Phần I : Đại số Các chuyên đề về biến đổi biểu thức Biến đổi biểu thức nguên A. Một số hằng đẳng thức cơ bản (a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 . (a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc (a 1 + a 2 + .+ a n ) 2 = a 1 2 + a 2 2 + .+ a n 2 + + 2( a 1 a 2 + .+ a 1 a n + a 2 a 3 + . + a 2 a n + . + a n-1 a n ) = a 1 2 + a 2 2 + .+ a n 2 + = += 1 1 1 2 n i n ij ji aa x n - y n = (x - y)(x n-1 + x n-2 y + . + xy n-2 + y n-1 ) ; n nguyên dơng . x 2k - y 2k = (x + y)(x 2k-1 - x 2k-2 y + x 2k-3 y 2 - . - y 2k-1 ) ; k nguyên d- ơng . x 2k + 1 - y 2k + 1 = (x + y)(x 2k - x 2k-1 y + x 2k-2 y 2 - . + y 2k ) ; k nguyên d- ơng . ( x + y ) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ( x - y ) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - y 3 B. Bảng các hệ số trong triển khai (x + y )n - Tam giác Pascan Đỉnh 1 Dòng 1 ( n = 1 ) 1 1 Dòng 2 ( n = 2 ) 1 2 1 Dòng 3 ( n = 3 ) 1 3 3 1 Dòng 4 ( n = 4 ) 1 4 6 4 1 Dòng 5 ( n =5 ) 1 5 10 10 5 1 I. Ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] abcbaccabcbacbacbaa 63 ) 222333 3 +++++++++=++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] )(6 3 ) 2222 3333 3 bcdacdabdabc cbaddbacdcabdcba dcbadcbab ++++ ++++++++++++ +++=+++ Chuyên đề 1 =++ == =++ 0 c b a cba 3a ) 333 abccbc Giải a) Biến đổi vế trái ta có : ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] abcbaccabcbacba abcccbacbcaabbab ccbacbabacbacba 63 633333a 33 222333 32222233 32 2333 +++++++++= +++++++++= ++++++=++=++ Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] abcbaccabcbacbacba 63 222333 3 +++++++++=++ (đpcm) b) Chứng minh tơng tự câu a c) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 222 222 2 2 3 3 333 2 1 )(cba 3cba 3)(33 cacbbacba bcacabcba cbaabccbaba abcbaabcbaabccba +++++++= ++++= +++++++= +++=++ Vậy điều kiện cần và đủ để : abccb 3a 333 =++ là - Hoặc a + b + c = 0 - Hoặc (a + b) 2 + (b + c) 2 + (a + c) 2 = 0 a = b = c Ví dụ 2 Phân tích đa thức thành nhân tử a) a 2 (b - c) + b 2 (c - a) + c 2 (a - b) . b) a 3 (b - c) + b 3 (c - a) + c 3 (a - b) . c) x 3 - 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) : Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) cacb cbbaba cbbaba baccbbabcbabacacbcbaa = += = ++=++ b-a c-b )(c-b ) 2222 222222 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) [ ] ( )( )( )( ) cbacacb cabcacacb bccbabbaba cbbaba baccbbabcbabacacbcbab ++= ++= ++= = ++=++ b-a b-a c-b )(c-b ) 2222 3333 333333 c) Đặt S = a + b và P = ab Ta có : a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab = S 2 - 2P ; a 3 + b 3 =(a + b) 3 -3ab(a + b) = S 3 - 3SP . Vì vậy x 3 - 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) = x 3 - 3(S 2 - 2P)x + 2(S 3 -3SP) = (x 3 -3S 2 x + 2S 3 ) + 6P(x -S) =(x - S)(x 2 + Sx - 2S 2 ) + 6P(x -S) =(x - S)( x 2 + Sx - 2S 2 +6P) =(x - a - b)[x 2 + (a + b)x - 2(a 2 + b 2 - ab)] II. Bài tập 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : a. x 3 + 4x 2 - 29x + 24 . b. x 4 + 6x 3 + 7x 2 - 6x + 1 . c. 6x 5 + 15x 4 + 20x 3 + 15x 2 + 6x +1 . d. x 8 + x 4 +1 . e. x 10 + x 5 + 1 . f. x 12 + 1 . g. x 6 + 3x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1 . h. (a + b + c) 3 - a 3 - b 3 - c 3 . i. (a - b) 3 + (b - c) 3 + (c - a) 3 . j. (x 2 - x + 2) 2 + (x - 2) 2 . k. (x + y + z ) 5 - x 5 - y 5 - z 5 . 2. Đơn giản biểu thức a. (x + y + z) 3 - (x + y - z) 3 - (y + z - x) 3 - (z + x - y) 3 . b. ( 2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1)(2 8 + 1)(2 16 + 1)(2 32 + 1) . 3. Ba số a , b , c thoả mãn điều kiện =++ =++ 14 0 222 cba cba Tính A = a 4 + b 4 + c 4 . 4. Hai số a , b lần lợt thoả mãn các hệ thức sau a 3 -3a 2 + 5a -17 = 0 và b 3 - 3b 2 + 5b +11 = 0 . Hãy tính a + b . 5. Cho a 3 - 3ab 2 = 19 ; b 3 -3a 2 b = 98 . Tính P = a 2 + b 2 . 6. Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1 . Tính a 2 + b 9 + c 1945 . 7. Cho x + y + z = 0 . Chứng minh rằng : a. 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 5 ) . b. x 7 + y 7 + z 7 = 7xyz(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 y 2 ) . c. 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 5 ) (x 5 + y 5 + z 5 ) . 8. Cho các số a , b, c , d thoả mãn a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 Chứng minh rằng a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 . 9. Chứng minh rằng nếu các số a , b , c , d thoả mãn a 2 + b 2 + (a - b) 2 = c 2 + d 2 + (c - d) 2 . Thì a 4 + b 4 + (a - b) 4 = c 4 + d 4 + (c - d) 4 . Biến đổi phân thức hữu tỷ I. Ví dụ : Ví dụ 1 : ba số thực khác không a , b , c thoả mãn điều kiện a + b + c 0 và cbacba ++ =++ 1111 Chứng minh rằng trong ba số a , b , c có hai số đối nhau . Từ đó suy ra mọi số nguyên lẻ ,thì nnnnnn cbacba ++ =++ 1111 Giải Tacó: 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0 a b a b a b c a b c a b a b c c ab c a b c a b ac bc c a b ab a b ac bc c ab + + + + = + = = + + + + + + + + + = + + + + + = a -b (a b)(a c)(b c) 0 b -c c -a = + + + = = = Vậy nếu n lẻ thì = = = nn nn nn ac cb ba nnnnnn cbacba ++ =++ 1111 Ví dụ 2 : Rút gọn biểu thức : + + + + + + + + = ba bababababa A 11 )( 611 )( 311 )( 1 5224333 Giải : Đặt S = a + b và P = ab . a 2 + b 2 = (a + b) 2 - 2ab = S 2 - 2P a 3 + b 3 = (a + b) 3 - 3ab(a + b) = S 3 - 3SP . Vậy : 1 1 a b S a b ab P + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2a b S P a b a b P + + = = Chuyên đề 2 3 2 33 33 33 )3(11 P PSS ba ba ba = + =+ [ ] 33335 5 2223 35 52 2 43 2 3 11 S 6)2(3)3( S 1 623)3(1 baPP S SPPSSPPSS P P S SP PS SP PSS S A ===++= + + = Ví dụ 3 Cho ba số a , b , c phân biệt . Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x : ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( )( cbab cxax caba cxbx bcac bxax xS + + = Giải : Đặt P(x) = S(x) - 1 thì đa thức có bậc không vợt quá 2 . mặt khác ta thấy : P(a) = P(b) = P(c) = 0 Tức là a , b , c là ba nghiệm phân biệt của P(x) điều này chỉ xảy ra khi khi đa thức P(x) là đa thức không , tức là P(x) = 0 với mọi x suy ra S(x) = 1 . Vậy giá trị của biểu thức S(x) không phụ thuộc vào giá trị của x . II Bài tập: 1. Rút gọn biểu thức + + + + + + + + = 1999 1000 1 3 1000 1 2 1000 1 1 1000 1 1000 1999 1 3 1999 1 2 1999 1 1 1999 1 A = 2 )12( 4 1 25 4 1 9 4 1 1 4 1 n B , với n 1 zxy xy zxy xy xy xy C 22 2 + + + + + = Trong đó x > 5 và 5 2515 25 z ; 2510 25 22 + + = + + = x x x x x x x x y ))()(())()(())()(( cxbcac c bxcbab b axcaba a D kkk + + = ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c đôi một khác nhau . ))()(())()(())()(())()(( cdbdad d dcbcac c dbcbab b dacaba a E kkkk + + + = ứng với k = 0 , 1 , 2 , 3 và a , b , c , d đôi một khác nhau . . )2()2( aI . 11 )( 211 )( 211 )( 1 3 33 33 3 33 33 3 225334443 + + += + + + + + = ba bab ba aba babababababa F 2. Cho phân thức . 122 12 23 23 +++ + = nnn nn P a. Hãy rút gọn phân thức trên . b. Chứng minh rằng nếu n là một số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a. tại n luôn là một phân số tối giản . 2. Cho các số khác không a , b , c thoả mãn điều kiện : a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : 2 222 111111 ++=++ cba cba 3. Cho ba số thực a , b , c thoả mãn =++ =++ 2001 1111 2001 cba cba Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số a , b , c bằng 2001 . 4. Cho a , b , c R chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 235 222333555 accbbaaccbbaaccbba ++ ++ = ++ 5. Cho các số nguyên không âm k 1 , k 2 , .,k n (n là số nguyên dơng ) thoả mãn điều kiện : k 1 + k 2 + . + k n là một số lẻ . Chứng minh rằng nếu các số a 1 , a 2 , .,a n thoả mẵn : n n k aa k aa k aa 1 2 32 1 21 == = thì a 1 = a 2 = .= a n . 6. Cho ba số khác nhau a , b , c . a. Chứng minh rằng khi k = 0 , 1 , 2 thì ta có hằng đẳng thức . ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( kkkk x bcbc axbx a caab cxax a caba cxbx a = + + b. Hằng đẳng thức trên còn đúng không nếu thay k = 3 ? . 7. Cho ba số a , b , c là ba số khác nhau và 0 = + + ba c ac b cb a . Chứng minh rằng ( ) ( ) ( ) 0 222 = + + ba c ac b cb a . 8. Ba số a , b , c khác nhau và khác 0 thoả mãn điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng 9 = + + + + ac b cb a ba c b ac a cb c ba . 9. Cho a 0 và a a 1 + là một số nguyên . Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n n a a 1 + là một số nguyên . 10.a. Cho a > b > 0 , n N * . So sánh hai số A và B : n n n n b b aaa aaa A ++++ ++++ = ++++ ++++ = 2 12 2 12 bb1 bb1 B ; 1 1 b. So sánh hai số C và D ( có 10 chữ số 0 sau mỗi dấu phẩy ) : 20000000000,2)20000000000,1( 20000000000,2 D ; 20000000000,2)40000000000,1( 40000000000,2 22 + = + = C 11.a. Cho các số a , b , c đôi một phân biệt đặt : + + = k , ))(())(())(( bcac c cbab b caba a S kkk k N . Tính S 0 , S 1 , S 2 ,S 3 . b. Cho ba số a , b , c đôi một khác nhau đặt : ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( ))(( bcac bcac c cbab cbab b caba caba aT kkk k ++ + ++ + ++ = . Tính T 0 , T 1 , T 2 . 