Đang tải... (xem toàn văn)
+/ Chän mét PS trung gian cã cïng tö víi mét trong hai PS ®· cho, cïng mÉu víi PS cßn l¹i.[r]
(1)Soạn: Gi
ả ng : Chuyên đề
Bất đẳng thức ( I ) I/ Kiến thức cần nhớ:
Với hai số a,b : a > b; a < b bất đẳng thức Trong chơng trình Tốn lớp 6, làm quen với số vấn đề liên quan đến BĐT nh so sánh hai số, hai luỹ thừa; hai phân số số phơng pháp chứng minh BĐT, dùng BBĐT để tìm khoảng giá trị số phải tìm v.v
*/ TÝnh chÊt cđa B§T
a/ Tính bắc cầu: Nếu a > b ; b > c Thì a > c b/ Tính đơn điệu phép cộng
Nếu a > b Thì a + c > b + c c/ Tính đơn điệu phép nhân
NÕu a > b ; c > Th× a.c > b.c c < Th× a.c < b.c d/ Cộng vế BĐT chiều
NÕu a > b; c > d Thì a + c > b + d II/ Các vÝ dơ
A/ So s¸nh hai sè:
a/ So sánh hai số tự nhiên
VD: Giỏ tin nhiều giá tiền bút chì Hỏi giá tiền bút chì đằng nhiều hơn?
Gi¶i:
Gäi giá tiền x (đ) giá tiền bút chì y (đ)
Theo ta có: 7x > 8y Ta cần so sánh 8x 9y Từ 7x > 8y (1) => 7x > 7y => x > y (2)
Cộng vế hai BĐT chiều (1) (2) ta đợc 7x + x > 8y + y Hay 8x > y Vậy giá tiền nhiều giá tiền bút chì
b/ So s¸nh hai ph©n sè
*/ Các ph ơng pháp th ơng dùng để so sánh hai phân số:
1, Quy đồng mẫu:
Trong hai PS mẫu, PS có tử nhỏ PS nhỏ a
b< c
d <=> a < c Quy đồng tử:
Trong hai PS tử , PS có mẫu nhỏ PS lớn a
b< c
d <=> d < b ( a,b,c,d Z +) Sư dơng tÝnh chÊt:
a b<
c
d <=> ad < bc ( a,b c,d Z a
b> c
d <=> ad > bc b > 0; d > )
4 Sử dụng “phần bù”tới đơn vị:
Hai PS nhỏ đơn vị, phần bù đến đơn vị PS lớn PS nhỏ
NÕu a
b = – M; c
d = - K mà M > K Thì a
b < c d Sử dụng “ phần thừa” tới đơn vị:
(2)NÕu a
b = + M ; c
d = + K mà M > K Thì a
b > c d Dïng PS trung gian:
+/ Chọn PS trung gian có tử với hai PS cho, mẫu với PS lại VD: So sánh 12
49 vµ 13 47
Chän PS 12
47 lµm PS trung gian, ta cã 12 49 <
12 47 (1) 12
47 < 13
47 (2)
Tõ (1) vµ (2) => 12
49 < 13 47
+/ Chän mét PS trung gian thể mối quan hệ tử mẫu hai PS VD : So sánh 15
59 24 97
Ta thÊy 15
59 > 15 60 =
1 (1)
24
97 < 24 96 =
1 (2)
Tõ (1) vµ (2) => 24
97 < <
15
59 Nªn 24 97 <
15 59
Ngoài ta hay dùng phơng pháp “làm trội”, “ làm giảm” tính chất luỹ thừa để so sánh hai hay nhiều PS
*/ VÝ dô
So s¸nh A = 10
15
+1
1016+1 vµ B =
1016+1
1017+1
Cách 1: Để so sánh A với B ta so s¸nh 10A víi 10B Ta cã: 10A = 10
16
+10
1016+1 = +
9 1016+1
10B = 10
17
+10
1017+1 = +
9 1017+1
DÔ thÊy
1016
+1 >
9 1017
+1 nªn 10A > 10B => A > B
C¸ch 2 Ap dơng tÝnh chÊt : NÕu a
b < th× a+m
b+m >
a
b ( m > 0) Vì B < nên B = 10
16
+1
1017
+1 <
1016+1+9
1017
+1+9 =
