Bất Đẳng Thức Trong toán học, một bất đẳng thức là một phát biểu về quan hệ thứ tự giữa hai đối tượng. (Xem thêm: đẳng thức) • Ký hiệu có nghĩa là a nhỏ hơn b và • Ký hiệu có nghĩa là a lớn hơn b. Những quan hệ nói trên được gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngoài ra ta còn có • có nghĩa là a nhỏ hơn hoặc bằng b và • có nghĩa là a lớn hơn hoặc bằng b. Người ta còn dùng một ký hiệu khác để chỉ ra rằng một đại lượng lớn hơn rất nhiều so với một đại lượng khác. • Ký hiệu a >> b có nghĩa là a lớn hơn b rất nhiều. Các ký hiệu a, b ở hai vế của một bất đẳng thức có thể là các biểu thức của các biến. Sau đây ta chỉ xét các bất đẳng thức với các biến nhận giá trị trên tập số thực hoặc các tập con của nó. Nếu một bất đẳng thức đúng với mọi giá trị của tất cả các biến có mặt trong bất đẳng thức, thì bất đẳng thức này được gọi là bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện. Nếu một bất đẳng thức chỉ đúng với một số giá trị nào đó của các biến, với các giá trị khác thì nó bị đổi chiều hay không còn đúng nữa thì nó được goị là một bất đẳng thức có điều kiện. Một bất đẳng thức đúng vẫn còn đúng nếu cả hai vế của nó được thêm vào hoặc bớt đi cùng một giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi một số âm. Hai bài toán thường gặp trên các bất đẳng thức là 1. Chứng minh bất đẳng thức đúng với trị giá trị của các biến thuộc một tập hợp cho trước, đó là bài toán chứng minh bất đẳng thức. 2. Tìm tập các giá trị của các biến để bất đẳng thức đúng. Đó là bài toán giải bất phương trình. Các phương pháp biến đổi trong chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương : khi sử dụng phép biến dổi tương đương cần chú ý tới dấu của BĐT khi đảo chiều hay nhân thêm biểu thức . Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện , chứng tỏ rằng : Giải: , bất đẳng thức này đúng do giả thiết Đẳng thức xảy ra 2.Đưa về hàm số : khi đưa về hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu và liên tục Ví dụ:Cho các số x, y thỏa mãn : và . Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Giải: Từ giả thiết . Ta có : Đặt với ; có P là hàm nghịch biến trong đoạn ( đạt khi hoặc ). ( đạt khi ). 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: đây là PP tương đối khó trong việc Cm BĐT,tùy từng dạng bài mà có cách đánh giá khác nhau.Cần chú ý điều kiện đề bài để có hướng đi phù hợp nhất cho bài toán Ví dụ 1: Cho là ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2]. Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ta đều có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh đúng với . Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm). Ví dụ 3: Cho . Chứng minh: Giải: Dấu “ ” xảy ra hoặc 2 trong 3 số bằng 1, số còn lại bằng 0 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh rằng với mọi u, v thỏa mãn điều kiện , ta luôn có: Giải: - Nếu thì bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên đúng. - Nếu thì với và đpcm Vế trái (1) là tam thức bậc 2 với nên (1) đúng ( đpcm) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh rằng với thì Hãy nêu và chứng minh một kết quả tổng quát hơn kết quả của bài toán trên. Giải: Ta sẽ chứng minh kết quả tổng quát sau đây: Với . Chứng minh ( bằng quy nạp toán học theo n): - Với ( do . - Giả sử khẳng định đúng với , ta sẽ chứng minh khẳng định cũng đúng với . Do khẳng định đúng với Vì Mà vế phải bằng Vậy khẳng định đúng với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức kinh điển rất quen thuộc với học sinh THPT .Chuyên đề này muốn giới thiệu một phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cô-Si đó là kĩ thuật Cô-Si ngược dấu. Ví dụ 1) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta luôn có : Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Trong bài này để sử dụng bất đẳng thức thì ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh về mọi số dương a,b,c có a+b+c=3 thì ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-Si ta có: nên (1) Hoàn toàn tương tự ta cũng có: (2) (3) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1),(2) và (3) ta cũng có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta đã chứng minh được những bài toán mà nếu giải bằng các phương pháp khác sẽ rất dài thậm chí không giải được ,sau đây là một số bài tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta luôn có: Bài 2)Chứng minh rằng với a,b,c,d là các số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có: Bài 3)Cho 3 số và a+b+c=3.Chứng minh rằng: bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu rằng với a,b,c là các số thưc không âm và một số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc hai trong số chúng bằng nhau và số còn lại bằng không. Khi r là một số nguyên dương chẵn, thì bất đẳng thức trên đúng với mọi số thực x, y, và z. Chứng minh Ta có thể giả sử một cách tổng quát rằng dựa vào tính chất đối xứng của bất đẳng thức. Biến đổi vế trái của bất đẳng thức để được: Điều trên hiển nhiên đúng vì mọi số hạng của vế trái đều không âm. Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, được đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, được phát biểu rằng: Nếu cho và thì Tương tự, nếu và thì Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev được chứng minh bằng cách dùng qui tắc sắp xếp bất đẳng thức. Giả sử ta có hai chuỗi số được cho như sau và Vậy thì, theo qui tắc sắp xếp bất đẳng thức, ta có là giá trị lớn nhất có thể sắp xếp được từ hai chuỗi số trên. Cộng vế theo vế, ta có: chia cả hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là một bất đẳng thức thường được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn trong đại số tuyến tính dùng cho các vector, trong giải tích dùng cho các chuỗi vô hạn và tích phân của các tích, trong lý thuyết xác suất dùng cho các phương sai và hiệp phương sai. Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là bất đẳng thức Bunyakovski hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCS. Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng và trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa tại Việt Nam gọi là bất đẳng thức Cauchy. Bất đẳng thức này phát biểu rằng nếu x và y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì Dấu đẳng thức xảy khi và chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học là chúng song song với nhau). Một trường hợp đặc biệt nữa của x và y là khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero. Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm "góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide. Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục. Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức này trong trường hợp các vector thực và hữu hạn chiều và đến năm 1859, học trò của Cauchy là V.Ya. Bunyakovsky nhận xét rằng khi chúng ta lấy giới hạn chúng ta có thể thu được dạng tích phân của bất đẳng thức này. Kết quả tổng quát trong trường hợp không gian tích trong được chứng minh bởi K.H.A. Schwarz vào năm 1885. Chứng minh Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <y, y> khác zero. Giả sử λ là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau: Chọn chúng ta được mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi hay tương đương: (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng chú ý • Trong trường hợp không gian Euclide Rn, bất đẳng thức này trở thành . Đặc biệt hơn, trong không gian Euclide với số chiều bằng 2 hay 3, nếu tích vô hướng được xác định theo góc giữa hai vector, khi đó bất đẳng thức này trở thành một bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: . Hơn nữa, trong trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có thể suy ra từ đồng nhất thức Lagrange bằng cách bỏ qua một số hạng. Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng nhất thức Lagrange có dạng: Hệ quả của bất đẳng thức này là bất đẳng thức • Trong không gian tích trong của các hàm giá trị phức khả tích-bình phương, chúng ta có Một dạng tổng quát của hai bất đẳng thức ở phần này là bất đẳng thức Holder. Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường được dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel. Chọn điểm rơi trong Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong khi học Bàn về kiến thức về mảng bất đẳng thức thì bất đẳng thức Cô-Si là một trong những bất đẳng thức cơ bản nhất .Tuy nhiên trong khi giải bài tập để dùng được bất đẳng thức này một cách linh hoạt hơn thì ta phải dùng đến một phương pháp gọi là phương pháp chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cô-Si. Khi áp dụng bđt côsi trong các bài toán tìm cực trị thì việc lựa chọn tham số để tại đó dấu = xảy ra là điều quan trọng và khó khăn nhất. Đôi lúc trong các bài toán khi các biến bị giới hạn bởi một điều kiện nào đó thì khi áp dụng trực tiếp sẽ dẫn đến nhiều sai lầm. Vì thế trong chuyên mục nhỏ này tôi muốn trình bày những phương pháp cụ thể để bạn có thể tìm được tham số phù hợp. Bài toán 1: Cho các số dương x,y,z sao cho x+y+z=1. Tìm các giá trị nhỏ nhất: a. b. [...]