Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS Phần I : Đặt vấn đề I-Lời nói đầu Muốn giỏi toán thi việc nắm vững kiến thức phải biết vận dụng thành thạo kiến thức vào tập từ dễ đến khs Chúng ta thấy tập nhiều rât đa dạng Trong trình giảng dậy chơng trinh trình toán THCS nói đén vấn đề giải Phơng trình Tôi thấy giải phơng trình báI toán liên quan đến nhiều toán khác nh : Tìm TXĐ ,giải toán có lời văn cách lập phơng trình Ơ lớp nói :Phơng trình bậc nhât ẩn phơng trình bậc hai ẩn số Ngoài hơng trình bậc cao dạng phơng trình khác lạ Đứng trớc toán giải phơng trình xem xét thuộc dạng Từ mà biết cách vận dụng kiến thức ? giải theo trình tự Chính lẽ để giúp em HS có cách giải phơng trình số phơng trình loại khác ,tôi chọn đề tài Trong đề tài nêu số cách giải phơng trình bậc cao đa phơng trình quen thuộc phơng trình đà biết cách giải Đề tài cho giáo viên toán HS yêu thích môn toán tham khảo Cách giải cách trình bày Tuy ,nội dung đề tài hạn chế lực thân Vì mong giúp đỡ nh ý kiến đóng góp thầy cô giáo II/ Nhiệm vụ nghiên cứu : -Phơng pháp giải phơng trình bậc cao cách đa dạng phơng trình đà biêt cách giải dạng quen thuộc -Các ví dụ minh hoạ III/ đ ối tợng nghiên cứu - HS lớp 9: Trờng THCS Yên Bình Vĩnh Tờng Vĩnh Phúc -Giúp HS có cách giải phơng trình bậc cao số phơng trình loại khác IV./ Phơng pháp nghiên cứu _tham khảo tài liệu ,thu nhập tài liệu -Ph©n tÝch ,tỉng kÕt kinh nghiƯm -kiĨm tra kết :Dự ,kiểm tra chất lợng HS,nghiên cứu hồ sơ giảng dạy ,điều tra trực tiếp thông qua học V / Phạm vi nghiên cứu Giới hạn vấn đề giải phơng trình ,phơng trình bậc cao (một số thờng gặp lớp 9) Trong chơng trình toán THCS Phần 2: Nội dung đề tài A/ Cơ sở lí luận : I Mục đích , ý nghĩa việc dạy giảI tập toán : -Bài tập toán giúp cho HS củng cố khắc phục kiến thức mét c¸ch cã hƯ thèng (vỊ to¸n häc nãi chung nh phần phơng trình bậc cao quy phơng trình bậc hai chơng trình dạy toán lớp 9)theo phơng pháp tinh giảm dễ hiểu Trang Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS -Bài tập phơng pháp quy phơng trình bậc hai nhằm rèn luyện cho HS kĩ thực hành giải toán phơng trình bậc hai Rèn luyện cho HS c¸c thao t¸c t ,so s¸nh ,kh¸i quát hoá ,trừu tợng hoá ,tơng tự -Rèn luyện cho HS lực hoạt động trí tuệ để có sở tiếp thu dễ dàng môn học khác trờng THCS Mở rộng khả áp dụng kiến thức vào thực tế -Bài tập Phơng trình bậc cao quy phơng trình bậc hai góp phần rèn luyện cho HS đức tính cẩn thận ,sáng tạo II/ Các kĩ ,kiến thức học giảI phơng trình : Các quy tắc tính toán kiến thức đại số : Các đẳng thức đáng nhớ Phép phân tích đa thức thành nhân tử B / Những vấn đề liên quan : I / Phơng trình bậc ẩn : Định nghĩa phơng trình bậc ẩn : - Định nghĩa phơng trình bậc nhât ẩn :Cho A(x)và B(x) Là hai biểu thức chứa biến xđể giá trị tơng ứng cđa hai biĨu thøc nµy b»ng -BiÕn x đợc gọi ẩn -Giá trị tìm đợc cuả ẩn gọi nghiệm -Mỗi biểu thức vế phơng trình -việc tìm nghiệm gọi giải phơng trình Cách giải : -Phơng trình tổng quát : a x+b=0 (a#0) (1) -dùng phép bién đổi tơng đơng , Phơng trình (1) trở thành : a x=-b x=-b/a Phơng trình có nghiệm : x= b (a 0) a II / Phơng trình bậc hai ẩn : Định nghĩa : -Phơng trình bậc hai có ẩn số phơng trình cã d¹ng : a x2+b x +c = (trong ®ã x lµ Èn sè ; a, b ,c lµ hệ số , a ) -Nghiệm phơng trình bậc hai giá trị ẩn số mà thay vào vế trái phơng trình ta đợc giá trị vế trái Cách giải phơng trình bậc hai : -Ta dùng phép biến đổi tơng đơng ,biến đổi phơng trình đà cho dạng Phơng trình đà biết cách giải (phơng trình bậc ,phơng trình dạng tích ) để tìm nghiệm phơng trình -Khi nghiên cứu nghiệm số phơng trình bậc hai : a x2 +b x +c=o (a 0) Cần đặc biệt quan tâm tới biệt số phơng trình: =b2- 4ac gọi biệt số phơng trình bậc hai.Vì biểu thức = b2- 4ac định nghiệm số phơng trình bậc hai -Ta thấy có khả sau xảy : a , 0 phơng trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt Trang Đề tài nghiệp vụ s phạm : Một số phơng pháp giải phơng trình bậc caỏơ THCS x 1= b ; x2 = b 2a 2a III / Phơng trình bậc ba Dạng tổng quát Phơng trình bậc ba ( ẩn số )là phơng trình có dạng tỉng qu¸t : a x3 + bx2 + cx + d=0 (trong x ẩn số , a, b, c, d hệ số , a ) Cách giải : Để giải phơng trình bậc ba ta thờng phải biến đổi phơng trình tích Vế trái tích nhị thức bậc nhÊt víi tam thøc bËc hai.VÕ ph¶i b»ng Mn làm tốt việc đòi hỏi HS phải có kĩ ,phân tích đa thức thành nhân tử cách thành thạo IV / Phơng trình bậc bốn Dạng tổng quát : Phơng trình bậc bốn ( ẩn số ) phơng trình có dạng tổng qu¸t : a x4 + b x3 +cx2 +dx +e =0 (trong xlà ẩn số , a, b, c, d, e, hệ số ; a ) Cách giải Đây mọt dạng phơng trình khó ,nó cách giải tổng quát Trong phạm vi đề tài , tôI xin trình bày số dạng đặc biệt phơng trình bậc , nhằn giúp HS giải đợc tập thờng gặp SGK nh loại sách tham khảo khác -Về phơng pháp chung để giải toán dựa vào dạng cấu tạo đặc biệt phơng trình ,bằng phơng pháp đổi biến để đa phơng trình có bậc thấp phân tích vế trái thành nhân tử đa dạng phơng trình tích việc giải phơng trình có bậc thấp ta kết luận đợc nghiệm phơng trình đà cho V / Phơng trình bậc cao Dạng tổng quát : f(x)=a n x n +a n 1 x n  + + a ( Trong x ẩn số , a n an  , , a lµ hệ số ) Ước lợng nghiệm phơng trình : Đối với phơng trình bậc cao bậc công thức tổng quát để tìm nghiệm , trờng hợp phơng trình bậc bậc có công thức song phức tạp Trong nhiều trờng hợp ngời ta yêu cầu cho đánh giá độ lớn nghiệm dới dạng bất đẳng thức Ta có định lí dới (đ/l Maclỏanh Thừa nhận không chứng ninh ) a -Định lí Maclỏcanh : Xét phơng trình f(x) =a n x n  an  x n  a0 (1) Giả sử k số lớn nhẩttong tất số I mà a i 0 với nghiệm dơng Đặt 1  Khi ®ã ta cã a   a1 n    an  1 a0 (2) Nếu A cận nghiệm (2) ta có cận dới nghiệm (1) A A b-Định lí (Ước lợng Niu tơn) : xét phơng trình f(x) = a n x n  an  x n    a0 Nếu a số thoả mÃn điều kiện f(a)>0; f’’(a)>0 , f’’’(a) >0… f fn (a).>0 Th× a cận cho tất nghiệm phơng trình A 3- Xác đinh số nghiệm phơng trình : Xét phơng trình f(x) = a n x n  an  x n   a0 ( ) Vì f(x) hàm liên tục : Nếu f(x) nghiệm đoan a, b f(x) giữ nguyên dấu đoạn -Với xkhá bé dấu f(x) dấu hệ số khác không - Với x lớn dấu f (x) lµ dÊu cđa hƯ sè a Ta nãi r»ng x=  lµ mét nghiƯm béi k cđa (1) nÕu : f(x) =(x-  ) k g ( x) ( k 1) Ơ g(x) đa thức không nhận làm nghiệm Định lí : Nếu phơng trình f(x) =0 có làm bội k (k>1) phơng trình f (x) =0 có nghiệm bội k-1 Định lí : Giả sử a