A. GIỚI HẠN DÃY SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: 2 12 lim/1 + + n n 4 13 lim/2 2 2 + + n n 23 15 lim/3 + − n n nnn nn −+ ++ 2 2 2 32 lim/4 1 32 lim/5 2 ++ + nn nn )3)(23( )12)(1( lim/6 ++ −+ nn nn 13 2 lim/7 2 2 ++ + nn nn 13 2 lim/8 24 3 ++ nn n )2)(1( )3)(2( lim/9 ++ + nn nnn Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 12 lim/1 2 2 + − n n 2 52 lim/2 2 +− + nn n 23 2 lim/3 2 3 −+ − nn nn ( ) nnn +− 3 32 lim/4 23 12 lim/5 3 2 − ++ n nn ( ) nnn −− 3 23 2lim/6 Bài tập 3: Tính các giới hạn: nn n 32 1 lim/1 2 2 − + 4 32 )1( )2()1( lim/2 − ++ nn nn ( ) 1lim/3 22 +−+ nnn 3 32 3lim(/4 nnn −+ ) 2 1112 lim/5 2 3 − +− n nn 42 1 lim/6 22 +−+ nn B. GIỚI HẠN HÀM SỐ Bài tập 1: Tính các giới hạn: )32(lim/1 2 + → x x )432(lim/2 3 2 +− −→ xx x 1 14 lim/3 2 2 1 +− ++ → xx xx x 1 21 lim/4 3 + +− −→ x xx x )2(lim/5 3 1 xx x ++ −→ 2 25 lim/6 2 5 + − → x x x Dạng 0 0 Bài tập 2: Tính các giới hạn: 1 23 lim/4 4 6 lim/1 23 3 1 2 2 2 +−− +− − −+ → → xxx xx x xx x x 8 4 lim/5 20 16 lim/2 3 2 2 2 2 4 + − −+ − −→ → x x xx x x x 9 3 lim/6 3 34 lim/3 2 3 2 3 − + − +− −→ → x x x xx x x Bài tập 3: Tính các giới hạn: x x x xx x x x x x 2 121 lim/7 4 23 lim/4 2 121 lim/1 0 2 2 0 −+ − −− −+ → → → 2 24 lim/8 33 223 lim/5 39 4 lim/2 3 2 1 0 − − + +−+ −+ → −→ → x x x xx x x x x x 25 32 lim/9 34 472 lim/6 32 372 lim/3 2 3 5 3 1 1 − +− +− −++ +− −+ → → → x x xx xx x x x x x Bài tập 4: Tính các giới hạn: 33 276 lim/7 22 2 lim/4 1 1 lim/1 23 24 3 2 2 2 3 1 +++ −− −+− − − − −→ → → xxx xx xx x x x x x x 33 3 2 0 1 2 23 1 232 11 lim/8 45 32 lim/5 43 42 lim/2 +−+ −− +− −+ −− ++− → → −→ xx x xx xx xx xxx x x x 314 2 lim/9 23 2423 lim/6 11 lim/3 2 2 2 1 2 0 −+ +− +− −−−− ++−+ → → → x xx xx xxx x xxx x x x Bài tập 5: Tính các giới hạn: x x xx xx xxx xx x xx x x x x x x x −− +− ++ ++ ++ −+ − +− −− → −→ → → → 51 53 lim/5 62 23 lim/4 )1)(1( lim/3 3 34 lim/2 11 lim/1 4 2 2 2 23 2 3 2 3 3 0 23 1 lim/10 3 11 lim/9 2 321 lim/8 1 12 lim/7 23 1 lim/6 2 3 1 3 0 4 2 2 3 1 2 3 1 −+ + −− − −+ − +−+− −+ − −→ → → → → x x x x x x x xxx x x x x x x x • Tính các giới hạn bằng cách thêm, bớt lượng liên hợp. Bài tập 6: Tính các giới hạn: 3 51 lim/3 11 lim/2 23 7118 lim/1 3 3 3 0 2 3 2 − +−+ −−+ +− +−+ → → → x xx x xx xx xx x x x 2 122 lim/6 2 66 lim/5 1 39 lim/4 2 1 2 3 2 3 1 −− −−+ −+ ++− − ++− −→ −→ → xx xx xx xx x xx x x x Dạng ∞ ∞ Bài tập 7: Tính các giới hạn: 3 2 2 3 25 2 3 2 )43( )41)(12)(2( lim/5 53 132 lim/4 1 12 lim/3 2 1 lim/2 32 1 lim/1 + −+− +− ++ + ++ − ++− + + ∞→ ∞→ ∞→ +∞→ −∞→ x xxx xx xx x xx x xx x x x x x x x 12 32 lim/10 13 14 lim/9 1 32 lim/8 53 734 lim/7 16 83 lim/6 3 2 2 3 3 2 2 3 4 2 +− + − + +− ++ +− −+ +− −+ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ ∞→ xx x x x xx xx xx xx xx xx x x x x x ĐS 27 8 /5 3 2 /4 /3 /2 2 1 /1 − ∞+ ∞ − 0/10 3 2 /9 1/8 /7 0/6 ± ± ∞ Bài tập 8: Tính các giới hạn: xx xxx x −++ ++++ ∞→ 214 4132 lim/1 2 2 1 12419 lim/2 22 − ++−++ ∞→ x xxxx x ĐS    − 5 1 /1    − 1 1 /2 Dạng ∞−∞ Bài tập 9: Tính các giới hạn:       − − − −+ −−−− −+ → ∞← ∞→ +∞→ 3 1 2 2 3 23 1 3 1 1 lim/4 )(lim/3 )34412(lim/2 )(lim/1 x x xxx xxx xxx x x x x       +− + +− ++−+− +− −+ → −∞→ +∞→ ∞→ 65 1 23 1 lim/8 )11(lim/7 )1(lim/6 )3(lim/5 22 2 22 2 3 32 xxxx xxxx xx xxx x x x x ĐS 1/4 2 1 /3 0 /2 3 1 /1 −    ∞− 2/8 1/7 0/6 1/5 − Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : 1 sin lim 0 = → x x x Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: 2 0 0 0 0 2 4cos1 lim/4 sin 2cos1 lim/3 11 2sin lim/2 2 5sin lim/1 x x xx x x x x x x x x x − − −+ → → → → 2 0 0 2 2 0 3 0 6cos1 lim/8 2 3 lim/7 3 sin lim/6 sin lim/5 x x x xtg x x x xtgx x x x x − − → → → → x x x xx xtg x x x x x x x cos21 3 sin lim/12 sin cossin1 lim/11 cos12 lim/10 5cos1 3cos1 lim/9 3 2 2 0 2 0 0 −       − −+ +− − − → → → → π π ĐS: 25 9 /9 2 1 /5 2 5 /1 8 2 /10 9 1 /6 4/2 1/11 2 3 /7 2/3 3 1 /12 18/8 4/4 Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: . 23 452 / .345/ 2 2 23 +− +− = −+−= xx xx yb xxxya . 2 2sincot / .5cos/ xtg xgx yd xtgxyc + = += Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số: Bài tập 1: Cho hàm số:        − +− − = 1 23 2 )( 2 2 x xx x xf )1( )1( ≥ < x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 2: Cho hàm số:      − − − = 2 4 21 )( 2 x x x xf )2( )2( < ≥ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 3: Cho hàm số:        −+ −+ = 11 11 2 3 )( 3 x x xf )0( )0( > ≤ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 0. Bài tập 4: Cho hàm số:      − − = 5 1 1 )( 2 x x xf )1( )1( = ≠ x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 1. Bài tập 5: Cho hàm số:      − − + = 1 1 2 )( 3 x x ax xf )1( )1( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 1. Bài tập 6: Cho hàm số:      − −− = x x xf 2 321 1 )( )2( )2( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0 = 2. Bài tập 7: Cho hàm số:        +−− + − + = x xx x x a xf 11 2 4 )( )0( )0( < ≥ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục tại x 0 = 0. Bài tập 8: Cho hàm số:        − −+ + = 2 223 4 1 )( 3 x x ax xf )2( )2( > ≤ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 9: Cho hàm số:        +− − + = 23 24 3 2 )( 2 3 2 xx x ax xf )2( )2( > ≤ x x Đònh a để hàm số f(x) liên tục trên R. Bài tập 10: Cho hàm số:      − = x x xf cos1 1 )( )0( )0( ≠ = x x Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số. Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: Bài tập 1: CMR các phương trình sau đây có nghiệm: 010010/ 01096/ 013/ 35 23 4 =+− =−+− =+− xxc xxxb xxa Bài tập 2: CMR phương trình 0162 3 =+− xx có 3 nghiệm trong khoảng (-2 ; 2). Bài tập 3: CMR phương trình 013 3 =+− xx có 3 nghiệm phân biệt. Bài tập 4: CMR phương trình 02012643 234 =−+−− xxxx có ít nhất hai nghiệm. Bài tập 5: CMR các phương trình sau co ùhai nghiệm phân biệt: .0)5()9(/ .032)2)(1(/ 2 =−+− =−+−− xxxmb xxxma . 3 /7 2/3 3 1 /12 18/8 4/4 Dạng 1: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số: Bài tập: Tìm các điểm gián đoạn của các hàm số sau: . 23 452 / .345/ 2 2 23 +−. 2/8 1/7 0/6 1/5 − Dạng : Tìm giới hạn của các hàm số lượng giác: Cho biết : 1 sin lim 0 = → x x x Bài tập 10: Tính giới hạn các hàm số lượng giác sau: 2 0