Đang tải... (xem toàn văn)
quaû khoâng chöùa aån döôùi daáu caên hoaëc coù theå giaûi baèng nhieàu phöông phaùp khaùc nhö PT ñaët aån phuï. - Ñoái vôùi Phöông trình chöùa aån ôû maãu thöùc.[r]
(1)Chủ đề tự chọn bám sát Ngày soạn: 08 / 10 / 2006
Tuaàn : + 10 + 11 + 12 Tieát : + 10 + 11 + 12
CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PT BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
I. MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : Kiến thức :
Cách giải biện luận PT ax + b = 0; ax2 + bx + c = 0; phương trình chứa giá trị tuyệt đối, phương trình chứa ẩn số mẫu, phương trình chứa
Kỹ :
Thành thạo bước giải biện luận PT bậc nhất, bậc hai, PT quy PT bậc nhất, bậc hai
II. PHƯƠNG PHÁP :
Phương pháp mở vấn đáp thông qua hoạt động điều khiển tư xen kẻ hoạt động nhóm
Tiết : : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
A. Phương Pháp Giải:
- Phương trình chứa giá trị tuyệt đối dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối bình
phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối đưa PT bậc bậc hai
- Phương trình chứa ẩn căn, ta thường bình phương hai vế để đưa PT hệ
quả không chứa ẩn dấu giải nhiều phương pháp khác PT đặt ẩn phụ
- Đối với Phương trình chứa ẩn mẫu thức Đặt điều kiện cho ẩn số để mẫu
thức khác không quy đồng mẫu thức đưa dạng biết cách giải (chú ý kiểm tra so sánh giá trị nghiệm với điều kiện )
* Ngồi cịn sử dụng đến phép biến đổi sau :
Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải : Để giải phương trình chứa dấu giái trị tuyệt đối ta cần ý tính chất sau:
A A A
A neáu A
; A A2
B
A B A B
A B
;
A B A B
A B
BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình sau :
a) x 5x x 6x 52 2 b) x 8x 2x 92 c) 3x 4 x d) x x 1 02
2
2 2
2
2
x x
x x
x 6x
1
11x
x 5x x 6x x 5x x 6x x x
11 11
2x x
x 5x x 6x vo ângh1eäm
a)
(2)2
2
2
9
2x x x
2 x
b) x 8x 2x x 8x 2x x 10x 16 0 x x 2
x 11
x 8x 2x x 6x 0 x 3 11
x 3x x 2x
c) 3x x 3
3x x 4x x
2
d) * Neáu x (1) x2 – 5x + = x = v x =
* Neáu x < (1) x2 + 5x – = x = – v x =
Vậy nghiệm phương trình : S = {– ; ; } Baøi 2: Giải phương trình sau :
2
a) x x (1) b) 2x 8x 15 4x 12 c)
2
x x x
d) 3x x2 GIẢI
a) * Nếu x (1) x2 – 5x + = x = v x =
* Nếu x < (1) x2 + 5x + = x = –2 v x = –
Vaäy nghiệm phương trình : S = {– ; – ; ; } Cách 2. Đặt t x 0 ,
2 t x
(1) t 5t
t x
2 2 1
4x x 4 x
4 x
b) 2x 8x 15 4x 2x 8x 15 4x 2x 4x 16 0 x x 4
x
2x 8x 15 4x 2x 12x 14 0 x x 7
c) * Khi x > ta coù :
2
2
x x x (x 2)x x
2
x (x 2)x 2x x (loại)
* Khi x < ta coù :
2
x x x 1 (x 2)x 2x 2x 0 x
x 2
( thoả)
Vậy nghiệm phương trình:
1 x d)
2 2
2
2 2
3x x 4x
3x x x
3x x 2x
Bài tập tương tự.