... biệt số d.Sang câu d đây là một dạng tổng quát của bài toán này Tuy nhiên khi giải mà làm theo các bước trên thì thật là khó chụi và mất thời gian nhiều Nay mình xin nói thêm đây là một cách rất hay chỉ cần 1 hay 2 dòng là ra các biệt số phụ liền Tuy nhiên các bạn phải hiểu rõ các cách trên vì đây chỉ là một cách suy ra từ pp trên mà thôi như vậy bạn chỉ cần rút x,y,z theo rồi thế vào điều kiện là có... được điểm rơi Ngoài ra với bài toán trên nó kô chỉ giới hạn ở mức độ nhỏ đó đâu mà nó còn nâng lên bậc cao m,n,k của x,y,z bất kì cộng với điều kiện có thể tổng quát hơn: Mà cách giải vẫn không mấy thay đổi (tuy nhiên đều là số nguyên) Bài toán 2: Cho x,y,z là các số dương thõa xy+yz+zx=1 Tìm giá trị lớn nhất: a b c d Giải: Những bài này chúng ta cũng sẽ và có chung một hương đi giải quyết đó: a.1=a+b,... việc phân tích sẽ đơn giản hơn thế này a=c, b=d, e=f Như vậy thì đơn giản hơn đúng không? Còn trường hợp ở bài cuối cùng khá tổng quát thì việc giải nó sẽ khó khăn đôi chút Nhưng có một phương pháp rất hay và mới: Xét biểu thức: Với Như vậy ta được hệ phương trình bậc 3 theo trong đó là nghiệm dương nhỏ nhất Từ đây bạn có thể tính ra suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức mà kô cần phải giải a,b,c,d,e,f... việc tìm cực trị của bài toán không phải là ta nhìn đã thấy được đó là điểm rơi trong côsi mà nó còn kết hợp với phương pháp khác như đồng nhất thức, đạo hàm, v.v Và chính điều này nó làm tăng thêm phần hay và đẹp của điểm rơi trong Cô-Si.Qua bài viết này mong các bạn sẽ hiểu rõ hơn về bất đẳng thức Cô-Si BẤT ĐẲNG THỨC SVACXƠ VÀ ỨNG DỤNG Bất đẳng thức Svacxơ được phát biểu như sau: Cho hai dãy số thực... các số dương a,b,c thì Lời giải : Áp dụng BĐT (1) ta suy ra Mà ta có BĐT quen thuộc bên trên ta suy ra ĐPCM Ví dụ 4: Cho các số dương a,b,c thoả mãn abc = 1 CMR Lời giải : Áp dụng BĐT Svacxơ được: , thay vào Theo BĐT côsi ta có Từ đó suy ra (ĐPCM) Ví dụ 5:Cho a,b,c là các số dương và thoả mãn a+b+c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Lời giải: Ta có Ta lại có Từ đó suy ra , đạt được tại Ví dụ 6:Cho... Bài 2: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra khi a=b=c=1.Lúc này như sau: và 1+b=2.Ta áp dụng Cosi Tương tự cho 2 BĐT còn lại.Khi đó ta có Tiếp tục áp dụng Cosi cho 3 số ta có Thay vào ta có Bài 3: Cho 3 số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy trong căn có dạng nên nghĩ ngay đến sử dụng Bunhi dạng Ở đây dễ thấy Vậy còn a và b.Ta sẽ sử dụng PP "điểm... được phát biểu như sau: Cho hàm số F(x) liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn tồn tại sao cho: Chúng ta sẽ đi tìm hiểu 3 bài toán sử dụng định lí Lagrange trong chương trình THPT như sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ... và có đạo hàm trong khoảng Theo định lí Lagrange luôn tồn tại sao cho: Ta có: (đpcm) NX: Điều quan trọng hơn cả trong bài toán này là chúng ta nhận ra được hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT đã cho Ta xét VD 2 … VD 2: Cho Chứng minh: Giải BĐT đã cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange đối với hàm số: trên , thì tồn tại sao cho: Từ (1) suy ra: Suy ra: (đpcm) NX: Bài này... giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, nhưng tôi sẽ thêm vào 1 số nào đó: Cộng hai BĐT trên ta có: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: Giả sử đã tồn tại \alpha để dấu "=" xảy ra, khi đó Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở Từ đó tôi đã nâng bài toán lên với hệ số các số hạng là các số dương: "Cho Tìm GTNN của " Mục tiêu... toán theo hướng tăng dần số mũ Để tránh phức tạp, tôi cho các hệ số bằng 1 "Cho Tìm GTNN của " Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương: Cộng 2 BĐT: Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: Khi đó (2) Giả sử tồn tại Thay vào (2) ta có để dấu bằng xảy ra, vậy thì: , đạt được khi x = y = Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, tôi nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, tôi tìm được lời giải cho các bài toán sau Bài toán . giá trị, hay nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia với cùng một số dương. Một bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều nếu cả hai vế của nó được nhân hay chia bởi. đẳng thức Holder. Một hệ quả khác, đó là bất đẳng thức Schwarz hay cũng được nhiều tài liệu gọi là bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz