Đang tải... (xem toàn văn)
Gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc chøa mét biÕn.. 1.[r]
(1)Chủ đề 1: Tính chia hết tập hợp số nguyên A Kiến thức bản
- Nắm đợc tính chất chia hết tập hợp số nguyên - Vận dụng tốt tích chất để làm cỏc bi
B Phơng pháp chung
I Chứng minh tính chia hết tập hợp số nguyên
Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (n N hc n Z)
Để chứng minh A(n) chia hết cho số m, ta thờng phân tích A(n) thành thừa số, có thừa số m Nừu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho tất số
NhËn xÐt: Trong k sè nguyªn liªn tiÕp bao giê cịng tån t¹i mét béi cđa k
VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng:
A = n3(n2 - 7)2 - 36n chÝ hÕt cho 5040 víi mäi sè tù nhiªn n Giải:
Phân tích thừa số: 5040 = 24.32.5.7 Ta cã:
A = n[n2(n2 - 7)2 - 36] = n[(n3 - 7n)2 - 62]
= n(n3 - 7n - 6)(n3 - 7n + 6) Ta l¹i cã:
n3 - 7n - = (n + 1)(n + 2)(n - 3) n3 - 7n + = (n - 1)(n - 2)(n + 3)
Do đó: A = (n - 3)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)(n - 3)
Đây tích bảy số nguyên liên tiếp Trong bảy số nguyên liên tiếp
- Tồn bội nên A chia hết cho - Tồn mét béi cđa nªn A chia hÕt cho - Tồn hai bội nên A chia hÕt cho
- Tồn ba bội 2, có bội nên A chia hết cho 16
A chia hết cho số 5, 7,9,16 đôi nguyên tố nên A chia hết cho 5.7.9.16 = 5040
¸p dơng:
(2)a) a2 - a chia hÕt cho 2 b) a3 - a chia hÕt cho 3 c) a5 - a chia hÕt cho 5 d) a7 - a chia hÕt cho 7
Gợi ý: Phân tích thành tích số nguyên liên tiếp, ú tn ti
các số bội 2, 3, 5, VÝ dơ 2: Sè chÝnh ph¬ng
a) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho chØ cã thĨ cã sè d b»ng hc
b) Chøng minh r»ng mét sè chÝnh ph¬ng chia cho chØ cã thÓ cã sè d b»ng
Giải:
Gọi A số chÝnh ph¬ng A = n2 (n N) a) XÐt trờng hợp:
n = 3k (k N) A = 9k2 chia hÕt cho 3
n = 3k (k N) A = 9k2 6k +1 chia cho d 1 VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho chØ cã thĨ cã sè d b) Xét trờng hợp
n = 2k (k N) ) A = 4k2 chia hÕt cho 4
n = 2k + (k N) A = 4k2 + 4k +1 = 4k(k + 1) + chia cho d 1 VËy sè chÝnh ph¬ng chi cho chØ cã thĨ có số d
áp dụng:
Trong số sau có số số phơng không? M = 19922 + 19932 + 19942
N = 19922 + 19932 + 19942 + 19952 P = + 9100 + 94100 + 1994100
Lu ý: Các đẳng thức hay dùng để chứng minh tính chia hết
mét luü thõa
an - bn = (a - b)(an-1 + an-2.b + an-3 b2 + + a.bn-2 + bn-1) víi n N* an + bn = (a + b)(an-1 - an-2.b + an-3 b2 - - a.bn-2 + bn-1) víi n lẻ Công thức Niu-tơn
(3)an - bn Chia hÕt cho a - b (a b) a2n+1 + b2n+1 Chia hÕt cho a + b (a - b) (a + b)n = BS a + bn (BS a lµ béi sè cđa a)
VÝ dơ:
Bài tập áp dụng: 1/ Cho A = 11100 -1
Chøng minh r»ng A chia hÕt cho 10, chia hÕt cho 1000
2/ Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n, biĨu thøc 16n - chia hÕt cho 17 vµ chØ n lµ sè ch½n
3/ Chøng minh r»ng víi n N: a) 11n+1 + 122n+1 chia hÕt cho 133 b) 34n+2 + 2.43n+1 chia hÕt cho 17 c) 3.52n+1 + 23n+1 chia hÕt cho 17 II T×m sè d
VÝ dơ: T×m sè d chia 2100 a) Cho
b) Cho 25 c) Cho 125 Gi¶i:
a) Luỹ thừa sát với bội 23 = = - 1
Ta cã: 2100 = 2.(23)33 = 2.(9 - 1)33 = 2.(BS - 1) = BS - = BS + 7 Sè d chia 2100 cho lµ 7
b) L thõa cđa s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ 210 = 1024 = BS 25 - 1 Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 + 1
VËy sè d chia 2100 cho 25 lµ 1 c) Dùng công thức Niu-tơn: 2100 = (5 - 1)50 = 550 - 50.549 + +
50.49
2 .52 - 50.5 + 1
Ta thÊy 48 số hạng chứa luỹ thừa với số mũ lớn nên chia hết cho 125 hai sè h¹ng tiÕp theo cịng chia hÕt cho 125, số hạng cuối
Vậy số d chia 2100 cho 125 lµ 1
Bµi tËp ¸p dông:
(4)52n + 5n + chia hÕt cho 31 víi mäi n kh«ng chia hết cho 3
III Tìm chữ số cuối biĨu diƠn thËp ph©n cđa mét sè
Phơng pháp:
Xét số tự nhiên A = nk víi n, k N C¸ch 1:
Mn tìm chữ số cuối A ta cần biĨu diƠn A díi d¹ng: A = 10a + b = ab
Thì b chữ số cuối cña A Ta viÕt A = nk = (10q + r)k = 10t + rk
Thì chữ số cuối A chữ số cña rk - NÕu A = 100b + ab = abc bc hai chữ số cuối A -
C¸ch 2:
Khi lấy k lần lợt giá trị tự nhiên khác biểu diễn thập phân số A = nk chữ số cuối chữ số cuối xuất tuần hồn Ta cần tìm chu kì tợng A trờng hợp với giá trị k cho
C¸ch 3: Dïng phÐp chia cã d
VÝ dơ: T×m ch÷ sè tËn cïng cđa 2100 viÕt hƯ thập phân Giải:
Ba chữ số tập 2100 lµ sè d cđa phÐp chia 2100 cho 1000
Theo vÝ dơ trªn ta cã 2100 = BS 125 + 1, mà 2100 số chẵn, nên ba chữ số tân 126, 376, 626 876
Mà 2100 chia hết ba chữ số tận nã cịng ph¶i chia hÕt cho Trong sè có 376 thoả mÃn điều kiện
Vậy ba chữ số tận 2100 376 Bài tËp:
1) Tìm chữ số tận 51994 viết hệ thập phân. 2) Tìm chữ số hàng đơn vị số 171983 + 111983 - 71983
3) Tìm ba chữ số cuối số A = m100 m s t nhiờn khỏc
IV Tìm điều kiện chia hÕt
(5)A = n3 + 2n2 - 3n + 2 B = n2 - n
Biến đổi
n3 + 2n2 - 3n + = (n2 - n)(n + 3) + 2
Muốn A chia hết cho B phải chia hết cho n2 - n hay n(n - 1) phải chia hết cho n
n -1 -2
n-1 -2 -3
n(n - 1) 2
Lo¹i Lo¹i
VËy n = -1 ; n = Bµi tËp:
1) Tìm số ngun dơng n để n5 + chia hết cho n3 + 1 2) Tìm số tự nhiên n cho
a) 2n - chia hÕt cho 7 b) 2n - chia hÕt cho 7
c) n2 - 3n + chia hết cho 5 d) n3 - n + Chia hết cho 7 e) 2.3n + chia hết cho 11 f) 10n - chia hết cho 81 g) 10n - chia hết cho 11 h) 10n -1 chia hết cho 121 V Tính chia hết đa thức
1 T×m sè d phép chia mà không thực phép chia Phơng pháp:
* Đa thức chia có dạng x - a víi a lµ h»ng sè
Sè d cđa phÐp chia ®a thøc f(x) cho x - a b»ng giá trị đa thức f(x) x = a
* §a thøc cã bËc tõ bËc hai trë lên
Cách 1: Tách đa thức bị chia thành đa thức chia hết cho đa thức chia
Cách 2: Xét giá trị riêng Chú ý:
(6)Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) có tổng hệ số đa thức Êy chia hÕt cho x -
Gi¶i:
Gäi f(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x + an Theo gi¶ thiÕt: a0 + a1 + + an-1 + an = Sè d cña phÐp chia f(x) cho x - lµ
r = f(1) = a0 + a1 + + an-1 + an = VËy f(x) chia hÕt cho x -
VÝ dơ 2:
Chøng minh r»ng nÕu ®a thøc f(x) cã tỉng c¸c hƯ sè l thõa bËc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ th× f(x) chia hÕt cho x +
2 Tìm thơng số d phép chia đa thức Phơng pháp:
- Đặt phép chia
- Dùng sơ đồ Hoóc-ne Đa thức bị chia
1
0
n n n
n
a x a x a x a xx §a thøc chia x - a thơng
1
0
n n
n n
b x b x b xb
sè d r Víi
b0 = a0
b1 = a.b0 + a1 b2 = a.b1 + a2
bn-1 = a.bn-2 + an-1 r = abn-1 + an
3 Chøng minh mét ®a thøc chia hÕt cho mét ®a thøc Phơng pháp:
* Phõn tớch a thc b chi thành nhân tử, có nhân tử đa thức chia
VÝ dô 1:
Chøng minh r»ng x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + víi mäi mét sè tự nhiên n
Giải:
(7)= (x4n + 1)2 - (x2n)2
= (x4n + x2n +1) (x4n - x2n +1) x4n + x2n +1 = x4n + 2x2n +1- x2n
= (x2n + 1)2 - (xn)2
= (x2n + xn +1) (x2n - xn +1) VËy x8n + x4n + chia hÕt cho x2n + xn + 1
* Biến đổi đa thức chia thành tổng đa thức chia hết cho đa thức chia
VÝ dô 2:
Chøng minh r»ng x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + với số tự nhiên m, n
Giải:
x3m+1 + x3n+2 + = x3m+1 - x + x3n+2 + - x2 + x2 + x + 1 = x(x3m - 1) + x2(x3n - 1) + x2 + x + 1 Ta thÊy x3m - vµ x3n - chia hÕt cho x3 - 1
Do x3m - x3n - chia hết cho x2 + x + 1
VËy x3m+1 + x3n+2 + chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1
* Sử dụng biến đổi tơng đơng, chẳng hạn để chứng minh f(x) chia hết cho g(x), chứng minh f(x) + g(x) chia hết cho g(x) f(x) - g(x) chia hết cho g(x)
VÝ dô 3:
Chøng minh r»ng f(x) chia hÕt cho g(x) f(x) = x99 + x88 + x77 + + x11 + 1 g(x) = x9 + x8 + x7 + + x + 1 Gi¶i:
f(x) - g(x) = x99 - x9+ x88 - x8 + + x11 - x
= x9(x90 - 1) + x8(x80 - 1) + + x(x10 - 1)
Các biểu thức ngoặc chia hết cho x10 - 1, mà x10 - chia hết cho g(x)
VËy f(x) chia hÕt cho g(x)
* Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia
VÝ dô:
(8)Gi¶i:
(9)Chủ đề 2: Giải phơng trình A Kiến thức
- Nắm đợc khái niệm phơng trình bậc ẩn, phơng trình tích, phơng trình chứa ẩn mẫu
- Có kỹ giải phơng trình cách thành thạo B Nội dung
I Phơng trình bậc ẩn Ví dụ 1:
Giải phơng trình a2x + b = a(x + b) Giải:
a2x + b = a(x + b) a2x + b = ax + ab a2x - ax = ab - b
ax(a - 1) = b(a - 1) (1)
NÕu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm
b x
a
Nếu a = (1) có dạng 0x = 0, phơng trình nghiệm với x Nếu a = (1) có dạng 0x = -b, phơng trình nghiệm với x b = 0, vô nghiệm b
KÕt luËn:
NÕu a 0, a 1thì phơng trình có nghiệm
b x
a
Nếu a = a = b = 0, phơng trình nghiệm với x Nếu a = b 0, phơng trình vơ nghiệm
(10)2
a+x 3
)
a-1 1 1
x-a
) 3
b+c
x-a 3
) b+c
a+b-x a+c-x b+c-x 4
) 1
c b a
a x a
a
a a
x b x c
b
c a a b
x b x c x
c
c a a b a b c
x d
a b c
II Phơng trình tích
Định nghĩa:
Phơng trình tích ẩn phơng trình có dạng: A(x).B(x) = (1)
Trong A(x), B(x), đa thức
Cách giải:
Giải phơng trình A(x) = 0, B(x) = 0, lấy tất nghiệm chóng
Chó ý:
Việc phân tích đa thức thành nhân tử có vai trị quan trọng việc đa phơng trình dạng phơng trình tích Ngồi ta dùng ph-ơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:
Giải phơng trình:
(x + 3)3 - (x + 1)3 = 56 Gi¶i:
(x + 3)3 - (x + 1)3 = 56
x3 + 9x2 + 27x + 27 - x3 - 3x2 - 3x- = 56 6x2 + 24x -30 = 0
6(x2 + 4x - 5) = 0 x2 - x + 5x - = 0 x(x - 1) + 5(x - 1) = (x - 1)(x + 5) = KÕt luËn: S = {1; -5}
(11)Có thể dùng phơng pháp đặt ẩn phụ x + = y (x + trung bình cộng x + x + 1)
VÝ dụ 2: Giải phơng trình:
(x - 6)4 + (x - 8)4 = 16 Gi¶i:
Đặt x - = y, phơng trình trở thành: (y + 1)4 + (y - 1)4 = 16 Rút gọn ta đợc:
y4 + 6y2 - = 0
Đặt y2 = z (z 0), ta cã z2 + 6z - = (z - 1)(z + 7) = 0 Phơng trình cho z1 = 1, z2 = -7 (lo¹i)
Với z = 1, nên y = Từ x1 = ; x2 =
Chó ý:
Khi gi¶i phơng trình bậc bốn dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c ta thêng
đặt ẩn phụ
a b y x
¸p dụng: Giải phơng trình: a) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 b) (x + 1)4 + (x - 3)4 = 82 c) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 d) (x - 2,5)4 + (x -1,5)4 = 1
* Phơng trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng)
Trong phơng trình đối xứng a nghiệm
1
a nghiệm + Phơng trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x = -1
+ Phơng trình đối xứng bậc chẵn 2n đa đợc phơng trình bậc n
bằng cách đặt ẩn phụ
1
y x x
VÝ dơ 3:
Gi¶i phơng trình:
(12)b) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = 0 Gi¶i:
a) Biến đổi phơng trình thành: (x + 1)(x + 2)(2x + 1) =
Phơng trình có ba nghiÖm: x1 = -1 ; x2 = -2 ;
1
x
b) C¸ch 1:
Đa phơng trình dạng: (x + 1)2(x2 - x + 1) = 0 Phơng trình có nghiệm x = -1
C¸ch 2:
Chia hai vế phơng trình cho x2 (vì x = khơng nghiệm phơng trình) ta đợc:
2
1 1
3 4 0
x x
x x
Đặt
1 y x
x
th×
2
2
2
x y
x
, ta đợc: y2 - 3y + = nên y1 = 1; y2 = 2 Với y1 = 1, ta có x2 - x + = 0, vô nghiệm Với y = 2, ta có x2 - 2x + = nờn x = 1
Bài tập áp dụng:
Giải phơng trình
a) x4 + 3x3 + 4x2 + 3x + = 0 b) x5 - x4 + 3x3 + 3x2 - x + = 0 c) x4 - 3x3 + 4x2 - 3x + = 0 d) 6x4 + 5x3 - 38x2 + + = 0 3 Phơng trình chứa ẩn mẫu Các bớc giải:
- Tỡm iu kiện xác định phơng trình
- Quy đồng mẫu thức hai vế phơng trình khử mẫu thức - Giải phơng trình vừa nhận đợc
- Nghiệm phơng trình giá trị tìm đợc ẩn thoả mãn điều kiện xác định
(13)1
(1)
2 ( 2)(4 )
x x
x x x x
Gi¶i:
ĐKXĐ phơng trình x 2, x Biến đổi phơng trình (1) ta đợc:
(x - 1)(x - 4) + (x + 3)(x - 2) = -2 Thu gọn phơng trình ta đợc: 2x(x - 2) = (2) Ngiệm (2) x1 = ; x2 =
x1 = thoả mÃn ĐKXĐ; x2 = không thoả mÃn ĐKXĐ Vậy S = {0}
Bài tập:
Giải phơng trình với tham sè a, b
1 1 1 1
)
x+a 3
) 2
x+3 a
a b x a b x
x b
x a
4) Gi¶i toán cách lập phơng trình: a) Các bớc giải toán cách lập phơng trình:
Bớc 1:
- Chọn ẩn đặt điều kiện cho ẩn
- Biểu diễn đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng biết - Lập phơng trình biểu thị tơng quan đại lng
Bớc 2: Giải phơng trình.
Bớc 3: Chọn kết thích hợp trả lời
Ví dô 1:
Vào kỉ thứ III trớc công nguyên, vua xứ Xi-ra-cút giao cho Ac-si-met kiểm tra xem mũ vàng có pha thêm bạc hay khơng Chiếc mũ có trọng lợng niutơn (theo đơn vị nay), nhúng ngập nớc trọng lợng giảm 0,3 niutơn
BiÕt r»ng cân nớc, vàng giảm
1
20 trọng lợng, bạc giảm 10
trọng lợng Hỏi mũ chứa gam bạc (vật có khối lợng 100 gam trì trọng lợng niutơn)
(14)Gọi trọng lợng bạc mũ x (niutơn) (0 < x < 5) Trọng lợng vàng mũ - x (niutơn)
Khi nhúng ngập nớc, trọng lợng bạc giảm 10 x
(niutơn), trọng
lợng vàng giảm
5 20
x
(niut¬n) Ta cã ph¬ng tr×nh:
5
0,3 10 20
x x
Giải phơng trình ta đợc x =
Vậy trọng lợng bạc mũ niutơn Chiếc mũ chứa 100 gam bạc
Chó ý:
Khi giải tốn cách lập phơng trình, ngồi ẩn chọn đơi ngời ta biểu thị đại lợng cha biết khác chữ Điều lý thú chữ tham gia vào q trình giải tốn nhng chúng lại khơng có mặt đáp số tốn
VÝ dô 2:
Một ngời nửa quãng đờng AB với vận tốc 20 km/h, phần cịn lại với vận tốc 30 km/h Tính vận tốc trung bình ngời qng đờng
Gi¶i:
Gọi vận tốc trung bình phải tìm x (km/h) Ta biểu thị nửa quãng đờng AB a km (a > 0)
Thời gian ngời nửa đầu quãng đờng 20 a
giê, thêi gian ngêi
đó nửa sau quãng đờng 30 a
giê, Ta cã phơng trình:
2 20 30
a a a x
Giải phơng trình ta đợc x = 24
Vậy vận tốc trung bình ngời qng đờng 24km/h
Bµi tËp:
(15)ngợc lại Biết xe buýt chạy với vận tốc, khởi hành sau khoảng thời gian không dừng lại đ-ờng (trên chiều từ A đến B nh chiều ngợc lại) Hỏi sau phát xe buýt lại lần lợt rời bến?