Giải phương trình sau:
1 x2 5x x 26x 5 2x x 0 x2 7x x 6 x x2 2 x 8 x x 2 x2 5x 6 x24x 4 x2 5x 4 x2 2x 5 x2 5x x 2 5x 4 x2 8x 2x 10 x2 7x 10 x 11
2
x x x
(3)Phương pháp giải:
2
f(x) a 0 f(x) a ( với a số ) 2
g(x) f(x) g(x) f(x) g(x) f(x) f(x) g(x) f(x) g(x)
a.f(x) b f(x) c 0
+ Đặt f(x) t
f(x) = t2
+ Thế vào phương trình ta có : at2 + bt + c = xn b a ax bn
+ Đặt unax b ta coù : un ax b un b ax (1) vaø xn b au (2)
+ Từ (1) (2) ta có hệ:
n
n
u b ax x b au
hệ phương trình đối xứng loại II BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình sau :
a) 2x x 3 b) 5x 10 x c) x2 6x x 2 6x 6 d) x 2x 4 GIAÛI
a)
x 2x x
2x x 6x
x x
x x x
x 8x 12
b)
8 x 5x 10 x
5x 10 64 16x x
x x
x x 18 x
x 21x 54
c) Đặt t x2 6x 0 ta coù :
2
2
t x 6x
t 4t
t x 6x 3
2 2
x 6x x 6x x 6x x 6x
x x
x 3
c)
x
x 2x 2x x
2x x 8x 16
x x
x x x
x 10x 21
Bài 2: Giải phương trình sau :
a) x2 7x 1 b) x2 5x x 3 c) x2 5x 4 x22x 1
GIAÛI a)
2 2 x
x 7x 11 x 7x 11 x 7x 10
x b) 2
x x
x 5x x x
x x 5x (x 3)
c) Vì x22x 1 (x 1) 0 nên để phương trình có nghiệm :
(x 1) 0 x 1 Thế vào phương trình thoả mãn nên x = nghiệm Vậy phương trình có tập nghiệm S = {1}
(4)a) 2x 2 x 3 (1) b) 3x 4 x 3 (2)
c) x2 4x 7 x 1 d)
2
x 5x x 5x 0 (3)
GIẢI a) Điều kiện : x
(1) 2x +1 = (2 + x 3 )2 x = 4 x 3 x2 = (4 x 3 )2 x2 – 16x + 48 = x = x = 12 Vậy nghiệm phương trình : x = ; x = 12
b) Điều kiện : x
(2)
2 3x 4 x 3 3x 4 x 3
x – = x 3 (x – 1)2 = 9(x – 3) x2 –11x +28 = x = v x = Vaäy nghiệm phương trình: x = ; x =
c)
2
2 x 4x x x 5x
x 4x x
x x
x
x x
x
x
Vậy nghiệm phương trình : x = , x =
d) x 5x x 5x 02 2 (x 5x 7) x 5x 02 2 Đặt x2 – 5x + = t
0, ta coù :
2 t
t 3t
t
Với t = ta có :
2 x
x 5x x 5x
x
Với t = ta có :
2
5 13 x
2 x 5x x 5x
5 13 x
2
Vaäy nghiệm phương trình : x = , x = ,
5 13 x
2 Bài 4:Giải phương trình sau :
2
a) x 3x 3 x 3x (1) b) x 1 x (2) (2) GIAÛI
a) Ñaët t = x2 – 3x + (t )
(1) t t 3 t(t 3) 2t 9 t(t 3) t t23t (3 t) 2, (0 t )
t = ( thoả t ) x2 – 3x + = x = v x = Nghiệm phương trình : x = ; x =
b) (2) 1 x x Điều kiện x
Ta coù
1 x 1 x x 0
1 x 1 x
Vậy nghiệm phương trình : x = 0. Bài 5:Giải phương trình sau :
(5)GIẢI a) (1)⇔√x+3+√2x+7=√2x+2+√x+8
Điều kiện : x –1 Bình phương hai vế ta có :
x+3+2x+7+2√(x+3)(2x+7)=2x+2+x+8+2√(2x+2)(x+8) ⇔√2x2
+13x+21=√2x2+18x+16
⇔2x2
+13x+21=2x2+18x+16⇔x=1 (thoả điều kiện)
b) Điều kiện : x
(2)⇔√2x+3+√3x+2=√2x+5+√3x
⇔2x+3+3x+2+2√(2x+3)(3x+2)=2x+5+3x+2√3x(2x+5) ⇔√6x2
+13x+6=√6x2+15x
⇔6x2
+13x+6=6x2+15x⇔x=3 (thoả điều kiện)
c) Điều kiện : x 10.
