Đang tải... (xem toàn văn)
Dạng toán có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác là dạng toán khó đối với các em học sinh lớp 5. Để giúp các em có thêm kiến thức và có khả năng vận dụng khi gặp dạng toán[r]
(1)(2)ĐIỀU BẤT NGỜ NHO NHỎ
(3)Tơi cịn nhớ dạy “Diện tích hình trịn”, sau vẽ hình trịn lên bảng xây dựng cơng thức tính : S = r x r x 3,14 (S diện tích, r bán kính), tơi cho em vận dụng cơng thức để làm tập sách giáo khoa Hôm sau kiểm tra cũ, nêu câu hỏi : “Em vẽ hình trịn nêu cơng thức tính chu vi, diện tích hình trịn ?” Tơi mời em Mai lên bảng trình bày Mai vẽ hình trịn viết :
C = r x x 3,14 = d x 3,14; S = d/2 x d/2 x 3,14
Công thức mà em Mai viết không giống công thức mà dạy hơm trước Em viết cơng thức tính chu vi diện tích hình trịn qua đường kính d Khi tơi nghĩ hai cách viết mà thơi
Tiết luyện tốn hơm sau tơi đưa tập : Cho hình vng ABCD, có BD = 12 cm và hình trịn hình vẽ Tính diện tích hình trịn.
Khơng đợi hết 10 phút, em Mai xung phong lên bảng làm nhanh AC = BD = 12 cm, OB = BD/2 = cm
Diện tích hình vng ABCD lần diện tích tam giác ABC, nên diện tích hình vng :
2 x (12 x 6) : = 72 (cm2).
Độ dài cạnh AB độ dài đường kính hình tròn nên d x d = AB x BC = 72 cm2 Do :
S = (d x d) : x 3,14 = 72 : x 3,14 = 56,52 (cm2)
Tôi khen em Mai biết vận dụng cơng thức : S = (d x d) : x 3,14 để tính diện tích hình trịn qua diện tích hình vng mà khơng cần phải tính bán kính hình trịn
Tơi đưa tiếp tập số khó :
Cho hình vng ABCD có diện tích 128cm2 Lấy điểm M, N, P, Q điểm chính
(4)Hầu hết em tính diện tích hình vng MNPQ 1/2 diện tích hình vng ABCD nên diện tích hình vng MNPQ : 128 : = 64 (cm2)
Tổng diện tích hình 1; 2; diện tích hình trịn có bán kính nửa cạnh hình vng MNPQ
Diện tích hình vng MNPQ 64 cm2 nên cạnh hình vng cm Tổng diện tích hình 1, 2, :
(8 : 2) x (8 : 2) x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tơ màu :
64 - 50,24 = 13,76 (cm2)
Tôi gợi ý : Các em thử giải cách khác cách áp dụng cơng thức tính diện tích hình trịn Mai Từ em có lời giải :
Diện tích hình trịn : 64 : x 3,14 = 50,24 (cm2) Diện tích phần tơ màu : 64 - 50,24 = 13,76 (cm2)
Thêm lần nữa, công thức tính diện tích :
S = (d x d) : x 3,14 em áp dụng nhanh hiệu
Tơi phấn khởi em biết dạng khác công thức tính diện tích hình trịn vận dụng cách hợp lí giải tốn diện tích hình trịn Phát em chưa lớn điều bất ngờ mà em mang đến cho dù nho nhỏ, cách học dám sáng tạo đáng quý
PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ? Kí hiệu : Diện tích hình (P) dt (P) Cạnh đáy tam giác (Q) c.đáy (Q) Chiều cao tam giác (Q) c.cao (Q)
(5)1 Nếu hình (P) khơng thể tính trực tiếp diện tích để tính dt (P) ta làm theo cách sau :
- Chia hình (P) thành hình dễ tính dt hơn, tính dt hình cộng lại
- Bổ sung vào hình (P) số hình (dễ tính dt) để hình (Q) dễ tính dt hơn, lấy dt (Q) trừ dt hình bổ sung
2 Nếu hai tam giác (P) (Q) có :
- Chung c.đáy hai c.đáy c.cao (P) = k x c.cao (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.đáy hai c.đáy dt (P) = k x dt (Q) c.cao (P) = k x c.cao (Q) - Chung c.cao hai c.cao c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) dt (P) = k x dt (Q) - Chung c.cao hai c.cao dt (P) = k x dt (Q) c.đáy (P) = k x c.đáy (Q) Sau số ví dụ :
Ví dụ : Cho hình chữ nhật ABCD, gọi M N điểm AB CD. Nối DM, BN cắt AC I K Chứng tỏ AI = IK = KC