2) Trên quãng đờng AB thành phố, phút lại có xe buýt theo chiều từ A đến B phút lại có xe buýt theo chiều ngợc lại Các xe chuyển động với vận tốc nh
(16)Chủ đề 3: Chứng minh bất đẳng thức A Mục tiêu
Học sinh nắm đợc tính chất bất đẳng thức, nắm đợc bất đẳng thức, phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
Biết chứng minh bất đẳng thức cách thành thạo B Kiến thức
I. Các tính chất bất đẳng thức - Tính bắc cầu: a > b ; b > c a > c
- Cộng hai vế bất đẳng thức với số a > b a + c b + c
- Nhân hai vế bất đẳng thức với số: a > b ; c > ac > bc
a > b ; c < ac < bc
- Cộng vế hai bất đẳng thức chiều, a > b ; c > d a + c > b + d
- Trừ vế hai bất đẳng thức ngợc chiều, đợc bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức bị trừ:
a > b ; c < d a - c > b – d
- Nhân vế hai bất đẳng thức chiều mà hai vế không âm a > b ; c > d ac > bd
- Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dơng hai vế bất đẳng thức: a > b > an > bn
a > b an > bn víi n lỴ
a b
an > bn víi n ch½n
- So sánh hai luỹ thừa số với số mũ dơng: Nếu m > n > thì: a > am > an
a = am = an < a < am < an
- Lấy nghịch đảo hai vế đổi chiều bất đẳng thức hai vế dấu
a > b , ab > 1
a b
(17)1 Ngoài bất đẳng thức a2 ; -a2 0, cần nhớ hằng bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối:
0
a
Xẩy đẳng thức a = a a
Xẩy đẳng thức a ab a b
Xẩy đẳng thức ab a b a b
Xẩy đẳng thức ab > a b
2 Một số bất đẳng thức khác sử dụng nh bổ đề để giải toán
a2 + b2 2ab;
2
2 a b
ab
Hay (a + b)2 4ab (bất đẳng thức Cô-si);
1
aba b víi a, b > 0
a b
ba víi a, b > 0
(a2 + b2)(x2 + y2) (ax + by)2 (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki) III Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức:
1 Dùng định nghĩa
§Ĩ chøng minh A > B, ta xÐt hiƯu A - B vµ chøng minh A - B > VÝ dô 1: Chøng minh r»ng:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1 Gi¶i: XÐt hiƯu
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) - (-1) = (x2 - 5x + 4)(x2 - 5x + 6) + 1 Đặt x2 - 5x + = y ta đợc
(y - 1)(y + 1) + = y2 0
VËy (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) -1
2 Dùng phép biến đổi tơng đơng
VÝ dô 2:
Cho số dơng a b thoả mÃn điều kiÖn a + b =
Chøng minh r»ng:
1
1
a b
(18)1 a+1
1
a
b
a b b
ab + a + b + 9ab (v× ab > 0) a + b + 8ab (v× a + b = 1) 8ab
4ab
(a + b)2 4ab (vì a + b = 1) (a - b)2 đúng
Vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh Xẩy đẳng thức a = b
3 Dùng tính chất bất đẳng thức
VÝ dô 3:
Cho a + b > Chøng minh r»ng:
4
8
a b
Gi¶i: Ta cã
a + b + > (1) Bình phơng hai vế:
(a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > (2) Mặt khác
(a - b)2 a2 - 2ab + b2 0 (3) Céng tõng vÕ (2) vµ (3)
2(a2 + b2) > a2 + b2 >
1
2 (4)
Bình phơng hai vế (4) a4 + 2a2b2 + b4 >
1
4 (5)
Mặt khác
