 4 x 3 x 1= + = ị ( ) 3x 3 7 x f x 2x 5 2 2 + + Ê + - = du bng khi x 1= . Vy giỏ tr ln nht ca ( ) f x l 5 khi x = 1. 0,5 1 0,5 0,5 Bi 3 3 im K: 1 x 2 2 2 4x 1 x 2x x 2x 1- + = - + + 2x 1. 2x 1 x x. 2x 1 2x 1 0 - + + - - - + = ( ) ( ) 2x 1. 2x 1 x 2x 1 x 0 - + - - + - = 0,5 1 ( ) ( ) 2x 1 x 2x 1 1 0 + - - - = 2x 1 x 0 2x 1 x 2x 1 1 0 2x 1 1 ộ ộ + - = + = ờ ờ ờ ờ - - = - = ờ ờ ở ở Vi 2x 1 x 2x 1 x x 1+ = ị + = ị =- (Loi) Vi 2x 1 1 2x 1 1 x 1- = - = = (tha món K) Vy phng trỡnh cú nghim x = 1. 1 0,5 Bi 4 4 im I C B O A D H Gi O l trung im ca AD, I l trung im ca BC => OI l ng trung bỡnh ca hỡnh thang ABCD => ( ) 1 OI AB CD 2 = + , m AB + CD = BC 1 OI BC 2 ị = OBCị D vuụng ti O ị IO = IB => IOBD cõn ã ã IBO IOBị = ; m OI // AB ã ã ã ã IOB ABO OBH OBAị = ị = . => OBA OBHD = D => OH = OA = 1 AD AHD 2 ị D vuụng ti H Hị ẻ ng trũn ng kớnh AD m OH BC^ ti H => ng trũn ng kớnh AD tip xỳc vi BC. 2 1,5 0,5 Bi 5 3 im Gi ba cnh tng ng ca tam giỏc ln lt l a, b, c a b c a.h b.h c.h 2Sị = = = a a b c h h b c ; h a h a = = 2 2 2 2 a a b c h h b c 1 1 h h a a ổ ử ổ ử ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + = + = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ ố ứ 2 2 2 2 2 2 b c 1 a b c a + = = + <=> tam giỏc ABC vuụng (L o Talet). 1 1,5 0,5 Cỏc chỳ ý khi chm. 1. Hng dn chm ny ch trỡnh by s lc mt cỏch gii. Bi lm ca hc sinh phi chi tit, lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc mi c cho im ti a. 2. Vi cỏc cỏch gii ỳng nhng khỏc ỏp ỏn, t chm trao i v thng nht im chi tit nhng khụng c vt quỏ s im dnh cho cõu hoc phn ú. Mi vn phỏt sinh trong quỏ trỡnh chm phi c trao i trong t chm v ch cho im theo s thng nht ca c t. 3. im ton bi l tng s im ca cỏc phn ó chm, khụng lm trũn im. . PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ UÔNG BÍ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ LỚP 9 NĂM HỌC 2010- 2011 MÔN: TOÁN Ngày thi: 12/01/2011 Thời gian làm bài:. A D 90 = = , AB + CD = BC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính AD tiếp xúc với đường thẳng BC. Bài 5. (3,0 điểm). Chứng minh rằng một tam giác là vuông