(3)⇔x −2+x −7+2√(x −2)(x −7)=x+5+x −10+2√(x+5)(x −10)
⇔√x2−9x
+14=2+√x2−5x −50 ⇔x2−9x+14=4+4√x2−5x −50+x2−5x −50
⇔√x2−5x −50=15− x
⇔
15− x ≥0
x2−5x −50=225−30x+x2 ¿{
⇔
x ≤15
x=11
⇔x=11 ¿{
d) Điều kiện :
¿ x+11≥0 x+√x+11≥0 x −√x+11≥0
¿{ { ¿
(*)
Bình phương hai vế ta có : x+√x+11+x −√x+11+2√x2− x −11=16
⇔√x2− x −11
=8− x⇔ 8− x ≥0
x2− x −11=64−16x+x2 ¿{
⇔
x ≤8
x=5
⇔x=5 ¿{
(thoả điều kiện (*)) Vậy x = nghiệm
Bài 6:Giải phương trình sau :
a) 1+√1+x√x2−24=x b) √x+8+2√x+7+√x+1−√x+7=4 c) √x+2√x −1−√x −2√x −1=x −1 d) x+√x+1
2+√x+ 4=
1 e) √x+2√x −1−√x −2√x −1=2 (HVCN BCVT-2000)
GIẢI a) Điều kiện :
¿ x2−24≥0 1+x√x2−24≥0
¿{ ¿
(*) Ta coù 1+√1+x√x2−24=x⇔√1+x√x2−24=x −1
⇔
x −1≥0
1+x√x2−24=x2−2x+1
⇔
¿x ≥1 √x2−24
(6)⇔
x ≥1
x −2≥0
x2−24=x2−4x+4
⇔
¿x ≥12 x=7
⇔x=7 ¿{ {
thoả điều kiện (*) Vậy x = nghiệm.
b) Điều kiện :
¿ √x+7≥0 x+8+2√x+7≥0
x+1−√x+7≥0 ¿{ {
¿
(*)
√x+8+2√x+7+√x+1−√x+7=4 ⇔√(√x+7+1)2+√x+1−√x+7=4
⇔√x+7+1+√x+1−√x+7=4 ⇔√x+1−√x+7=3−√x+7
⇔
3−√x+7≥0
x+1−√x+7=x+16−6√x+7 ¿{
⇔
√x+7≤3 √x+7=3
⇔√x+7=3⇔x=2 ¿{
thoả điều kiện (*) Vậy x = nghiệm.
c) √x+2√x −1−√x −2√x −1=x −1 ⇔√(√x −1+1)2−√(√x −1−1)2=x −1
⇔√x −1+1−|√x −1−1|=x −1 (1) Điều kiện : x 1. Nếu x < 2, (1)⇔√x −1+1+√x −1−1=x −1
⇔2√x −1=x −1⇔4(x −1)=x2−2x+1⇔x=1(nhận)∨x=5(loại)
Nếu x 2, (1)⇔√x −1+1−√x −1+1=x −1 ⇔x=3 (nhận)
Vậy nghiệm phương trình : x= 1, x = 3. d) x+√x+1
2+√x+ 4=
1
4⇔x+√(√x+ 4+
1 2)
2 =1
4
⇔x+√x+1 4+
1 2=
1
4⇔(√x+ 4+
1 2)
2 =1
4 ⇔√x+ 4+
1 2=
1
2 ⇔√x+
4=0⇔x=− e) √x+2√x −1−√x −2√x −1=2⇔|√x −1+1|−|√x −1−1|=2
⇔|√x −1−1|=√x −1−1⇔√x −1−1≥0⇔x ≥2 .
