Nguyên Hàm 1−1 Ví dụ1: Cho hàm số f(x) = − 3 x 1 x =x 2/3 −x − 1/3 . Tìm nguyên hàm F(x) =? Giải : f(x) = x 2/3 −x − 1/3 F(x) = 5 / 3 x 5/ 3 − 2 / 3 x 2 /3 +C = 3 5 3 5 x − 3 2 3 2 x +C Bài tập 1: Tìm nguyên hàm a) f(x) = 2x 3 −3x + 2 x b) f(x) = 5x 4 −4x +sinx c) y= cos3x +sin2x d) f(x) = + − 2 3 x 4x 5 x e) f(x) = 1 x + 2 3 x + x 1 − 3 1 x + 4 3 x f) f(x) = e x − e − x + 3.e 4x g) f(x) = 2 1 Cos x − 2 2 sin x + 2 5 cos 4x h) f(x) = 3tan 2 x − 5x+ x 2 . 3 x Ví dụ2: Tính + ∫ 2 3 x x 5.dx Giải : Đặt t =x 3 +5 => dt =3x 2 .dx => dt 3 =x 2 .dx + ∫ 2 3 x x 5.dx = ∫ dt t. 3 = 1 3 ∫ 1/ 2 t .dt = 1 3 3/ 2 t 3/ 2 +C= 2 9 3 t +C= 2 9 3 3 (x 5)+ +C Bài tập 2: Tính : a) + ∫ 5 6 x 2x 5.dx b) + ∫ 3 4 x .dx x a c) + ∫ 2 x .dx 1 x d) + ∫ 3Cosx 5.Sinx.dx e) + ∫ 2 lnx .dx x g) x x 4e 3.e .dx+ ∫ h) cot7x.dx ∫ i) ∫ tan5x.dx k) ∫ 4 (lnx) .dx x l) 3cosx e .sin x.dx ∫ m) ∫ 3 Cosx .dx Sin x n) cos x sin x dx sin x cos x + − ∫ p) ∫ 4 2 tan x .dx Cos x q) 3 2 x 1 x .e + ∫ .dx r) + ∫ 1 .dx x 2 ln x s) 2 1 1 sin . dx x x ∫ t) ∫ 3 Cos x.dx u) + + + ∫ 2 2x 3 .dx x 3x 7 Ví dụ3: Tính : I= − − + ∫ 2 3x 4 dx x 4x 3 Giải : I = − − − ∫ 3x 4 dx (x 1)(x 3) Ta có : − − − 3x 4 (x 1)(x 3) = A x 1− + B x 3− = A(x 3) B(x 1) (x 1)(x 3) − + − − − = (A B)x 3A B (x 1)(x 3) + − − − − Đồng nhất hệ số => A B 3 3A B 4 + =   − − = −  <=> A=1/2 ; B=5/2 Vậy − − − ∫ 3x 4 dx (x 1)(x 3) = − ∫ 1 2 dx (x 1) + − ∫ 5 2 dx (x 3) = 1 2 ln x 1− + 5 2 ln x 3− +C Bài tập 3: Tính các nguyên hàm sau : a) 2 dx x 4x 3− + ∫ b) 2 5x 7 .dx x 5x 6 − − + ∫ c) 2 3x 5 .dx x 9 + − ∫ d) 2 2 2x 7x 3 .dx x 4x 3 − + − + ∫ e) 2 2 3x 2x 9 .dx 2x 7x 5 − − − + ∫ g) 3 2 (1 3x )dx x 4x 3 − − + ∫ Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = − + 4 3 2 3x 2x 5 x ( x≠ 0) biết rằng h/s này bằng 0 khi x = 1 Giải : f(x) = 3x 2 −2x + 2 5 x => F(x) = x 3 −x 2 − 5 x +C ; và F(1) =0 <=> 1−1−5 +C =0 <=> C= 5 Vậy F(x) = x 3 −x 2 − 5 x +5 Bài tập 4: Tìm hàm số f(x) biết rằng : a) f’(x) = 2x+1 và f(1) =5 b) f’(x) = 2−x 2 và f(2) = 7/3 c) f’(x) = 4 x −x và f(4) =0 d) f’(x) = x − 2 1 x +2 và f(1) =2 ♦Tìm F(x) thỏa điều kiện cho trước : e) cho f(x) =3( x+2) 2 và F(0) =8 f) f(x) = 3 x +x 3 +1 và F(1) =2 g) f(x) = (x+1)(x−1) +1 và F(0) =1 h) f(x) = 4x 3 −3x 2 +2 và F(−1) =3 i) f(x) = ax+ 2 b x và F(−1) =2 ; F(1) =4 ; F(4) =9 k) f(x) = 15 x 14 và F(1) =4 . 2/3 −x − 1/3 F(x) = 5 / 3 x 5/ 3 − 2 / 3 x 2 /3 +C = 3 5 3 5 x − 3 2 3 2 x +C Bài tập 1: Tìm nguyên hàm a) f(x) = 2x 3 −3x + 2 x b) f(x) = 5x 4 −4x +sinx. t. 3 = 1 3 ∫ 1/ 2 t .dt = 1 3 3/ 2 t 3/ 2 +C= 2 9 3 t +C= 2 9 3 3 (x 5)+ +C Bài tập 2: Tính : a) + ∫ 5 6 x 2x 5.dx b) + ∫ 3 4 x .dx x a c) + ∫ 2 x .dx 1