12.Cho các số khác không a , b , c . Tính giá trị biểu thức 200320032003 zyxT ++= . Biết x , y , z thoả mãn các điều kiện 2 2 2 2 2 2 222 222 c z b y a x cba zyx ++= ++ ++ . 13.Cho các số a , b , c , x , y , z thoả mãn : += += += byaxz axczy czbyx Biết rằng a , b , c khác -1 . Tính giá trị của biểu thức sau : cba M + + + + + = 1 1 1 1 1 1 . 14.Cho x > 0 thoả mãn điều kiện 7 1 2 2 =+ x x . Tính giá trị của biểu thức : 5 5 1 x xN += . Biến đổi biểu thức có chứa căn thức I . Một số kiến thức cơ bản 1. Căn bậc hai Mỗi số dơng a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau : a > 0 gọi là căn bậc hai số học hay căn bậc hai dơng của a và - a < 0 là căn bậc hai âm của a . Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0 . Số âm không có căn bậc hai . Quy ớc : sau này , nếu không nói gì thêm thì ta hiểu rằng căn bậc hai của số a > 0 là căn bậc hai dơng của a . 2. Căn bậc n ( n N , n 2 ) a. Định nghĩa : Căn bậc n ( n N , n 2 ) của một số a là một số thực b (nếu có) sao cho b n = a . b. Chú ý : Đối với căn bậc lẻ (n = 2k + 1): mọi số đều có căn bậc hai lẻ và chỉ có một căn bậc hai lẻ . Căn bậc hai lẻ của số dơng là số dơng , của số 0 là số 0 , của số âm là số âm . Ký hiệu 12 + k a Đối với căn bậc hai chẵn (n = 2k) : số âm không có căn bậc hai chẵn . số 0 có căn bậc hai chẵn là 0 . Số dơng có hai căn bậc hai chẵn là hai số đối nhau ký hiệu là k a 2 và - k a 2 (trong đó k a 2 0) 3. Một số phép biến đổi căn thức cơ bản a . Biến đổi căn thức bậc lẻ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k A A AB A B + + + + + = = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , B 0 k k k k k k A A B B A B A B + + + + + + = = Chuyên đề 3 b. Biến đổi căn thức bậc chẵn 0AB , 22 2 2 2 = = kk k k k BABA AA 0B , 0B0,AB , 2 2 2 2 2 2 = = k k k k k k BABA B A B A Đẳng thức sau thờng đợc sử dụng trong các phép biến đổi căn thức 0A , = mn m n AA c. Chú ý : Trong các biến đổi vừa nêu k , m , n là những số nguyên dơng II . Một số ví dụ Ví dụ 1 Chứng minh rằng 333 3 3 9 4 9 2 9 1 12 += Giải : Đặt a = 3 2 thì a 3 = 2 đẳng thức cần chứng minh là 3 2 3 9 1 1 aa a + = Ta có 3 = 2 + 1 = a 3 + 1 = (a + 1)(a 2 - a + 1) . 1 = 2 - 1 = a 2 - 1 = (a - 1)(a 2 + a + 1) . Biến đổi vế trái ta có : 3 3 2 3 2 3 23 3 3 3 33 2 1 1 1 )1(3 3 133 3 )1( 3 1 3 )1(9 3 9 1 = ++ = ++ = +++ = + = + = + = + a aaaa aaaa a a aa Vậy : 3 2 3 9 1 1 aa a + = tức là 333 3 3 9 4 9 2 9 1 12 += (đpcm) . Ví dụ 2 Cho hai số dơng a và b . Chứng minh rằng Giải 222222 ))((2 bababbaaba ++=++ Ta có : 2( 22 ba + -a)( 22 ba + -b) = 2[a 2 + b 2 - (a + b) 22 ba + + ab] =(a 2 + 2ab + b 2 ) - 2(a + b) 22 ba + + (a 2 + b 2 ) =(a + b) 2 -2(a + b) 22 ba + + (a 2 + b 2 ) =(a + b - 22 ba + ) 2 Vì a , b đều dơng nên (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 > a 2 + b 2 a + b > 22 ba + Vậy: 222222 ))((2 bababbaaba ++=++ Ví dụ 3 Chứng minh nếu yx thì 2222 yxxyxxyxyx ++=++ Giải : Đặt yxyxA ++= thì A 0 và . 