1016+10
1017
+10
= 10 (10
15
+1)
10 (1016+1) =
1015
+1
1016+1 =A
VËy A > B
c/ So s¸nh hai luü thõa
Khi so s¸nh hai luü thõa ta thơng dùng phơng pháp: +/ Đa số => so sánh hai số mũ
+/ Đa số mũ => so sánh hai sè +/ So s¸nh qua luü thõa trung gian
(3)+/ NÕu < a < am < an
VD1 So sánh
a, 637 vµ 1612 b, 323 vµ 515 c, 12723 vµ 51318 d, (
32)
vµ (
16)
e, (
80)
vµ (
243)
Ta cã
a, 637 < 647
647 < 648 = ( 43)8 = 424 = 1612 Nªn 637 < 1612 b, 323 = ( 33 )7 32 = 277 9
515 = ( 52 )7 = 257 DƠ thÊy 277 > 257 Nªn 323 > 515 c, 12723 < 12823 = ( 27 )23 = 2161
51318 > 51218 = ( 29)18 = 2162
DÔ thÊy 2161 < 2162 Nªn 12723+ < 51318 d, (
32)
= (1
25)
= (1
2) 35
(
16)
= (1
24)
= (1
2) 36
DÔ thÊy (1
2) 35
> (1
2) 36
Nªn (
32)
> (
16)
e, (
80)
> (
81)
= (
34)
=
328
(
1 243)
6
=
6
1
=
1
330 Mµ 328 >
1
330 Nªn ( 80)
7
> (
1 243)
6
VD2
CMR sè 958 lµ mét sè cã 16 chữ số viết kết hệ thập phân
Giải
Số tự nhiên nhỏ có 16 cs 1015 Số tự nhiên nhỏ có 17 cs 1016 Nh ta cần c/m 1015 < 958 < 1016 Ta cã 958 < 1008 = ( 102)8 = 1016 (1)
Gi¶ sư 1015 < 958 => 10
15
958 < <=> 1016
958 < 10
Ta cã 10
16
958 = ( 100 95 )
8
= (20
19)
mµ (20
19)
< 20
19 19 18
18 17
14 13
13 12 =
20
12 < 10
Do 1015 < 958 (2)
Tõ (1) vµ(2) => 1015 < 958 < 1016 hay 958 lµ sè cã 16 cs.
VD3:
Số 21991 51991 viết liền đợc số có chữ số?
Gi¶i
Giả sử số 21991 có x chữ số; số 51991 có y chữ số ( x; y N) Ta biết số tự nhiên nhỏ có x chữ số 10x -1
sè tự nhiên nhỏ có x+1 chữ số 10x => 10x-1 < 21991 < 10x (*)
Tơng tự số tự nhiên nhỏ có y chữ số 10y -1 số tự nhiên nhỏ có y+1 chữ số 10y
10y-1 < 51991 < 10y ( **) Nh©n tõng vÕ BĐT (*) và(**) ta có:
(4)<=> 10x+y-2 < 101991 < 10x+y <=> x + y- 2< 1991 < x + y Do x; y N => x + y - = 1991
=> x+y = 1992
Hay số 21991 51991 viết liền đợc số có 1992 chữ số
BT v©n dơng
BT1/ Gi¸ tiỊn qun s¸ch, qun vở, bút 7700đ Giá tiền qyển sách, vở, bút 16000đ
So sánh giá tiền sách vë
BT2/ CMR 2100 lµ sè cã 31 cs viÕt kÕt qu¶ cđa nã hƯ thËp phân BT3/ So sánh A= 1+2+3+ +1000 B = 1.2.3 20
C = 1.2.3 11 vµ D = 1+2+3+ + 1000000
B/ Chứng minh bất đẳng thức
VD1: Cho A =
101 + 102 +
1
103 + + 200
CMR a, A > 12 b, A >
8
Giải: a, Tách A thành nhóm , nhóm có 50 số hạng thay mơĩ PS nhóm PS nhỏ nhóm ấy, ta đợc:
A = (
101 +
102 + +
150 ) + ( 151+
1
152 + + 200 )
=> A > (
150 +
150 + +
150 ) + ( 200 +
1
200 + + 200 )
50 sè h¹ng 50 sè h¹ng
=> A >
150 50 +
200 50 = 3+
1 4=
7 12
VËy A > 12
b, Tách A thành nhóm, lập luận tơng tự nh phần a, ta có
A=(
101 +
102 + .+
125 )+( 126+