CHUÙ YÙ: A B C A3B33AB A B( )C3 A3 B3 3ABC C3
Bài 7:Giải phương trình sau : a)
√1− x+√32− x=√33−2x (1) b)
√1+√x+√31−√x=2 (2)
c)
√x+1+√3 x −1=√3 5x (3) d) √3 x+49=√3x −49+2 (4) GIAÛI
a) (1)⇔(√31− x+√32− x)3=(√33−2x)3 ⇔1− x+2− x+3√31− x.3
√2− x(√31− x+√32− x)=3−2x
⇔3
(7)(2)⇔1+√x+1−√x+3√31+√x√31−√x(√31+√x+√31−√x)=8
⇔3√31+√x√31−√x.2=6⇔√31− x=1⇔1− x=1⇔x=0
c) (3)⇔x+1+x −1+3√3 x+1√3 x −1(√3x+1+√3 x −1)=5x
⇔3
√x+1√3 x −1.√3 5x=x⇔√3(x+1)(x −1).5x=x ⇔5x(x2−1)=x3⇔4x2−5x=0⇔x=0∨x=±√5 d) (4)⇔√3x+49−√3x −49=2 ⇔x+49− x+49−3√3x2−2041(√3 x −49−3
√x+49)=8
3 x2 2041 15 x2 5776 x 76
Bài 8:Giải phương trình sau : a)
x+1¿2 ¿ x −1¿2
¿ ¿ ¿
√¿
(1) b)
2− x¿2 ¿ x+1¿2
¿ ¿ ¿
√¿
(2) GIAÛI
a) Vì x =1 khơng thoả (1) nên chia hai vế cho x −1 ¿2 ¿ ¿
√¿
ta coù
√(x+1 x −1)
2
+2=3√3 x+1
x −1 Đặt t= √x+1
x −1≠1 ta coù t
2– 3t + = 0
⇔ t = (loại) v t = ⇔3 √ x+1
x −1=2⇔
x+1
x −1=8⇔x=
b) Vì x = – 1, x = không thoả (2) nên chia hai vế cho 3(x x )( ) 0
Ta coù √2− x
x+1+ √x+1
2− x=2 Đặt t=
3 √2− x
x+1 ta coù t
2– 3t + = ⇔ t = (loại) v t =
t+1
t=2⇔t
2−2t
+1=0⇔t=1⇔√3 2− x
x+1=1⇔x=
1
Bài 9:Giải phương trình sau :
a) x2 3x 3 x2 3x 3 b) √x3+x2−1+√x3+x2+2=3 GIAÛI
a) Ñaët t = x2 – 3x + (t
)
Ta coù : t t 3 t(t 3) 2t 9 t(t 3) t t23t (3 t) 2, (0 t )
t = ( thoả t ) x2 – 3x + = x = v x = Nghiệm phương trình : x = ; x =
b) √x3
+x2−1+√x3+x2+2=3
Đặt t=x3+x2−1 Phương trình trở thành √t+√t+3=3⇔t+t+3+2√t(t+3)=9
⇔√t(t+3)=3− t⇔ 3−t ≥0
t2
+3t=9−6t+t2
⇔
¿t ≤3 t=1
⇔t=1 ¿{
(8)⇔ x3 + x2 – = ⇔ x3 + x2 – = ⇔ (x – 1)(x2 + 2x + 2) = ⇔ x = 1.
Tiết : 11 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN CHÚ Ý: Phương trình dạng: a f x ( )b f x( ) c 0
Đặt t f x( ), t 0 f x( )t2
Theá vào phương trình ta có : at2 + bt + c =
Bài 10:Giải phương trình sau :
a) x2 6x x 2 6x 6 b) x2 5x x 2 5x 0
c) x2+3x+4√x2+3x −6=18 d) x2− x+√x2− x+24=18
e) (x −3)(x −4)+√x2−7x+7=7 f) x2+√x2+11=31 (ĐH cảnh sát ND – 1999)
Giải
a) Đặt t x2 6x 0 ta coù :
2
2
t x 6x
t 4t
t x 6x 3
2
2
x 6x x 6x x 6x x 6x
⇔
x=1∨x=5 ¿ x=3±2√3
¿ ¿ ¿ ¿ ¿ b) Đặt t=√x
2−5x +7≥0
ta coù :
2 t
t 3t
t
Với t = ta có :
2 x
x 5x x 5x
x
Với t = ta có :
2
5 13 x
2 x 5x x 5x
5 13 x
2
Vậy nghiệm phương trình : x = , x = ,
5 13 x
2
c) Đặt t=√x2+3x −6≥0 Ta có t2 + 4t – 12 = ⇔ t = – (loại) t =
⇔ x2 + 3x – = ⇔ x = – v x = 2
d) Đặt t=√x2− x −24≥0 Ta có t2 + t – 32 = ⇔ t = – (loại) t = 6
⇔ x2 – x – 24 = 36 ⇔ x2 – x – 60 = ⇔ x=1±√241
e) (x −3)(x −4)+√x2−7x+7=7⇔x2−7x+7+√x2−7x+7−2=0
Đặt t=√x2−7x+7≥0 Ta có t2 + t – = ⇔ t = –2 (loại) t = 1
(9)Đặt t=√x2+11≥√11 ta có t2 t 42 0 t7(loại) t 6 ⇔√x2
+11=6⇔x=±5 Bài 11:Giải phương trình sau :
a)
√x+5√6x −18=0 b) x√3 x −4√3x2+3=0
c) √x −x 1−2√x −1
x =1 d)
3 √2− x
x −1+ √x −1
2− x=2
GIẢI
a) Đặt t=√6 x ≥0⇒t2=√3x
Vậy ta có 2t2 + 5x – 18 =
⇔
t=2 ¿ t=−9
2(loại) ¿
⇔6
√x=2⇔x=26=64 ¿
¿ ¿
b) Đặt t=√3 x2≥0⇒t2=√3x4=x√3 x Ta coù t2 – 4t + =
⇔
t=1 ¿ t=3
¿ x2=1
¿ x2
=27 ¿ x=±1
¿ x=±3√3
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
c) Điều kiện : x > Đặt t= x √x −1>0
ta coù t −2 t =1⇔t
2
−t −2=0
⇔
t=−1(loại) ¿ t=2
¿
⇔ x
√x −1=2⇔2√x −1=x>1⇔x=2 ¿
¿ ¿
(thoả đk)
d) Đặt t=√3 2− x
x −1 ta coù : t+
t=2⇔t=1⇔
2− x
x −1=1⇔x=
Tiết : 12 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN CHÚ Ý: Đặt
2 2 2
t A B
t A B AB
2
Ñaët
2
B
t A AB t
A
(10)Bài 12:Giải phương trình sau :
a) (x −3)(x+1)−3(x −3)√ x+1
x −3=−2 (1) b) (x+2)(x+4)+2(x+4)√
x+2
x+4=3 (2)
GIẢI
a) Điều kiện : x –1 v x > 3. Đặt t=(x −3)√x+1
x −3⇒t
=(x −3)(x+1) Ta coù (1) ⇔ t2 – 3t + = ⇔ t=1
¿ t=2
¿ ¿ ¿ ¿
Với t = ta có
(x −3)√ x+1 x −3=1⇔
x>3 (x −3)(x+1)=1
¿{
⇔
x>3 x2−2x −4=0
⇔
¿x>3 x=1±√5
⇔x=1+√5 ¿{
Với t = ta có
(x −3)√x+1 x −3=2⇔
x>3 (x −3)(x+1)=4
¿{
⇔
x>3 x2−2x −7
=0
⇔
¿x>3 x=1±2√2
⇔x=1+2√2 ¿{
b) Điều kiện : x < –4 v x – 2. Đặt t=(x+4)√x+2
x+4⇒t
=(x+4)(x+2) . Ta coù (2) ⇔ t2 + 2t – = ⇔ t=1
¿ t=−3
¿ ¿ ¿ ¿
Với t = ta có
(x+4)√x+2 x+4=1⇔ x>−4 (x+4)(x+2)=1
¿{
⇔
x>−4 x2
+6x+7=0
⇔
¿x>−4 x=−3±√2
⇔x=−3+√2 ¿{
(nhaän)
(11)(x+4)√x+2
x+4=−3⇔ x<−4
(x+4)(x+2)=9 ¿{
⇔
x<−4 x2
+6x −1=0
⇔
¿x<−4 x=−3±√10
⇔x=−3−√10 ¿{
(nhận)
Bài 13:Giải phương trình sau :
a) √x −1+√x+3+2√(x −1)(x+3)=4−2x b) √x −1+√x −3+2√(x −1)(x −3)=4−2x
c) √x+4+√3x+1+2√3x2+13x+4=51−4x d) √2x+3+√x+1=3x+2√2x2+5x+3−16 e) √3x −2+√x −1=4x −9+2√3x2−5x+2 (HVKTQS-1999)
GIẢI a) Đặt t=√x −1+√x+3,t ≥0
√x −1+√x+3¿2=2x+2+2√(x −1)(x+3)
⇒t2=¿ ⇒2√(x −1)(x+3)=t
−2x −2 (*) Phương trình (1) trở thành: t + t2 – 2x – = – 2x ⇔ t2 + t – =
t = – 3(loại) t = (nhận)
(∗)⇔2√(x −1)(x+3)=4−2x −2⇔√(x −1)(x+3)=1− x
⇔
1− x ≥0
x2
+2x −3=1−2x+x2
⇔
¿x ≤1 x=1
⇔x=1 ¿{
Vậy x = nghiệm
b) Ñaët t=√x −1+√x −3,t ≥0 √x −1+√x −3¿
=2x −4+2√(x −1)(x −3)
⇒t2=¿
⇒2√(x −1)(x −3)=t2−2x+4 (*)
Phương trình (1) trở thành: t + t2 – 2x + = – 2x ⇔ t2 + t =
⇔ t = – (loại) t = (nhận)
(∗)⇔2√(x −1)(x −3)=−2x+4⇔√(x −1)(x −3)=2− x
⇔
2− x ≥0
x2−4x+3=4−4x+x2
⇔
¿{
vô nghiệm
c) Đặt t=√x+4+√3x+1, t ≥0 √x+4+√3x+1¿
=4x+5+2√(x+4)(3x+1)
⇒t2=¿
⇒2√3x2
+13x+4=t2−4x −5 (*)
PT (1) trở thành: t + t2 – 4x – = 51 – 4x ⇔ t2 + t – 56 = ⇔ t = – 8(loại) t = (nhận)
(12)⇔
22−2x ≥0
x2−101x
+480=0
⇔
¿x ≤11 x=5∨x=96
⇔x=5 ¿{
Vậy x = nghiệm
d) Ñaët t=√2x+3+√x+1, t ≥0 √2x+3+√x+1¿
=3x+4+2√(2x+3)(x+1)
⇒t2=¿
⇒3x+2√2x2+5x+3=t2−4 (*)
Phương trình (1) trở thành: t = t2 – – 16 ⇔ t2 – t – 20 = ⇔ t = – (loại) t = (nhận)
(∗)⇔3x+2√2x2+5x+3=25−4⇔2√2x2+5x+3=21−3x
⇔
21−3x ≥0 21−3x¿2
¿
⇔
¿ ¿ ¿x ≤11 4(2x2+5x+3)=¿
⇔
x ≤11
x=3∨x=143
⇔x=3 ¿{ Vaäy x = nghiệm
e) Đặt t=√3x −2+√x −1, t ≥0 √3x −2+√x −1¿
=4x −3+2√(3x −2)(x −1)
⇒t2=¿
⇒4x+2√3x2−5x+2=t2+3 (*)
Ta có : t = t2 – ⇔ t2 – t – = ⇔ t = – (loại) t = (nhận) (∗)⇔4x+2√3x2−5x+2=12⇔√3x2−5x+2=6−2x
⇔
6−2x ≥0
3x2−5x+2=36−24x+4x2 ¿{
⇔
x ≤3
x2−19x+34=0
⇔
¿x ≤3 x=2∨x=17
⇔x=2 ¿{
Bài 14: Giải phương trình sau :
a) 2x2−2x√x2−2=3 b) (4x −1)√x2+1=2x2+2x+1 c) 2(1− x)√x2+2x −1=x2−2x −1 (ĐH DƯỢC HN –1997)
GIẢI a) 2x2−2x√x2−2=3⇔x2−2−2x√x2−2+x2−1=0 Đặt t=√x2−2≥0 Ta có t2 – 2xt + x2 – = (*) Phương trình (*) coù Δ❑t =x
2
(13)(∗)⇔ t=x −1
¿ t=x+1
¿ √x2−2=x −1
¿ √x2−2=x+1
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
⇔
¿x −1≥0 x2−2=x2−2x+1
¿ ¿ ¿ x+1≥0
¿ ¿ x2−2
=x2+2x+1 ¿
¿ ¿
⇔
x ≥1
x=3 ¿ x ≥ −1
x=−3
⇔x=3 ¿{
Cách 2.Chuyển vế, bình phương hai vế.