2)2(x 2)()(2 2222 2222 22 2 yxy yxyxyxyxyxyxyxA ++= ++=++++= Từ giả thiết ta có x 2 y 2 nên 2222 yxyx = . Vậy A 2 = 2(x 2 + y 2 ) + 2(x 2 - y 2 ) = 4x 2 A = x2 (1) Nh vậy với mọi số y mà x 2 y 2 thì số A không phụ thuộc vào y và A = x2 . Đặt 22 yxz = x 2 z 2 vậy : 2222 yxxyxx ++ = x2 (2) Từ (1) , (2) và cách đặt A suy ra : 2222 yxxyxxyxyx ++=++ Ví dụ 4 Với mỗi k nguyên dơng đặt : ( ) ( ) kk k S 1212 ++= . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng m , n ( m > n) thì S m + n + S m - n =S m S n . Giải Đặt = += 12 12 2 1 x x thì x 1 x 2 = 1 Vậy với mọi số nguyên dơng m , n ( m > n ) thì S m + n + S m - n = x 1 m + n + x 2 m + n + x 1 m - n + x 2 m - n = x 1 m + n + x 2 m + n + x 1 n x 2 n (x 1 m - n + x 2 m - n ) = x 1 m + n + x 2 m + n + x 1 m x 2 n + x 1 n x 2 m = (x 1 m + x 2 m )(x 1 n + x 2 n ) = S m S n Vậy : S m + n + S m - n =S m S n (đpcm) . III. Bài tập 1.Rút gọn biểu thức : [...]... (2x3 - 2x2) + (7x2 -7x) + (9x - 9) = 0 2x2(x - 1) +7x(x - 1) + 9(x - 1) = 0 (x - 1)(2x2 + 7x + 9) = 0 x =1 2 x 2 +7 x +9 = 0 , Vô nghiệm Vậy nghiệm của phơng trình (10) có nghiệm duy nhất x = 1 II Bài tập 1 Giải các phơng trình : a b c d x +1 x + 2 x + 3 x + 4 + = + 2004 2003 2002 2001 x2 x2 + =3 ( x + 1) 2 1 1 =1 2 x ( x + 1) 2 ( x 4) 4 1 + ( x 2 3) 4 + = 3x 2 2 x 5 2 2 ( x 3) ( x 1)... =0 2 4 Chú ý rằng phơng trình này có nghiệm khi và chỉ khi : = p2 p2 5p2 5 2 = 4 q 4q 0 q p 4 4 4 16 Chẳng hạn khi p = 4 , q = 1 thì x 2 , x3 là hai nghiệm của pt : X2 + 2X - 3 = 0 Nên Bài tập x2 = 1 x2 = 3 hoặc x3 = 3 x3 = 1 , suy ra x1 = x2 + x3 = -2 II 1.Giả sử x1 , x2 là các nghiệm của phơng trình x2 + px - 1 = 0 với p là số nguyên lẻ Chứng minh rằng : với số tự nhiên n... không âm , tức là -2t - 1 0 hay t 1 t = t 2 Vậy (3) -t = -2t -1 t= -1 , thoả mãn điều kiện t x= 2 2 2 Do đó x 5 x + 5 = 1 x 5 x + 6 = 0 x= 3 Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 2 và x = 3 2 .Bài tập : 3 Giải phơng trình : a x 2 5 x +4 = x +4 x +1 =1 x -1 3 c = x +3 x - 4 1 b d x - 1 2 x 2 +3 x 3 = 4 e x - 3 f 2 + x 4 3 - 2x x 3 +2 x + x 2 3 =1 =5 g x 2 2 x +8 x = x 2 1 k x 2 5 x 1... Đặt t = u - 2 ta có : (2) (t + 2)4 + (t - 2)4 = 82 t4 + 24t2 - 25 = 0 t2 = 1 u= 1 t = 1 v = 3 x = 96 u = 3 x = 16 t = 1 v = 1 Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm x = 16 và x = 96 II Bài tập 1 là đúng : Với giá trị nào của x thì mỗi đẳng thức sau đây a x + 2x - 1 + x 2 x 1 = b x + 2x - 1 + x 2 x 1 =1 c x + 2x - 1 + x 2 x 1 = 2 2 2 Giải các phơng trình sau : a 8 x 2 + b 4 1 5 = x . > b > 0 , n N * . So sánh hai số A và B : n n n n b b aaa aaa A ++++ ++++ = ++++ ++++ = 2 12 2 12 bb1 bb1 B ; 1 1 b. So sánh hai số C và D ( có. = 1 . Vậy giá trị của biểu thức S(x) không phụ thuộc vào giá trị của x . II Bài tập: 1. Rút gọn biểu thức + + + + +