(a2 - b2)2 a4 - 2a2b2 + b4 0 (6) Céng tõng vÕ (5) vµ (6)
2(a4 + b4) >
1
4 a4 + b4 >
1
4 Dïng ph¬ng pháp phản chứng
Ví dụ 4:
(19)Gi¶i:
Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế ta đợc: a2 + 2ab + b2 > (1)
Mặt khác ta có:
(a - b)2 2ab a2 + b2 a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2) Mà 2(a2 + b2) (giả thiết),
a2 + 2ab + b2 4 M©u thn víi (1) VËy a + b
C Bài tập áp dụng:
Chng minh bất đẳng thức sau: 1) Chứng minh bất đẳng thức
2 2
2 2
a b c c b a
b c a b a c
2) Chứng minh bất đẳng thức với a, b , c số dơng:
a)
a b c 1
a b c
b)
1,
a b c
b c ca ab
3) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng:
a)
1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c
Gỵi ý:
áp dụng bất đẳng thức
1
x yxy víi x, y > 0
b)
3
a b c
b c a a c b a b c
c)
2
a b c
b c ca a b
4) Cho a + b + c = Chøng minh r»ng 2
3
(20)5) Chøng minh r»ng víi a, b, c > th×
a)
2 2
a b a b
b a b a
b)
2 2
a b c
a b c b c a
c)
2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
(21)Chủ đề 4: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất A Mục tiêu
- Học sinh nắm đợc giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
- Biết cách xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
B Các khái niệm Cho biểu thøc f(x,y, )
Ta nãi M lµ GTLN cđa biểu thức f(x,y, ) thoả mÃn hai điều kiện sau:
- Với x, y, để f(x,y, ) xác định f(x,y, ) M (M số) (1) - Tồn x0 , y0 cho
f(x0, y0, ) = M (2) Cho biĨu thøc f(x,y, )
Ta nãi M lµ GTNN biểu thức f(x,y, ) thoả mÃn hai điều kiÖn sau:
Với x, y, để f(x,y, ) xác định (1’) f(x,y, ) m (m số)
- Tån t¹i x0 , y0 cho
f(x0, y0, ) = m (2’)
Chú ý: Nếu có điều kiện (1) (1) cha thể nói cực trị biểu thức
Chẳng hạn ta xét biểu thức A = (x - 1)2 + (x - 3)2
Mặc dù A nhng cha thể kết luận GTNN A = khơng tồ giá trị x để A =
C Néi dung
I. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa mét biĨu thøc chøa mét biÕn
1 Tam thøc bËc hai
VÝ dô 1:
a) T×m GTNN cđa A = 2x2 - 8x + 1 b) T×m GTLN cđa B = -5x2 - 4x + 1 Gi¶i:
(22)Min A = -7 vµ chØ x =
b) B = -5x2 - 4x + =
2
2 4 9
5
5 25 5 5
x x x
Max B =
9
5 vµ chØ x =
¸p dơng:
Cho tam thøc bËc hai P = ax2 + bx + c a) T×m GTNN cđa P nÕu a > b) T×m GTLN cđa P nÕu a <
2 §a thøc bËc cao h¬n hai VÝ dơ 2:
T×m GTNN cđa A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) Gi¶i:
Ta cã: A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) Đặt x2 - 7x + = y th×
A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 -36
VËy Min A = -36 x2 - 7x + = x1 = 1; x2 = 6
3 Phân thức có tử số mẫu tam thøc bËc hai VÝ dơ 3:
T×m GTNN cña
2
A
x x
Gi¶i:
2
2
2
9 3 1 4
A
x x x
Ta thÊy (3x - 1)2 nªn (3x - 1)2 + 4
Do
2
1
4 3x
2 3x
A 1
3x-1 =0 x=
2
Min A
(23)VÝ du 4:
T×m GTNN cđa 2
3 8 6
2 1 x x A x x Gi¶i: Ta cã: 2 2 2
2 4 2 4 4 2
3 8 6
2 2
2 1 1 1
x x x x x
x x
A
x x x x