b) Đặt t=√x2+1≥1⇒t2=x2+1⇒x2=t2−1
Ta có (4x −1)t=2(t2−1)+2x+1 ⇔2t2−(4x −1)t+2x −1=0
⇔
2x −1≥0
x2+1=4x2−4x+1 t=1
2(loại) ¿ t=2x −1
¿ ¿
⇔√x2+1=2x −1⇔{ ¿
¿ ¿
⇔
x ≥1
2
x=0∨x=4
⇔x=4 ¿{
c) Đặt t=√x2+2x −1⇒t2=x2+2x −1⇒x2=t2−2x+1
Ta có 2(1− x)t=(t2−2x+1)−2x −1 ⇔t2−2(1− x)t −4x=0(∗) Phương trình (*) có x+1¿
2
1− x¿2+4x=¿
Δ❑t
=¿
⇔x −√x2−1
+x+√x2−1+2√x2− x2+1=2(x3+1)
⇔
¿x ≤0 x2+2x −1=4x2
¿ √x2+2x −1=2
¿
√x2+2x −1=−2x ¿
x2
+2x −1=4 ¿ ¿{
¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿ ¿
¿
2
x 1 6
x 1 6
x 0
3x 2x 0
(14)CHÚ Ý Phương trình dạng: xn b a ax bn
Đặt tnax b tn ax b
Ta có hệ :
n
n
x b at
t b ax
trừ vế theo vế, rút thừa số x – t. Bài 15: Giải phương trình sau :
a) x2−2√2x+3=3 b) x2+√x+5=5
c) x3+1=2√32x −1 d) x3−4√34x −3+3=0
GIẢI
a) Đặt t=√2x+3≥√3⇒t2=2x+3⇔t2−2x=3
Vậy ta coù
¿ x2−2t=3 t2−2x
=3 ¿{
¿
(1)
(2) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có (x – t)(x + t + 2) = ⇔ x = t t = – x – 2.
t=x⇔ x ≥0 2x+3=x2
⇔
¿x ≥0 x=−1∨x=3
⇔x=3 ¿{
2
x 2 0 x 2
t x 2
x 1
2x x 4x 4
vô nghiệm
Vậy phương trình có nghiệm x = b) Đặt t=√x+5≥√5⇒t2=x+5
Vậy ta coù ¿ t2− x
=5 x2+t=5
¿{ ¿
(1)
(2) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có (t + x)(t – x – 1) = ⇔ t = – x t = x +
t=− x⇔ − x ≥0
x+5=x2
⇔
¿x ≤0 x=−1±√21
2
(15)
t=x+1⇔ x+1≥0 x+5=x2+2x+1
¿{
⇔
x ≥−1
x=−1±√17
⇔x=−1+√17 ¿{
c) Đặt t=√32x −1⇒t3=2x −1⇔t3−1=2x Vậy ta có hệ
¿ x3+1=2t t3
+1=2x ¿{
¿
((12)) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có :
x3 – t3 = 2t – 2x ⇔ (x – t)(x2 + tx + t2 + 2) =
⇔ x – t = x2 + tx + t2 + = (vơ nghiệm Δ=−3t2−8<0 )
⇔x=t⇔x=√32x −1⇔x3−2x+1=0 ⇔(x −1)(x2+x −1)=0⇔x=1∨x=−1±√5 d) Đặt t=√34x −3⇒t3
=4x −3⇔t3−4x+3=0 Vậy ta có hệ
¿ x3−4t
+3=0 t3−4x
+3=0 ¿{
¿
((12)) Trừ vế theo vế (1) cho (2) ta có :
x3 – t3 + 4(x – t) = ⇔ (x – t)(x2 + tx + t2 + 4) =
x – t = x2 + tx + t2 + = (vơ nghiệm Δ=−3t2−16<0 )
x t x34x 3 x3 4x 0 ⇔(x −1)(x2+x −3)=0⇔x=1∨x=−1±√13
Bài tập tương tự
Bài 16: Giải phương trình sau :
1 x 10 x 2 2 x 2x 4 3 2x2 3x x 1
4 x22 x2 3x 11 3x 4 5 x25x 6 x 6 5x 5x x x26
7. x2 x 2x29 0 8 x 1 x 4 5x 9 x2 x 5
Baøi 17: Giải phương trình sau :
a) |x −1|−2|x −2|+3|x −3|=4 b) √x2
+6x+9=|2x −1| c)
x(x+1)+x(x+2)=x(x+4) d) (11− x+x −1− x
1+x):( 1+x 1− x−1)=
3
14− x e) √x+1=8−√3x+1 f) x2−6x+9=4√x2−6x+6 Bài 18: Giải biện luận PT sau theo tham số m :
a) (2m −x −12)x+2=m+1 b) (m
+m −2)x
2x+1 =m+2 c)
x+2m x − m =
x+1 x −2 d) 2x+m
√x −1−4√x −1=
x −2m+3
√x −1 e) |mx+1|=|2x − m−3| f) |2x+m|=|2m−1−2x| Bài 19: Định m để pt sau vô nghiệm :
(16)a) m2(x −1)=4x −3m+2 với x >0b) (2m+1)x+3 √4− x2 =