1
127+ + 150 )+(
1 151+
1
152+ + 175 )
+
(
176+
177+ + 200 )
A >
125 25 +
150 25 +
175 25 +
200 25
A >
5+ 6+
1 +
1 =
107 210 +
1 >
1 +
1 =
5
VËy A >
8
VD2: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp a; a+1; ; b-1; b b> a+1 Ghép số thành cặp hai số hai đầu hai só cách hai đầu
a, CMR hai sè thuéc cặp có tích nhỏ nhất; hai số thuộc cặp có tích lớn
b, áp dông CMR
8 < 101 +
1 102 +
1
103 + + 200 <
3
Giải:
a, Ta xét hai cặp ( a; b) vµ ( a+1; b-1)
(5)=> ab + b- ( a+1) > ab Hay ( a+1) ( b-1) > a.b chứng tỏ tích hai cặp ngồi nhỏ tích hai cặp bên cạnh Từ =>
+/ Hai sè thc cỈp ngoµi cïng cã tÝch nhá nhÊt +/ Hai sè thuéc cặp có tích lớn b, áp dụng: Gäi A=
101 + 102 +
1
103 + + 200
Ghép số cách hai đầu thành cặp; A = (
101+
200) + ( 102+
1
199) + + ( 150+
1 151)
= 301
101 200 + 301
102 199+ + 301 150 151
= 301 (
101 200+
102 199+ + 150 151)
XÐt mÉu cđa 50 PS ë ngc Theo c/m phần a, tích 101.200 có giá trị nhỏ nhất; Tích 150.151 có giá trị lớn
=>
101 200 lín nhÊt ;
150 151 nhá nhÊt
Do A < 301
101 200 50 = 301 404 <
303 404 =
3
4 (1)
A > 301
150 151 50 = 301 453 >
300 453 >
300 480 =
5
8 (2)
Tõ (1) vµ(2) =>
8 < 101 +
1 102 +
1
103 + + 200 <
3
VD3
Cho P =
2
5
199
200 (*) C/m r»ng A2 < 201
Giải Trớc hết ta có nhận xét biểu thức P tích 100 PS nhỏ tử lẻ mẫu chẵn Ta cần tìm biểu thức trung gian tích PS mà tử chẵn, mẫu lẻ
DÔ thÊy nÕu thêm vào tử mẫu PS P giá trị PS tăng lên Ta có P <
3
6
200
201 (**)
Nh©n tõng vÕ cđa(*) vµ(**) => P2 <
(12
5
199 200) (
2
4
6
200 201)
=> P2 < .199
2 200
2 200 .201 =
1 201
VËy P2 <
201 ( ®pcm)
VD4
Cho só tự nhiên khác có tổng 50 CMR số tồn số có tổng lớn 30
Giải Gọi số a,b,c,d,e,g Theo ta có a+b+c+d+e+g =50
Không làm tính tổng quát , giả sử a > b > c > d > e > g +/ NÕu c th× b 10; a 11
Khi a + b + c 11+10+9 = 30 # +/ Nếu c d 7; e 6; g
Khi d + e + g 7+6+5 = 18 => a + b + c 32 #
VD5: CMR a, A =
2!+
1 3!+
1 4!+ +
1
(6)b, B =
10!+
9 11!+
9
12!+ +
9
1000! <
1 9!
Gi¶i: Ta cã
a, A =
2!+
1 3!+
1 4!+ +
1
100! (1) =
1 .100
¿
1 2+ 1 3+
1
1 4+ +❑❑
DÔ thÊy
1 <
3 ;
1
1 <
4
A <
1 2+ 3+
1
3 4+ .+
99 100 = 1-1
100 < #
b, B =
10!+
9 11!+
9
12!+ +
9 1000! B < 10−1
10! +
11−1 11! +
12−1
12! + +
1000−1 1000! B <
9!−
1 10!+
1 10! −
1 11!+
1
11! − +
1 999! −
1
1000! =
1 9!−
1
1000! <
1 9! #
BT v©n dơng
BT1/ Cho A = + 12+1
3+ 4+ +
1
2100−1 CMR :
a, A < 100 b, A > 50 BT2/ CMR
6 < 52+
1 62+
1 72+ +
1 1002 <
1
BT3/ Cho B =
11+ 12+
1 13+ +
1 70
CMR a, B >
3
b, B < 2,5 BT4/ Cho C =
22+ 32+
1 42+ +
1