Min A = vµ chØ x =
II. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt cđa mét biĨu thøc cã quan hƯ rµng buộc biến
Ví dụ 1:
Tìm GTNN cña A = x3 + y3 + xy biÕt r»ng x + y = 1 Gi¶i:
Sử dụng kiều kiện cho để rút gọn biểu thức A: A = (x + y)(x2 - xy + y2) + xy
= x2 - xy + y2 + xy = x2 + y2
Đến đay có nhiều cách giải: Cách 1:
Biu th y theo x ri đa tam thức bậc hai x: Thay y = x - 1vào biểu thức A ta đợc
2
2 1
1 =
x-2 2
Ax x x x
Min A = 1
2 vµ chØ x = 1
2 , y = 1 2 C¸ch 2:
Sử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A:
Bµi tËp:
(24)a) T×m GTNN cđa A = x2 + y2 + z2 b) T×m GTLN cđa B = xz + yz + zx c) T×m GTNN cđa A + B
2) Tìm GTNN biểu thức A = (x + 8)4 + (x + 5)4
B = (x - 1)(x - 3)(x2 - 4x + 5)
3 7
C x x
2
1 2
D x x x x
3) T×m GTNN, GTLN cña
2
2
27 12 9
3 2 3
1
x A
x
x x
B
x
4) T×m GTNN cđa
1 1
A a b
a b
víi a, b > 0
1 1 1
B a b c
a b c
víi a, b, c > 0
1 1 1 1
B a b c d
a b c d
(25)Chủ đề 5: Phơng pháp diện tích chứng minh hình học
A Mơc tiªu
- Sử dụng cơng thức tính diện tích để thiết lập quan hệ độ dài đoạn thẳng để chứng minh hình học
- Có kỹ sử dụng cơng thức tính diện tích để chứng minh hình học
B Sử dụng cơng thức tính diện tích để chứng minh hình học
VÝ dô 1:
Cho tam giác ABC
a) Chứng minh điểm M thuộc miền tam giác ABC tổng khoảng cách từ M đến ba cạnh tam giác chiều cao tam giác
b) Quan hệ thay đổi nh điểm M thuộc miền tam giác
Gi¶i:
Gọi a h cạnh chiều cao tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ khoảng cách từ M đến BC, AC, AB
a) NÕu M thuéc miÒn ABC th×
C'
B'
A' A
B C
M
SMBC + SMAC + SMAB = SABC
1 1
' ' '
2 2
a
' ' '
2
' ' '
BC MA AC MB AB MC BC AH
a MA MB MC h
MA MB MC h
(26)7
1
2
3
5
B' C'
A' A
B C
M
SMAC + SMAB - SMBC = SABC
1 1
' ' '
2 2
a
' ' '
2
' ' '
AC MB AB MC BC MA BC AH
a MB MC MA h
MB MC MA h
Tơng tự:
Nếu M thuộc miền ABC thc miỊn gãc B (miỊn 3) th×: MA'MC' MB' h
NÕu M thc miỊn ngoµi ABC vµ thc miỊn gãc C (miỊn 4) th×: MA'MB' MC' h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc A (miền 5) thì: MA' MB' MC' h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc B (miền 6) thì: MB' MA' MC' h
Nếu M thuộc miền góc đối đỉnh với góc C (miền 7) thì: MC' MA' MB' h
(27)1) Các điểm E, F nằm cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I giao điểm AF, CE Chứng minh ID tia phân giác góc AIC
I
K H
B
D
C
A E
F
Gợi ý: Để chứng tỏ D thuộc tia phân giác góc AIC , ta vẽ DH AF, DK IC, chứng minh DH = DK Hai đoạn thẳng đờng cao AFD CED có cạnh đáy tơng ứng AF CE, đo cần chứng minh SAFD = SCED (các diện tích nửa SABCD)
2) Cho ABC cã A 900, D điểm nằm A C Chứng minh
rằng tổng khoảng cách từ A từ C đến BD lớn đờng cao kẻ từ A nhỏ đờng cao kẻ từ C ABC
H E
F K
B C
A
D
Gợi ý: Gọi AH, CK đờng cao ABC Kẻ AE CF vng góc
víi BD Ta cÇn chøng tá AH < AE + CF < CK