Giải : (ở ta cần vận dụng mối quan hệ diện tích, c.đáy c.cao tam giác) Ta có : dt (ABC) = x dt (AMD) (vì AB = x AM AD = BC); dt (DCM) = dt (ABC) (vì AB = DC c.cao BC)
Suy dt (DCM) = x dt (AMD) Gọi CH AE chiều cao tam giác DCM DAM xuống đáy DM, CH = x AE Nhưng CH AE chiều cao tam giác ICM IAM có chung cạnh đáy IM Vậy dt (ICM) = x dt (IAM) Mà tam giác IAM ICM chung chiều cao từ M, IC = x AI, suy AC = x AI hay AI = 1/3 AC
Làm tương tự với cặp tam giác ABN CBN; KCN KAN ta có KC = 1/3 AC Vậy AI = KC = 1/3 AC, suy IK = 1/3 AC
Do AI = IK = KC
Chú ý : để chứng tỏ đoạn thẳng ta phải chứng tỏ tam giác có chung chiều cao diện tích
Ví dụ : Cho tam giác ABC, gọi điểm M, N nằm cạnh AB, AC sao cho : AB = x AM, AC = x AN Gọi I điểm cạnh BC
a) Chứng tỏ tứ giác BMNC hình thang BC = x MN
(6)Giải :
a) Vì AB = x AM, AC = x AN, nên MB = 2/3 x AB, NC = 2/3 x AC Từ suy : dt (MBC) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ C)
dt (NCB) = 2/3 x dt (ABC) (chung chiều cao từ B)
Vậy dt (MBC) = dt (NCB) mà tam giác MBC tam giác NCB có chung đáy BC, nên chiều cao từ M chiều cao từ N xuống đáy BC hay MN song song với BC Do BMNC hình thang
Từ MB = 2/3 x AB, nên dt (MBN) = 2/3 x dt (ABN) (chung chiều cao từ N) hay dt (ABN) = 2/3 x dt (MBN)
Hơn từ AC = x AN, nên NC = x AN, dt (NBC) = x dt (ABN) (chung chiều cao từ B); suy dt (NBC) = 3/2 x x dt (MBN) = x dt (MBN)
Mà tam giác NBC tam giác MBN có chiều cao (cùng chiều cao hình thang BMNC) Vì đáy BC = x MN
b) Gọi BN cắt CM O Ta chứng tỏ AI cắt BN O Muốn vậy, nối AO kéo dài cắt BC K, ta chứng tỏ K điểm BC (hay K trùng với I)
Theo phần a) ta có dt (NBC) = x dt (ABN) Mà tam giác NBC tam giác ABN có chung đáy BN, nên chiều cao từ C gấp lần chiều cao từ A xuống đáy BN Nhưng chiều cao tương ứng hai tam giác BCO BAO có chung đáy BO, dt (BCO) = x dt (BAO)
Tương tự ta có dt (BCO) = x dt (CAO)
Do dt (BAO) = dt (CAO) Hai tam giác BAO CAO có chung đáy AO, nên chiều cao từ B chiều cao từ C xuống đáy AO Đó chiều cao tương ứng hai tam giác BOK COK có chung đáy OK, dt (BOK) = dt (COK) Mà hai tam giác BOK tam giác COK lại chung chiều cao từ O, nên hai đáy BK = CK hay K điểm cạnh BC Vậy điểm K trùng với điểm I hay BN, CM, AI cắt điểm O
Bài tập thực hành : Cho tam giác ABC, gọi M điểm cạnh BC N nằm cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt cạnh BA kéo dài P
a) Chứng tỏ AB = AP
b) Gọi Q điểm PC Chứng tỏ ba điểm B, N, Q nằm đường thẳng
c) Hãy so sánh : PN NM; BN NQ
VẬN DỤNG KẾT QUẢ MỘT BÀI TOÁN
Trong q trình dạy học chúng tơi thấy em thường có thói quen giải xong một tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, ít có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải một số tốn khác.
(7)Bài tốn: Cho hình thang ABCD Hai đường chéo AC BD cắt điểm O. Hãy chứng tỏ rằng:
SABD = SABC; SCDB = SCDA; SAOD = SBOC
(ở ta kí hiệu: S diện tích; SABD: đọc diện tích tam giác ABD ) Giải: (hình 1)
Ta có: a) SABD = SABC (vì chung đáy AB có đường cao đường cao hình thang)
b) SCDB = SCDA (vì chung đáy CD có đường cao đường cao hình thang)
c) Vì SABD = SABC nên ta có: SAOD + SAOB = SBOC + SAOB Suy ra: SAOD = SBOC (cùng bớt vế SAOB)
Bây vận dụng ba cặp tam giác có diện tích nói để giải tốn sau:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB < MC Qua M kẻ đường thẳng chia diện tích tam giác ABC thành hai phần có diện tích nhau.
Giải: Vì MB < MC, ta có SAMB < SAMC nên đường thẳng cần kẻ phải cắt cạnh AC tam giác ABC
Cách 1: Gọi O điểm BC Nối AM, AO Qua O kẻ đường thẳng song song với AM cắt AC N Ta có đường thẳng qua M, N đường thẳng cần kẻ (hình 2)
Thật vậy: Tứ giác ANOM hình thang nên SAIN = SMIO Mặt khác:
SAOC = 1/2 SABC = SAIN + SCOIN = SMIO + SCOIN = SCMN
(8)Thật vậy: Ta có tứ giác AMBD hình thang nên
SABM = SADM suy SABC = SDMC = SAMC + SAMD M điểm CD nên SDMN = SCMN = 1/2 SABC
Các bạn giải tốn sau khơng?
Bài tốn 1: Cho tứ giác ABCD Hãy tìm điểm M cạnh tứ giác ABCD sao cho nối AM đoạn thẳng AM chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích
Bài toán 2: Cho tam giác ABC Gọi M điểm BC, qua M kẻ đường thẳng chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích phần gấp lần phần Bài tốn 3: Cho tứ giác ABCD Gọi M điểm AB Tìm điểm N cạnh tứ giác để nối M với N đoạn MN chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích
KHAI THÁC MỘT BÀI TOÁN
Dạng tốn có nội dung hình học liên quan đến diện tích tam giác dạng tốn khó em học sinh lớp Để giúp em có thêm kiến thức có khả vận dụng gặp dạng tốn này, tơi xin trao đổi hướng khai thác toán
Bài toán : Cho tam giác ABC, BC lấy M cho BM = MC, N điểm trên cạnh AC cho NC = x NA Kéo dài MN cắt BA P Hãy chứng tỏ AP = AB Lời giải : Nối BN, CP, kí hiệu S diện tích tam giác, ta có : SPBM = SMPC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ P) SBNM = SMNC (vì có đáy BM = MC chung chiều cao hạ từ N)
Do SPBM - SBNM = SMPC - SMNC hay SPBN = SPNC (1)
SPNC = SAPN x (2) (vì có đáy NC = x NA chung chiều cao hạ từ P)
Từ (1) (2) ta có SAPN x = SPBN hay SAPN = SABN Hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N nên đáy chúng tức AP = PB
Thay đổi vị trí M; N ta có tốn sau :
(9)b) So sánh PN với NM Lời giải : Nối PC; BN
a) Tương tự ta chứng minh SPBN = x SPNC
Nếu coi SPNC = a SPBN = x a Do SAPN = x SNPC nên SAPN = x a, suy SANB = a hay SAPN = x SANB, mà hai tam giác có chung chiều cao hạ từ N, nên AP = AB x hay
AP = x = (cm)
b) Theo phần (a) ta có : SPBN = x a, SABN = a; SABN = x SNBC (vì có AN = x NC chung chiều cao hạ từ B), SNBC = a/2 (1)
SNBM = 3/4SNBC (vì MB = x MC
nên MB = 3/4 BC; chung chiều cao hạ từ N) (2) Từ (1) (2) ta có : SNBM = a/2 x 3/4 = (3x2)/8
Hai tam giác PBN NBM có chung chiều cao hạ từ đỉnh B xuống PM, có tỉ số diện tích : (3 x a) :(3 x a)/8 = 8, nên tỉ số độ dài hai đáy hay PN = x NM Thay đổi vị trí M, N ta có tốn sau :
Bài toán : Cho tam giác ABC, M điểm BC cho MC = x MB; N điểm AC cho AN = x NC; NM cắt AB kéo dài P
a) So sánh SAPM với S,sub>MPC b) So sánh AB với PB
Lời giải : Nối AM; PC
a) Tương tự ta chứng minh : SAPM = x SMPC b) Tương tự ta chứng minh AB = x PB
Tiếp tục thay đổi vị trí M, N, P để có tốn sau :
Bài toán : Cho tam giác ABC Trên AB lấy M cho AM = 1/2 MB; cạnh AC lấy điểm N cho AN = 1/3 NC; BN cắt CM P
a) So sánh diện tích tam giác PBC với diện tích tam giác ABC b) Tính tỉ số độ dài PN so với PB
Hướng dẫn giải :
Nối A với P ta có : SBCM = x SMCA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ C) SBPM = x SMPA (vì có MB = x MA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SCPA (1)
Tương tự ta có : SCBN = x SNBA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ B); SCPN = x SNPA (vì có CN = x NA chung chiều cao hạ từ P) Suy : SBPC = x SAPB (2)
Từ (1) (2) ta thấy : coi SPBC phần nhau, S,sub>APB phần, SNPA phần Khi SABC : + + = 11 (phần)
Vậy SBPC : SABC = 6/11
Tương tự tính PN : PB = 3/8
Bây bạn thử sức tốn sau :
Bài : Cho tam giác ABC; N điểm AC cho AN = x NC; M điểm trên BC cho BM = 1/2 MC Nối MN cắt BA kéo dài P, biết AB = cm Tính PB Bài : Cho tam giác ABC; M điểm AB cho BM = x MA; N điểm trên AC cho AN = 1/2 NC; NB cắt MC O
(10)